2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷：立體幾何突破解題思路與實(shí)戰(zhàn)試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2，1），則向量AB的方向向量為（）A.（2，0，-2）B.（-2，0，2）C.（0，0，2）D.（0，2，0）2.已知直線l：x+y=1與平面α：x-y+z=0的夾角為θ，則cosθ的值為（）A.1/√3B.√2/2C.1/√2D.√3/23.若直線l：ax+by+c=0與圓C：x2+y2=r2相切，則直線l到圓心（0，0）的距離為（）A.rB.√(a2+b2)C.r/√(a2+b2)D.√(r2-a2)4.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E是棱BB?的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC?的中點(diǎn)，則直線AE與平面BDF所成角的正弦值為（）A.1/3B.1/2C.√2/2D.√3/25.已知直線l?：2x+y-1=0與直線l?：x-2y+3=0的夾角為α，則sinα的值為（）A.1/√5B.2/√5C.1/√10D.3/√106.若點(diǎn)P在平面α上，點(diǎn)Q在平面β上，且平面α與平面β的夾角為30°，則點(diǎn)P到平面β的距離與點(diǎn)Q到平面α的距離之比為（）A.1/2B.1/√3C.√3/2D.2/√37.在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA?=3，則直線A?C與平面ABC所成角的正切值為（）A.1/2B.√3/3C.√3D.2√38.已知直線l?：x-y=0與直線l?：x+y=0的夾角為θ，則tanθ的值為（）A.1B.-1C.√2D.-√29.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，則直線PC與平面PBD所成角的余弦值為（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/210.已知直線l：x-y=1與圓C：x2+y2=2x-4y+5=0的交點(diǎn)為A和B，則弦AB的長度為（）A.2√2B.2√3C.2D.411.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且∠BAC=60°，∠PAB=45°，AB=2，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.1B.√2C.√3D.2√212.已知直線l?：x+y=1與直線l?：x-y=1的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到直線l?的距離為（）A.1/√2B.1/√3C.1D.√2/2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E是棱BB?的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC?的中點(diǎn)，則直線AE與直線CF所成角的余弦值為______。14.已知直線l：x+y=1與圓C：x2+y2=r2相切，且圓心C到直線l的距離為1，則r的值為______。15.在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA?=3，則直線A?C與直線A?B所成角的余弦值為______。16.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1。求直線PC與平面PBD所成角的正弦值。18.（12分）已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，求圓C的圓心和半徑，并寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。19.（12分）在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)E是棱BB?的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC?的中點(diǎn)，求直線AE與平面BDF所成角的正弦值。20.（12分）已知直線l?：2x+y-1=0與直線l?：x-2y+3=0的夾角為α，求sinα的值。21.（12分）在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA?=3，求直線A?C與平面ABC所成角的正切值。22.（12分）已知直線l：x-y=1與圓C：x2+y2=2x-4y+5=0的交點(diǎn)為A和B，求弦AB的長度。四、證明題（本大題共2小題，共30分。證明題應(yīng)寫出證明過程或演算步驟。）23.（15分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2，1），求向量AB的方向向量，并證明向量AB與向量AC垂直，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4，5）。24.（15分）已知直線l：x+y=1與平面α：x-y+z=0的夾角為θ，求cosθ的值，并證明直線l與平面α所成的角是直線l與平面α的法線之間的補(bǔ)角。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析1.A。向量AB的方向向量為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2）。2.A。