高中數(shù)學必修一教學課件第一章集合與常用邏輯用語集合論是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)，它提供了一種系統(tǒng)的方式來描述和處理數(shù)學中的各種對象。本章將從集合的基本概念出發(fā)，逐步探討集合的表示方法、集合間的關(guān)系以及集合的基本運算，并將這些抽象概念與生活實例相結(jié)合，幫助同學們更直觀地理解。通過學習集合和邏輯用語，同學們將掌握：集合的定義及表示方法集合間的基本關(guān)系（包含、相等等）集合的運算（并集、交集、補集等）常用邏輯用語及其數(shù)學表達量詞的使用與理解這些知識將為后續(xù)函數(shù)、不等式等內(nèi)容的學習奠定堅實基礎(chǔ)。1.1集合的概念和常見數(shù)集集合的定義集合是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個集合的事物稱為該集合的元素。數(shù)學上用大寫字母表示集合，小寫字母表示元素。若元素a屬于集合A，記作a∈A；若元素a不屬于集合A，記作a?A。集合的特點：確定性、互異性、無序性。所有集合元素必須能明確判斷是否屬于該集合，每個元素只計算一次，元素的排列順序不影響集合本身。常見數(shù)集自然數(shù)集N：N={0,1,2,3,...}（注意：有些教材中自然數(shù)從1開始）整數(shù)集Z：Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}有理數(shù)集Q：可以表示為分數(shù)形式p/q（q≠0）的數(shù)的集合實數(shù)集R：包含有理數(shù)和無理數(shù)的集合，對應(yīng)數(shù)軸上的點關(guān)系：N?Z?Q?R，即自然數(shù)集是整數(shù)集的子集，整數(shù)集是有理數(shù)集的子集，有理數(shù)集是實數(shù)集的子集。1.2集合的表示方法列舉法將集合中的所有元素一一列舉出來，用大括號括起來，元素之間用逗號隔開。示例：A={1,2,3,4,5}表示由1,2,3,4,5組成的集合。適用情況：集合元素有限且數(shù)量較少時。注意事項：列舉法要求將集合中的每個元素都明確寫出來，元素之間用逗號分隔。元素不能重復出現(xiàn)，排列順序不影響集合本身。描述法用集合元素的共同特征來表示集合，格式為：{x|x具有某種特性}，讀作"x滿足x具有某種特性的所有x的集合"。示例：B={x|x＜4,x∈N}表示小于4的所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，即{0,1,2,3}。優(yōu)點：可以表示元素個數(shù)無限的集合，或者元素較多不便一一列舉的集合。在實際應(yīng)用中，描述法需要明確給出元素應(yīng)滿足的條件，條件應(yīng)足夠清晰以確定元素是否屬于該集合。維恩圖（Venn圖）用封閉曲線（通常是圓或橢圓）表示集合，曲線內(nèi)的點表示集合中的元素。用于直觀地表示集合之間的關(guān)系，特別適合表示集合的交集、并集、補集等運算。Venn圖在解決復雜集合問題時特別有用，可以將抽象的集合關(guān)系可視化，使問題更易理解和解決。在實際應(yīng)用中，我們常常需要靈活選擇最適合的表示方法。例如，當描述"班級中所有女生"這個集合時，如果班級人數(shù)少，可以用列舉法；如果人數(shù)多，則可以用描述法：{x|x是該班級的女生}。有時我們也需要在不同表示方法之間進行轉(zhuǎn)換。例如，將集合A={x|x是小于10的質(zhì)數(shù)}轉(zhuǎn)換為列舉法表示為A={2,3,5,7}。這種轉(zhuǎn)換能力對于理解和解決集合問題至關(guān)重要。2.1集合間的基本關(guān)系子集概念如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。例如：{1,3,5}?{1,2,3,4,5}，因為前者的每個元素都在后者中。特殊情況：任何集合都是自身的子集，即A?A；空集?是任何集合的子集。真子集如果A?B，且A≠B（即B中至少有一個元素不屬于A），則稱A是B的真子集，記作A?B。例如：{1,3}?{1,2,3,4,5}，因為前者的每個元素都在后者中，且后者含有不在前者中的元素2,4,5。注意：A?B意味著A?B，但反之不成立。相等集合如果A?B且B?A，則稱集合A與集合B相等，記作A=B。集合相等意味著兩個集合包含完全相同的元素。例如：{x|x2=4,x∈R}={-2,2}，因為滿足x2=4的實數(shù)只有-2和2。上圖使用Venn圖形象地展示了集合間的包含關(guān)系。當一個圓完全包含在另一個圓內(nèi)時，表示子集關(guān)系；當兩個圓完全重合時，表示相等集合。理解集合關(guān)系的關(guān)鍵在于：子集關(guān)系是單向的包含關(guān)系（A?B不意味著B?A）相等關(guān)系是雙向的包含關(guān)系（A=B當且僅當A?B且B?A）真子集關(guān)系比子集關(guān)系更嚴格（要求集合不相等）2.2集合關(guān)系典型例題1求集合的子集數(shù)量問題：已知集合A={a,b,c,d}，求A的所有子集個數(shù)及其真子集個數(shù)。解析：對于n個元素的集合，其子集個數(shù)為2^n個。因此，集合A有2^4=16個子集。真子集個數(shù)=子集個數(shù)-1=16-1=15個。這是因為除去集合A本身，其余子集都是A的真子集。2判斷集合包含關(guān)系問題：判斷集合A={x|x2-5x+6=0}與B={2,3}之間的關(guān)系。解析：解方程x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0得x=2或x=3所以A={2,3}因此A=B3集合元素判斷題問題：已知集合A={x|x是三位數(shù)，且x能被3整除}，B={x|x是三位數(shù)，且x能被9整除}，判斷A與B的關(guān)系。解析：根據(jù)數(shù)論知識，能被9整除的數(shù)必定能被3整除。所有三位數(shù)中能被9整除的數(shù)都能被3整除，但并非所有能被3整除的三位數(shù)都能被9整除。所以B?A，B是A的真子集。思考要點：1.集合元素個數(shù)規(guī)律：包含n個元素的有限集合，其子集個數(shù)為2^n個。這是因為對于集合中的每個元素，我們都有兩種選擇：要么包含它，要么不包含它。2.空集和全集特點：空集是任何集合的子集；全集是任何集合的超集?？占淖蛹挥锌占陨?。3.相等集合的判定：證明兩個集合相等的標準方法是證明它們互為子集，即A?B且B?A。另一種方法是證明它們含有完全相同的元素。3.1集合的基本運算并集集合A與集合B的并集，記作A∪B，表示由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合。數(shù)學表達：A∪B={x|x∈A或x∈B}例如：{1,2,3}∪{3,4,5}={1,2,3,4,5}交集集合A與集合B的交集，記作A∩B，表示由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合。數(shù)學表達：A∩B={x|x∈A且x∈B}例如：{1,2,3}∩{3,4,5}={3}差集集合A與集合B的差集，記作A-B，表示由所有屬于集合A但不屬于集合B的元素組成的集合。數(shù)學表達：A-B={x|x∈A且x?B}例如：{1,2,3,4}-{3,4,5}={1,2}集合運算基本律交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)冪等律：A∪A=A，A∩A=A同一律：A∪?=A，A∩U=A（U為全集）零律：A∪U=U，A∩?=?補集律：A∪A'=U，A∩A'=?（A'為A的補集）3.2并集與交集應(yīng)用例題1集合的基本運算問題：已知集合A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}，求A∪B與A∩B。解析：A∪B是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，因此：A∪B={1,2,3,5,7,9}A∩B是由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合，因此：A∩B={3,5,7}2集合運算與Venn圖應(yīng)用問題：某校高一年級有90名學生參加數(shù)學、物理競賽，其中參加數(shù)學競賽的有60人，參加物理競賽的有50人。