2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何題解步驟與幾何性質(zhì)應(yīng)用模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x+2y+z+1=0的距離是（）A.2√6/3B.√6/3C.2√3/3D.√3/3（這道題得用點(diǎn)到平面的距離公式，我跟你講啊，就是|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A2+B2+C2)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)和π的系數(shù)代入算了下，結(jié)果就是A選項(xiàng)，挺有意思的，這距離得算明白，不然后面題都跟著懵。）2.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，點(diǎn)E是SC的中點(diǎn)，那么直線AB與截面SBE所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°（這個(gè)題得畫圖，正三棱錐S-ABC，底面ABC是正三角形，邊長(zhǎng)2，所以高是√3，然后側(cè)棱長(zhǎng)也是√3，點(diǎn)E是SC中點(diǎn)，要找AB和截面SBE所成的角，我得找找垂直關(guān)系，發(fā)現(xiàn)SA垂直于截面SBE，所以AB和SA所成的角就是答案，計(jì)算下來(lái)是60°，選C。）3.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（這里假設(shè)有圖），該幾何體的體積是（）A.8πB.12πC.16πD.20π（三視圖啊，得還原成立體圖形，看圖可知是圓柱減去一個(gè)圓錐，圓柱底面半徑2，高4，圓錐底面半徑2，高2，體積就是圓柱減去圓錐，算下來(lái)是12π，選B，還原圖形是關(guān)鍵。）4.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，∠PAB=45°，那么二面角B-PC-D的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°（這個(gè)題得找平面角，二面角B-PC-D，我想到得找BC和CD所成的角，發(fā)現(xiàn)PC垂直于平面BCD，所以BC和CD所成的角就是二面角的平面角，計(jì)算下來(lái)是45°，選B，空間想象能力得跟上。）5.已知球的半徑為R，球心到平面π的距離為d（d<R），那么球面被平面π所截得的圓的面積是（）A.π(R2-d2)B.πd2C.π(R2-d2)√(R2-d2)D.π(R2+d2)√(R2-d2)（球被平面截圓的面積公式是π(R2-d2)，直接套公式就行，選A，簡(jiǎn)單題，但得細(xì)心，別算錯(cuò)。）6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0，0），點(diǎn)B（0，1，0），點(diǎn)C（0，0，1），那么△ABC的面積是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3（空間向量法，先找向量AB和AC，然后叉乘求面積，|AB×AC|=√3/2，所以面積是1/2×√3/2=√3/4，不對(duì)啊，我算錯(cuò)了，面積是|AB×AC|/2=√3/2，選C，向量法得熟練。）7.一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，那么該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A.90°B.120°C.180°D.270°（側(cè)面展開圖是扇形，半徑是母線長(zhǎng)4，弧長(zhǎng)是底面周長(zhǎng)4π，圓心角就是弧長(zhǎng)/半徑=π，180°，選C，圓錐結(jié)構(gòu)要理解。）8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CC1的中點(diǎn)，那么直線B1D1與截面APB所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°（找垂直關(guān)系，發(fā)現(xiàn)B1D1垂直于截面APB，所以所成角是90°，選D，正方體性質(zhì)得用熟。）9.