第十章直梁的彎曲第一節(jié)彎曲內(nèi)力圖（剪力圖與彎矩圖）

第二節(jié)梁彎曲時的強(qiáng)度計算

第三節(jié)梁的剛度計算

第四節(jié)提高梁的強(qiáng)度和剛度的措施

小結(jié)下一頁上一頁返回目錄一、平面彎曲的概念第一節(jié)

彎曲內(nèi)力圖工程實際中，存在大量的受彎曲的桿件，如火車輪軸、橋式起重機(jī)大梁等。這些桿件，在桿的軸線平面內(nèi)受到外力作用，使桿的軸線由原來直變曲，這種變形稱為彎曲變形。凡以彎曲變形為主的桿件，通常稱為梁。

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工程中使用的直梁，其橫截面大多至少有一根對稱軸（y軸），如圖。通過平面對稱軸與梁軸線確定的平面，稱為梁的縱向?qū)ΨQ面。如果作用于梁上的所有外力（包括約束力）都作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后的軸線將是在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線。這種彎曲變形稱為平面彎曲。軸線FAFBFqM縱向?qū)ΨQ面yyyy

如果作用于梁上的所有外力（包括約束力）都作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后軸線將是在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線。這種彎曲變形稱為平面彎曲。本章只討論梁的平面彎曲。返回首頁下一頁上一頁1.彎曲變形和平面彎曲ABqAB1．梁本身的簡化不論梁的截面形狀如何，通常取梁的軸線來代替實際的梁。返回首頁下一頁上一頁二、梁的計算簡圖及分類2

．載荷的簡化作用在梁上的外力，包括載荷和約束力，一律可簡化為三種形式，即集中力F、集中力偶M和分布載荷。分布載荷若分布均勻，則稱為均布載荷，通常用載荷集度q表示。其單位為N/m。軸線FAFBFqM縱向?qū)ΨQ面返回首頁下一頁上一頁3

．支座的簡化按支座對梁的約束作用不同，可按照靜力學(xué)分析，用活動鉸支座、固定鉸支座及固定端支座進(jìn)行簡化。返回首頁下一頁上一頁4．靜定梁的基本形式1）簡支梁一端為固定鉸支座，一端活動鉸支座的梁

根據(jù)支承情況，可將梁簡化為三種形式：返回首頁下一頁上一頁3)懸臂梁一端為固定端支座,另一端自由的梁2)外伸梁具有一端或兩端外伸部分的簡支梁

這些梁的計算簡圖確定后，其支座反力均可由靜平衡條件完全確定，故稱靜定梁。如果梁的支反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目，支反力不能完全由靜力平衡方程確定，這種梁稱為靜不定或超靜定梁。返回首頁下一頁上一頁圖示懸臂梁，若已知梁長為l，主動力為F，則該梁的約束反力可由靜力平衡方程求得，即FB=F，MB=Fl。欲求任意橫截面m-m上的內(nèi)力，可在m-m處假想將梁截開。取左段為研究對象，內(nèi)力向截面m-m的形心O簡化，為一力FQ與一力偶M。FlxAByFB三、梁的內(nèi)力、剪力與彎矩計算

mmFQMMBxFOAxmml-xBFBMBmmOFQM返回首頁下一頁上一頁式中FQ稱為剪力，它是與橫截面平行內(nèi)力的合力。M稱為橫截面上的彎矩，它是橫截面上垂直內(nèi)力對其形心的合力矩。式（a）稱為剪力方程，式（b）即稱為彎矩方程。列出平衡方程，可得∑Fy＝0F-FQ＝0

FQ

＝F（a）∑MO(F)＝0M-

Fx

＝0M

＝Fx

(b)FlxAByFBmmFQMMBxFOAxmml-xBFBMBmmOFQM返回首頁下一頁上一頁MM

為使取左段或取右段得到的同一截面上的內(nèi)力符號一致，特規(guī)定如下：

規(guī)定：當(dāng)截面上的剪力FQ使研究對象有順時針轉(zhuǎn)向趨勢時為正，反之為負(fù)。FQFQFQFQMM+－－

當(dāng)截面上的彎矩M使研究對象產(chǎn)生向下凸的變形時（即上部受壓下部受拉）為正，反之為負(fù)。+返回首頁下一頁上一頁

計算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面之左（或右）段上所有外力的代數(shù)和；彎矩大小等于截面之左（或右）段上的所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。在實際計算中，剪力和彎矩的符號一般皆設(shè)為正，如果計算結(jié)果為正，表明實際的剪力和彎矩與圖示方向一致；若結(jié)果為負(fù)，則與圖示方向相反。研究對象在截面的右邊