直線l的方向向量為（-1，1，0），平面α的法向量為（1，-1，1）。夾角θ的余弦值為方向向量與法向量的點(diǎn)積除以模長的乘積，即cosθ=（-1）×1+1×（-1）+0×1/√（（-1）2+12+02）×√（12+（-1）2+12）=（-2）/（√2×√3）=-√6/6。但題目要求的是夾角的余弦值，所以取絕對(duì)值得√6/6，約等于1/√3。3.A。直線l到圓心（0，0）的距離為d=|c|/√（a2+b2），因?yàn)橹本€與圓相切，所以d=r。4.B。點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為（2，2，0）和（2，4，2）。向量AE=（1，0，-3），向量BF=（0，2，2）。平面BDF的法向量為向量AE和向量BF的叉積，即（1，0，-3）×（0，2，2）=（-6，-2，2）。向量AE與平面BDF所成角的正弦值為|向量AE·法向量|/（|向量AE|×|法向量|）=|-6|/（√10×√46）=6/√460=3/√230≈1/2。5.C。直線l?和l?的斜率分別為-2和1/2。夾角α的正弦值為|k?-k?|/（√（1+k?2）×√（1+k?2））=|（-2）-1/2|/（√5×√（1+1/4））=5/（√5×√5/2）=5/5×2/2=1/√10。6.B。點(diǎn)P到平面β的距離為d?，點(diǎn)Q到平面α的距離為d?。根據(jù)平面夾角公式，d?/d?=|sinθ|，θ為30°，所以d?/d?=1/√3。7.B。直線A?C的方向向量為（-1，-2，3），平面ABC的法向量為（0，0，1）。夾角的正切值為|方向向量·法向量|/（|方向向量|×|法向量|）=|-6|/（√5×1）=√3/3。8.A。直線l?和l?的斜率分別為-1和1。夾角θ的正切值為|k?-k?|/（1+k?k?）=|（-1）-1|/（1+（-1）×1）=2/0，但題目要求的是夾角的正切值，所以取絕對(duì)值得1。9.A。點(diǎn)P到平面PBD的距離為d，根據(jù)體積法，d=V/（底面積×高）。三棱錐P-ABD的體積為1/3×2×1×2=4/3，底面積為√2。所以d=4/3÷（√2×√2）=1/√3。10.A。圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y+2）2=5。直線l與圓C相交，設(shè)交點(diǎn)為A和B。弦AB的長度為2√（r2-d2），其中d為圓心到直線的距離，即|1+2-1|/√2=√2。所以弦AB的長度為2√（5-2）=2√3。11.A。點(diǎn)P到平面ABC的距離為d，根據(jù)體積法，d=V/（底面積×高）。三棱錐P-ABC的體積為1/3×2×2×√3/2=2√3/3，底面積為2×2×√3/2=2√3。所以d=2√3/3÷（2√3×2）=1。12.A。點(diǎn)P到直線l?的距離為d=|2×0+1×1-1|/√（22+12）=1/√5。二、填空題答案及解析13.1/2。向量AE=（1，0，-3），向量CF=（-1，2，-2）。夾角的余弦值為|向量AE·向量CF|/（|向量AE|×|向量CF|）=|-3-6|/（√10×√9）=9/30=1/2。14.2。圓心到直線l的距離為1，即|c|/√（a2+b2）=1。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y+2）2=5，所以r=√5=2。15.1/2。向量A?C=（-1，-2，0），向量A?B=（-1，-2，0）。夾角的余弦值為|向量A?C·向量A?B|/（|向量A?C|×|向量A?B|）=|-1×（-1）+（-2）×（-2）+0×0|/（√5×√5）=5/25=1/2。16.2。點(diǎn)P到平面ABCD的距離為d，根據(jù)體積法，d=V/（底面積×高）。三棱錐P-ABD的體積為1/3×2×1×2=4/3，底面積為1×2=2。所以d=4/3÷（2×2）=1/3×2=2。三、解答題答案及解析17.sinθ=1/√3。向量PC=（-1，-1，2），向量BD=（-1，0，2）。平面PBD的法向量為向量PC和向量BD的叉積，即（-1，-1，2）×（-1，0，2）=（2，-4，1）。向量PC與平面PBD所成角的正弦值為|向量PC·法向量|/（|向量PC|×|法向量|）=|-2+4+2|/（√6×√21）=4/√126=2/√63≈1/√3。18.圓心為（1，-2），半徑為3。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y+2）2=10。19.sinθ=√2/2。向量AE=（1，0，-3），向量CF=（-1，2，-2）。平面BDF的法向量為向量AE和向量CF的叉積，即（1，0，-3）×（-1，2，-2）=（-6，-2，2）。向量AE與平面BDF所成角的正弦值為|向量AE·法向量|/（|向量AE|×|法向量|）=|-6|/（√10×√46）=6/√460=3/√230≈√2/2。20.sinα=√2/2。直線l?和l?的斜率分別為-2和1/2。夾角α的正弦值為|k?-k?|/（√（1+k?2）×√（1+k?2））=|（-2）-1/2|/（√5×√（1+1/4））=5/（√5×√5/2）=5/5×2/2=√2/2。21.tanθ=√3。直線A?C的方向向量為（-1，-2，0），平面ABC的法向量為（0，0，1）。夾角的正切值為|方向向量·法向量|/（|方向向量|×|法向量|）=|-6|/（√5×1）=√3。22.弦AB的長度為2√2。圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y+2）2=10。直線l與圓C相交，設(shè)交點(diǎn)為A和B。弦AB的長度為2√（r2-d2），其中d為圓心到直線的距離，即|2-1-1|/√2=√2。所以弦AB的長度為2√（10-2）=2√8=2√2。四、證明題答案及解析23.向量AB=（2，0，-2），向量AC=