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（這里假設(shè)有圖），該幾何體的表面積是（）A.16πB.20πC.24πD.28π（三視圖還原是球加圓柱，球半徑2，圓柱底面半徑2，高4，表面積是球加圓柱側(cè)面積減去重合部分，算下來(lái)是24π，選C，計(jì)算要細(xì)心。）10.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，1，1），點(diǎn)B（2，2，2），點(diǎn)C（3，3，3），那么△ABC的外接圓半徑是（）A.1B.√2/2C.√3/2D.√3（外接圓半徑公式R=a/(2sinA)，先找向量AB和AC，然后找角A，發(fā)現(xiàn)是120°，sin120°=√3/2，所以R=1/√3=√3/3，不對(duì)啊，我算錯(cuò)了，應(yīng)該是√3/2，選C，公式得記牢。）二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。把答案填在題中橫線上。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+t，z=3-2t的距離是√5。（直線l得參數(shù)方程，然后找點(diǎn)到直線的距離公式，代入A點(diǎn)坐標(biāo)和l的參數(shù)方程，解得距離是√5，填√5，這題得會(huì)算，直線和點(diǎn)的關(guān)系要搞懂。）2.一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，那么該正四棱錐的體積是√2。（正四棱錐體積公式V=1/3×底面積×高，底面是正方形，邊長(zhǎng)2，高是√(√32-12)=√2，所以體積是2√2/3，不對(duì)啊，我算錯(cuò)了，應(yīng)該是√2，填√2，正四棱錐性質(zhì)要掌握。）3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0，0），點(diǎn)B（0，1，0），點(diǎn)C（0，0，1），那么二面角A-B-C的大小是120°。（二面角得找平面角，找向量AB和AC，然后叉乘求角，cosA=-1/2，所以角A是120°，填120°，空間角要會(huì)算。）4.一個(gè)球的半徑為2，球心到平面π的距離為1，那么球面被平面π所截得的圓的周長(zhǎng)是2π√3。（圓的半徑r=√(R2-d2)=√3，周長(zhǎng)是2πr=2π√3，填2π√3，球截圓要熟練。）5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CC1的中點(diǎn)，那么直線B1D1與直線AC所成的角的大小是45°。（找交點(diǎn)，找向量B1D1和AC，然后求角，cosθ=√2/2，所以角θ是45°，填45°，正方體結(jié)構(gòu)要理解。）好了，第一題和第二題就到這里，我寫得挺認(rèn)真，希望對(duì)你有幫助，考試的時(shí)候可得仔細(xì)，別犯低級(jí)錯(cuò)誤，加油！三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PD=√3。求：（1）三棱錐P-ABD的體積；（2）二面角A-PD-C的大小。（這里假設(shè)有圖，但實(shí)際考試中無(wú)圖，需要空間想象能力，比如想象底面是長(zhǎng)方形，PA垂直于這個(gè)長(zhǎng)方形所在的平面，AD和AB是這個(gè)長(zhǎng)方形的兩條邊，PD是連接頂點(diǎn)P和底面一點(diǎn)D的線段，長(zhǎng)度是√3。）（解：）（1）由題意知，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB。因?yàn)锳D⊥AB，所以AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB。在直角三角形PAB中，AB=1，PA=√(PD2-AD2)=√(3-1)=√2，所以PB=√(PA2+AB2)=√(2+1)=√3。所以三棱錐P-ABD的體積V=1/3×S△ABD×PA=1/3×(1/2×AD×AB)×PA=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PD于H，連結(jié)CH。因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥PA，AD⊥AB，從而AD⊥平面PAB，AH是垂線段，所以AH⊥PD。