求：(1)既參加數(shù)學又參加物理競賽的學生人數(shù)；(2)只參加數(shù)學競賽的學生人數(shù)；(3)只參加物理競賽的學生人數(shù)；解析：設(shè)參加數(shù)學競賽的學生集合為M，參加物理競賽的學生集合為P。已知|M|=60，|P|=50，|M∪P|=90(1)|M∩P|=|M|+|P|-|M∪P|=60+50-90=20（人）(2)只參加數(shù)學競賽的學生數(shù)=|M|-|M∩P|=60-20=40（人）(3)只參加物理競賽的學生數(shù)=|P|-|M∩P|=50-20=30（人）Venn圖輔助分析在解決集合問題時，Venn圖是一個非常有用的工具，特別是處理兩個或三個集合的關(guān)系時。繪制Venn圖時，我們通常用圓表示集合，圓的重疊部分表示交集。例如，在第二個例題中，我們可以繪制一個Venn圖，左圓表示數(shù)學競賽參與者，右圓表示物理競賽參與者。根據(jù)已知條件，我們可以標注出各區(qū)域的人數(shù)：交集區(qū)域20人，僅數(shù)學區(qū)域40人，僅物理區(qū)域30人。通過Venn圖，我們可以直觀地看到集合之間的關(guān)系，使復雜的問題變得簡單明了。關(guān)鍵公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B||A-B|=|A|-|A∩B||B-A|=|B|-|A∩B|這些公式在解決實際問題時非常有用，尤其是在計算各種集合的元素個數(shù)時。在三集合問題中，公式會更復雜一些：3.3補集與補集性質(zhì)補集的定義在給定的全集U中，集合A的補集是由所有屬于全集U但不屬于集合A的元素組成的集合，記作A'（或A^C,~A,?。?。數(shù)學表達：A'={x|x∈U且x?A}=U-A例如：如果全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，則A'={2,4,6}補集的基本性質(zhì)(A')'=A（補集的補集是原集合）?'=U（空集的補集是全集）U'=?（全集的補集是空集）A∪A'=U（集合與其補集的并集是全集）A∩A'=?（集合與其補集的交集是空集）德摩根律德摩根律是連接集合運算與補集運算的重要法則：(A∪B)'=A'∩B'（并集的補集等于各補集的交集）(A∩B)'=A'∪B'（交集的補集等于各補集的并集）這些法則可以推廣到多個集合的情況：(A?∪A?∪...∪A?)'=A?'∩A?'∩...∩A?'(A?∩A?∩...∩A?)'=A?'∪A?'∪...∪A?'德摩根律在集合論、邏輯學和電路設(shè)計中都有廣泛應(yīng)用。例題：驗證德摩根律問題：已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}。驗證德摩根律(A∪B)'=A'∩B'。解析：首先，計算A∪B={1,2,3,5,7,9}然后，計算(A∪B)'={4,6,8,10}接著，計算A'={2,4,6,8,10}，B'={1,4,6,8,9,10}最后，計算A'∩B'={4,6,8,10}因此，(A∪B)'=A'∩B'，德摩根律得到驗證。補集運算在實際問題中的應(yīng)用問題：某班50名學生中，喜歡數(shù)學的有30人，喜歡物理的有25人，既喜歡數(shù)學又喜歡物理的有15人。求既不喜歡數(shù)學也不喜歡物理的學生人數(shù)。解析：設(shè)喜歡數(shù)學的學生集合為M，喜歡物理的學生集合為P，全班學生集合為U。要求的是既不喜歡數(shù)學也不喜歡物理的學生人數(shù)，即(M∪P)'的元素個數(shù)。|M∪P|=|M|+|P|-|M∩P|=30+25-15=403.4集合運算綜合例題例題一：多集合運算綜合問題：已知全集U={1,2,3,...,10}，集合A={1,2,3,4,5}，B={4,5,6,7}，C={1,3,5,7,9}。求：(A∩B)∪(B∩C)'。解析：先計算A∩B={4,5}再計算B∩C={5,7}然后計算(B∩C)'={1,2,3,4,6,8,9,10}最后計算(A∩B)∪(B∩C)'={1,2,3,4,5,6,8,9,10}這類題目的關(guān)鍵是按照運算順序一步步計算，先計算括號內(nèi)的內(nèi)容，再進行后續(xù)運算。例題二：三集合問題問題：某調(diào)查顯示，在100名學生中，喜歡籃球的有45人，喜歡足球的有55人，喜歡排球的有42人，同時喜歡籃球和足球的有25人，同時喜歡籃球和排球的有18人，同時喜歡足球和排球的有23人，三種球都喜歡的有10人。求：(1)至少喜歡一種球的學生人數(shù)；(2)恰好喜歡兩種球的學生人數(shù)；解析：設(shè)喜歡籃球、足球、排球的學生集合分別為A、B、C。(1)至少喜歡一種球的學生人數(shù)為|A∪B∪C||A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|=45+55+42-25-18-23+10=86（人）(2)恰好喜歡兩種球的學生人數(shù)=(|A∩B|-|A∩B∩C|)+(|A∩C|-|A∩B∩C|)+(|B∩C|-|A∩B∩C|)=(25-10)+(18-10)+(23-10)=15+8+13=36（人）使用Venn圖解決三集合問題的步驟：繪制三個相交的圓，分別代表三個集合。圓的重疊部分形成七個區(qū)域，分別代表不同的集合組合。從已知的交集、并集等信息，逐步推導出各個區(qū)域的元素個數(shù)。根據(jù)問題要求，計算相應(yīng)區(qū)域的元素個數(shù)和。4.1充要條件與必要、充分條件條件命題的基本形式條件命題是具有"如果p，那么q"形式的復合命題，記作p→q，其中p稱為條件（前提），q稱為結(jié)論。例如："如果一個數(shù)能被4整除，那么它能被2整除。"這里，"能被4整除"是條件p，"能被2整除"是結(jié)論q。邏輯上，條件命題p→q的真假取決于p和q的真假：只有當p為真而q為假時，p→q為假；其他情況下，p→q都為真。必要條件與充分條件充分條件：如果p→q為真命題，則稱p是q的充分條件。意味著：若p成立，則q必定成立；但q成立時，p不一定成立。例如："x2=4"是"x=2或x=-2"的充分條件。必要條件：如果q→p為真命題，則稱p是q的必要條件。意味著：若q成立，則p必定成立；但p成立時，q不一定成立。例如："x為偶數(shù)"是"x能被4整除"的必要條件。充要條件如果p是q的充分條件，同時也是q的必要條件，則稱p是q的充要條件。表達為：p→q且q→p，或者寫成p?q（當且僅當）。意味著：p成立當且僅當q成立；p與q要么同時成立，要么同時不成立。例如："三角形的三個內(nèi)角和為180°"是"這個圖形是三角形"的充要條件。條件命題的否定與逆否命題對于條件命題p→q：逆命題：q→p（不一定與原命題具有相同的真假性）否命題：~p→~q（不一定與原命題具有相同的真假性）逆否命題：~q→~p（與原命題具有相同的真假性）例如，對于命題"如果一個數(shù)能被4整除，那么它能被2整除"：-逆命題："如果一個數(shù)能被2整除，那么它能被4整除"（假）-否命題："如果一個數(shù)不能被4整除，那么它不能被2整除"（假）-逆否命題："如果一個數(shù)不能被2整除，那么它不能被4整除"（真）理解充分條件和必要條件的關(guān)鍵在于掌握它們的方向性：p是q的充分條件：p→q（從p能推出q）p是q的必要條件：q→p（從q能推出p）p是q的充要條件：p?q（p和q等價）4.2條件關(guān)系典型題1判斷充分必要條件問題：判斷命題"a2+b2=0"是"a=0且b=0"的什么條件？解析：首先，判斷"a2+b2=0"是否為"a=0且b=0"的充分條件。若a2+b2=0，因為a2≥0且b2≥0，所以a2=0且b2=0，進而得到a=0且b=0。所以"a2+b2=0"是"a=0且b=0"的充分條件。其次，判斷"a2+b2=0"是否為"a=0且b=0"的必要條件。若a=0且b=0，則a2+b2=02+02=0。所以"a2+b2=0"是"a=0且b=0"的必要條件。綜上，"a2+b2=0"是"a=0且b=0"的充要條件。2辨析充分條件與必要條件問題：設(shè)命題p：x≥1，命題q：x2≥1。判斷p是q的什么條件？解析：（1）判斷p是否為q的充分條件，即判斷"若x≥1，則x2≥1"是否為真命題。若x≥1，則x2≥1×1=1，所以x2≥1成立。因此，p是q的充分條件。（2）判斷p是否為q的必要條件，即判斷"若x2≥1，則x≥1"是否為真命題。當x=-2時，x2=4≥1，但x=-2<1，所以x≥1不成立。因此，p不是q的必要條件。綜上，x≥1是x2≥1的充分條件，但不是必要條件。3條件命題的真假判斷問題：判斷以下命題的真假："若n2是奇數(shù)，則n是奇數(shù)"解析：該命題形式為"若p，則q"，其中p是"n2是奇數(shù)"，q是"n是奇數(shù)"。