2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（空間幾何體切割與組合試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面均為等腰三角形，那么這個三棱錐的體積最大值為（）A.1B.2C.3D.42.已知一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，若用一個平行于底面的平面將該圓錐切割成一個小圓錐和一個圓錐臺，且小圓錐的體積是大圓錐體積的1/8，則這個圓錐臺的體積為（）A.18πB.24πC.27πD.30π3.一個三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，現(xiàn)用一個平面經(jīng)過其中一條側(cè)棱和底面的一條邊將其切割，則截面形狀可能是（）A.等腰三角形B.等腰梯形C.矩形D.菱形4.一個四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面均為等腰三角形，且側(cè)面與底面的夾角均為45°，則這個四棱錐的體積為（）A.2B.3C.4D.55.已知一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面均為等腰三角形，且側(cè)面與底面的夾角均為60°，則這個三棱錐的體積為（）A.1B.2C.3D.46.一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，若用一個平行于底面的平面將該圓錐切割成一個小圓錐和一個圓錐臺，且小圓錐的體積是大圓錐體積的1/9，則這個圓錐臺的體積為（）A.20πB.24πC.27πD.30π7.一個三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，現(xiàn)用一個平面經(jīng)過其中一條側(cè)棱和底面的一條邊將其切割，則截面形狀可能是（）A.等腰三角形B.等腰梯形C.矩形D.菱形8.一個四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面均為等腰三角形，且側(cè)面與底面的夾角均為60°，則這個四棱錐的體積為（）A.2B.3C.4D.59.一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面均為等腰三角形，且側(cè)面與底面的夾角均為45°，則這個三棱錐的體積為（）A.1B.2C.3D.410.已知一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，若用一個平行于底面的平面將該圓錐切割成一個小圓錐和一個圓錐臺，且小圓錐的體積是大圓錐體積的1/7，則這個圓錐臺的體積為（）A.21πB.24πC.27πD.30π二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）11.一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面均為等腰三角形，若這個三棱錐的體積為√3，則側(cè)面與底面的夾角為______度。12.一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，若用一個平行于底面的平面將該圓錐切割成一個小圓錐和一個圓錐臺，且小圓錐的體積是大圓錐體積的1/6，則這個圓錐臺的體積為______π。13.一個三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，現(xiàn)用一個平面經(jīng)過其中一條側(cè)棱和底面的一條邊將其切割，則截面形狀為______。14.一個四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面均為等腰三角形，且側(cè)面與底面的夾角均為60°，則這個四棱錐的體積為______。15.一個三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面均為等腰三角形，且側(cè)面與底面的夾角均為45°，則這個三棱錐的體積為______。三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分12分）一個三棱錐P-ABC的底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥底面ABC，PA=2，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)。（1）求證：平面PAF⊥平面PBC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。17.（本小題滿分12分）一個圓錐的底面半徑為R，母線長為l，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形。（1）求圓錐的高；（2）若用一根繩子繞圓錐的側(cè)面一周，再連接圓心與繩子兩端點(diǎn)，求繩子的最長長度。18.（本小題滿分14分）一個四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是CD的中點(diǎn)。（1）求證：PB⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABE的體積。19.（本小題滿分14分）一個三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱AA1=3，D是AC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)。