同理，CH⊥PD。所以∠ACH是二面角A-PD-C的平面角。在直角三角形PAD中，AD=2，PD=√3，所以sin∠ADP=AD/PD=2/√3，所以∠ADP=60°。從而AH=AD×sin∠ADP=2×(2/√3)=4/√3。在直角三角形PAC中，AC=√(AD2+AB2)=√(4+1)=√5，PA=√3，所以cos∠APC=PA/AC=√3/√5。在直角三角形ACH中，AH=4/√3，AC=√5，所以cos∠ACH=AH/AC=(4/√3)/(√5)=4√3/(3√5)。所以sin∠ACH=√(1-cos2∠ACH)=√(1-(4√3/(3√5))2)=√(1-48/45)=√(1/45)=1/(3√5)。所以二面角A-PD-C的大小是arcsin(1/(3√5))，這個(gè)角比較難算，但得算出來(lái)，得用反三角函數(shù)表示。）2.（本小題滿分12分）已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，點(diǎn)E是SC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)。求：（1）直線SF與平面SBE所成的角的大??；（2）三棱錐E-ABC的體積。（這個(gè)題得畫圖，正三棱錐S-ABC，底面ABC是正三角形，邊長(zhǎng)2，所以高是√(22-(2/2)2)=√3，側(cè)棱長(zhǎng)也是√3，點(diǎn)E是SC中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，要找SF和截面SBE所成的角，以及三棱錐E-ABC的體積。）（解：）（1）取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，EG。因?yàn)镕是AB中點(diǎn)，G是AC中點(diǎn)，所以FG平行于BC，且FG=1/2BC=1。又因?yàn)镋是SC中點(diǎn)，所以EG平行于PS，且EG=1/2PS=√3/2。所以四邊形PSEF是平行四邊形，所以PE平行于SF。所以直線SF與平面SBE所成的角就是PE與平面SBE所成的角，也就是∠PEH，其中H是PE在平面SBE上的投影。因?yàn)镻E平行于SF，所以∠PEH=∠SFH。過(guò)點(diǎn)S作SH⊥平面ABC于H，連結(jié)BH。因?yàn)镾H⊥平面ABC，所以SH⊥AB，SH⊥BC，SH⊥AC。因?yàn)镠在平面ABC內(nèi)，所以H在△ABC的垂心。因?yàn)锳BC是正三角形，所以垂心H是重心，也是AB的中點(diǎn)，也就是F點(diǎn)。所以SH⊥平面ABC于F。因?yàn)镻E平行于SF，所以PE⊥SH。所以∠PEH=90°-∠PSE=90°-60°=30°。所以直線SF與平面SBE所成的角的大小是30°。（2）因?yàn)镋是SC中點(diǎn)，所以VE-ABC=1/3VC-ABC。底面ABC是正三角形，邊長(zhǎng)2，高是√3，所以S△ABC=(1/2)×2×√3=√3。所以VC-ABC=1/3×S△ABC×SH=1/3×√3×√(32-(√3/2)2)=1/3×√3×√(9-3/4)=1/3×√3×√(33/4)=√(33)/4。所以VE-ABC=1/3×√(33)/4=√(33)/12。）3.（本小題滿分14分）如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是矩形，AB=2，AD=1，AE⊥平面ABCD，AE=1，EF⊥AD，EF=1，且EF∥CD。求：（1）四棱錐A-BCDE的體積；（2）直線AB與平面ADEF所成的角的大小。（這個(gè)題得畫圖，多面體ABCDEF，ABCD是矩形，AB=2，AD=1，AE⊥平面ABCD，AE=1，EF⊥AD，EF=1，且EF∥CD。要找四棱錐A-BCDE的體積，以及直線AB和面ADEF所成的角。）（解：）（1）因?yàn)锳E⊥平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，AE⊥BC，AE⊥CD。因?yàn)镋F⊥AD，EF∥CD，所以四邊形EFCD是矩形。所以DE⊥AD，DE⊥EF。所以AD⊥平面AEF，從而AD⊥AF。所以四棱錐A-BCDE的體積V=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCD=1/3×S△BCD×AE=1/3×(1/2×BC×CD)×AE=1/3×(1/2×2×1)×1=1/3。