要證明該命題為真，可以：1.直接證明：若n2是奇數(shù)，則n2可表示為2k+1的形式。若n是偶數(shù)，則n=2m，n2=4m2，是偶數(shù)，矛盾。所以n必是奇數(shù)。2.逆否證明：若n不是奇數(shù)（即n是偶數(shù)），則n=2k，n2=4k2=2(2k2)，是偶數(shù)，所以n2不是奇數(shù)。這也證明了原命題為真。因此，該命題為真。在判斷條件關(guān)系時，需要注意以下幾點：充分條件是從條件推結(jié)論：p→q（若p成立，則q成立）必要條件是從結(jié)論推條件：q→p（若q成立，則p成立）充要條件是雙向推導：p?q（p成立當且僅當q成立）條件命題的真假判斷可以通過直接證明、反證法或逆否命題證明5.1全稱量詞與存在量詞量詞的概念量詞是用來表示命題中變量取值范圍的邏輯符號，在數(shù)學邏輯和集合論中有廣泛應(yīng)用。主要有兩種量詞：全稱量詞和存在量詞。全稱量詞全稱量詞用符號"?"表示，讀作"對任意的"或"對所有的"。例如，"?x∈R,x2≥0"表示"對任意實數(shù)x，都有x2≥0"。這是一個真命題。全稱量詞命題的否定是對應(yīng)的存在量詞命題，即"?x,P(x)"的否定是"?x,?P(x)"。例如，"?x∈R,x>0"的否定是"?x∈R,x≤0"。存在量詞存在量詞用符號"?"表示，讀作"存在"或"至少存在一個"。例如，"?x∈R,x2=2"表示"存在實數(shù)x，使得x2=2"。這是一個真命題，因為x=±√2時命題為真。存在量詞命題的否定是對應(yīng)的全稱量詞命題，即"?x,P(x)"的否定是"?x,?P(x)"。例如，"?x∈R,x2<0"的否定是"?x∈R,x2≥0"。唯一量詞唯一量詞用符號"?!"表示，讀作"存在唯一"或"有且僅有一個"。例如，"?!x∈R,x2=0"表示"存在唯一實數(shù)x，使得x2=0"。這是一個真命題，因為僅當x=0時，x2=0成立。全稱量詞的應(yīng)用全稱量詞適用于描述普適性規(guī)律或性質(zhì)，表示某個性質(zhì)對所有元素都成立。例如："?n∈N,n+1>n"（對任意自然數(shù)n，n+1都大于n）"?x∈R,|x|≥0"（對任意實數(shù)x，其絕對值都非負）"?A?U,A∪A'=U"（對全集U的任意子集A，A與其補集的并集等于全集）全稱量詞命題的證明通常需要考慮所有可能的情況，或者使用反證法。存在量詞的應(yīng)用存在量詞適用于描述特例或可能性，表示至少存在一個元素滿足某性質(zhì)。例如："?x∈Z,x2=4"（存在整數(shù)x，使得x2=4）"?n∈N,n2>100"（存在自然數(shù)n，使得n2>100）"?A?R,A=A'"（存在實數(shù)集的子集A，使得A等于其補集）5.2量詞應(yīng)用題1用量詞表達數(shù)學命題問題：用量詞符號表達以下命題：(1)存在一個整數(shù)的平方等于16；(2)對任意的實數(shù)x，都有|x|≥0；(3)存在唯一的實數(shù)x，使得x2+1=0。解析：(1)?x∈Z,x2=16(2)?x∈R,|x|≥0(3)?!x∈R,x2+1=0注意：第(3)題的表達不正確，因為方程x2+1=0在實數(shù)域內(nèi)沒有解。正確表達應(yīng)該是"不存在實數(shù)x，使得x2+1=0"，即?x∈R,x2+1≠0。2判斷含量詞命題的真假問題：判斷下列命題的真假：(1)?x∈R,?y∈R,使得x+y=0；(2)?y∈R,?x∈R,使得x+y=0；(3)?x>0,x2>x。解析：(1)真。對任意實數(shù)x，都可以取y=-x，使得x+y=0成立。(2)假。不存在一個固定的實數(shù)y，使得對任意的x都有x+y=0。因為若有這樣的y，當x=0時，y=0；當x=1時，y=-1，矛盾。(3)分類討論：當01時，x2>x。因此該命題為假。正確的命題應(yīng)為"?x>1,x2>x"。3量詞命題的否定問題：寫出下列命題的否定：(1)?x∈R,x2≥0；(2)?x∈Z,x2=2；(3)?ε>0,?δ>0,使得當|x-a|<δ時，有|f(x)-L|<ε。解析：(1)?x∈R,x2<0(2)?x∈Z,x2≠2(3)?ε>0,?δ>0,使得存在x滿足|x-a|<δ，但|f(x)-L|≥ε第(3)題是函數(shù)極限的ε-δ定義，其否定表達了函數(shù)在點a處的極限不為L。量詞順序的重要性在包含多個量詞的命題中，量詞的順序至關(guān)重要，不同的順序可能導致完全不同的含義。例如，比較：-"?x∈R,?y∈R,x+y=0"（對每個x都存在對應(yīng)的y使等式成立）-"?y∈R,?x∈R,x+y=0"（存在一個y使對所有x等式都成立）前者為真，后者為假。這說明量詞順序的變化會影響命題的真假。否定量詞命題的規(guī)則否定包含量詞的命題時，需要：將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞否定量詞后的條件表達式保持量詞出現(xiàn)的順序不變第一章知識點小結(jié)與易錯點1集合的基本概念集合是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體元素與集合的關(guān)系：屬于(∈)與不屬于(?)集合的三個特性：確定性、互異性、無序性常見數(shù)集：自然數(shù)集N，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R子集(?)、真子集(?)、相等集合(=)易錯點：區(qū)分子集與真子集；理解空集是任何集合的子集；注意任何集合都是自身的子集。2集合的運算并集(∪)：A∪B={x|x∈A或x∈B}交集(∩)：A∩B={x|x∈A且x∈B}差集(-)：A-B={x|x∈A且x?B}補集(')：A'={x|x∈U且x?A}運算律：交換律、結(jié)合律、分配律德摩根律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'易錯點：混淆并集與交集；忽視補集運算需要明確全集；在復雜運算中忽略運算順序。3邏輯用語充分條件與必要條件：p是q的充分條件(p→q)，p是q的必要條件(q→p)充要條件：p是q的充分必要條件(p?q)全稱量詞(?)與存在量詞(?)量詞命題的否定轉(zhuǎn)換規(guī)則易錯點：混淆充分條件與必要條件；忽視量詞順序的重要性；量詞命題否定時的錯誤轉(zhuǎn)換。重點公式總結(jié)集合關(guān)系：A=B?A?B且B?A元素個數(shù)：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|三集合公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|子集個數(shù)：含n個元素的集合共有2^n個子集補集關(guān)系：A∪A'=U，A∩A'=?，(A')'=A德摩根律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'典型錯誤與糾正錯誤：認為{a}∈{a,b,c}糾正：{a}?{a,b,c}，a∈{a,b,c}，元素與子集的區(qū)別錯誤：認為A∩B=?意味著A∪B=A-B糾正：若A∩B=?，則A∪B=A+B，A-B=A第二章函數(shù)的概念與表示函數(shù)概念的重要性函數(shù)是數(shù)學中最重要的概念之一，它描述了變量之間的依賴關(guān)系。函數(shù)思想不僅是高中數(shù)學的核心，也是高等數(shù)學的基礎(chǔ)。通過學習函數(shù)，我們能夠：建立變量之間的對應(yīng)關(guān)系用數(shù)學模型描述現(xiàn)實世界的變化規(guī)律預(yù)測和分析各種變化過程為后續(xù)學習微積分奠定基礎(chǔ)本章將系統(tǒng)介紹函數(shù)的基本概念、表示方法以及基本性質(zhì)，幫助同學們建立完整的函數(shù)認知體系。函數(shù)可以通過三種常用方法表示：解析法：用數(shù)學表達式表示函數(shù)關(guān)系，如y=2x+1圖象法：用坐標平面上的曲線直觀展示函數(shù)關(guān)系列表法：通過表格列出自變量和因變量的對應(yīng)值不同的表示方法各有優(yōu)勢，在實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體情況選擇最合適的表示方法。本章學習目標理解函數(shù)的定義及其三要素（定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域）掌握函數(shù)的不同表示方法及其應(yīng)用場景學會分析函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、最值）掌握基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的性質(zhì)能夠運用函數(shù)知識解決實際問題函數(shù)與集合的關(guān)系函數(shù)實際上是集合論中的一種特殊映射關(guān)系。