蘇教版高一數學必修一教學課件第一單元主題導入集合與函數初步是高中數學的核心基礎，它們構成了數學思維的基本框架。在開始學習之前，讓我們先思考一下：在我們的日常生活中，哪些例子可以用"集合"來描述呢？例如：1班級中的學生群體可以表示為一個集合，其中每個學生都是這個集合中的一個元素2圖書館中的圖書分類不同類別的書籍可以構成不同的集合，如文學類圖書集合、科學類圖書集合等3商場中的商品種類可以按照不同的分類方式組成各種集合，比如按價格、種類或品牌等集合思想幫助我們系統(tǒng)地組織和分析信息，而函數則描述了變量之間的對應關系，這兩個概念共同構成了理解和解決實際問題的重要工具。集合的定義與表示方法集合的基本定義集合是具有某種特定性質的事物的全體，集合中的事物稱為該集合的元素。集合具有三個基本特性：確定性對于任何一個給定的對象，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，不存在模糊的情況互異性集合中的元素都是互不相同的，每個元素在集合中只出現(xiàn)一次無序性集合中元素的排列順序不影響集合本身，只關注元素是否屬于集合集合的三種表示方法列舉法將集合中的所有元素一一列舉出來，用大括號括起來，元素之間用逗號分隔。例如：A={1,2,3,4,5}描述法用元素具有的共同特征來描述集合，格式為：{x|x具有某種特性}例如：B={x|x是小于10的正整數}Venn圖用封閉曲線（通常是圓或橢圓）表示集合，曲線內的點表示集合中的元素集合中元素的基本性質元素與集合的關系對于任意元素x和集合A，x與A的關系只有兩種可能：屬于關系(∈)若x是集合A中的元素，則稱x屬于A，記作x∈A例如：對于集合A={1,3,5,7,9}，有3∈A不屬于關系(?)若x不是集合A中的元素，則稱x不屬于A，記作x?A例如：對于集合A={1,3,5,7,9}，有2?A元素與元素的區(qū)別需要注意的是，元素本身可能也是一個集合，但我們要區(qū)分"屬于"與"包含"的關系：例如：若A={1,2,{3,4}}，則有：1∈A（1是A的元素）{3,4}∈A（集合{3,4}是A的一個元素）但3?A（3不是A的元素，而是A中一個元素{3,4}的元素）實際例題講解例題1：已知集合A={x|x是20以內的質數}，判斷下列各數是否屬于集合A。解答：A={2,3,5,7,11,13,17,19}2∈A（2是20以內的質數）4?A（4不是質數）15?A（15不是質數）17∈A（17是20以內的質數）例題2：對于集合B={?,{?},{?,{?}}},判斷以下關系是否成立。?∈B（?空集是B的元素）{?}∈B（?{?}是B的元素）??B（?空集是任何集合的子集）集合的分類與常見集合集合的基本分類1有限集合含有有限個元素的集合例如：A={1,2,3,4,5}是一個有限集合，包含5個元素2無限集合含有無限多個元素的集合例如：B={x|x是自然數}是一個無限集合特殊集合空集(?)不含任何元素的集合，記作?或{}例如：C={x|x既是奇數又是偶數}=?全集(U)在討論問題時所涉及的所有元素構成的集合全集的具體內容取決于具體問題的背景常用數集自然數集(N)N={0,1,2,3,...}注意：有些教材中自然數不包含0，記作N+={1,2,3,...}整數集(Z)Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}有理數集(Q)Q={m/n|m∈Z,n∈N+}即所有可以表示為兩個整數之比的數的集合實數集(R)包含所有有理數和無理數的集合幾何上對應于數軸上的所有點集合的子集子集的定義如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。真子集與非真子集真子集如果A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A?B例如：對于集合A={1,2}和B={1,2,3}，有A?B非真子集如果A?B且A=B，則A是B的非真子集例如：對于集合A={1,2,3}和B={1,2,3}，有A?B但A不是B的真子集空集與全集的特殊性質空集?是任何集合的子集任何集合都是全集U的子集任何非空集合A都有至少兩個子集：?和A本身?？祭}：判斷子集個數例題：若集合A有n個元素，求A的所有子集的個數。解答：對于n個元素的集合，每個元素都有"取"與"不取"兩種選擇，根據乘法原理，子集總數為2n個。