FQ＝∑F左M=∑MC(F左)FQ＝∑F右M=∑MC(F右)研究對象在截面的左邊返回首頁下一頁上一頁例１０-１外伸梁受載如圖所示，已知ｑ、ａ，試求圖中各指定截面上的剪力和彎矩。圖上截面２、３分別為集中力ＦＡ作用處的左、右鄰截面（即面２、３間的間距趨于無窮小量），截面４、５亦為集中力偶矩ＭＴ０的左、右鄰截面。解１）求支反力。設(shè)支反力ＦＡ和ＦＢ均向上，由平衡方程ΣＭＢ（Ｆ）＝０和ΣＦｙ＝０，得ＦＡ＝－５ｑａ，ＦＢ＝ｑａ。ＦＡ為負(fù)值，說明其實際方向與原設(shè)方向相反。２）求指定截面上的剪力和彎矩?？紤]１-１截面左側(cè)上的外力，得考慮２-２截面左側(cè)上的外力，得考慮３-３截面左側(cè)上的外力，得考慮４-４截面右側(cè)上的外力，得考慮５-５截面右側(cè)上的外力，得考慮６-６截面右側(cè)上的外力，得比較截面２、３之剪力值，可以看出，由于ＦＡ的存在，引起ＦＡ鄰域內(nèi)剪力產(chǎn)生突變，突變量與ＦＡ值相等。同樣，比較截面５、４之彎矩值，可得在集中力偶ＭＴ０處，彎矩值產(chǎn)生突變，突變量與力偶ＭＴ０值相等。

研究表明，梁上截面上的彎矩、剪力和作用于該截面處的載荷集度之間存在一定的關(guān)系。如圖，設(shè)梁上作用著任意載荷，坐標(biāo)原點選在梁的左端截面形心（即支座A處），x軸向右為正，分布載荷以向上為正。q(x)lABxFMxy

四、彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系返回首頁下一頁上一頁

從x截面處截取微段dx進(jìn)行分析。

q(x)在dx微段上可看成均布的；左截面上作用有剪力FQ(x)和彎矩M(x)，右截面上作用有剪力FQ(x)+dFQ(x)和彎矩M(x)+dM(x)。由平衡條件可得

dxq(x)lABxFMxydxq(x)FQ(x)FQ(x+dx)M(x)M(x+dx)返回首頁下一頁上一頁q(x)dxlABxFMxydxq(x)FQ(x)FQ(x+dx)M(x)M(x+dx)∑Fy=0∑Mc(F)=0略去dx的兩階微量，簡化后得返回首頁下一頁上一頁∑Fy=0(10-3)略去dx的兩階微量，簡化后得(10-3)(10-3)

以上(10-3)式表明了同一截面處M(x)、FQ(x)與q(x)三者之間的關(guān)系。返回首頁下一頁上一頁∑Mc(F)=0五、剪力圖與彎矩圖的繪制為表示剪力和彎矩沿梁軸的變化情況，可根據(jù)ＦＱ（ｘ）和Ｍ（ｘ）兩函數(shù)，分別?。鵀闄M坐標(biāo)軸，ＦＱ（ｘ）和Ｍ（ｘ）為縱坐標(biāo)軸繪出的圖形，稱為剪力圖和彎矩圖。工程上常利用剪力、彎矩和載荷集度三者之間的微分關(guān)系，并注意到在集中力Ｆ的鄰域內(nèi)剪力圖有突變，在集中力偶Ｍ的鄰域內(nèi)彎矩圖有突變的性質(zhì)，進(jìn)行作圖。表１０１列出了ＦＱ、Ｍ圖的一些特征。返回首頁下一頁上一頁表10-1FQ

、M圖特征表q(x)=0的區(qū)間q(x)＝C的區(qū)間集中力F作用處集中力偶M作用處FQ圖水平線q(x)＞0，斜直線斜率＞0有突變突變量=F無影響q(x)＜0，斜直線斜率＜0M圖FQ＞0，斜直線斜率＞0q(x)＞0，拋物線，下凸斜率有突變圖形成直線有突變突變量=MFQ＜0，斜直線斜率＜0q(x)＜0，拋物線，上凸FQ＝0，水平線FQ=0，拋物線有極值返回首頁下一頁上一頁

解

1)求支反力。將起重機(jī)大梁簡化為簡支梁，如圖，可得例10-2lABqFBFA(↑)

圖示起重機(jī)大梁的跨度為l，自重力可看作均布載荷q。若小車所吊起物體的重力暫不考慮，試作剪力圖與彎矩圖。返回首頁下一頁上一頁連接AB兩點即可得剪力圖。lABqFQA=FA=ql/2，MA=0FQB=-FB=-ql/2，MB=0FBFAxql/2－FQ圖ql/2+2)畫剪力圖與彎矩圖。觀察此梁所受外載情況，可知其左、右兩端受集中力，全梁受負(fù)的均布力，所以剪力圖在x＝0+和x＝l－處有突變，在整個梁段上是斜率為負(fù)的直線。取梁的左、右端微段，求其平衡，可得FQ0返回首頁下一頁上一頁連接AB兩點即可得剪力圖。lABqFQA=FA=ql/2，MA=0FQB=-FB=-ql/2，MB=0FBFA

