第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若f(x)=x2，則f′(?1)=(

)A.?2 B.?1 C.1 D.22.下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是(

)A. B.

C. D.3.甲、乙兩人各拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，已知甲擲出的點數(shù)是3，則甲擲出的點數(shù)大于乙擲出的點數(shù)的概率為(

)A.118 B.16 C.134.函數(shù)f(x)=x3?6xA.(?∞,1) B.(1,3) C.(1,+∞) D.(3,+∞)5.袋中有質(zhì)地、大小均相同的3個紅球，2個白球，現(xiàn)從中任取3個球，其中所含紅球的個數(shù)為X，則E(X)=(

)A.1.2 B.1.8 C.2 D.36.在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，且PA=AB，則異面直線AB與PD所成角的余弦值為(

)A.24 B.12 C.7.已知隨機事件A與B相互獨立，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，則下列錯誤的是(

)A.P(A|B)=P(A|B?)B.P(AB)=P(A?B8.已知函數(shù)f(x)=ax?sinx，若f(x)≥0對x∈[0,π]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,1] B.(0,π] C.[1,+∞) D.[π,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1A.AC1=AB+AD+AA1 B.A10.已知函數(shù)f(x)=(x?1)lnx，則(

)A.f(12)<f(2) B.f(x)有兩個零點

C.f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增 D.x11.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，U的4個不同三元子集(含有三個元素的子集)組成集合B，且B滿足：

①{1,2,3}∈B；

②B中任意兩個元素的并集是U的真子集，任意三個元素的并集是U．

任取一個集合B，記事件D1=“{1,4,5}∈B”，事件D2=“{2,4,6}∈BA.集合B中任意兩個元素的交集非空 B.P(D2|D1)=12

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，則P(0<X<2)=______．

(附：若X～N(μ,σ2)13.如圖是一個機器人手臂的示意圖，該手臂分為三段，分別可用向量a=(2,3,4)，b=(1,?1,3)，c=(4,?1,?3)代表，用向量d代表整條手臂，則|d14.已知函數(shù)f(x)=3|x|3?5x2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E，F(xiàn)分別為棱AB，AA1的中點．

(1)求證：E，C，16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex(a∈R)．

(1)若a=0，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若x=0為f(x)的極小值點，求17.(本小題15分)

現(xiàn)有兩種腦機接口技術(shù)(A和B)，用于完成某項意念控制任務(wù).研究人員從我市隨機抽取了120名志愿者參與試驗，得到如下列聯(lián)表：技術(shù)類型任務(wù)結(jié)果合計成功失敗技術(shù)A501060技術(shù)B303060合計8040120(1)根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析任務(wù)結(jié)果是否與技術(shù)類型有關(guān)；

(2)已知市民甲使用腦機接口技術(shù)體驗該項意念控制任務(wù)，其使用技術(shù)A和B的概率分別為0.6，0.4.將上述試驗中使用技術(shù)A，B時任務(wù)結(jié)果為成功的頻率視為概率，求甲體驗的任務(wù)結(jié)果為成功的概率．

附：χ2P(χ2≥0.050.0100.001x3.8416.63510.82818.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2?x

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)在定義域上有兩個極值點x1，x219.(本小題17分)

數(shù)學(xué)探究活動中，使用圓心為O，直徑為20cm的圓形厚紙張進行操作：

①在圓周上均勻取六個點，剪出正六邊形ABCDEF，如圖1；

②剪出菱形ODEF，將剩余部分折成無底的正四棱錐O?ABCD，如圖2；

③沿OE將菱形ODEF折成空間四邊形ODEF，如圖3．

(1)在圖1中，從以A，B，C，D，E，F(xiàn)為端點的線段中任取兩條，求這兩條線段沒有公共點的概率；

(2)在正四棱錐O?ABCD中，求二面角O?BC?A的余弦值；

(3)重復(fù)操作，得到兩個相同的正四棱錐和兩個相同的空間四邊形，再將兩個空間四邊形的邊粘合，得到一個正四面體．

現(xiàn)將這兩個正四棱錐的一個側(cè)面分別與正四面體的一個面粘合，兩個正四棱錐的底面中心分別記為O1，O2，求O1與O2間的距離的所有可能取值(紙板厚度忽略不計)參考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.0.4772

13.6614.(?2515.(1)證明：連接EF，EC，F(xiàn)D1，A1B，

因為E，F(xiàn)分別為棱AB，AA1的中點，

所以EF//A1B，

在長方體ABCD?A1B1C1D1中，D1C/?/A1B，所以EF//D1C，

所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面．

(2)以D為原點，分別以DA，DC，DD1的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，

所以AC=(?1,2,0)，A16.(1)當(dāng)a=0時，f(x)=xex，則f′(x)=(x+1)ex，

∴f′(0)=1，又f(0)=0，

∴曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x．

(2)f′(x)=(x+a+1)ex，

∵x=0為f(x)的極小值點，

∴f′(0)=a+1=0，即a=?1，

此時f′(x)=xex，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，

∴函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)17.(1)零假設(shè)H0：任務(wù)結(jié)果與技術(shù)類型無關(guān)，

因為χ2=120×(50×30?30×10)280×40×60×60=15>10.828，

所以依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，推斷假設(shè)不成立，

即任務(wù)結(jié)果與技術(shù)類型有關(guān)；

(2)設(shè)試驗中使用技術(shù)A時任務(wù)結(jié)果為成功為事件A，試驗中使用技術(shù)B時任務(wù)結(jié)果為成功為事件B，

甲體驗的任務(wù)結(jié)果為成功為事件C，

則P(C|A)=5060=18.(Ⅰ)解：f′(x)=2ax?1+1x=2ax2?x+1x(x>0)，

當(dāng)a≥18時，Δ=1?8a≤0，f′(x)≥0，

f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<18時，Δ>0，方程2ax2?x+1=0有兩個不相等的正根，

x1=1?1?8a4a>0，x2=1+1?8a4a>0，

當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)，f′(x)>0，x∈(x1,x2)，f′(x)<0，

a=0時，令f′(x)>0，解得：x<1，令f′(x)<0，解得：0<x<1，

故f(x)在(0,1)遞增，在(1,+∞)遞減，

a<0時，Δ>0，方程2ax2?x+1=0有兩個不相等的正根，

x1=1?1?8a4a>0，x2=1+1?8a4a<0，

故f(x)在19.(1)：記事件N=“從以A，B，C，D，E，F(xiàn)為端點的線段中任取兩條，這兩條線段沒有公共點“．

以A，B，C，D，E，F(xiàn)為端點的線段其有C62=15條，其中邊有6條，對角線有9條．

從中任取兩條的方法數(shù)為C152=105，則n(Ω)=105．

因為一個四邊形有兩組對邊沒有公共點，所以

n(N)=2×C64=30，

因此

P(N)=n(N)n(Ω)=30105=27．

(2)如圖，以B為原點，分別以BC,BA的方向為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,10,0)，B(0,0,0)，C(10,0,0)，設(shè)O(5,5,a)(a>0)，

從而|OB|=52+52+a2=10，解得a=52．

于是，BC=(10,0,0),BO=(5,5,52)．

設(shè)n=(x,y,z)為平面OBC的法向量，

則n?BC=0n?BO=0即10x=05x+5y+52z=0，

取