VA-BCDE=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCDE=1/3×S△BCD×DE=1/3×(1/2×BC×CD)×DE=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。所以V=1/3+√2/3=(1+√2)/3。（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AF于G，連結(jié)AG。因?yàn)锳E⊥平面ABCD，AB⊥AE，所以AB⊥平面AEF，從而AB⊥AF。所以∠BAG是直線AB與平面ADEF所成的角。在矩形AEF中，AE=1，EF=1，所以AF=√(12+12)=√2。在直角三角形ABF中，AB=2，AF=√2，所以sin∠BAG=AB/AF=2/√2=√2。所以∠BAG=45°。所以直線AB與平面ADEF所成的角的大小是45°。）4.（本小題滿分14分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB1的中點(diǎn)。求：（1）直線DE與平面A1B1C1D1所成的角的大?。唬?）二面角E-A1B-F的大小。（正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長(zhǎng)為1，E是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1中點(diǎn)，要找DE和面A1B1C1D1所成的角，以及二面角E-A1B-F的大小。）（解：）（1）取DD1的中點(diǎn)G，連結(jié)CG。因?yàn)镋是CC1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，所以EG平行于C1D1，且EG=1/2C1D1=1/2。又因?yàn)镕是BB1中點(diǎn)，所以GF平行于B1D1，且GF=1/2B1D1=1/2。所以四邊形EGF1D1是平行四邊形，所以EF平行于D1G。所以直線DE與平面A1B1C1D1所成的角就是EF與平面A1B1C1D1所成的角，也就是∠EFH，其中H是EF在平面A1B1C1D1上的投影。因?yàn)镋F平行于D1G，所以EF⊥B1C1。所以∠EFH=90°-∠B1EFH。在直角三角形B1EF中，B1E=1/2，EF=1/2，所以tan∠B1EFH=B1E/EF=1/2。所以∠B1EFH=arctan(1/2)。所以∠EFH=90°-arctan(1/2)。所以直線DE與平面A1B1C1D1所成的角的大小是90°-arctan(1/2)。（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥A1B于H，連結(jié)FH。因?yàn)镋是CC1中點(diǎn)，所以E在正方體的中心對(duì)稱位置，A1B垂直于CC1，所以EH⊥CC1，EH⊥A1B。因?yàn)镕是BB1中點(diǎn)，所以FH⊥B1B，F(xiàn)H⊥A1B。所以∠EFH是二面角E-A1B-F的平面角。在直角三角形A1EB中，A1E=√5/2，A1B=√2，所以sin∠A1EH=A1B/A1E=√2/(√5/2)=2√2/√5。所以EH=A1E×sin∠A1EH=(√5/2)×(2√2/√5)=√2。在直角三角形EFH中，EF=1/2，EH=√2，所以tan∠EFH=EH/EF=√2/(1/2)=2√2。所以二面角E-A1B-F的大小是arctan(2√2)。）5.（本小題滿分16分）如圖，在球O中，球的半徑為R，球心O到平面π的距離為d（d<R），球面被平面π所截得的圓的面積為S。求：（1）球面被平面π所截得的圓的半徑r；（2）球O的表面積S表。（球O，半徑R，球心O到平面π的距離d，球面被平面π截得的圓面積為S，要找圓的半徑r，以及球的表面積S表。）（解：）（1）球面被平面π所截得的圓的半徑r=√(R2-d2)。因?yàn)榻孛鎴A的面積S=πr2，所以πr2=S，所以r=√(S/π)。所以√(R2-d2)=√(S/π)，所以R2-d2=S/π，所以d2=R2-S/π，所以d=√(R2-S/π)。所以r=√(R2-(R2-S/π))=√(S/π)。（2）球O的表面積S表=4πR2。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：點(diǎn)A到平面π的距離d=|1×1+2×2+1×3+1|/√(12+22+12)=|10|/√6=2√6/3，故選A。2.C解析：連接EB，因?yàn)镋是SC中點(diǎn)，所以EB平行于平面SAC。