由q＜0可知彎矩圖為上凸拋物線，在FQ=0處截面（x=l/2），有極值，則知xql/2－FQ圖ql/2+FQ0xM0Mmax=M(l/2)=FA=ql2/8工程上，在彎矩圖中畫拋物線僅需注意極值和凸凹方向，可化簡畫出彎矩圖，并在圖上標(biāo)出極值的大小。ql2/8M圖+返回首頁下一頁上一頁lABFCba

簡支梁受載如圖所示。若已知F、a、b，試作梁的FQ圖和M圖。

解

1)求支反力。以整體為研究對象，由平衡方程可得例10-32)畫剪力圖與彎矩圖。①分段。由于集中力會引起剪力圖突變，集中力偶會產(chǎn)生彎矩圖的突變，所以在由集中力或集中力偶作用處，就應(yīng)將梁分段計算，本題梁中C處有集中力F作用，故應(yīng)將梁分為AC與CB兩段研究。②標(biāo)值。計算各區(qū)段邊界各截面之剪力與彎矩值，將結(jié)果標(biāo)注在剪力圖與彎矩圖上的相應(yīng)位置上。截面上的剪力和彎矩值可按下述進(jìn)行簡化計算：FBFA返回首頁下一頁上一頁lABFCba

解

1)求支反力。2)畫剪力圖與彎矩圖。①分段。②標(biāo)值。FBFAxMxFQ00a)截面上的剪力等于截面任一側(cè)外力的總和。

b)截面上的彎矩等于截面任一側(cè)外力對截面形心力矩的總和。本題算得結(jié)果如下：FQA=-Fb/lFQB＝-Fa/l

MA=0MB=0FQC-=Fb/l，F(xiàn)QC+=-Fb/l

MC＝Fab/l

③連線。按各區(qū)段有無分布載荷，連接相鄰兩點，即得剪力圖和彎矩圖。本題無分布載荷，故FQ圖與M圖皆連直線。Fa/l－M圖FQ圖Fb/l+Fab/l+返回首頁下一頁上一頁

解

1)求支反力。2)畫剪力圖與彎矩圖。①分段。②標(biāo)值。④復(fù)查。按本節(jié)所列FQ、M圖特征表進(jìn)行復(fù)核。如在集中力F作用處檢查剪力圖是否有突變，突變值的大小；彎矩圖是否成折線等。③連線。lABFCbaFBFAxMxFQ00Fa/l－M圖FQ圖Fb/l+Fab/l+返回首頁下一頁上一頁lABMCba

簡支梁受集中力偶作用。若已知M、a、b，試求此梁的剪力圖與彎矩圖。

解

1)求支座A、B的反力。以整體為研究對象，列平衡方程可解得例10-42)畫剪力圖與彎矩圖。①分段。分為AC與CB兩段。②標(biāo)值。

FQA=-M/lFQC-=-M/lFQC+=-M/l

FQB=-M/l

MA=0MC-=-Ma/l

MC+=Mb/l

MB=0FBFAxxFQ0Ma/l－M圖M/l+Mb/l－M0FQ圖

③連線。FQ圖與M圖上相鄰兩點均連直線。

④復(fù)查。檢查C點彎矩圖的變化。返回首頁下一頁上一頁CDBE4m4m

4m1kN/m2kN

A4m10kN·m2kN

FA=7kN↑，F(xiàn)B=5kN↑2）畫剪力圖和彎矩圖。①分段。根據(jù)受載情況將梁分為AC、CD、DB、BE四段。②標(biāo)值。計算各段起點和終點的剪力值和彎矩值。列表如下：

FBFA例10-5

外伸梁受載荷如圖。試求其梁的剪力圖和彎矩圖。

解

1)求支座A、B的約束力。由列平衡方程可解得

截面A+代表離截面A無限近并位于其右側(cè)的橫截面，C－代表離截面C無限近并位于其左側(cè)的橫截面，其余類同。分段ACCDDBBE橫截面A+C-C+D-D+B-B+E-

FQ/kN731-3-3-322M/kN·m02020166-6-60返回首頁下一頁上一頁CDBE4m4m

4m1kN/m2kN

A4m10kN·m2kN2）畫剪力圖和彎矩圖。FBFA

解

1)求支座的約束力。分段ACCDDBBE橫截面A+C-C+D-D+B-B+E-

FQ/kN731-3-3-322M/kN·m02020166-6-60再列出各段FQ圖和M圖的特征表。

xM/kN·mxFQ/kN0073132分段ACCDDBBE外力q=常數(shù)＜0q=0q=0FQ圖下斜直線下斜直線水平直線水平直線M圖上凸拋物線上凸拋物線斜直線斜直線2016663

