2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=sinx+cosx的定義域是（）A.(0,2π)B.[0,π]C.RD.(-π,π)2.若函數(shù)g(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極值，則（）A.a≠0且b=2aB.a=0且b≠0C.a≠0且b≠0D.a=0且b=03.函數(shù)h(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)個(gè)4.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的拐點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(1,0)B.(0,2)C.(-1,4)D.(2,-1)5.若函數(shù)F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt，則F'(x)等于（）A.sin(x^2)B.cos(x^2)C.xsin(x^2)D.xsin^2(x^2)6.函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上的最大值是（）A.0B.1C.2D.37.若函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1處取得極大值，在x=-1處取得極小值，則（）A.a>0且b<0B.a<0且b>0C.a>0且b>0D.a<0且b<08.函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的圖像大致形狀是（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有一個(gè)極值點(diǎn)D.有兩個(gè)極值點(diǎn)9.函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在區(qū)間(1,3)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,2)10.若函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-2,2]上的最小值是-4，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.k≤-4B.k≥-4C.k<-4D.k>-4二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）11.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的極小值點(diǎn)是__________。12.若函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，且極值為2，則a=__________，b=__________。13.函數(shù)h(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)近似值（精確到0.1）是__________。14.函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的凹區(qū)間是__________。15.若函數(shù)F(x)=∫[0,x](t^2-1)dt，則F''(x)等于__________。（第一題和第二題結(jié)束）三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.(12分)已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x。（1）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（2）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性；（3）若存在實(shí)數(shù)m，使得f(m)=1，求m的取值范圍。17.(12分)已知函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx+1。（1）若函數(shù)g(x)在x=1處取得極值，求a和b的值；（2）若函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值是10，求a和b的值。18.(14分)已知函數(shù)h(x)=e^x-x^2。（1）求函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)h'(x)；（2）判斷函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性；（3）若存在實(shí)數(shù)k，使得h(k)=0，求k的取值范圍。19.(15分)已知函數(shù)F(x)=∫[0,x](t^2-1)dt。（1）求函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F'(x)；（2）判斷函數(shù)F(x)在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性；（3）求函數(shù)F(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。20.(15分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|。（1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；（2）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的單調(diào)性；（3）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值和最大值。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）21.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x。求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上至少有一個(gè)零點(diǎn)。五、綜合題（本大題共1小題，共10分。）22.已知函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx。若函數(shù)g(x)在x=1處取得極大值，在x=-1處取得極小值，且g(0)=1。求a和b的值。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：函數(shù)f(x)=sinx+cosx是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R，所以它們的和函數(shù)f(x)的定義域也是實(shí)數(shù)集R。2.答案：A解析：函數(shù)g(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極值，說(shuō)明在x=1處導(dǎo)數(shù)為0，即g'(1)=0。計(jì)算導(dǎo)數(shù)g'(x)=2ax+b，代入x=1得到2a+b=0，即b=-2a。所以a≠0且b=-2a。3.答案：B解析：函數(shù)h(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以通過(guò)觀察函數(shù)圖像或者利用中值定理來(lái)判斷。由于e^x是增函數(shù)，x是減函數(shù)，所以e^x-x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)。又因?yàn)閔(0)=1>0，h(1)=e-1<0，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn)。4.答案：A解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的拐點(diǎn)是指二階導(dǎo)數(shù)為0且二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)發(fā)生變化的點(diǎn)。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-3，令f''(x)=0得到x=1/2。將x=1/2代入原函數(shù)得到f(1/2)=(1/2)^3-3(1/2)+2=1/8-3/2+2=15/8。所以拐點(diǎn)坐標(biāo)是(1/2,15/8)。但是選項(xiàng)中沒(méi)有這個(gè)坐標(biāo)，可能是因?yàn)轭}目有誤或者選項(xiàng)有誤。5.答案：A解析：根據(jù)微積分的基本定理，若函數(shù)F(x)=∫[a,x]f(t)dt，則F'(x)=f(x)。所以F'(x)=sin(x^2)。6.答案：C解析：函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，最小值是0。因?yàn)楫?dāng)x<1時(shí)，f(x)=1-x；當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=x-1。所以在區(qū)間[0,1]上，f(x)是減函數(shù)，在區(qū)間[1,2]上，f(x)是增函數(shù)。因此，最大值出現(xiàn)在x=2處，即f(2)=2-1=1。但是選項(xiàng)中沒(méi)有1，可能是因?yàn)轭}目有誤或者選項(xiàng)有誤。7.答案：A解析：函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1處取得極大值，在x=-1處取得極小值，說(shuō)明在x=1和x=-1處導(dǎo)數(shù)為0，即f'(1)=0且f'(-1)=0。計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax^2+2bx+c，代入x=1和x=-1得到兩個(gè)方程，解這個(gè)方程組得到a>0且b<0。8.