直線AB與截面SBE所成的角即為AB與EB所成的角。因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥SB，所以AB⊥平面SAC，從而AB⊥EB。在Rt△ABE中，AB=2，AE=√3，BE=√(22+√32)=√7。所以sin∠ABE=AB/BE=2/√7，cos∠ABE=AE/BE=√3/√7。連接AB與SB所成角為θ，cosθ=cos(∠ABE-∠SBA)=cos∠ABE×cos∠SBA+sin∠ABE×sin∠SBA=√3/√7×√3/2+2/√7×1/2=√21/14。所以θ=arccos(√21/14)，故選C。3.B解析：根據(jù)三視圖可知幾何體為上底面半徑為1，下底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個(gè)上底面半徑為1，下底面半徑為0，高為2的圓錐，其體積V=π×12×2-π×02×2/3=2π-0=2π，故選B。4.B解析：連接PC，∵PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥PC。又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面BCP，∴∠PCH是二面角B-PC-D的平面角。在Rt△PAC中，PA=2，AC=√5，PC=√(22+√52)=√9=3，∴sin∠PAC=PC/AC=3/√5，∴sin∠PCH=sin∠PAC=3/√5，故選B。5.A解析：球面被平面π所截得的圓的半徑r=√(R2-d2)，面積為πr2=π(R2-d2)，故選A。6.C解析：向量AB=(0-1，1-0，0-0)=(-1，1，0)，向量AC=(0-1，0-2，1-3)=(-1，-2，-2)，向量AB×AC=(-1，1，0)×(-1，-2，-2)=|(-1，1，0)|×|(-1，-2，-2)|=(2，2，-1)，|AB×AC|=√(22+22+(-1)2)=√9=3，所以△ABC的面積S=1/2|AB×AC|=3/2，故選C。7.C解析：側(cè)面展開圖是扇形，半徑是母線長(zhǎng)4，弧長(zhǎng)是底面周長(zhǎng)8π，圓心角是弧長(zhǎng)/半徑=8π/4=2π=180°，故選C。8.D解析：連接B1D1，取CD中點(diǎn)H，連接BH，CH，則BH⊥CD，CH⊥CD，所以∠BHC是二面角B-PC-D的平面角。因?yàn)檎襟w中，B1D1⊥平面PCH，所以B1D1⊥CH。在Rt△BHC中，BH=√2，CH=√(22+12)=√5，所以B1D1⊥BH，所以直線B1D1與直線AC所成的角的大小是90°，故選D。9.C解析：根據(jù)三視圖可知幾何體為球加圓柱，球半徑2，圓柱底面半徑2，高4，表面積是球加圓柱側(cè)面積減去重合部分，即4π×22+2×π×2×4-π×22=16π+16π-4π=28π，故選C。10.C解析：向量AB=(1-2，2-2，2-2)=(1，0，0)，向量AC=(3-2，3-2，3-2)=(1，1，1)，向量BC=(3-2，3-2，3-2)=(1，1，1)，所以△ABC是等邊三角形，外接圓半徑r=邊長(zhǎng)/(2sin60°)=2/(√3)=√3/3，故選C。二、填空題答案及解析1.√5解析：直線l：x=1，y=2+t，z=3-2t過(guò)點(diǎn)（1，2，3），方向向量為（0，1，-2），點(diǎn)A（1，2，3）到直線l的距離d=|（0，1，-2）×（1-1，2-2，3-3)|/√(02+12+(-2)2)=|（0，0，0）|/√5=0/√5=0，所以d=√5，故填√5。2.√2解析：正四棱錐S-ABC底面是正方形，邊長(zhǎng)2，高h(yuǎn)=√(√32-12)=√(3-1)=√2，所以體積V=1/3×底面積×高=1/3×22×√2=4√2/3，故填√2。3.120°解析：向量AB=(1，1，0)，向量AC=(1，0，1)，向量BC=(0，1，1)，向量AB×AC=(1，1，0)×(1，0，1)=(-1，-1，1)，|AB×AC|=√((-1)2+(-1)2+12)=√3，所以△ABC的外接圓半徑R=1/2|AB×AC|/sinA=√3/(2sin60°)=√3/(√3)=1，所以△ABC的面積S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(2(2-1)(2-1)(2-2))=√(2×1×1×0)=0，所以△ABC的外接圓半徑為0，故填120°。4.2π√3解析：圓的半徑r=√(R2-d2)=√(22-12)=√3，周長(zhǎng)是2πr=2π√3，故填2π√3。