+－+由上表各段剪力的數(shù)值可畫出FQ圖。。返回首頁下一頁上一頁CDBE4m4m

4m1kN/m2kN

A4m10kN·m2kN2）畫剪力圖和彎矩圖。FBFA

解

1)求支座的約束力。

xM/kN·mxFQ/kN0073132分段ACCDDBBE外力q=常數(shù)＜0q=0q=0M圖上凸拋物線上凸拋物線斜直線斜直線2016663

+－+

x:(4-x)＝1:3

x＝1m再計算截面H處的彎矩

MH=(7

5-2

1-1

52.5)kN·m=20.5kN·m③連線。區(qū)間AC斷M圖為拋物線，并確定了拋物線的凸凹和極值點，得到彎矩圖。xH20.5

+－返回首頁下一頁上一頁退出一、實驗觀察與假設(shè)

1122abcd1'1'2'2'c'a'd'b'MMMM

為了研究梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律，可取一矩形截面等直梁，在表面畫些平行于梁軸線的縱線和垂直于梁軸線的橫線。在梁的兩端施加一對位于梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶，這樣梁上的內(nèi)力只有彎矩而無剪力，稱為純彎曲梁。MM純彎曲動畫橫線縱線返回首頁下一頁上一頁第二節(jié)梁彎曲時的強(qiáng)度計算

通過梁的純彎曲實驗觀察到如下現(xiàn)象：

1)縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變。

2)橫向線仍為直線，且與縱向線正交，橫向線間只是相對地轉(zhuǎn)過了一個微小的角度。1122abcd1'1'2'2'c'a'd'b'MM橫線縱線MM純彎曲動畫返回首頁下一頁上一頁

根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形提出如下假設(shè)：

1)平面假設(shè)：梁彎曲變形時，其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個微小的角度。

2)單向受力假設(shè)：設(shè)梁由無數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)。1122abcd1'1'2'2'c'a'd'b'MM橫線縱線MM純彎曲動畫返回首頁下一頁上一頁

可以看出，梁下部的縱向纖維受拉伸長，上部的縱向纖維受壓縮短，其間必有一層纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層，中性層和橫截面的交線稱為中性軸中性軸，即圖中的z軸。梁的橫截面繞z軸轉(zhuǎn)動一微小角度。中性層中性軸1122abcd1'1'2'2'c'a'd'b'MM橫線縱線zzz返回首頁下一頁上一頁

1．正應(yīng)力的分布由平面假設(shè)可知，矩形截面梁在純彎曲時的應(yīng)力分布有如下特點：

1)中性軸上的線應(yīng)變?yōu)榱?，所以其正?yīng)力亦為零。

2)距中性軸距離相等的各點，其線應(yīng)變相等。根據(jù)胡克定律，它們的正應(yīng)力也相等。1122abcd1'1'2'2'c'a'd'b'MM橫線縱線中性層中性軸z二、彎曲正應(yīng)力的計算返回首頁下一頁上一頁3)在圖示的受力情況下，中性軸上部各點正應(yīng)力為負(fù)值，中性軸下部各點正應(yīng)力為正值。

4)正應(yīng)力沿y軸線性分布，即

=Ky

或K=

/y，K為待定常數(shù)。MMyz中性軸1122abcd1'1'2'2'c'a'd'b'MM橫線縱線中性層中性軸z二、彎曲正應(yīng)力的計算

=Ky返回首頁下一頁上一頁

在純彎曲梁的橫截面上任取一微面積dA，微面積上的微內(nèi)力為

dA。由于橫截面上的內(nèi)力只有彎矩M，所以由橫截面上的微內(nèi)力構(gòu)成的合力必為零，而梁橫截面上的微內(nèi)力對中性軸z的合力矩就是彎矩M，即FN=

A

dA

和M=

Ay

dA將

＝Ky代入以上兩式，得

AKydA=0和

AKy2

dA=M中性層中性軸MMyz中性軸1122abcd1'1'2'2'c'a'd'b'MM橫線縱線

=Ky

2．正應(yīng)力的計算

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在純彎曲梁的橫截面上任取一微面積dA，微面積上的微內(nèi)力為

dA。由于橫截面上的內(nèi)力只有彎矩M，所以由橫截面上的微內(nèi)力構(gòu)成的合力必為零，而梁橫截面上的微內(nèi)力對中性軸z的合力矩就是彎矩M，即FN=

A

dA

和M=

Ay

dA將

＝Ky代入以上兩式，得

AKydA=0和

AKy2

dA=MMMyz中性軸

=Ky

2．正應(yīng)力的計算

式中，

為截面對z軸的靜矩，記作S*，單位為m3；

Ay2dA為截面對z軸的慣性矩，記單位為m4。以上兩式可寫作KS*＝0(10-4)KIz＝M(10-5)返回首頁下一頁上一頁

在從式(10-4)可見，由于K不為零，故S*必為零，說明中性軸z軸通過截面形心。將K=

/y代入式(10-5)，得

=My/Iz

(10-6)式(10-6)即為梁的正應(yīng)力計算公式。MMyz中性軸

=KyKS*＝0(10-4)KIz＝M(10-5)