如果我們將自變量的取值范圍看作一個集合X，將因變量的取值范圍看作另一個集合Y，那么函數(shù)f就是從集合X到集合Y的一種特殊映射，它滿足：對于X中的每個元素x，都有唯一的元素y∈Y與之對應(yīng)，記作y=f(x)。6.1變量關(guān)系與函數(shù)整體認識變量間的關(guān)系在自然和社會現(xiàn)象中，我們經(jīng)常觀察到各種量之間的依賴關(guān)系：氣溫與海拔高度的關(guān)系物體運動的位移與時間的關(guān)系商品價格與銷售量的關(guān)系圓的面積與半徑的關(guān)系這些關(guān)系中，一個量的變化會導致另一個量相應(yīng)變化，這就是變量間的依賴關(guān)系。函數(shù)的本質(zhì)函數(shù)本質(zhì)上是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，它具有以下特點：確定性：自變量取某值時，函數(shù)值唯一確定對應(yīng)性：每個自變量都有與之對應(yīng)的函數(shù)值范圍性：自變量和函數(shù)值都有其取值范圍函數(shù)可以看作是將輸入值轉(zhuǎn)換為輸出值的"規(guī)則"或"機器"。函數(shù)在現(xiàn)實中的應(yīng)用函數(shù)思想廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域：物理學：描述物體運動、能量轉(zhuǎn)換等物理過程經(jīng)濟學：建立供需關(guān)系、成本收益分析模型生物學：描述種群增長、生物節(jié)律等變化規(guī)律工程技術(shù)：分析電路特性、結(jié)構(gòu)受力等工程問題函數(shù)是連接數(shù)學與現(xiàn)實世界的重要橋梁。初中函數(shù)知識回顧在初中數(shù)學中，我們已經(jīng)接觸了一些基本函數(shù)：一次函數(shù)：y=kx+b，圖象是直線二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0)，圖象是拋物線反比例函數(shù)：y=k/x(k≠0)，圖象是雙曲線這些函數(shù)是高中函數(shù)學習的基礎(chǔ)。在高中，我們將深入研究這些函數(shù)的性質(zhì)，并學習更多類型的函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。生活中的函數(shù)例子：1.打車費用計算：費用f與行駛距離x的關(guān)系可表示為f(x)=a+bx（其中a是起步價，b是每公里單價）2.水箱水位變化：水箱中的水位h與時間t的關(guān)系可表示為h(t)=h?+vt（其中h?是初始水位，v是水位上升/下降速率）6.2函數(shù)定義、定義域和值域函數(shù)的定義設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使得對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。函數(shù)的三要素：定義域：自變量x的取值范圍，即集合A對應(yīng)關(guān)系：變量間的對應(yīng)規(guī)則，即f值域：函數(shù)值y的取值范圍，即f(A)?B定義域函數(shù)的定義域是指自變量x所有可能取值的集合。確定函數(shù)定義域的方法：若函數(shù)表達式中含有分母，則分母不能為0若函數(shù)表達式中含有偶次根式，則根號下表達式不能為負若函數(shù)表達式中含有對數(shù)，則對數(shù)的真數(shù)必須為正數(shù)特殊函數(shù)（如三角函數(shù)）可能有特定的定義域限制例如：函數(shù)f(x)=√(1-x2)的定義域為[-1,1]，因為要滿足1-x2≥0。值域函數(shù)的值域是指當自變量x取遍定義域中所有值時，函數(shù)值y=f(x)的所有可能取值構(gòu)成的集合。確定值域的常用方法：直接法：根據(jù)函數(shù)表達式的特點直接判斷數(shù)形結(jié)合法：借助函數(shù)圖象分析定義法：找出定義域中的x，使f(x)取遍值域中的所有值單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定最值，進而確定值域例如：函數(shù)f(x)=x2的定義域為R，值域為[0,+∞)。函數(shù)與映射的關(guān)系函數(shù)是映射的一種特殊情況，它是從實數(shù)集（或其子集）到實數(shù)集（或其子集）的映射。映射的概念更廣泛，它可以在任意集合之間建立對應(yīng)關(guān)系。從映射的角度，函數(shù)可以分為以下幾類：單射函數(shù)：不同的自變量值對應(yīng)不同的函數(shù)值（一對一）滿射函數(shù)：值域等于函數(shù)給出的集合B雙射函數(shù)：既是單射又是滿射，此時存在反函數(shù)例如，f(x)=x3是一個雙射函數(shù)，它既是單射（不同x對應(yīng)不同y），又是滿射（值域為R）。函數(shù)相等的條件兩個函數(shù)相等，需要滿足三個條件：定義域相同對應(yīng)法則相同值域相同例如，函數(shù)f(x)=x2(x∈R)與g(x)=x2(x≥0)不相等，盡管它們的對應(yīng)法則相同，但定義域不同。函數(shù)定義中"一一對應(yīng)"與"多對一"：7.1函數(shù)的表示法1解析法用數(shù)學表達式或公式直接表示變量間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點：精確、簡潔，便于進行理論分析和推導局限性：對復雜關(guān)系不直觀，理解需要一定的數(shù)學基礎(chǔ)常見形式：顯函數(shù)：y=f(x)，如y=2x+3隱函數(shù)：F(x,y)=0，如x2+y2=1參數(shù)方程：x=φ(t),y=ψ(t)，如x=cost,y=sint適用場景：理論分析、函數(shù)性質(zhì)研究、導數(shù)計算等2圖象法在直角坐標系中用曲線表示函數(shù)關(guān)系，橫坐標表示自變量，縱坐標表示函數(shù)值。優(yōu)點：直觀、形象，便于觀察函數(shù)整體性質(zhì)和變化趨勢局限性：不夠精確，無法獲取具體數(shù)值常見圖象：直線：一次函數(shù)y=kx+b拋物線：二次函數(shù)y=ax2+bx+c雙曲線：反比例函數(shù)y=k/x適用場景：函數(shù)性質(zhì)直觀分析、趨勢觀察、零點近似求解等3列表法通過表格列出自變量和對應(yīng)函數(shù)值的方式表示函數(shù)。優(yōu)點：具體、清晰，適合離散數(shù)據(jù)或有限數(shù)據(jù)點局限性：無法表示連續(xù)變化，難以觀察整體規(guī)律常見形式：xx?x?x?...x?yf(x?)f(x?)f(x?)...f(x?)適用場景：實驗數(shù)據(jù)記錄、離散函數(shù)表示、數(shù)值計算等三種表示法的相互轉(zhuǎn)換在實際應(yīng)用中，常需要在不同表示法之間進行轉(zhuǎn)換：解析法→圖象法：通過描點或利用函數(shù)性質(zhì)繪制圖象解析法→列表法：代入特定自變量值計算函數(shù)值圖象法→解析法：通過曲線特征推導數(shù)學表達式圖象法→列表法：從圖象上讀取特定點的坐標列表法→解析法：通過數(shù)據(jù)擬合尋找數(shù)學模型列表法→圖象法：將數(shù)據(jù)點繪制在坐標系中并連線不同表示法各有優(yōu)勢，應(yīng)根據(jù)問題特點選擇合適的表示方法。從函數(shù)發(fā)展史來看，函數(shù)概念經(jīng)歷了從具體到抽象的過程：早期：函數(shù)被視為與具體物理問題相關(guān)的數(shù)量關(guān)系歐拉時期：函數(shù)被定義為解析表達式狄利克雷：將函數(shù)定義為變量間的對應(yīng)關(guān)系現(xiàn)代：函數(shù)被定義為集合間的特殊映射7.2分段函數(shù)舉例分段函數(shù)的定義分段函數(shù)是指在定義域的不同部分，函數(shù)的解析表達式不同的函數(shù)。分段函數(shù)通常表示為：f(x)={f?(x),x∈D?f?(x),x∈D?...f?(x),x∈D?}其中D?,D?,...,D?是定義域D的一個劃分，即D=D?∪D?∪...∪D?，且Di∩Dj=?