（1）求證：平面A1DE⊥平面BCC1B1；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積。20.（本小題滿分14分）一個圓錐的底面半徑為R，母線長為l，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形。現(xiàn)用一個平行于底面的平面將該圓錐切割成一個小圓錐和一個圓錐臺，且小圓錐的體積是大圓錐體積的1/9。（1）求圓錐的高；（2）求圓錐臺的體積。四、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分12分）一個三棱錐P-ABC的底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥底面ABC，PA=3，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是AC的中點(diǎn)。（1）求證：平面PFG⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。22.（本小題滿分12分）一個圓錐的底面半徑為R，母線長為l，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為90°的扇形。（1）求圓錐的高；（2）若用一根繩子繞圓錐的側(cè)面一周，再連接圓心與繩子兩端點(diǎn)，求繩子的最長長度。23.（本小題滿分14分）一個四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是CD的中點(diǎn)。（1）求證：PB⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABE的體積。24.（本小題滿分14分）一個三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱AA1=4，D是AC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)。（1）求證：平面A1DE⊥平面BCC1B1；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積。25.（本小題滿分14分）一個圓錐的底面半徑為R，母線長為l，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為150°的扇形?，F(xiàn)用一個平行于底面的平面將該圓錐切割成一個小圓錐和一個圓錐臺，且小圓錐的體積是大圓錐體積的1/8。（1）求圓錐的高；（2）求圓錐臺的體積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：設(shè)三棱錐的高為h，底面面積為S。由題意，側(cè)面均為等腰三角形，且底面為正三角形，當(dāng)高h(yuǎn)與側(cè)棱垂直時，體積最大。此時，每個側(cè)面都是等腰三角形，且底面中心到頂點(diǎn)的距離為√3。由勾股定理得，h2+(√3/3)2=22，解得h=2√6/3。底面面積S=(√3/4)×22=√3。故體積最大值為V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×(2√6/3)=2√2。選項(xiàng)C正確。2.B解析：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為R=3，母線長為l=5。由相似三角形性質(zhì)，小圓錐的高為h/3，底面半徑為R/3=1。體積比等于相似比的立方，即(1/8)=((h/3)/(h))3，解得h/3=1/2，即h=3/2。小圓錐體積V1=(1/3)π(1)2(3/2)=π/2。大圓錐體積V=(1/3)πR2h=(1/3)π(3)2(5)=15π。故圓錐臺體積V臺=V-V1=15π-π/2=30π/2-π/2=24π。選項(xiàng)B正確。3.A解析：設(shè)側(cè)棱為PA，底面邊為BC。截面過側(cè)棱PA和底面邊BC，則截面必包含PA和BC。由于底面為正三角形，且D為AC中點(diǎn)，連接BD。在△PBD中，PB為側(cè)棱，BD為底面邊的一半，且∠PBD為直角（因?yàn)閭?cè)面與底面垂直），故截面為等腰三角形。選項(xiàng)A正確。4.A解析：底面為正方形，側(cè)面為等腰三角形，且與底面夾角45°。設(shè)高為h，則每個側(cè)面三角形的高為h，底邊為√2（正方形對角線的一半）。由勾股定理得，h2+(√2/2)2=22，解得h=√6/2。底面面積S=22=4。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×4×(√6/2)=2√6/3。選項(xiàng)A正確。5.B解析：同第4題，底面為正三角形，側(cè)面為等腰三角形，且與底面夾角60°。設(shè)高為h，則每個側(cè)面三角形的高為h，底邊為√3。由勾股定理得，h2+(√3)2=22，解得h=1。底面面積S=(√3/4)×22=√3。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×1=√3。選項(xiàng)B正確。6.C解析：同第2題，體積比等于相似比的立方，即(1/9)=((h/3)/(h))3，解得h/3=1/3，即h=1。小圓錐體積V1=(1/3)π(1)2(1)=π/3。大圓錐體積V=(1/3)πR2h=(1/3)π(3)2(5)=15π。故圓錐臺體積V臺=V-V1=15π-π/3=45π/3-π/3=27π。選項(xiàng)C正確。7.A解析：同第3題，截面過側(cè)棱PA和底面邊BC，則截面必包含PA和BC。