第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市河溪中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5}，B={1,3,5,7}，則A∩(?UB)=A.{1,3,4} B.{3,4} C.{2,4,6} D.{2,4}2.復(fù)數(shù)z滿足z=5i?2，則|z|=(

)A.1 B.2 C.5 D.3.甲乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別為13,14A.712 B.12 C.512 4.如圖，在△ABC中，BD=2DC，AD=mAB+nA.29B.13

C.125.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2?4x，則不等式xf(x)>0的解集為A.(?∞,4)∪(4,+∞) B.(?4,0)∪(4,+∞)

C.(?∞,4)∪(0,4) D.(?4,4)6.計(jì)算：6423+(A.22 B.23 C.24 D.257.如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.ω=2,φ=2π3

B.ω=1,φ=2π3

C.8.如圖，在三棱錐P?ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分別是AB，PB的中點(diǎn)，AB=BC=PC=2，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.DE//平面PACB.AB⊥PB

C.VA?PBC=2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.胡曉統(tǒng)計(jì)了他爸爸9月的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次.胡曉按每次通話的時(shí)間長(zhǎng)短進(jìn)行分組(每組為左閉右開(kāi))，畫(huà)出了頻率分布直方圖．

以下說(shuō)法正確的是(

)A.手機(jī)通話時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間[15,20)的次數(shù)為9 B.手機(jī)通話時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)為2.5

C.手機(jī)通話時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為11.6 D.手機(jī)通話時(shí)長(zhǎng)在10分鐘以上的頻率為0.510.已知角α，β都是銳角，tanα=43，sinβ=513A.cos(π?β)=1213 B.sinα=45 11.下列命題中的真命題有(

)A.當(dāng)x>1時(shí)，x+1x?1的最小值是3

B.x2+5x2+4的最小值是2

C.當(dāng)0<x<10時(shí)，x(10?x)的最大值是5

D.對(duì)正實(shí)數(shù)三、填空題：本題共3小題，共15分。12.函數(shù)f(x)=4?xx?113.已知三棱錐P?ABC的三條棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____．14.甲船在島B的正南A處，AB=10km，甲船以每小時(shí)4km的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是______?，最近距離是______km．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量m=(sinC+sinB,sinB?sinA)，n=(c?b,a)，且m⊥n．

(1)求C；

(2)若a=2，△ABC的面積為216.(本小題15分)

在一個(gè)文藝比賽中，5名專(zhuān)業(yè)人士和5名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組，給參賽選手打分.下面是兩組評(píng)委對(duì)同一名選手的打分：A組4247484652B組5236703839(1)分別計(jì)算兩組評(píng)委打分的極差和平均數(shù)；

(2)分別計(jì)算兩組評(píng)委打分的方差，并判斷哪組更像是由專(zhuān)業(yè)人士組成的評(píng)委小組；

(3)甲、乙是該場(chǎng)比賽的專(zhuān)業(yè)人士評(píng)委，要從五位專(zhuān)業(yè)人士的評(píng)委小組中任意選取2人對(duì)該選手點(diǎn)評(píng)，求恰好甲、乙同時(shí)被選中的概率．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD中點(diǎn)．

(1)求證：AM⊥PC

(2)求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的正弦值．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos(2x+π6)．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)將求函數(shù)f(x)的圖像向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)19.(本小題17分)

已知結(jié)論：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，a，b∈R，若f(a+x)+f(a?x)=2b對(duì)x∈R恒成立，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱(chēng)，反之亦然.特別地，當(dāng)a=b=0時(shí)，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)f(x)為奇函數(shù).設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=2x+ba?2x+1，滿足f(1)=43，f(?1)=53．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)計(jì)算f(x)+f(?x)的值，并根據(jù)結(jié)論寫(xiě)出函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心；答案解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閁={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5}，B={1,3,5,7}，

所以?UB={2,4,6}，

則A∩(?UB)={2,4}．

故選：D2.【答案】C

【解析】解：由題意，|z|=|5i?2|=5|i?2|=55=3.【答案】B

【解析】解：密碼被成功破譯的對(duì)立事件是甲乙兩人都不能譯出密碼，

∴密碼被成功破譯的概率為：

P=1?(1?13)(1?14)=12．4.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，BD=2DC，AD=mAB+nAC，

可得：BD=23BC,AD=AB+BD5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)x<0，則?x>0，則f(?x)=(?x)2?4(?x)=x2+4x，

又由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)=?f(?x)=x2?4x，

則f(x)=x2?4x,x≥0?x2?4x,x<0，

且當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)=x(x2?4x)=x2(x?4)，xf(x)>0即x2(x?4)>0，解可得x>4，

故當(dāng)x<0時(shí)，xf(x)=x(?x6.【答案】B

【解析】解：原式=(43)23+23+lg9?lg10?lg9=16+8?1=237.【答案】A

【解析】【分析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步確定結(jié)果．【解答】

解：根據(jù)函數(shù)的圖象，故A=2；

由于T2=11π12?5π12=π2，所以T=π，

所以ω=2πT=2，

當(dāng)x=5π12時(shí)，f(5π12)=2sin(5π6+φ)=?28.【答案】C

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)镈、E分別是AB，PB的中點(diǎn)，所以DE/?/AP，

又DE?平面PAC，AP?平面PAC，

所以DE/?/平面PAC，所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B，因?yàn)镻C⊥底面ABC，所以PC⊥AB，

又AB⊥BC，PC∩BC=C，

所以AB⊥平面PBC，所以AB⊥PB，所以B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C，因?yàn)閂A?PBC=VP?ABC=13S△ABC?PC=13×12×2×2×2=43，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)锳B=BC=PC=2，AB⊥BC，PC⊥BC，PC⊥AC，AB⊥PB，