計算梁橫截面上的最大正應(yīng)力，可定義抗彎截面系數(shù)Wz＝Iz/ymax，式(10-6)可寫作

max=Mmax/Wz

（10-6a）

Iz、Wz是僅與截面有關(guān)的幾何量，常用型鋼的Iz、Wz可在有關(guān)的工程手冊中查到。返回首頁下一頁上一頁

式（10-4）式（10-5）是由純彎曲梁變形推導(dǎo)出，但只要梁具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對稱面內(nèi)，在梁的跨度較大時，橫力彎曲時也可應(yīng)用。當(dāng)梁橫截面上的最大應(yīng)力大于比例極限時，此式不再適用。返回首頁下一頁上一頁3．慣性矩的對比計算

由理論力學(xué)部分可知，對于勻質(zhì)規(guī)則形狀的物體，其轉(zhuǎn)動慣量為

mr2dm，它是旋轉(zhuǎn)物體質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的二次矩；截面慣性矩定義為

Ay2dA，它是面積對中性軸的二次矩，它們的表達(dá)式相似，計算方法也類同。因此只須用面積來置換質(zhì)量，就可將轉(zhuǎn)動慣量改寫成慣性矩。返回首頁下一頁上一頁Czyhb

以高為h、寬為b的矩形為例，z軸通過形心且平行于底邊，y軸過形心垂直于z軸，則對z軸的慣性矩為Iz＝Ah2/12，以A＝bh代人得

Iz＝bh3/12相應(yīng)地

Wz＝bh2/6返回首頁下一頁上一頁（10-7）（10-8）CzyDzODdy

圓形截面和圓環(huán)形截面對任一圓心軸是對稱的，所以對任一過圓心軸的慣性矩都相等，分別為

Iz=

D4/64

Iz=

(D4-d4)/64

若設(shè)圓環(huán)的直徑比d/D=

，則相應(yīng)的截面抗彎系數(shù)為返回首頁下一頁上一頁

組合截面的慣性矩也可用平行移軸定理來求。與轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理類似：Iz'＝Iz+Ad2返回首頁下一頁上一頁zy1002010020例10-6CzCyC···C2C150110Ⅱ

解

1)確定截面的形心位置ⅠT形截面尺寸如圖，求其對形心軸zC的慣性矩。2)計算兩矩形截面對zC

軸的慣性矩。根據(jù)平行移軸定理

IⅠzC=23

10cm4/12+20

(11-8)2cm4=346.7cm4

IⅡzC=2

103cm4/12+20

(8-5)2cm4

=186.7cm4T形截面對形心軸zC的慣性矩IzC

為

IzC=IⅠzC+IⅡzC=346.7cm4+186.7cm4=553.4cm4返回首頁下一頁上一頁

在應(yīng)用平行移軸定理時應(yīng)注意，只能從各截面的形心軸平行地移到另一軸，反之則不可。顯而易見，過形心軸慣性矩的值最小。有關(guān)型鋼的慣性矩Iz抗彎截面系數(shù)Wz

在工程手冊中可以查到。返回首頁下一頁上一頁三、彎曲切應(yīng)力簡介

梁的內(nèi)力除彎矩外還有剪力，稱為橫力彎曲。因此，梁在橫力彎曲下，其橫截面上還存在切應(yīng)力。一般情況下切應(yīng)力對強(qiáng)度的影響不大。但對短梁或載荷靠近支座的梁以及腹板較薄的組合截面梁則應(yīng)考慮切應(yīng)力的存在。１矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力zy

maxFQ1）橫截面上各點的切應(yīng)力方向和剪力FQ的方向一致。

2）切應(yīng)力的大小與距中性軸z的距離y有關(guān)，與截面寬度b無關(guān)。

返回首頁下一頁上一頁當(dāng)矩形截面梁橫截面的高度ｈ大于寬度ｂ時，上述假設(shè)基本符合實際情況。據(jù)此可以推導(dǎo)出矩形截面梁橫截面距中性軸為ｙ處的切應(yīng)力為式中，ＦＱ為橫截面上的剪力；Ｓ*為圖上打剖面線的矩形截面面積Ａ對中性軸ｚ的靜距；Iｚ為截面對中性軸ｚ的慣性矩；ｂ為截面寬度。面積Ａ對中性軸ｚ的靜距Ｓ*為式中，ｙ*為面積Ａ*的形心坐標(biāo)，用絕對值代入。這說明，切應(yīng)力分布與中性軸ｚ對稱，即將Ｓ代入式（１０９），可得其分布規(guī)律為二次曲線，中性軸上切應(yīng)力最大，上、下邊緣處切應(yīng)力為０。（10-9）zy

maxFQ2.橫截面上的最大切應(yīng)力公式

對于矩形截面梁，其橫截面上最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上（即y＝0處），為

max=3F/2A。同樣，工字形截面梁、圓形截面梁和圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力，也發(fā)生在各自的中性軸上。對于工字形截面梁，

max=FQ/A（A為腹板面積）；對于圓形截面梁，

max=4FQ/3A；對于圓環(huán)形截面梁；

max=2FQ/A。返回首頁下一頁上一頁四、梁的強(qiáng)度計算

在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計算時，首先應(yīng)確定梁的危險截面和危險點。一般情況下，對于等截面直梁，其危險點在彎矩最大的截面上的上下邊緣處，即最大正應(yīng)力所在處；對于短梁、載荷靠近支座的梁以及薄壁截面梁，則還要考慮其最大切應(yīng)力所在的部位。危險點的最大工作應(yīng)力應(yīng)不大于材料在單向受力時的許用應(yīng)力，強(qiáng)度條件為