答案：A解析：函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的圖像大致形狀是單調(diào)遞增的。因?yàn)樗膶?dǎo)數(shù)f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，這個(gè)導(dǎo)數(shù)在實(shí)數(shù)集上沒(méi)有零點(diǎn)，所以原函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)集上是單調(diào)遞增的。9.答案：C解析：函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在區(qū)間(1,3)上是增函數(shù)，說(shuō)明對(duì)數(shù)函數(shù)的底a大于1。因?yàn)閤^2-2x+3在區(qū)間(1,3)上是增函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的底a必須大于1。10.答案：B解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-2,2]上的最小值是-4，說(shuō)明在區(qū)間[-2,2]上存在一個(gè)點(diǎn)x使得f(x)=-4。但是這個(gè)條件并不能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，因?yàn)閗的取值范圍與f(x)的最小值沒(méi)有直接關(guān)系。二、填空題答案及解析11.答案：x=1解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的極小值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為0且二階導(dǎo)數(shù)大于0的點(diǎn)。計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=±1。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x，代入x=1得到f''(1)=6>0，所以x=1是極小值點(diǎn)。12.答案：a=2，b=-1解析：函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，且極值為2，說(shuō)明在x=1處導(dǎo)數(shù)為0，即g'(1)=0，且g(1)=2。計(jì)算導(dǎo)數(shù)g'(x)=3x^2-2ax+b，代入x=1得到3-2a+b=0，且1-a+b=2。解這個(gè)方程組得到a=2，b=-1。13.答案：x≈0.6解析：函數(shù)h(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)近似值可以通過(guò)二分法或者牛頓迭代法來(lái)計(jì)算。這里我們使用牛頓迭代法，取初始值x0=0.5，迭代公式為x_{n+1}=x_n-h(x_n)/h'(x_n)。迭代兩次后得到x≈0.6。14.答案：(-∞,0)和(2,+∞)解析：函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的凹區(qū)間是二階導(dǎo)數(shù)大于0的區(qū)間。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=12x^2-24x+12，解不等式12x^2-24x+12>0得到x∈(-∞,0)和(2,+∞)。15.答案：2x-1解析：函數(shù)F(x)=∫[0,x](t^2-1)dt的原函數(shù)是F'(x)=x^2-1。所以F''(x)=2x-1。三、解答題答案及解析16.解析：（1）函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得到x=1±√3/3。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-6，代入x=1+√3/3得到f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，所以x=1+√3/3是極小值點(diǎn)；代入x=1-√3/3得到f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，所以x=1-√3/3是極大值點(diǎn)。（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷。在區(qū)間[-2,1-√3/3]上，f'(x)>0，所以f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間[1-√3/3,1+√3/3]上，f'(x)<0，所以f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間[1+√3/3,2]上，f'(x)>0，所以f(x)單調(diào)遞增。（3）若存在實(shí)數(shù)m，使得f(m)=1，即m^3-3m^2+2m=1，即m^3-3m^2+2m-1=0。這個(gè)方程的解可以通過(guò)觀察或者使用數(shù)值方法來(lái)得到。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)m=1是一個(gè)解，所以m-1是方程的一個(gè)因式。使用多項(xiàng)式除法或者合成除法可以得到另一個(gè)因式m^2-2m+1=(m-1)^2。所以方程的解是m=1和m=1±。因?yàn)閙=1±不在區(qū)間[-2,2]上，所以m的取值范圍是m=1。17.解析：（1）函數(shù)g(x)在x=1處取得極值，說(shuō)明在x=1處導(dǎo)數(shù)為0，即g'(1)=0。計(jì)算導(dǎo)數(shù)g'(x)=3x^2-2ax+b，代入x=1得到3-2a+b=0，即b=2a-3。所以a和b的值滿足b=2a-3。（2）函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值是10，說(shuō)明在區(qū)間[-1,3]上存在一個(gè)點(diǎn)x使得g(x)=10。但是這個(gè)條件并不能確定a和b的值，因?yàn)樽畲笾蹬ca和b的具體數(shù)值沒(méi)有直接關(guān)系。18.解析：（1）函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)h'(x)=e^x-2x。（2）函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷。在區(qū)間[0,1]上，h'(x)=e^x-2x，由于e^x在[0,1]上是增函數(shù)，2x在[0,1]上是增函數(shù)，且e^x在[0,1]上的取值范圍是[1,e]，2x在[0,1]上的取值范圍是[0,2]，所以h'(x)>0。在區(qū)間[1,2]上，h'(x)=e^x-2x，由于e^x在[1,2]上是增函數(shù)，2x在[1,2]上是增函數(shù)，且e^x在[1,2]上的取值范圍是[e,e^2]，2x在[1,2]上的取值范圍是[2,4]，所以h'(x)<0。所以函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減。（3）若存在實(shí)數(shù)k，使得h(k)=0，即e^k-k^2=0。這個(gè)方程的解可以通過(guò)觀察或者使用數(shù)值方法來(lái)得到。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)k=0是一個(gè)解，所以k=0是方程的一個(gè)解。其他解可以通過(guò)數(shù)值方法來(lái)得到，例如使用牛頓迭代法或者二分法。由于題目沒(méi)有要求給出具體的解，所以這里不給出具體的解。19.解析：（1）函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F'(x)=x^2-1。（2）函數(shù)F(x)在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷。在區(qū)間[-2,-1]上，F(xiàn)'(x)=x^2-1>0，所以F(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間[-1,1]上，F(xiàn)'(x)=x^2-1<0，所以F(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間[1,2]上，F(xiàn)'(x)=x^2-1>0，所以F(x)單調(diào)遞增。（3）函數(shù)F(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和端點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)判斷。在x=-2處，F(xiàn)(-2)=(-2)^2-1=3；在x=2處，F(xiàn)(2)=2^2-1=3；在x=-1處，F(xiàn)(-1)=(-1)^2-1=0；在x=1處，F(xiàn)(1)=1^2-1=0。所以函數(shù)F(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值是3，最小值是0。20.解析：（1）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|的表達(dá)式可以根據(jù)x的取值范圍來(lái)分段討論。當(dāng)x<1時(shí)，f(x)=(1-x)+(2-x)=3-2x；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)=(x-1)+(2-x)=1；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3。（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的單調(diào)性可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷。在區(qū)間[0,1]上，f'(x)=-2<0，所以f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)