元素個數子集個數真子集個數020=10121=21222=43323=87n2n2n-1集合的基本運算集合的并集集合A與集合B的并集是由所有屬于A或屬于B的元素組成的集合，記作A∪B。A∪B={x|x∈A或x∈B}集合的交集集合A與集合B的交集是由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，記作A∩B。A∩B={x|x∈A且x∈B}集合的補集在給定的全集U中，集合A的補集是由所有屬于U但不屬于A的元素組成的集合，記作Ac或U-A或~A。Ac={x|x∈U且x?A}集合的差集集合A與集合B的差集是由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合，記作A-B。A-B={x|x∈A且x?B}=A∩Bc運算優(yōu)先級集合運算的優(yōu)先級從高到低為：補集運算（Ac）交集運算（∩）并集運算（∪）差集運算（-）運算的Venn圖表達兩集合Venn圖演示Venn圖是表示集合關系的直觀方法，通常用圓形或橢圓形來表示集合，全集U用矩形表示。并集A∪B在Venn圖中，A∪B表示為A和B兩個圓的所有區(qū)域（陰影部分）交集A∩B在Venn圖中，A∩B表示為A和B兩個圓的重疊區(qū)域（陰影部分）補集Ac在Venn圖中，Ac表示為全集U中除A以外的所有區(qū)域（陰影部分）差集A-B在Venn圖中，A-B表示為只屬于A而不屬于B的區(qū)域（陰影部分）三集合Venn圖演示三個集合的Venn圖包含8個區(qū)域，分別對應三個集合的各種包含與不包含關系。運算實際應用場景集合運算在實際問題中有廣泛應用：1數據庫查詢數據庫中的SQL查詢語句使用AND、OR和NOT，對應集合的交集、并集和補集運算2網絡搜索搜索引擎使用集合運算來組合關鍵詞，如"蘋果AND電腦NOT水果"市場調查分析不同產品用戶群體的重疊部分，如"同時使用產品A和產品B的用戶數"邏輯推理集合基本運算典型例題例題1：集合運算的基本應用已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,5,6}，求：(1)A∪B(2)A∩B(3)A-B(4)B-A解答：(1)A∪B={1,2,3,5,6,7}(2)A∩B={3,5}(3)A-B={1,7}(4)B-A={2,6}例題2：集合運算綜合應用已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}，求：(1)Ac(2)Ac∩B(3)(A∪B)c解答：(1)Ac={2,4,6,8,10}(2)Ac∩B={2}(3)(A∪B)c={4,6,8,10}例題3：復雜集合運算已知全集U和集合A、B、C，請將下列集合在Venn圖中表示出來：(1)(A∩B)∪C(2)A∩(B∪C)(3)(A∪B)∩(A∪C)解答：通過Venn圖分析，可以得出：(1)(A∩B)∪C表示A和B的交集與C的并集(2)A∩(B∪C)表示A與B和C的并集的交集(3)(A∪B)∩(A∪C)表示A和B的并集與A和C的并集的交集教學小結：運算易錯點提醒1計算順序錯誤務必按照優(yōu)先級順序進行計算：補集>交集>并集>差集2補集符號位置注意區(qū)分(A∪B)c和Ac∪Bc的不同3集合元素重復計數計算并集時要避免元素重復計數，并集中的每個元素只出現(xiàn)一次4全集范圍界定計算補集時必須明確全集U的范圍，否則結果可能不同集合及運算綜合應用高考真題講解【2022年高考題】已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={1,2,4,6,8}，B={2,3,4,5,9}，求：(1)A∪(B∩Ac)(2)(Ac∩B)c∪(A∩B)解析：步驟1：先確定各集合Ac={3,5,7,9}B∩Ac={3,5,9}A∩B={2,4}步驟2：計算最終結果(1)A∪(B∩Ac)={1,2,3,4,5,6,8,9}(2)(Ac∩B)c={1,2,4,6,7,8}(Ac∩B)c∪(A∩B)={1,2,4,6,7,8}生活實際問題案例案例：某學校對100名學生進行了一項調查，了解他們對數學(M)、物理(P)和化學(C)三門課程的喜好情況，調查結果如下：喜歡數學的有45人喜歡物理的有38人喜歡化學的有40人同時喜歡數學和物理的有20人同時喜歡數學和化學的有15人同時喜歡物理和化學的有12人三門課都喜歡的有8人問題：(1)有多少人至少喜歡一門課？