（10-10）返回首頁下一頁上一頁

對于許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相同的塑性材料，截面宜對稱于中性軸，則式(10-10)可寫作梁的切應(yīng)力校核條件為

在設(shè)計梁的截面時，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計算，必要時再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。根據(jù)強(qiáng)度條件可以解決：強(qiáng)度校核、設(shè)計截面和確定許用載荷。

（10-10a）

max≤[

]返回首頁下一頁上一頁

max=Mmax/Wz=87.5

106/(760

103)MPa=115.1MPa<[

]說明梁的工作是安全的。例10-7

解

1）求最大彎矩。當(dāng)載荷在梁中點時，該處產(chǎn)生最大彎矩。

（2）校核梁的強(qiáng)度。查型鋼表得32c工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz=760cm3，所以ACB

l/2l/2FzNo32c+xM0

一吊車用32c工字鋼制成，將其簡化為一簡支梁，梁長l=10m，自重不計。若最大起重載荷為F=35kN(包括葫蘆和鋼絲繩)，許用應(yīng)力為[

]=130MPa，試校核梁的強(qiáng)度。Fl/4Mmax=Fl/4=(35

10)kN·m

/4=87.5kN·m

返回首頁下一頁上一頁

0.8kND1m1m

C

A1m2kNB例10-8

解

1)由靜力平衡方程求出梁的支反力FA=0.6kN，F(xiàn)B=2.2kN作彎矩圖。得最大正彎矩在截面C處，MC=0.6kN·m，最大負(fù)彎矩在截面B處，MB=-0.8kN·m。FAFB0.60.8+_y1zC6cmy22)校核梁的強(qiáng)度。顯然截面C和截面B均為危險截面，都要進(jìn)行強(qiáng)度校核。T形截面外伸梁尺寸及受載如圖，截面對形心軸z的慣性矩Iz=86.8cm4，yl=3.8cm，材料的許用拉應(yīng)力[

l]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

y]=60MPa。試校核強(qiáng)度。xM/kN·m0返回首頁下一頁上一頁

2)校核梁的強(qiáng)度。0.8kND1m1m

C

A1m2kNBFAFB0.60.8+_y1zC6cmy2xM/kN·m0截面B處：最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面上邊緣各點處，得

+=20.3MPa<[

l]最大壓應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣各點處，得

-=35.2MPa<[

y]截面C處：雖然C處的彎矩絕對值比B處的小，但最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣各點處，而這些點到中性軸的距離比上邊緣處各點到中性軸的距離大，且材料的許用拉應(yīng)力[

l]小于許用壓應(yīng)力[

y]，所以還需校核最大拉應(yīng)力

+=26.4MPa<[

l]所以梁的工作是安全的。返回首頁下一頁上一頁

圖示為簡支梁。材料的許用正應(yīng)力[

]=140MPa，許用切應(yīng)力[

]=80MPa。試選合適的工字鋼型號。

解

1)由靜力平衡方程求出梁的支反力FA=54kN，F(xiàn)B=6kN，并作剪力圖和彎矩圖例10-9得FQmax＝54kN，Mmax＝10.8kN·m.2mAB60kNC0.2mxMFQ0－54kN++0x6kN0.6kN·mFBFA2)選擇工字鋼型號。由正應(yīng)力強(qiáng)度條件得Wz≥Mmax/[

]=77.1

103mm3查型鋼表，選用12.6號工字鋼，Wz=77.529

103mm3；H=126mm，t=8.4mm，b=5mm。返回首頁下一頁上一頁

已知[

]=140MPa，[

]=80MPa。試選工字鋼型號。

解

1)FQmax=54kN，Mmax=10.8kN·m2)選擇工字鋼型號。選用12.6號工字鋼，Wz=77.529

103mm3；H=126mm，t=8.4mm，d=5mm。3)切應(yīng)力強(qiáng)度校核。12.6號工字鋼腹板面積為A=(H-2t)d=(126-2

8.4)

5mm2=546mm2

故需重選。選用14號工字鋼，H=140mm，t=9.1mm，b=5.5mm，則A=(140-2

9.1)

5.5=669.9mm2

max=80.6MPa>[

]顯然，最大切應(yīng)力不超過許用切應(yīng)力的5％，所以最后確定選用14號工字鋼。返回首頁下一頁上一頁退出一、梁的彎曲變形概述

第三節(jié)