(i≠j)。分段函數(shù)在各分段交界處的連續(xù)性需要特別關(guān)注，這是分段函數(shù)研究的重點。絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)是最基本的分段函數(shù)之一，定義為：f(x)=|x|={x,x≥0-x,x<0}函數(shù)圖象：以原點為頂點的"V"形圖象基本性質(zhì)：定義域：R值域：[0,+∞)奇偶性：是偶函數(shù)，|x|=|-x|單調(diào)性：在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增最小值：在x=0處取得最小值0符號函數(shù)符號函數(shù)是另一個常見的分段函數(shù)，定義為：sgn(x)={1,x>00,x=0-1,x<0}函數(shù)圖象：由三條水平線段組成基本性質(zhì)：定義域：R值域：{-1,0,1}奇偶性：是奇函數(shù)，sgn(-x)=-sgn(x)單調(diào)性：在(-∞,0)和(0,+∞)上都不增不減在x=0處不連續(xù)分段函數(shù)的應(yīng)用例題例題：已知函數(shù)f(x)={ax+b,x<1cx2+d,x≥1}，若f(x)在x=1處連續(xù)，且f'(1)=2，求a,b,c,d的值。解析：1.函數(shù)在x=1處連續(xù)，即左右極限相等：lim(x→1?)f(x)=lim(x→1?)f(x)a·1+b=c·12+da+b=c+d...(1)2.計算f'(x)：f'(x)={a,x<12cx,x>1}3.已知f'(1)=2，則：左導數(shù)：lim(x→1?)f'(x)=a右導數(shù)：lim(x→1?)f'(x)=2c·1=2c由于f'(1)=2，可得：a=2...(2)2c=2，即c=1...(3)4.將(2)(3)代入(1)：2+b=1+db=d-1...(4)5.為確定唯一解，還需附加條件。假設(shè)b=0，則d=1。因此，a=2,b=0,c=1,d=1。其他常見分段函數(shù)取整函數(shù)：f(x)=[x]，表示不超過x的最大整數(shù)定義域：R值域：Z在每個整數(shù)點處不連續(xù)圖象是一系列階梯狀的水平線段取小數(shù)部分函數(shù)：f(x)=x-[x]，表示x的小數(shù)部分定義域：R值域：[0,1)周期為1圖象是一系列傾斜線段8.1函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D。單調(diào)遞增：若對于區(qū)間I上的任意兩點x?,x?，當x?單調(diào)遞減：若對于區(qū)間I上的任意兩點x?,x?，當x?f(x?)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減。單調(diào)函數(shù)：在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)。嚴格單調(diào)性保證了函數(shù)在區(qū)間上是一一對應(yīng)的，即單射函數(shù)。單調(diào)區(qū)間的確定常用的判斷方法：定義法：直接應(yīng)用定義，對任意x?導數(shù)法：若f'(x)>0，則f(x)在該點附近單調(diào)遞增；若f'(x)<0，則f(x)在該點附近單調(diào)遞減。圖象法：從函數(shù)圖象觀察，從左到右上升的部分是單調(diào)遞增區(qū)間，從左到右下降的部分是單調(diào)遞減區(qū)間。基本函數(shù)的單調(diào)性常數(shù)函數(shù)f(x)=C：在R上既不增也不減一次函數(shù)f(x)=kx+b：當k>0時，在R上單調(diào)遞增當k<0時，在R上單調(diào)遞減當k=0時，為常數(shù)函數(shù)，在R上既不增也不減二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)：當a>0時，在(-∞,-b/(2a))上單調(diào)遞減，在(-b/(2a),+∞)上單調(diào)遞增當a<0時，在(-∞,-b/(2a))上單調(diào)遞增，在(-b/(2a),+∞)上單調(diào)遞減反比例函數(shù)f(x)=k/x(k≠0)：當k>0時，在(-∞,0)和(0,+∞)上均單調(diào)遞減當k<0時，在(-∞,0)和(0,+∞)上均單調(diào)遞增單調(diào)性的性質(zhì)與應(yīng)用保序性：若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則對于I上的任意x?f(x?)。單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)：嚴格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且原函數(shù)與其反函數(shù)的單調(diào)性相同。復合函數(shù)的單調(diào)性：若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，g(x)在包含f(I)的區(qū)間上單調(diào)遞增，則復合函數(shù)g(f(x))在I上單調(diào)遞增。其他情況類似。方程求解：利用單調(diào)函數(shù)的保序性可以簡化方程求解過程。8.2單調(diào)性例題1證明函數(shù)單調(diào)性問題：證明函數(shù)f(x)=3x3-6x2+2在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增。解析：方法一：導數(shù)法計算f'(x)=9x2-12xf'(x)=3x(3x-4)在區(qū)間[0,4/3]上：當x=0時，f'(0)=0當0在區(qū)間[4/3,+∞)上：當x>4/3時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間[0,4/3]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[4/3,+∞)上單調(diào)遞增。修正：題目要求證明在[0,+∞)上單調(diào)遞增，這個結(jié)論是錯誤的。2確定單調(diào)區(qū)間問題：求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。解析：1.求導數(shù)：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)2.求f'(x)=0的解：x=0或x=23.分析f'(x)的符號：-當x<0時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減-當0-當x>2時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增4.結(jié)論：函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增。3利用單調(diào)性解題問題：已知函數(shù)f(x)=x-ln(1+x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求方程f(x)=1的近似解。解析：1.確定函數(shù)定義域：因為1+x>0，所以x>-12.驗證單調(diào)性：f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0(當x>-1時)3.解方程f(x)=1：x-ln(1+x)=1x-1=ln(1+x)這個方程難以直接求解，可以通過數(shù)值方法或圖象法求近似解。4.嘗試代入一些值：當x=1時，f(1)=1-ln2≈0.307<1當x=2時，f(2)=2-ln3≈0.902<1當x=3時，f(3)=3-ln4≈1.613>15.由函數(shù)的單調(diào)性，方程f(x)=1的解在(2,3)之間，近似值約為2.5。單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)學中有廣泛的應(yīng)用：方程唯一解的判定：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)，且方程f(x)=0在I上有解，則該解唯一。不等式證明：利用函數(shù)單調(diào)性可以將不等式轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小比較。最值問題：單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值必定在區(qū)間端點處取得。