(2)只喜歡數學的學生有多少人？解答：使用集合運算，我們可以得到：n(M∪P∪C)=n(M)+n(P)+n(C)-n(M∩P)-n(M∩C)-n(P∩C)+n(M∩P∩C)=45+38+40-20-15-12+8=84因此，至少喜歡一門課的有84人只喜歡數學的學生人數=n(M)-n(M∩P)-n(M∩C)+n(M∩P∩C)=45-20-15+8=18人集合的性質總結交集與并集的基本性質1交換律A∪B=B∪AA∩B=B∩A2結合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合代數中的恒等式冪等律A∪A=AA∩A=A吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A補集的性質A∪Ac=UA∩Ac=?(Ac)c=A德摩根律(A∪B)c=Ac∩Bc(A∩B)c=Ac∪Bc德摩根律是集合論中非常重要的定律，它說明了補集與并集、交集之間的關系集合應用思維導圖集合基本概念定義與特性元素與集合關系表示方法集合間的關系子集與真子集相等集合包含關系判定集合的運算并集與交集補集與差集運算優(yōu)先級集合運算律交換律、結合律分配律德摩根律實際應用計數問題統(tǒng)計問題邏輯問題本思維導圖展示了集合論知識的邏輯關系，從基本概念出發(fā)，通過集合間的關系、集合的運算，到集合運算律和實際應用，形成了一個完整的知識體系。學生可以通過這個思維導圖，梳理集合論的知識脈絡，明確各知識點之間的聯(lián)系，從而更好地理解和掌握集合論的內容。課后習題解答與講評典型錯題分析錯題1：集合表示混淆錯誤：將集合{1,2,3}與元素1混淆正確理解：{1,2,3}是一個集合，而1是一個元素；1∈{1,2,3}，但1≠{1,2,3}錯題2：子集判斷錯誤錯誤：認為集合中必須要有共同元素才能構成子集關系正確理解：空集是任何集合的子集，包括空集本身；子集的元素必須全部來自原集合錯題3：運算順序混亂錯誤：不按照運算優(yōu)先級計算集合表達式正確做法：嚴格按照"補集→交集→并集→差集"的優(yōu)先級計算，遇到括號先計算括號內的表達式解題策略歸納識別題型明確題目要求是求集合元素、子集數量、集合運算還是應用問題轉化問題將實際問題轉化為集合問題，建立集合模型計算分析按照集合運算規(guī)則和優(yōu)先級進行計算，必要時使用Venn圖輔助分析驗證結果檢查計算結果是否符合集合的基本性質，確保答案的合理性練習題：1.已知集合A={x|x是20以內的正偶數}，B={x|x是15以內的正奇數}，求A∪B和A∩B。2.若A?B，證明A∪B=B且A∩B=A。3.若(A∩B)∪(A∩C)=A∩(B∪C)對任意集合A、B、C都成立，請證明此結論。第二單元主題導入：函數基本概念從實際問題出發(fā)在我們的日常生活中，許多現(xiàn)象都可以用函數來描述：1物體下落高度與時間的關系一個物體從高處自由落下，其高度h與時間t的關系可以用函數h(t)=h?-4.9t2表示2溫度與體積的關系固定壓強下，氣體的體積V與溫度T成正比，可以用函數V(T)=k·T表示3商品價格與需求量的關系商品的需求量q通常與價格p成反比，可以用函數q(p)=a/p表示4投資回報與時間的關系復利投資的本息和S與時間t的關系可以用函數S(t)=P(1+r)?表示函數的本質函數本質上是描述兩個變量之間的對應關系，這種對應關系具有以下特點：確定性自變量的每一個值都唯一確定因變量的一個值對應性定義域中的每個元素都有且僅有一個值與之對應可計算性通過函數關系，可以由自變量的值計算出因變量的值函數是描述變化的數學工具，也是聯(lián)系不同數學概念的橋梁。通過學習函數，我們能夠建立數學模型，解釋和預測各種現(xiàn)象，這是高中數學乃至高等數學的重要基礎。映射與函數映射的概念映射是集合之間的對應關系。設X、Y是兩個非空集合，如果按照某種規(guī)則f，使得對X中的每個元素x，在Y中都有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作：f:X→Y。定義域映射f的定義域是集合X，表示自變量x的取值范圍，記作D_f或dom(f)值域映射f的值域是X中所有元素通過映射f得到的Y中元素的集合，記作R_f或ran(f)對應法則映射f的對應法則是指定義域中的元素如何對應到值域中元素的規(guī)則，通常用公式表示函數與映射的區(qū)別函數是特殊的映射，是實數集到實數集之間的映射。