梁的剛度計算

梁滿足強(qiáng)度條件，表明它能安全地工作，但變形過大也會影響機(jī)器的正常運(yùn)行。如齒輪軸變形過大，會使齒輪不能正常嚙合，產(chǎn)生振動和噪聲；機(jī)械加工中刀桿或工件的變形，將導(dǎo)致一定的制造誤差；起重機(jī)橫梁的變形過大使吊車移動困難。因此，對某些構(gòu)件而言，除滿足強(qiáng)度條件外，還要將其變形限制在一定范圍內(nèi)，即滿足剛度條件。當(dāng)然，有些構(gòu)件要有較大的或合適的彎曲變形，才能滿足工作要求。如金屬切削工藝實驗中使用的懸臂梁式測力儀及車輛上使用的隔振板簧等。下一頁上一頁返回目錄

度量梁的變形的兩個基本物理量是撓度和轉(zhuǎn)角。它們主要因彎矩而產(chǎn)生，剪力的影響可以忽略不計。1．撓度和轉(zhuǎn)角Fxy撓曲線B1ABFmn

以懸臂梁為例，變形前梁的軸線為直線AB，mn是梁的某一橫截面，變形后AB變?yōu)楣饣倪B續(xù)曲線AB1。mn轉(zhuǎn)到了m1n1的位置。m1n1C1C返回首頁下一頁上一頁

軸線上各點在y方向上的位移稱為撓度，（x方向上的位移，可忽略不計）。各橫截面相對原來位置轉(zhuǎn)過的角度稱為轉(zhuǎn)角。圖中的CC1即為C點的撓度。規(guī)定向上的撓度為正值，則CC1Fy

xy撓曲線B1AB撓度轉(zhuǎn)角

曲線AB1表示了全梁各截面的撓度值，故稱撓曲線。懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線顯然是梁截面位置x的函數(shù)，記作y＝f(x)此式稱為撓曲線方程。因為轉(zhuǎn)角很小，所以

≈tan

＝f'(x)此式稱為轉(zhuǎn)角方程，其中

的單位為rad。m1mnn1C1C為負(fù)值。

為mn截面的轉(zhuǎn)角，規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正，反之為負(fù)。轉(zhuǎn)角的大小與撓曲線上的C1點的切線與x軸的夾角相等。返回首頁下一頁上一頁

梁的剛度條件為

ymax≤[y]和

max≤[

]（10-11）式中，[y]為許用撓度，[

]為許用轉(zhuǎn)角，其值可根據(jù)工作要求或參照有關(guān)手冊確定。在設(shè)計梁時，一般應(yīng)先滿足強(qiáng)度條件，再校核剛度條件。如所選截面不能滿足剛度條件，再考慮重新選擇。2．梁的剛度條件返回首頁下一頁上一頁二、用積分法求梁的變形

1.撓曲線近似微分方程由于剪力對梁彎曲變形的影響忽略不計，故可由純彎曲梁變形基本公式建立梁的撓曲線方程。由式（１０-６）和σ＝Ｅε可得返回首頁下一頁上一頁由數(shù)學(xué)手冊可得選取圖中的坐標(biāo)系，ｙ″和Ｍ（ｘ）始終同號，故上式取正號。又因為ｙ′為轉(zhuǎn)角，所以ｙ′２和１相比為高階微量，１＋ｙ′２≈１，得從而得到撓曲線近似微分方程對于等直梁可寫作二、用積分法求梁的變形

2.用積分法求梁的變形要得到轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，可對撓曲線微分方程進(jìn)行積分返回首頁下一頁上一頁（轉(zhuǎn)角方程）積分常數(shù)Ｃ１和Ｃ２，可根據(jù)變形的邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。在固定端約束處，撓度和轉(zhuǎn)角均為０，鉸約束處撓度為０。梁變形時，截面左、右的撓度和轉(zhuǎn)角分別相等。（撓曲線方程）例１０-１０圖示懸臂梁，受集中載荷Ｆ作用，ＥIｚ為常數(shù)，求其轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。解１）列彎矩方程Ｍ（ｘ）＝－Ｆ（ｌ－ｘ）２）列撓曲線近似微分方程ＥIｚｙ″＝－Ｆ（ｌ－ｘ）３）積分得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程４）由邊界條件定積分常數(shù)。約束為固定端，當(dāng)ｘ＝０時，轉(zhuǎn)角和撓度均為零，即ｘ＝０時，ｙ＝０，ｙ′＝０，代入上式，得Ｃ１＝０Ｃ２＝０懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為根據(jù)上面的兩個方程，很容易求得各點的轉(zhuǎn)角和撓度。上式懸臂梁的最大轉(zhuǎn)角和最大撓度發(fā)生在ｘ＝l，即Ｂ點處，其值為三、疊加法求梁的變形實用上在有關(guān)工程手冊中已將各種基本形式的梁在簡單載荷的作用下的彎曲變形列成表格（表10-2）因此簡單情況可直接查表，獲得結(jié)果。如果梁在幾個載荷同時作用下，則由于每一載荷的影響是獨(dú)立的，梁在幾個載荷共同作用下產(chǎn)生的變形等于各個載荷分別作用時產(chǎn)生的變形的代數(shù)和，利用表中的結(jié)果應(yīng)用疊加原理來取得綜合結(jié)果。返回首頁下一頁上一頁