所以AC=22,PB=22，

所以SP?ABC=S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC=9.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)樵趨^(qū)間[15,20)的次數(shù)為60×5×0.030=9，所以A選項(xiàng)正確；

因?yàn)楸姅?shù)為0+52=2.5，所以B選項(xiàng)正確；

估計(jì)平均數(shù)為2.5×0.060×5+7.5×0.046×5+12.5×0.024×5+17.5×0.030×5+22.5×0.020×5+27.5×0.020×5=11.6，所以C選項(xiàng)正確；

因?yàn)槭謾C(jī)通話時(shí)長(zhǎng)在10分鐘以上的頻率為5×(0.024+0.030+0.020+0.020)=0.47，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：ABC．

根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解判斷各選項(xiàng)即可．10.【答案】BD

【解析】解：角α，β都是銳角，tanα=43，sinβ=513，

由題意得，tanα=sinαcosα=43sin2α+cos2α=1，解得sinα=45，cosα=35，故B正確；

則cos2α2=1+cosα2=1+352=45，所以cosα2=11.【答案】AC

【解析】解：x>1時(shí)，x+1x?1=x?1+1x?1+1≥2(x?1)?1x?1+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x?1=1x?1，即x=2時(shí)取等號(hào)，A正確；

令t=4+x2，則t≥2，

5+x24+x2=4+x2+14+x2=t+1t在[2,+∞)上單調(diào)遞增，

故t=2時(shí)，上式取得最小52，B錯(cuò)誤；

當(dāng)0<x<10時(shí)，x(10?x)≤x+10?x12.【答案】(?1,1)∪(1,4]

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=4?xx?1+lg(x+1)，

則有4?x≥0x?1≠0x+1>0，解得?1<x≤4，且x≠1，

即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,1)∪(1,4]．13.【答案】3π

【解析】解：因?yàn)槿忮FP?ABC的三條棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，

所以該三棱錐的外接球的直徑2R即為棱長(zhǎng)為1的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，

所以2R=12+12+12=3，所以R=32，

14.【答案】514

15【解析】解：根據(jù)題意可知，甲船在島B的正南A處，AB=10km，甲船以每小時(shí)4km的速度向正北航行，

乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?/p>

如圖，假設(shè)t小時(shí)后甲船行駛到D處，乙船行駛到C處，此時(shí)兩船相距最近，

則∠DBC=120°，BC=6t，BD=10?4t，

在△DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2?2BD?BCcos∠DBC

=(10?4t)2+36t2?2?(10?4t)?6t?cos120°=28t2?20t+100=28(t?514)2+6757，

所以當(dāng)t=514，即航行時(shí)間為514小時(shí)時(shí)，C15.【答案】解：(1)因?yàn)閙⊥n，

所以(sinC+sinB)(c?b)+(sinB?sinA)a=0，

由正弦定理，得(c+b)(c?b)+(b?a)a=0，即a2+b2?c2=ab，

由余弦定理，得cosC=a2+b2?c22ab=12，

因?yàn)?<C<π，

所以C=π3；

(2)S△ABC=【解析】(1)先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出C；

(2)先根據(jù)面積求出b=4，利用向量運(yùn)算求解CD的長(zhǎng)．

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16.【答案】A組評(píng)委打分的極差為10，平均數(shù)為47，

B組評(píng)委打分的極差為34，平均數(shù)為47；

小組A更像是由專(zhuān)業(yè)人士組成的評(píng)委小組；

110．【解析】(1)根據(jù)題意，A組評(píng)委打分的最高分為52，最低分為42，則極差為52?42=10，

平均數(shù)為xA?=42+47+48+46+525=47，

B組評(píng)委打分的最高分為70，最低分為36，極差為70?36=34，

平均數(shù)為xB?=52+36+70+38+395=47，

(2)根據(jù)題意，

A組評(píng)委打分的方差為sA2=15?[(42?47)2+(47?47)2+(48?47)2+(46?47)2+(52?47)2]=10.4，

B組評(píng)委打分的方差為sB2=15?[(52?47)2+(36?47)2+(70?47)2+(38?47)2+(39?47)2]=164，

則sA2<sb2，又xA?=xB?，小組A打分波動(dòng)較小，

故小組A更像是由專(zhuān)業(yè)人士組成的評(píng)委小組．

(3)根據(jù)題意，記五位專(zhuān)業(yè)人士分別為17.【答案】證明見(jiàn)解析；

217【解析】(1)證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，

因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，CD?底面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，

因?yàn)锳M?平面PAD，所以CD⊥AM，

又因?yàn)椤鱌AD是正三角形，M是PD的中點(diǎn)，所以AM⊥PD，

又CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，

所以AM⊥平面PCD，

因?yàn)镻C?平面PCD，所以AM⊥PC．

(2)取AD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，

則EF=CD，EF//CD，

因?yàn)锳D⊥CD，所以EF⊥AD，

又在正△PAD中，PE⊥AD，

因?yàn)镋F∩PE=E，EF，PE?平面PEF，

所以AD⊥平面PEF，

正方形ABCD中，AD//BC，BC⊥平面PEF，

又EF，PF?平面PCD，

所以BC⊥EF，BC⊥PF，

所以∠PFE是側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，

因?yàn)镃D⊥平面PAD，EF//CD，

所以EF⊥平面PAD，

因?yàn)镻E?平面PAD，所以EF⊥PE，．

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)AD=2a，則EF=2a，PE=3a，

所以PF=PE2+EF2=(3a)2+(2a)2=7a，

所以sin∠PFE=PEPF=217，

即側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的正弦值為217．

(1)根據(jù)由面面垂直的性質(zhì)定