即：映射是一般概念，定義域和值域可以是任意集合函數是定義在實數集（或其子集）上的映射，其值域也是實數集（或其子集）函數可以表示為：f:X→Y，其中X?R，Y?R，且對任意x∈X，有唯一確定的y∈Y，使得y=f(x)。可以理解為：函數是定義域和值域都是數集的映射。例如：映射：將一個班級的學生映射到他們的學號函數：將溫度（實數）映射到水的體積（實數）函數表示法解析法解析法是用代數式（公式）表示函數，這是最常用的函數表示方法。顯式表達式直接用y=f(x)的形式表示，例如：y=2x+3y=x2-4x+4y=sinx隱式表達式用F(x,y)=0的形式表示，例如：x2+y2=1x2y-3xy+2y=0分段函數在不同的定義域上有不同的表達式，例如：f(x)={x+1,x<0{x2,x≥0圖象法圖象法是用坐標平面上的曲線來表示函數，可以直觀地表現(xiàn)函數的性質。函數y=f(x)的圖象是平面上滿足y=f(x)的所有點(x,y)的集合。列表法列表法通過表格形式列出自變量和因變量的對應值來表示函數，適用于離散數據或難以用解析式表達的函數。x12345y25101726實際例題分析例題：某城市在一周內的平均氣溫（攝氏度）如下表所示，請用不同方法表示這一函數關系。星期一二三四五六日氣溫15171614131820解答：可以用列表法直接表示；也可以繪制折線圖用圖象法表示；如果需要，還可以通過數據擬合得到近似的解析表達式。常見函數初步1一次函數一般式：y=kx+b（k,b為常數）圖象特征：直線；k表示斜率，b表示y軸截距性質：當k>0時，函數單調遞增當k<0時，函數單調遞減當k=0時，函數為常數函數2二次函數一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）圖象特征：拋物線；頂點坐標(-b/2a,4ac-b2/4a)性質：當a>0時，拋物線開口向上，函數有最小值當a<0時，拋物線開口向下，函數有最大值對稱軸為x=-b/2a3指數函數一般式：y=a?（a>0,a≠1）圖象特征：過點(0,1)；無限接近x軸但不相交性質：當a>1時，函數單調遞增當0<a<1時，函數單調遞減定義域為R，值域為(0,+∞)4對數函數一般式：y=log_ax（a>0,a≠1）圖象特征：過點(1,0)；無限接近y軸但不相交性質：當a>1時，函數單調遞增當0<a<1時，函數單調遞減定義域為(0,+∞)，值域為R5冪函數一般式：y=x?（a為常數）圖象特征：根據a的不同值有不同形狀性質：當a>0時，x>0處函數單調遞增當a<0時，x>0處函數單調遞減當a為偶數時，定義域為R，函數為偶函數當a為奇數時，定義域為R，函數為奇函數函數的定義域與值域定義域函數的定義域是指函數自變量x所有可能取值的集合。確定函數定義域的一般步驟是：1分母不為零若函數表達式中含有分母，則需要保證分母不為零例如：f(x)=1/(x-2)的定義域為{x|x≠2}2偶次根式中的被開方數不小于零若函數表達式中含有偶次根式，則被開方數必須大于等于零例如：g(x)=√(x+3)的定義域為{x|x≥-3}3對數的真數必須為正數若函數表達式中含有對數，則對數的真數必須大于零例如：h(x)=log(x-1)的定義域為{x|x>1}4復合函數需逐層確定對于復合函數，需要從內層函數開始，逐層確定定義域例如：k(x)=log(√(x2-4))的定義域需考慮√的條件和log的條件值域函數的值域是指函數取值y=f(x)的所有可能值構成的集合。求值域的常用方法有：直接法對于簡單函數，可以直接通過函數表達式和定義域分析得出值域例如：f(x)=x2的值域為[0,+∞)判別式法對于二次函數，可以通過判別式確定函數值的范圍例如：對于f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，值域可通過△=b2-4ac判斷配方法通過恒等變形將函數表達式配成完全平方式，從而確定極值和值域例如：f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2，值域為[2,+∞)單調性分析法利用函數的單調性，通過端點值確定值域范圍例如：f(x)=2?在區(qū)間[0,3]上的值域為[1,8]例題演示例題：求函數f(x)=√(4-x2)的定義域和值域。