2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何解題專項(xiàng)模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距離為（）A.1B.2C.√3D.√62.已知直線l：x=1與平面α：x-y+z=0的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.垂直3.若三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)A在平面BCD上的射影為垂心，且BC=BD=2，∠BCD=120°，則三棱錐A-BCD的體積為（）A.1B.√2C.2D.√34.過點(diǎn)P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A.（0，0，1）B.（1，0，0）C.（0，1，0）D.（1，1，1）5.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別為正方體的對(duì)角線BD和CD的中點(diǎn)，則EF與AC所成的角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=2√2，∠ADC=45°，則四棱錐P-ABCD的體積為（）A.4B.6C.8D.107.已知點(diǎn)A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），則向量AB與向量AC的夾角余弦值為（）A.1/2B.1/3C.2/3D.√2/28.過點(diǎn)A（1，2，3）作平面α：x+y+z=6的垂線，垂足為B，則點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離為（）A.√2B.√3C.2D.39.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，則其側(cè)面與底面所成的二面角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為（）A.1B.√2C.√3D.211.已知點(diǎn)A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），則向量AB與向量AC的叉積的模長(zhǎng)為（）A.1B.√2C.√3D.212.過點(diǎn)P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離為（）A.1B.√2C.√3D.√6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別為正方體的對(duì)角線BD和CD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度為______。14.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=2√2，∠ADC=45°，則四棱錐P-ABCD的表面積為______。15.已知點(diǎn)A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），則向量AB與向量AC的夾角正弦值為______。16.過點(diǎn)P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)A在平面BCD上的射影為垂心，且BC=BD=2，∠BCD=120°，求三棱錐A-BCD的體積。18.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）到平面α：2x-y+3z=6的距離，并求點(diǎn)P在平面α上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)。19.（12分）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，E、F分別為正方體的對(duì)角線BD和CD的中點(diǎn)，求EF與平面BCD所成的角的正弦值。20.（12分）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=2√2，∠ADC=45°，求四棱錐P-ABCD的體積。21.（12分）已知點(diǎn)A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，2），求向量AB與向量AC的夾角余弦值，并判斷向量AB與向量AC是否垂直。22.（10分）過點(diǎn)P（2，1，3）作平面α：x+y+z=6的垂線，求垂足Q的坐標(biāo)，并求點(diǎn)P到平面α的距離。四、證明題（本大題共2小題，共30分。）23.（15分）已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，求證其側(cè)面與底面所成的二面角為60°。24.（15分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，求證點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為√3。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距離d=|1*1-2*1+3*1-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=√32.D解析：直線l：x=1與平面α：x-y+z=0的法向量為（1，-1，0），直線l的方向向量為（0，0，1），因?yàn)椋?，-1，0）·（0，0，1）=0，所以直線垂直于平面3.B解析：三棱錐A-BCD的體積V=1/3*S△BCD*AH，其中S△BCD=1/2*BC*BD*sin∠BCD=1/2*2*2*sin120°=2√3，AH=BC*sin∠BCH=2*sin60°=√3，所以V=1/3*2√3*√3=√24.A解析：過點(diǎn)P（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足Q滿足方程組：x=y=z，x+y+z=1，解得Q（0，0，1）5.C解析：E（1，1，1），F(xiàn)（1，0，1），向量EF（0，-1，0），向量AC（-1，-1，-2），cosθ=(0*(-1)+(-1)*(-1)+0*(-2))/√(0^2+(-1)^2+0^2)*√((-1)^2+(-1)^2+(-2)^2)=1/√6*√6=1，θ=60°6.B解析：四棱錐P-ABCD的體積V=1/3*S△ABD*PA，其中S△ABD=1/2*AB*AD=1/2*2*2=2，PA=2，所以V=1/3*2*2=67.C解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），cosθ=(2*1+0*(-1)+(-2)*(-1))/(√(2^2+0^2+(-2)^2)*√(1^2+(-1)^2+(-1)^2))=2/√8*√3=√6/38.C解析：點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離|AB|=√((1-0)^2+(2-0)^2+(3-1)^2)=2√2，點(diǎn)A到平面α的距離d=|1*1+2*1+3*1-6|/√(1^2+1^2+1^2)=29.C解析：正四棱錐側(cè)面與底面所成的二面角的平面角為∠PAO，其中AO=1，PO=√2，tanθ=PO/AO=√2，θ=60°10.A解析：點(diǎn)A1（0，0，2）到平面BCC1B1的距離即點(diǎn)A1到點(diǎn)B（1，1，0）的距離|A1B|=√((0-1)^2+(0-1)^2+(2-0)^2)=√6，但平面BCC1B1的法向量為（0，0，1），所以距離為111.B解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），向量AB×AC=（2，-2，-2），模長(zhǎng)為√(2^2+(-2)^2+(-2)^2)=√12=2√312.A解析：點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離|PQ|=√((1-0)^2+(0-0)^2+(1-1)^2)=1二、填空題答案及解析13.√2解析：E（1，1，1），F(xiàn)（1，0，1），EF=√((1-1)^2+(1-0)^2+(1-1)^2)=√1=114.16解析：四棱錐P-ABCD的表面積=S△ABD+S△ACD+S△BCD+S△PAB=4*2+2√2*√2=1615.√6/3解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），sinθ=|AB×AC|/(|AB|*|AC|)=√12/(√8*√3)=√6/316.√3解析：點(diǎn)Q到原點(diǎn)的距離|OQ|=√((0-0)^2+(0-0)^2+(1-0)^2)=1三、解答題答案及解析17.解析：三棱錐A-BCD的體積V=1/3*S△BCD*AH，其中S△BCD=1/2*BC*BD*sin∠BCD=1/2*2*2*sin120°=2√3，AH=BC*sin∠BCH=2*sin60°=√3，所以V=1/3*2√3*√3=√218.解析：點(diǎn)P（1，2，3）到平面α：2x-y+3z=6的距離d=|2*1-2*2+3*3-6|/√(2^2+(-1)^2+3^2)=√17/√14，投影點(diǎn)Q滿足方程組：x=1-2t/√14，y=2+t/√14，z=3-3t/√14，代入平面方程得t=√14/5，所以Q（1-2√14/70，2+√14/70，3-3√14/70）19.解析：向量EF（0，-1，0），向量n=（0，0，1）為平面BCD的法向量，cosθ=|EF·n|/(|EF|*|n|)=0，所以EF與平面BCD垂直，θ=90°20.解析：四棱錐P-ABCD的體積V=1/3*S△ABD*PA，其中S△ABD=1/2*AB*AD=1/2*2*2=2，PA=2，所以V=1/3*2*2=621.解析：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，-1），cosθ=(2*1+0*(-1)+(-2)*(-1))/(√(2^2+0^2+(-2)^2)*√(1^2+(-1)^2+(-1)^2))=2/√8*√3=√6/3，所以不垂直22.解析：過點(diǎn)P（2，1，3）作平面α：x+y+z=6的垂線，垂足Q滿足方程組：x=y=z，x+y+z=6，解得Q（2，2，2），點(diǎn)P到平面α的距離d=|2*2+2*2+2*2-6|/√(1^2+1^2