10.2二倍角的三角函數(shù)(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進階式教學(xué))[課時目標(biāo)]1.會用兩角和(差)的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟練運用二倍角的公式進行簡單的三角恒等變換并能靈活地將公式變形運用.二倍角公式三角函數(shù)公式簡記正弦sin2α=

S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α==

C2α正切tan2α=2tanαT2α|微|點|助|解|(1)二倍角的“廣義理解”:二倍角是相對的,如4α是2α的二倍角,α是α2的二倍角等,“倍”是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的,這里蘊含著換元思想(2)由任意角的三角函數(shù)的定義可知,S2α,C2α中的角α是任意的,但要使T2α有意義,需要α≠π4+kπ2(k∈(3)一般情況下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.(4)二倍角的常用變形形式:①1+cos2α=2cos2α;②cos2α=1+cos2α2;③1-cos2α=2sin2α;④sin2α=基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1.已知sinα=35,cosα=45,則sin2α=2.已知cosα=13,則cos2α=.3.cos245°-sin245°=.

4.已知tanα=43,則tan2α=.題型(一)給角求值[例1]求下列各式的值.(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin(3)2tan150°1-tan2150°;(4)聽課記錄:|思|維|建|模|給角求值的解題策略(1)直接正用、逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式子進行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦.[針對訓(xùn)練]1.求下列各式的值.(1)tan22.5°1-ta(2)cos8π7cos16π(3)cos5π16sin題型(二)給值求值[例2](1)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,則cos(2α+2β)=(A.79 B.1C.-19 D.-(2)已知sinπ4-x=513,0<x<π4,則聽課記錄:|思|維|建|模|1.條件求值問題常有兩種解題途徑(1)對題設(shè)條件變形,把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏;(2)對結(jié)論變形,將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏,以便將題設(shè)條件代入結(jié)論.2.注意幾種公式的靈活應(yīng)用(1)sin2x=cosπ2-2=2cos2π4-x-1=1-2sin(2)cos2x=sinπ2-2=2sinπ4-x[針對訓(xùn)練]2.若sinπ6-α=13,則cos2π3A.-13 B.-C.13 D.3.若tanα=2,則sin2α-cos2α1+cosA.76 B.C.16 D.-題型(三)利用二倍角公式化簡與證明[例3](1)化簡:sin2x(2)求證:3-4cos2A+cos4A3+4cos2聽課記錄:|思|維|建|模|三角函數(shù)式的化簡方法三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角之間的差別與聯(lián)系,把角進行合理的拆分,正確使用公式;二看函數(shù)名稱之間的差異,確定使用的公式,常見的有“切化弦”“弦化切”;三看結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等.[針對訓(xùn)練]4.化簡:(1)2cos(2)1tan10.2二倍角的三角函數(shù)?課前預(yù)知教材2sinαcosα2cos2α-11-2sin2α[基礎(chǔ)落實訓(xùn)練]1.解析:sin2α=2sinαcosα=2×35×45=答案:242.解析:cos2α=2cos2α-1=2×132-1=-答案:-73.解析:cos245°-sin245°=cos90°=0.答案:04.解析:tan2α=2tanα1-tan2答案:-24?課堂題點研究[例1]解:(1)原式=2sinπ12cosπ12(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12(3)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-3.(4)原式=cos10°-=2=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°sin20°=4[針對訓(xùn)練]1.解:(1)原式=12×=12×tan45°=1(2)cos8π7cos=-cosπ7cos=-2sin=-2sin=-2sin4π7cos4π(3)cos5π=cos5π16cosπ16-sin5[例2]解析:(1)因為sin所以sinαcosβ=12所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12+16=所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×232=19,(2)因為0<x<π4,所以π4-x∈又sinπ4-x=513,所以cos又cos2x=sinπ=2sinπ4-=2×513×1213=cosπ4+=sinπ4-x所以原式=120169513答案:(1)B(2)24[針對訓(xùn)練]2.選Bcos2π3+2α=-cosπ3-2α=-cos2π6-α3.選A原式=2sin=2tanα-1+tan2α[例3]解:(1)sin2=sin2=2sinxcos=sinx·cosx2cosx(2)證明:因為左邊=3-4cos2=1-c