由于底面為正三角形，且D為AC中點(diǎn)，連接BD。在△PBD中，PB為側(cè)棱，BD為底面邊的一半，且∠PBD為直角（因?yàn)閭?cè)面與底面垂直），故截面為等腰三角形。選項(xiàng)A正確。8.A解析：同第4題，底面為正方形，側(cè)面為等腰三角形，且與底面夾角60°。設(shè)高為h，則每個側(cè)面三角形的高為h，底邊為√3。由勾股定理得，h2+(√3/2)2=22，解得h=√13/2。底面面積S=22=4。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×4×(√13/2)=2√13/3。選項(xiàng)A正確。9.B解析：同第5題，底面為正三角形，側(cè)面為等腰三角形，且與底面夾角45°。設(shè)高為h，則每個側(cè)面三角形的高為h，底邊為√2。由勾股定理得，h2+(√2/2)2=22，解得h=√6/2。底面面積S=(√3/4)×22=√3。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×(√6/2)=√2。選項(xiàng)B正確。10.A解析：同第2題，體積比等于相似比的立方，即(1/7)=((h/3)/(h))3，解得h/3=1/√7，即h=√7/3。小圓錐體積V1=(1/3)π(1)2(√7/3)=π√7/9。大圓錐體積V=(1/3)πR2h=(1/3)π(3)2(5)=15π。故圓錐臺體積V臺=V-V1=15π-π√7/9=135π/9-π√7/9=(135-√7)π/9=21π。選項(xiàng)A正確。二、填空題答案及解析11.60解析：設(shè)側(cè)面與底面的夾角為θ。由題意，體積V=(√3/3)×22×sinθ×2=√3。解得sinθ=√3/4。θ=arcsin(√3/4)≈60°。故答案為60。12.24解析：同第2題，體積比等于相似比的立方，即(1/6)=((h/3)/(h))3，解得h/3=1/√6，即h=√6/3。小圓錐體積V1=(1/3)π(1)2(√6/3)=π√6/9。大圓錐體積V=(1/3)πR2h=(1/3)π(3)2(5)=15π。故圓錐臺體積V臺=V-V1=15π-π√6/9=135π/9-π√6/9=(135-√6)π/9=24π。故答案為24。13.等腰三角形解析：同第3題，截面過側(cè)棱PA和底面邊BC，則截面必包含PA和BC。由于底面為正三角形，且D為AC中點(diǎn)，連接BD。在△PBD中，PB為側(cè)棱，BD為底面邊的一半，且∠PBD為直角（因?yàn)閭?cè)面與底面垂直），故截面為等腰三角形。故答案為等腰三角形。14.2解析：同第4題，底面為正方形，側(cè)面為等腰三角形，且與底面夾角60°。設(shè)高為h，則每個側(cè)面三角形的高為h，底邊為√3。由勾股定理得，h2+(√3/2)2=22，解得h=√13/2。底面面積S=22=4。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×4×(√13/2)=2√13/3。故答案為2。15.3解析：同第5題，底面為正三角形，側(cè)面為等腰三角形，且與底面夾角45°。設(shè)高為h，則每個側(cè)面三角形的高為h，底邊為√2。由勾股定理得，h2+(√2/2)2=22，解得h=√6/2。底面面積S=(√3/4)×22=√3。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×(√6/2)=3。故答案為3。三、解答題答案及解析16.（1）證明：取AB中點(diǎn)F，連接CF。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以CF⊥AB。又因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥CF。又因?yàn)锳B⊥CF，所以CF⊥平面PAB。又因?yàn)锳F?平面PAB，所以CF⊥AF。又因?yàn)锳F⊥AB，所以AF⊥平面PBC。又因?yàn)槠矫鍼AF包含AF，平面PBC包含CF，且AF⊥CF，所以平面PAF⊥平面PBC。（2）解：取AB中點(diǎn)F，連接CF。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以CF⊥AB，且CF=√3。又因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥CF。所以三棱錐P-ABC的高為√3。底面面積S=(√3/4)×22=√3。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×√3=1。17.（1）解：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為l。由題意，側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，即扇形弧長為(2πR)×(120/360)=(2πR)/3。又因?yàn)樯刃位￠L等于底面周長，即2πR=(2πR)/3，解得R=3。由勾股定理得，l2=R2+h2，即52=32+h2，解得h=4。故圓錐的高為4。（2）解：設(shè)繩子兩端點(diǎn)為A、B，圓心為O。繩子的最長長度為OA+OB。由展開圖知，OA=OB=l=5。又因?yàn)椤螦OB=120°，所以O(shè)A+OB>√(OA2+OB2-2OA×OB×cos120°)=√(52+52-2×5×5×(-1/2))=√(50+25)=√75=5√3。故繩子的最長長度為5√3。18.（1）證明：取AC中點(diǎn)F，連接DF。因?yàn)锳BCD是矩形，所以AC⊥BD。又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BD。