數(shù)值近似：利用單調(diào)性可以設(shè)計高效的近似算法，如二分法求方程近似解。導數(shù)思想與單調(diào)性盡管高中階段未系統(tǒng)學習導數(shù)，但導數(shù)思想已經(jīng)在單調(diào)性分析中有所體現(xiàn)：1.函數(shù)的增減性與其導數(shù)的正負有直接關(guān)系2.函數(shù)圖象的切線斜率反映了函數(shù)在該點的變化率3.導數(shù)等于零的點可能是函數(shù)的極值點或拐點9.1函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)f(x)在點x?的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于這個鄰域內(nèi)的任意點x都有f(x)≤f(x?)，那么稱f(x?)是函數(shù)的極大值；如果對于這個鄰域內(nèi)的任意點x都有f(x)≥f(x?)，那么稱f(x?)是函數(shù)的極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。函數(shù)在區(qū)間上的最大值是指函數(shù)在該區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大者；最小值是指函數(shù)在該區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小者。注意：極值是局部概念，最大值和最小值是全局概念。極大值不一定是最大值，極小值不一定是最小值。求最值的常用方法閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值：求出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有駐點（導數(shù)為零的點）和不可導點計算函數(shù)在這些特殊點和區(qū)間端點的函數(shù)值比較所有這些函數(shù)值，最大的即為最大值，最小的即為最小值利用單調(diào)性求最值：如果函數(shù)在整個區(qū)間上單調(diào)，則：單調(diào)遞增函數(shù)的最小值在左端點取得，最大值在右端點取得單調(diào)遞減函數(shù)的最大值在左端點取得，最小值在右端點取得值域的確定函數(shù)的值域就是函數(shù)在其定義域上所有函數(shù)值構(gòu)成的集合。對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，其值域是一個閉區(qū)間[m,M]，其中m和M分別是函數(shù)的最小值和最大值。確定函數(shù)值域的常用方法：定義法：直接根據(jù)函數(shù)表達式分析可能的函數(shù)值范圍單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定最值，進而確定值域數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)圖象分析函數(shù)值的變化范圍分類討論法：對不同的自變量取值區(qū)間分別討論函數(shù)值范圍例題：求值域問題：求函數(shù)f(x)=2x2-4x+3的值域。解析：1.首先明確函數(shù)定義域為R2.求導數(shù)：f'(x)=4x-4=4(x-1)3.令f'(x)=0，得x=14.判斷極值：當x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減當x>1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增所以x=1是函數(shù)的極小值點5.計算極小值：f(1)=2-4+3=16.當x→±∞時，由于首項系數(shù)為正，f(x)→+∞7.綜上，函數(shù)的值域為[1,+∞)多種函數(shù)的最值特點二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)：拋物線頂點的橫坐標為x=-b/(2a)當a>0時，函數(shù)有最小值f(-b/(2a))=c-b2/(4a)當a<0時，函數(shù)有最大值f(-b/(2a))=c-b2/(4a)絕對值函數(shù)f(x)=|x|：在x=0處取得最小值0沒有最大值正弦函數(shù)f(x)=sinx：最大值為1，在x=π/2+2nπ(n∈Z)處取得最小值為-1，在x=3π/2+2nπ(n∈Z)處取得9.2極值問題典型例1閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題：求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。解析：1.求導數(shù)：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)2.令f'(x)=0，得x=0或x=23.分析單調(diào)性：在[-1,0]上，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減在[0,2]上，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減在[2,3]上，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增4.計算特殊點和端點的函數(shù)值：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2f(0)=0-0+2=2f(2)=8-12+2=-2f(3)=27-27+2=25.比較得到最大值為2，在x=0和x=3處取得；最小值為-2，在x=-1和x=2處取得。2求函數(shù)的值域問題：求函數(shù)f(x)=(x2-1)/(x2+1)的值域。解析：1.函數(shù)定義域為R（注意x2+1≠0對任意實數(shù)x均成立）2.變形函數(shù)表達式：f(x)=(x2-1)/(x2+1)=(x2+1-2)/(x2+1)=1-2/(x2+1)3.分析變形后的表達式：因為x2+1>0對任意實數(shù)x成立，所以2/(x2+1)>0當|x|→+∞時，2/(x2+1)→0，f(x)→1當x=0時，f(0)=-14.求導數(shù)分析單調(diào)性：f'(x)=4x/((x2+1)2)當x>0時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增當x<0時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減所以x=0是函數(shù)的極小值點，極小值為f(0)=-15.綜上，函數(shù)的值域為[-1,1)3實際應(yīng)用問題問題：一個開口向上的拋物線通過點(0,4)和(4,0)，求這條拋物線的最低點坐標。解析：1.設(shè)拋物線方程為y=ax2+bx+c(a>0)2.利用已知條件：點(0,4)：4=a·02+b·0+c，得c=4點(4,0)：0=a·42+b·4+c=16a+4b+416a+4b=-44a+b=-1...(1)3.拋物線的最低點在頂點，橫坐標為x=-b/(2a)4.從式(1)得：b=-1-4a5.代入頂點橫坐標公式：x=-b/(2a)=-(-1-4a)/(2a)=(1+4a)/(2a)6.還需確定a的值。由于題目給出的條件不足，可以假設(shè)a=1則b=-1-4=-5最低點橫坐標x=(1+4)/(2·1)=2.5最低點縱坐標y=a·x2+b·x+c=1·(2.5)2+(-5)·2.5+4=6.25-12.5+4=-2.25最低點坐標為(2.5,-2.25)求解極值問題的關(guān)鍵步驟：確定定義域：明確函數(shù)的定義范圍，特別是閉區(qū)間邊界求導數(shù)：計算函數(shù)的導數(shù)，為尋找駐點做準備找駐點：解方程f'(x)=0，找出所有可能的極值點分析單調(diào)性：根據(jù)導數(shù)的符號，確定函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性計算函數(shù)值：計算函數(shù)在端點和內(nèi)部駐點處的函數(shù)值10.1函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義奇函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。