10.1.3兩角和與差的正切(教學方式:深化學習課——梯度進階式教學)[課時目標]1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明.3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形,并能靈活應用.兩角和與差的正切公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切公式T(α+β)tan(α+β)=________________α,β,α+β≠kπ+π2(k∈Z)且tanα·tanβ兩角差的正切公式T(α-β)tan(α-β)=________________α,β,α-β≠kπ+π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠-|微|點|助|解|(1)結構特征:公式T(α±β)的右側為分式形式,其中分子為tanα與tanβ的和或差,分母為1與tanαtanβ的差或和.(2)符號規(guī)律:分子同,分母反.(3)T(α±β)可變形為如下形式:①tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ)或②1?tanαtanβ=tanα±tanβtan(α±β).當α±β為特殊角時,?？紤]使用變形①,遇到基礎落實訓練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)兩角和與差的正切公式對tanα±π2是適用的.((2)tanα+tanβ=tan(α+β)(1+tanα·tanβ).()(3)1+tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α2.若tanα=3,tanβ=43,則tan(α-β)等于()A.13B.-13C.3D.3.已知tanα=2,則tanα+π4=4.tan75°-tan15°1+tan75°tan15°=題型(一)兩角和與差正切公式的簡單應用[例1](1)若tanα-π4=16,則tanα=(2)已知α,β均為銳角,tanα=12,tanβ=13,則α+β=.聽課記錄:|思|維|建|模|利用正切的和差公式解題的兩個題型及解題策略(1)關于求值問題,利用角的代換,將所求角轉化為已知角的和與差,再根據公式求解.(2)關于求角問題,先確定該角的某個三角函數(shù)值,再根據角的取值范圍確定該角的大小.[針對訓練]1.(2024·全國甲卷)已知cosαcosα-sinα=3,則tanαA.23+1 B.23-1C.32 D.1-2.已知tanα=2,tanβ=-13,其中0<α<π2,π2<β<π.求α+題型(二)兩角和與差正切公式的逆用[例2]計算:1-tan5π12tanπ4A.-33 B.3C.-3 D.3聽課記錄:|思|維|建|模|一方面要熟記公式的結構,另一方面要注意常值代換.如tanπ4=1,tanπ6=33,tanπ3=3等.要特別注意tanπ4[針對訓練]3.化簡求值:1-tan15°3題型(三)兩角和與差正切公式的變形用[例3](1)tan23°+tan37°+3tan23°tan37°的值是.

(2)tan18°+tan42°+tan120°tan18°tan42°tan60°=聽課記錄:|思|維|建|模|當化簡的式子中出現(xiàn)“tanα±tanβ”與“tanαtanβ”形式時,要把它們看成兩個整體,這兩個整體一是與兩角和與差的正切公式有關,通過公式能相互轉換,二是這兩個整體還與根與系數(shù)的關系相似,在應用時要注意隱含的條件,能縮小角的范圍.[針對訓練]4.3tan87°tan33°-tan87°-tan33°=()A.3 B.-3 C.33 D.-5.若1+tanα+tanβ-tanαtanβ=0,且α,β∈π2,π,則α+β=10.1.3兩角和與差的正切?課前預知教材tanα+tan[基礎落實訓練]1.(1)×(2)×(3)×2.選A原式=tanα-tanβ1+tanα3.解析:tanα+π4=tanα+tanπ答案:-34.解析:原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.答案:3?課堂題點研究[例1]解析:(1)法一∵tanα-π4=tanα-tan∴6tanα-6=1+tanα(tanα≠-1),∴tanα=75法二tanα=tanα=tanα-π4+tan(2)∵tanα=12,tanβ=1∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tan∵α,β均為銳角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=π4答案:(1)75(2)[針對訓練]1.選B根據題意有cosα-sinαcosα=33,即1-tanα=33,所以tanα=1-33,所以tanα+故選B.2.解:把tanα=2,tanβ=-13代入得tan(α+β)=tan=2+-1因為0<α<π2,π2<β<所以π2<α+β<3π2.所以α+β[例2]選A原式=1tan5π12+π4=1tan2π3=1tanπ[針對訓練]3.解:原式=tan45°-tan15°=33tan(45°-15°)=33tan30°=[例3]解析:(1)∵tan60°=3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°∴tan23°+tan37°=3-3tan23°tan37°.∴tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=3.(2)∵tan18°+tan42°+tan120°=tan60°(1-tan18°tan42°)+tan120°=-tan60°tan18°tan42°,∴原式=-1.答案:(1)3(2)-1[針對訓練]4.選A3tan87°tan33°-tan87°-tan33°=3tan87°tan33°-tan(87°+33°)(1-tan87°·tan33°)=3tan87°tan33°+3(1-tan87°·tan