又因?yàn)锳C∩BD=F，所以PA⊥平面ABCD。又因?yàn)镻B?平面PAB，所以PB⊥AC。又因?yàn)镻B⊥平面PAC，所以PB⊥PC。又因?yàn)锳C∩PC=C，所以PB⊥平面PAC。（2）解：取AB中點(diǎn)E，連接PE。因?yàn)锳BCD是矩形，所以AB⊥AD。又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因?yàn)锳B∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。又因?yàn)镻E⊥AB，所以PE⊥平面ABCD。故PE為三棱錐P-ABE的高。PE=√(PA2+AE2)=√(22+(1/2)2)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。底面面積S△ABE=(1/2)×AB×BE=(1/2)×2×(1/2)=1/2。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×(1/2)×(√17/2)=√17/12。19.（1）證明：取AC中點(diǎn)F，連接DF。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以CF⊥AB。又因?yàn)锳A1⊥底面ABC，所以AA1⊥CF。又因?yàn)锳B⊥AA1，所以AB⊥平面AA1F。又因?yàn)镈E?平面AA1F，所以AB⊥DE。又因?yàn)镈E⊥A1F，所以DE⊥平面A1DE。（2）解：取AB中點(diǎn)E，連接A1E。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以BE⊥AB，且BE=√3。又因?yàn)锳A1⊥底面ABC，所以AA1⊥BE。故A1E為三棱柱ABC-A1B1C1的高。A1E=√(AA12+BE2)=√(32+(√3)2)=√(9+3)=√12=2√3。底面面積S△ABC=(√3/4)×22=√3。故體積V=S×h=√3×2√3=6。20.（1）解：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為l。由題意，側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，即扇形弧長為(2πR)×(120/360)=(2πR)/3。又因?yàn)樯刃位￠L等于底面周長，即2πR=(2πR)/3，解得R=3。由勾股定理得，l2=R2+h2，即52=32+h2，解得h=4。故圓錐的高為4。（2）解：同第2題，體積比等于相似比的立方，即(1/9)=((h/3)/(h))3，解得h/3=1/√7，即h=√7/3。小圓錐體積V1=(1/3)π(1)2(√7/3)=π√7/9。大圓錐體積V=(1/3)πR2h=(1/3)π(3)2(5)=15π。故圓錐臺體積V臺=V-V1=15π-π√7/9=135π/9-π√7/9=(135-√7)π/9=27π。故答案為27π。四、解答題答案及解析21.（1）證明：取AB中點(diǎn)F，連接CF。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以CF⊥AB。又因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥CF。又因?yàn)锳F⊥AB，所以AF⊥平面PAB。又因?yàn)镻F?平面PAB，所以PF⊥AF。又因?yàn)镻F⊥平面PAC，所以PF⊥PC。又因?yàn)锳C∩PC=C，所以PF⊥平面PAC。（2）解：取AB中點(diǎn)F，連接CF。因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以CF⊥AB，且CF=√3。又因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥CF。故三棱錐P-ABC的高為√3。底面面積S=(√3/4)×22=√3。故體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×√3×√3=1。22.（1）解：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為l。由題意，側(cè)面展開圖是圓心角為90°的扇形，即扇形弧長為(2πR)×(90/360)=(πR)/2。又因?yàn)樯刃位￠L等于底面周長，即2πR=(πR)/2，解得R=2。由勾股定理得，l2=R2+h2，即l2=22+h2，解得h=√2。故圓錐的高為√2。（2）解：設(shè)繩子兩端點(diǎn)為A、B，圓心為O。繩子的最長長度為OA+OB。由展開圖知，OA=OB=l。又因?yàn)椤螦OB=90°，所以O(shè)A+OB>√(OA2+OB2)=√(l2+l2)=√(2l2)=l√2。故繩子的最長長度為l√2。23.（1）證明：取AC中點(diǎn)F，連接DF。因?yàn)锳BCD是矩形，所以AC⊥BD。又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BD。又因?yàn)锳C∩BD=F，所以PA⊥平面ABCD。又因?yàn)镻B?平面PAB，所以PB⊥AC。又因?yàn)镻B⊥平面PAC，所以PB⊥PC。又因?yàn)锳C∩PC=C，所以PB⊥平面PAC。（2）解：取AB中點(diǎn)E，連接PE。因?yàn)锳BCD是矩形，所以AB⊥AD。又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因?yàn)锳B∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。又因?yàn)镻E⊥AB，所以PE⊥平面ABCD。故P