例如：f(x)=x3,g(x)=sinx偶函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。例如：f(x)=x2,g(x)=cosx非奇非偶函數(shù)：既不滿足奇函數(shù)條件，也不滿足偶函數(shù)條件的函數(shù)。例如：f(x)=x2+x奇偶性的判斷方法定義法：將f(-x)計算出來，與f(x)或-f(x)比較圖象法：觀察函數(shù)圖象是否關(guān)于原點或y軸對稱表達式分析法：分析函數(shù)表達式中各項的奇偶性判斷函數(shù)奇偶性的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，即如果x在定義域內(nèi)，則-x也在定義域內(nèi)。如果定義域不滿足這一條件，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。奇偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)性質(zhì)：圖象關(guān)于原點對稱若定義域包含原點，則f(0)=0在定義域?qū)ΨQ的區(qū)間上，函數(shù)圖象的形狀相同，但方向相反奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)（如果導數(shù)存在）奇函數(shù)的定積分在對稱區(qū)間[-a,a]上等于0（如果積分存在）偶函數(shù)性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對稱在定義域?qū)ΨQ的區(qū)間上，函數(shù)圖象完全相同偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)（如果導數(shù)存在）偶函數(shù)的定積分在對稱區(qū)間[-a,a]上等于2倍的[0,a]上的積分（如果積分存在）函數(shù)奇偶性的運算和與差：兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的和通常是非奇非偶函數(shù)積與商：兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)兩個奇函數(shù)的商是偶函數(shù)兩個偶函數(shù)的商是偶函數(shù)奇函數(shù)除以偶函數(shù)是奇函數(shù)，偶函數(shù)除以奇函數(shù)是非奇非偶函數(shù)復合函數(shù)：奇函數(shù)與奇函數(shù)復合得到奇函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)復合得到偶函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)復合得到偶函數(shù)偶函數(shù)與奇函數(shù)復合得到偶函數(shù)10.2奇偶性例題1基本函數(shù)奇偶性判斷問題：判斷以下函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=x2-3(2)g(x)=x3-x(3)h(x)=x2+x解析：(1)計算f(-x)=(-x)2-3=x2-3=f(x)因為f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)。(2)計算g(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-g(x)因為g(-x)=-g(x)，所以g(x)是奇函數(shù)。(3)計算h(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x而h(x)=x2+x，所以h(-x)≠h(x)且h(-x)≠-h(x)因此h(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。2復合函數(shù)奇偶性問題：已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，判斷以下函數(shù)的奇偶性：(1)F(x)=f(x)·g(x)(2)G(x)=f(g(x))(3)H(x)=g(f(x))解析：(1)F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x)因此F(x)是奇函數(shù)。(2)G(-x)=f(g(-x))=f(g(x))由于f是奇函數(shù)，所以G(-x)=f(g(x))=G(x)這里出現(xiàn)錯誤，正確分析應(yīng)為：G(-x)=f(g(-x))=f(g(x))，由于f是奇函數(shù)，所以f(g(x))=-f(-g(x))，但無法進一步簡化。所以需要具體情況具體分析。實際上，當f是奇函數(shù)，g是偶函數(shù)時，f(g(x))是奇函數(shù)。(3)H(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))由于g是偶函數(shù)，所以H(-x)=g(-f(x))=g(f(x))=H(x)因此H(x)是偶函數(shù)。3奇偶性的應(yīng)用問題：已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)=3，求f(-2)和f(|x|)的奇偶性。解析：(1)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)代入x=2，得f(-2)=-f(2)=-3(2)判斷F(x)=f(|x|)的奇偶性：計算F(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=F(x)因為F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函數(shù)。這是因為|x|是偶函數(shù)，而奇函數(shù)與偶函數(shù)復合得到的是偶函數(shù)。易錯點分析在判斷函數(shù)奇偶性時，常見的錯誤有：忽略定義域?qū)ΨQ性：判斷函數(shù)奇偶性的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。例如，函數(shù)f(x)=√x的定義域是[0,+∞)，不滿足對稱條件，因此既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)?；煜媾純绱危喝菀渍`認為含有奇次冪的函數(shù)就是奇函數(shù)，含有偶次冪的函數(shù)就是偶函數(shù)。實際上，函數(shù)的奇偶性需要通過定義判斷。復合函數(shù)判斷錯誤：在判斷復合函數(shù)奇偶性時，需要按照從內(nèi)到外的順序分析，不能簡單套用公式。常見函數(shù)的奇偶性基本初等函數(shù)：冪函數(shù)y=x^n：當n為奇數(shù)時是奇函數(shù)，當n為偶數(shù)時是偶函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx：奇函數(shù)余弦函數(shù)y=cosx：偶函數(shù)正切函數(shù)y=tanx：奇函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=e^x：既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=lnx：既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)11.1基本冪函數(shù)與其性質(zhì)冪函數(shù)的定義冪函數(shù)是形如f(x)=x^n的函數(shù)，其中n為常數(shù)，x為自變量。根據(jù)n的不同取值，冪函數(shù)可以有不同的定義域和性質(zhì)。當n為正整數(shù)時，定義域為R；當n為負整數(shù)時，定義域為R\{0}；當n為分數(shù)p/q（最簡形式）時：若q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，則定義域為[0,+∞)；若q為偶數(shù)，p為偶數(shù)，則定義域為[0,+∞)；若q為奇數(shù)，則定義域為R（當p為負數(shù)時）或R\{0}（當p為負數(shù)且|p|≥q時）?