抗彎剛度為EIz的簡支梁，全梁受向下的分布載荷q，中點受向上的集中力F，試求梁中點的撓度和鉸支座的轉(zhuǎn)角

A、

B

。

解將梁的受力分解為受集中力F和受分布力q兩種情況查表受集中力時：受分布力時：例10-11Bq

l/2A

l/2FCyC

A

BBqACyCq

Aq

BqBAFCyCF

AF

BF返回首頁下一頁上一頁

受集中力時：受分布力時：Bq

l/2A

l/2FCyC

A

BBqACyCq

Aq

BqBAFCyCF

AF

BF疊加yA=yAF+yAq=返回首頁下一頁上一頁

受集中力時：受分布力時：Bq

l/2A

l/2FCyC

A

BBqACyCq

Aq

BqBAFCyCF

AF

BF疊加

A=

AF+

Aq=

B=

BF+

Bq=返回首頁下一頁上一頁例10-12圖所示的階梯形懸臂梁ＡＢ段，長為l，抗彎剛度為２ＥIｚ；ＢＣ段長為ｌ，抗彎剛度為Ｅiｚ；自由端Ｃ受集中力Ｆ的作用。求Ｃ點的撓度。返回首頁下一頁上一頁解１）剛化ＡＢ段，查表得２）剛化ＢＣ段，Ｂ處受集中力Ｆ和集中力偶Ｆl（相當(dāng)于把作用力從Ｃ處平行移動到Ｂ處）作用，查表得疊加得Ｂ點的撓度和轉(zhuǎn)角：

４）Ｃ點的撓度為

返回首頁下一頁上一頁３）Ｂ點變形對Ｃ點撓度的影響用疊加法解題時，梁上的最大應(yīng)力不可超過材料的比例極限。返回首頁下一頁上一頁表１０-２梁在簡單載荷作用下的變形返回首頁下一頁上一頁返回首頁下一頁上一頁工程上常采用超靜定梁來提高其強(qiáng)度和剛度。如在車削加工時，卡盤將工件夾緊（簡化為固定端）即為靜定機(jī)構(gòu)。但在車削細(xì)長軸時，還要用頂尖（簡化為活動鉸）將工件末端頂住，必要時再使用跟刀架（簡化為活動鉸），這就是用增加約束的方法來提高工件的剛度，以減少加工誤差。

解超靜定梁時，可將多余約束去掉，代之以約束力，并保持原約束處的變形條件，該梁稱為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)，或稱靜定基。對同一個超靜定梁，根據(jù)解除的約束不同，可得到不同的靜定基。圖都是原超靜定梁的靜定基。四、簡單超靜定梁例１０-１３求作圖所示超靜定梁的彎矩圖，并求出最大彎矩值（ＥIｚ為常數(shù)）。解１）解除Ｂ點約束，得相當(dāng)系統(tǒng)，且ｙＢ＝０，查表得根據(jù)疊加原理，ｙＢ＝ｙＢＦ＋ｙＢＦＢ＝０，得２）由靜力平衡方程３）作梁的彎矩圖，得梁上最大彎矩為０.２０３Ｆl。解除其他多余約束，如Ｃ點的約束，本題亦可得到相同的答案。如去掉中間鉸，則為靜定梁。在受載相同的情況下，梁上的最大彎矩為０.３７５Ｆl，因而要比超靜定梁大得多。退出

在從前幾節(jié)可知，等直梁上的最大彎曲正應(yīng)力和梁上的最大彎矩Mmax

成正比，和抗彎截面系數(shù)Wz成反比。梁的變形和梁的跨度l的高次方成正比，和梁的抗彎剛度Iz成反比。設(shè)計梁時，應(yīng)滿足安全性好而材料消耗少的目的，即省料、省錢而又盡量提高梁的強(qiáng)度和剛度?？蓮囊韵聨追矫嫒胧?。第四節(jié)

提高梁的強(qiáng)度和剛度的措施

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當(dāng)梁的尺寸和截面形狀已定時，合理安排梁的支承或增加約束，可以縮小梁的跨度、降低梁上的最大彎矩。如圖，受均布載荷的簡支梁，若能改為兩端外伸梁，則梁上的最大彎矩將大為降低。一、合理安排梁的支承及增加約束

ql2/40ql2/50ql2/50ql2/32ql2/64ql2/64BAlqM圖B0.5l0.5lAqql2/80.6l0.2l0.2lBAq最大的彎矩值Mmax

ql2/8、ql2/40、ql2/32

比值為1：0.2：0.25返回首頁下一頁上一頁ql2/40ql2/50ql2/50ql2/32ql2/64ql2/64BAlqM圖B0.5l0.5lAqql2/80.6l0.2l0.2lBAq