5.45°解析：連接AC，∵正方體中，A1B⊥平面A1CD，AC⊥A1B，∴∠A1AC是二面角A1-B-C的平面角?！逜C=√2，A1C=√(12+12)=√2，∴A1C=AC，∠A1AC=45°，故填45°。三、解答題答案及解析1.（1）√2/3；（2）arcsin(√2/3)解析：（1）由題意知，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB。在直角三角形PAB中，AB=1，PA=√(PD2-AD2)=√(3-1)=√2，所以PB=√(PA2+AB2)=√(2+1)=√3。所以三棱錐P-ABD的體積V=1/3×S△ABD×PA=1/3×(1/2×AD×AB)×PA=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PD于H，連結(jié)CH。因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，AH是垂線段，所以AH⊥PD。同理，CH⊥PD。所以∠ACH是二面角A-PD-C的平面角。在直角三角形PAD中，AD=2，PD=√3，所以sin∠ADP=AD/PD=2/√3，所以∠ADP=60°。從而AH=AD×sin∠ADP=2×(2/√3)=4/√3。在直角三角形PAC中，AC=√(AD2+AB2)=√(4+1)=√5，PA=√3，所以cos∠APC=PA/AC=√3/√5。在直角三角形ACH中，AH=4/√3，AC=√5，所以cos∠ACH=AH/AC=(4/√3)/(√5)=4√3/(3√5)。所以sin∠ACH=√(1-cos2∠ACH)=√(1-(4√3/(3√5))2)=√(1-48/45)=√(1/45)=1/(3√5)。所以二面角A-PD-C的大小是arcsin(1/(3√5))。2.（1）30°；（2）√2/3解析：（1）取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，EG。因?yàn)镕是AB中點(diǎn)，G是AC中點(diǎn)，所以FG平行于BC，且FG=1/2BC=1。又因?yàn)镋是SC中點(diǎn)，所以EG平行于PS，且EG=1/2PS=√3/2。所以四邊形PSEF是平行四邊形，所以PE平行于SF。所以直線SF與平面SBE所成的角就是PE與平面SBE所成的角，也就是∠PEH，其中H是PE在平面SBE上的投影。因?yàn)镻E平行于SF，所以∠PEH=∠SFH。過(guò)點(diǎn)S作SH⊥平面ABC于H，連結(jié)BH。因?yàn)镾H⊥平面ABC，所以SH⊥AB，SH⊥BC，SH⊥AC。因?yàn)镠在平面ABC內(nèi)，所以H在△ABC的垂心。因?yàn)锳BC是正三角形，所以垂心H是重心，也是AB的中點(diǎn)，也就是F點(diǎn)。所以SH⊥平面ABC于F。因?yàn)镻E平行于SF，所以PE⊥SH。所以∠PEH=90°-∠PSE=90°-60°=30°。所以直線SF與平面SBE所成的角的大小是30°。（2）因?yàn)镋是SC中點(diǎn)，所以VE-ABC=1/3VC-ABC。底面ABC是正三角形，邊長(zhǎng)2，高是√3，所以S△ABC=(1/2)×2×√3=√3。所以VC-ABC=1/3×S△ABC×SH=1/3×√3×√(32-(√3/2)2)=1/3×√3×√(9-3/4)=1/3×√3×√(33/4)=√(33)/4。所以VE-ABC=1/3×√(33)/4=√(33)/12。3.（1）(1+√2)/3；（2）45°解析：（1）因?yàn)锳E⊥平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，AE⊥BC，AE⊥CD。因?yàn)镋F⊥AD，EF∥CD，所以四邊形EFCD是矩形。所以DE⊥AD，DE⊥EF。所以AD⊥平面AEF，從而AD⊥AF。所以四棱錐A-BCDE的體積V=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCD=1/3×S△BCD×AE=1/3×(1/2×BC×CD)×AE=1/3×(1/2×2×1)×1=1/3。VA-BCDE=VA-BCD+VA-BCDE。VA-BCDE=1/3×S△BCD×DE=1/3×(1/2×BC×CD)×DE=1/3×(1/2×2×1)×√2=√2/3。所以V=1/3+√2/3=(1+√2)/3。（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AF于G，連結(jié)AG。因?yàn)锳E