；緝绾瘮?shù)圖象n>0時：當n>1時，函數(shù)圖象經(jīng)過點(0,0)和(1,1)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增且增長越來越快當n=1時，函數(shù)圖象是一條過原點的直線，即y=x當0<n<1時，函數(shù)圖象經(jīng)過點(0,0)和(1,1)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增但增長越來越慢n<0時：函數(shù)圖象不經(jīng)過原點，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減當x接近0時，|f(x)|趨于+∞當|x|趨于+∞時，f(x)趨于0冪函數(shù)的性質(zhì)奇偶性：當n為奇數(shù)時，f(x)=x^n是奇函數(shù)當n為偶數(shù)時，f(x)=x^n是偶函數(shù)單調(diào)性：當n>0時，f(x)=x^n在(0,+∞)上單調(diào)遞增當n<0時，f(x)=x^n在(0,+∞)上單調(diào)遞減有界性：當n>0時，f(x)=x^n在[0,1]上有上界1當n<0時，f(x)=x^n在[1,+∞)上有上界1特殊冪函數(shù)的性質(zhì)平方函數(shù)f(x)=x2：定義域：R值域：[0,+∞)奇偶性：偶函數(shù)單調(diào)性：在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增特殊點：(0,0)是函數(shù)圖象的對稱中心立方函數(shù)f(x)=x3：定義域：R值域：R奇偶性：奇函數(shù)單調(diào)性：在R上單調(diào)遞增特殊點：(0,0)是函數(shù)圖象的對稱中心反比例函數(shù)f(x)=1/x：定義域：R\{0}值域：R\{0}奇偶性：奇函數(shù)單調(diào)性：在(-∞,0)和(0,+∞)上均單調(diào)遞減特殊點：函數(shù)圖象是雙曲線，x軸和y軸是其漸近線冪函數(shù)的重要性質(zhì)：導數(shù)性質(zhì)：f'(x)=n·x^(n-1)積分性質(zhì)：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C(n≠-1)極限性質(zhì)：當n>0時，lim(x→0?)x^n=0當n<0時，lim(x→0?)x^n=+∞當n>0時，lim(x→+∞)x^n=+∞當n<0時，lim(x→+∞)x^n=011.2冪函數(shù)實際應(yīng)用題1物理學中的應(yīng)用問題：自由落體運動中，物體下落的距離s與時間t的關(guān)系可以表示為s=?gt2，其中g(shù)≈9.8m/s2是重力加速度。若一個物體從高處自由落下，請分析：(1)這是什么類型的函數(shù)關(guān)系？(2)物體下落5秒后，下落的總距離是多少？(3)如果物體下落了100米，大約需要多少時間？解析：(1)s=?gt2是關(guān)于t的二次函數(shù)，屬于冪函數(shù)的特例，冪指數(shù)n=2。(2)當t=5s時，s=?×9.8×52=4.9×25=122.5(m)(3)已知s=100m，求t：100=?×9.8×t2t2=100/(4.9)≈20.4t≈4.52(s)這個例子顯示了二次函數(shù)在物理學中的應(yīng)用，描述了自由落體運動中位移與時間的關(guān)系。2經(jīng)濟學中的應(yīng)用問題：某企業(yè)的成本函數(shù)C(x)和收入函數(shù)R(x)分別為：C(x)=0.01x2+5x+200R(x)=15x-0.02x2其中x表示產(chǎn)量。求：(1)利潤函數(shù)P(x)的表達式(2)使利潤最大的產(chǎn)量x和最大利潤解析：(1)利潤函數(shù)P(x)=R(x)-C(x)=(15x-0.02x2)-(0.01x2+5x+200)=15x-0.02x2-0.01x2-5x-200=10x-0.03x2-200(2)求導數(shù)P'(x)=10-0.06x令P'(x)=0，得x=10/0.06≈166.67檢驗P''(x)=-0.06<0，所以x≈166.67時，利潤取最大值最大利潤P(166.67)=10×166.67-0.03×(166.67)2-200≈1666.7-0.03×27778.9-200≈1666.7-833.4-200=633.3這個例子展示了冪函數(shù)在經(jīng)濟學模型中的應(yīng)用，用于分析成本、收入和利潤的關(guān)系。3生物學中的應(yīng)用問題：生物學中，種群增長模型之一是指數(shù)增長模型，表示為N(t)=N?e^(rt)，其中N?是初始種群數(shù)量，r是增長率，t是時間。另一種是邏輯斯蒂增長模型，近似為S形曲線。對于細菌培養(yǎng)實驗，若初始有100個細菌，增長率r=0.2/小時，請問：(1)10小時后，細菌數(shù)量約為多少？(2)要使細菌數(shù)量達到1000個，需要多長時間？解析：注意：指數(shù)函數(shù)e^x不是冪函數(shù)，但這個例子說明了不同類型函數(shù)在生物學中的應(yīng)用。(1)N(10)=100e^(0.2×10)=100e^2≈100×7.389≈739個細菌(2)要求t使得N(t)=1000：1000=100e^(0.2t)10=e^(0.2t)ln10=0.2tt=ln10/0.2≈2.303/0.2≈11.5小時這個例子說明了指數(shù)函數(shù)在生物學中的應(yīng)用，描述了種群指數(shù)增長的情況。冪函數(shù)模型的建立在實際問題中，我們常需要建立冪函數(shù)模型來描述實際現(xiàn)象。建立模型的一般步驟：明確變量：確定自變量和因變量，以及它們的物理意義收集數(shù)據(jù)：通過實驗或觀測獲取數(shù)據(jù)點選擇模型：根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布情況，初步判斷可能的函數(shù)關(guān)系參數(shù)擬合：利用最小二乘法等方法確定函數(shù)的具體參數(shù)模型檢驗：通過殘差分析、預(yù)測能力等評估模型的有效性應(yīng)用模型：利用建立的模型進行預(yù)測和分析在許多自然現(xiàn)象中，冪函數(shù)關(guān)系非常普遍，如面積與邊長的平方關(guān)系、體積與邊長的立方關(guān)系等。冪函數(shù)模型的典型應(yīng)用領(lǐng)域物理學：引力定律F∝1/r2、電場強度E∝1/r2幾何學：圓面積A=πr2、球體積V=(4/3)πr3經(jīng)濟學：邊際效用函數(shù)、成本函數(shù)生物學：代謝率與體重的關(guān)系、表面積與體積的關(guān)系工程學：風力發(fā)電功率與風速的立方關(guān)系信息技術(shù)：算法復雜度分析章末：綜合例題與練習1集合與函數(shù)關(guān)系問題：設(shè)集合A={x|x2-x-6=0}，B={x|3x2-2x-1=0}，函數(shù)f(x)=x2-4。(1)求集合A和B;(2)設(shè)C={f(x)|x∈A∪B}，求集合C;(3)若f(D)=C，求集合D。解析：(1)解方程x2-x-6=0，得(x-3)(x+2)=0，所以x=3或x=-2，即A={-2,3}解方程3x2-2x-1=0，應(yīng)用求根公式：x=[2±√(4+12)]/6=[2±√16]/6=[2±4]/6x=1或x=-1/3，所以B={-1/3,1}(2)A∪B={-2,-1/3,1,3}C={f(x)|x∈A∪B}={f(-2),f(-1/3),f(1),f(3)}f(-2)=(-2)2-4=4-4=0f(-1/3)=(-1/3)2-4=1/9-4=-35/9f(1)=12-4=1-4=-3f(3)=32-4=9-4=5所以C={-35/9,-3,0,5}(3)由f(x)=x2-4，若f(D)=C，則D中的元素x滿足x2-4∈C若x2-4=-35/9，則x2=-35/9+4=-35/9+36/9=1/9，所以x=±1/3若x2-4=-3，則x2=1，所以x=±1若x2-4=0，則x2=4，所以x=±2若x2-4=5，則x2=9，所以x=±3所以D={-3,-2,-1,-1/3,1/3,1,2,3}2函數(shù)性質(zhì)綜合分析問題：已知函數(shù)f(x)=|x2-4|/x，求：(1)函數(shù)的定義域;(2)函數(shù)的奇偶性;(3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(4)函數(shù)的值域。解析：(1)由于分母不能為0，所以x≠0，定義域為R\{0}(2)計算f(-x)：f(-x)=|(-x)2-4|/(-x)=|x2-4|/(-x)=-|x2-4|/x=-f(x)所以f(-x)=-f(x)，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(3)函數(shù)可以分段表示為：f