解答：定義域：由于被開方數必須大于等于零，所以4-x2≥0，解得-2≤x≤2，即定義域為[-2,2]。值域：當x取值在[-2,2]區(qū)間內時，4-x2的取值范圍是[0,4]，因此√(4-x2)的取值范圍是[0,2]，即值域為[0,2]。函數的單調性單調性的定義設函數f(x)的定義域為D，對于定義域D內的任意兩個不同的值x?和x?：單調遞增若x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，則稱函數f(x)在定義域D上是單調遞增的單調遞減若x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，則稱函數f(x)在定義域D上是單調遞減的嚴格單調如果等號不成立（即只有<或>），則稱為嚴格單調遞增或嚴格單調遞減非單調如果函數在整個定義域上既不是單調遞增也不是單調遞減，則稱為非單調函數圖象識別方法從函數圖象上判斷單調性的方法：如果函數圖象從左到右是上升的，則函數在該區(qū)間上單調遞增如果函數圖象從左到右是下降的，則函數在該區(qū)間上單調遞減如果函數圖象既有上升部分又有下降部分，則需要分區(qū)間討論單調性應用實例例題：討論函數f(x)=x2-4x+3的單調性。解答：函數f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1當x<2時，隨著x的增大，(x-2)2減小，因此f(x)單調遞減；當x>2時，隨著x的增大，(x-2)2增大，因此f(x)單調遞增；當x=2時，f(x)取得最小值f(2)=-1。所以，函數f(x)在區(qū)間(-∞,2)上單調遞減，在區(qū)間(2,+∞)上單調遞增。奇偶性與周期性奇偶函數定義判別設函數f(x)的定義域D關于原點對稱（即若x∈D，則-x∈D）：奇函數若對于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數圖象特征：關于原點對稱例如：f(x)=x3,g(x)=sinx偶函數若對于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數圖象特征：關于y軸對稱例如：f(x)=x2,g(x)=cosx非奇非偶函數若既不滿足奇函數條件也不滿足偶函數條件，則為非奇非偶函數例如：f(x)=x2+x周期函數若存在一個正數T，使得對于函數f(x)的定義域內的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數，T為函數的周期。特點：若T為函數的周期，則nT（n為非零整數）也是函數的周期函數的最小正周期是所有正周期中最小的一個周期函數的圖象具有重復性常見的周期函數：正弦函數y=sinx，周期為2π余弦函數y=cosx，周期為2π正切函數y=tanx，周期為π余切函數y=cotx，周期為π實際例題例題：判斷函數f(x)=|sinx|+cos2x的奇偶性和周期性。解答：奇偶性：f(-x)=|sin(-x)|+cos(2(-x))=|?sinx|+cos(-2x)=|sinx|+cos2x=f(x)所以f(x)是偶函數。周期性：sinx的周期是2π，所以|sinx|的周期是π；cos2x的周期是π；所以f(x)的周期是π。函數圖象與性質判別圖像與解析式結合題型這類題型要求根據函數圖象推斷函數的解析式，或者根據函數的解析式描述其圖象特征。解題思路：識別函數類型根據圖象特征判斷是基本初等函數還是復合函數分析關鍵特征確定函數的單調區(qū)間、極值點、對稱性、漸近線等特征推導解析式根據特征點建立方程，解出函數表達式中的參數驗證結果檢查得到的函數解析式是否符合題目給出的所有條件高頻考點梳理函數值問題給定自變量的值，求對應的函數值；或給定函數值，求對應的自變量解題技巧：代入法、換元法、圖象法性質判斷問題判斷函數的單調性、奇偶性、周期性等性質解題技巧：定義法、變換法、綜合法解析式確定問題根據函數性質或圖象確定函數的解析式解題技巧：特征點法、方程組法、參數法最值問題求函數在給定區(qū)間上的最大值和最小值解題技巧：導數法、配方法、單調性分析法例題：已知拋物線y=ax2+bx+c過點(1,2)、(2,1)、(3,4)，求該拋物線的解析式。解答：代入三個點的坐標，得到：a+b+c=24a+2b+c=19a+3b+c=4解得：a=1,b=-3,c=4所以拋物線的解析式為y=x2-3x+4復合函數與反函數初步復合函數如果函數y=f[g(x)]中，自變量x通過函數g得到中間值g(x)，再通過函數f得到因變量y，則稱y=f[g(x)]為復合函數，記為(f°g)(x)。定義域確定要求g(x)的定義域內的值經過g映射后都在f的定義域內即：{x|x∈D_g且g(x)∈D_f}求值方法先計算內層函數g(x)的值，再將結果代入外層函數f例如：若f(x)=x2+1,g(x)=2x-3，則f[g(x)]=(2x-3)2+1常見錯誤注意復合函數f[g(x)]與函數乘積f(x)·g(x)的區(qū)別例如：f[g(x)]=f(g(x))，而f(x)·g(x)是兩函數值的乘積反函數如果函數y=f(x)是單調函數，且值域R_f=D_g，則存在一個函數x=g(y)，使得g[f(x)]=x（x∈D_f）且f[g(y)]=y（y∈R_f）。此時，稱函數g為函數f的反函數，記作f^(-1)(y)。反函數的性質：函數f的定義域等于反函數f^(-1)的值域函數f的值域等于反函數f^(-1)的定義域函數與其反函數的圖象關于直線y=x對稱如果f是增函數，則f^(-1)也是增函數；如果f是減函數，則f^(-1)也是減函數例題：求函數f(x)=2x+3的反函數。解答：設y=2x+3，則x=(y-3)/2所以，f^(-1)(y)=(y-3)/2若用x表示自變量，則f^(-1)(x)=(x-3)/2函數知識網絡圖函數基本概念映射與函數定義定義域與值域表示方法（解析法、圖象法、列表法）1函數性質單調性（遞增、遞減）奇偶性（奇函數、偶函數）周期性有界性（上界、下界）2基本初等函數冪函數（y=x?）指數函數（y=a?）對數函數（y=log?x）三角函數（正弦、余弦等）函數變換平移變換（y=f(x±a)，y=f(x)±b）伸縮變換（y=f(kx)，y=kf(x)）對稱變換（y=f(-x)，y=-f(x)）復合與反函數復合函數（y=f[g(x)]）反函數（y=f?1(x)）函數方程應用實際問題建模最值問題方程與不等式6通過這個思維導圖，我們可以清晰地看到函數知識的整體結構。函數的學習從基本概念出發(fā)，通過理解函數的性質，掌握各類基本初等函數的特點，進而學習函數的變換和復合、反函數等高級內容，最終應用于解決實際問題。這種系統(tǒng)化的學習方法有助于構建完整的函數知識體系，為后續(xù)學習打下堅實基礎。第三單元：基本初等函數指數函數指數函數的一般形式為y=a?（a>0，a≠1）定義域與值域定義域：R（所有實數）值域：(0,+∞)（所有正實數）圖象特點圖象恒過點(0,1)x軸是水平漸近線（當x→-∞時，y→0）單調性當a>1時，函數單調遞增當0<a<1時，函數單調遞減對數函數對數函數的一般形式為y=log?x（a>0，a≠1）定義域與值域定義域：(0,+∞)（所有正實數）值域：R（所有實數）圖象特點圖象恒過點(1,0)y軸是垂直漸近線（當x→0?時，y→-∞）單調性當a>1時，函數單調遞增當0<a<1時，函數單調遞減常見題型歸納1.求解指數方程和對數方程2.利用函數性質證明不等式3.分析函數的單調區(qū)間和極值4.求解含參數的函數問題5.應用指數和對數解決實際問題指數與對數運算性質指數運算定律乘方定律a^m·a^n=a^(m+n)例如：23·2?=2?=256除法定律a^m÷a^n=a^(m-n)（a≠0）例如：3?÷32=3?=81冪的乘方(a^m)^n=a^(m·n)例如：(22)3=2?=64冪的分配律(a·b)^n=a^n·b^n(a/b)^n=a^n/b^n（b≠0）例如：(2·3)?=2?·3?=16·81=1296對數運算定律乘法對數log?(M·N)=log?M+log?N例如：log?(8·4)=log?8+log?4=3+2=5除法對數log?(M/N)=log?M-log?N例如：log?(27/9)=log?27-log?9=3-2=1冪的對數log?(M^n)=n·log?M例如：log?(53)=3·log?5=3·1=3換底公式log?M=log?M/log?a例如：log?10=log??10/log??2≈1/0.301≈3.32實際應用例子例題：利用對數運算性質計算：log?8+log?18-log?12解答：log?8+log?18-log?12=log?(8·18/12)=log?(8·18/12)=log?(23·18/12)=log?(23·18/12)=log?(23·18/3·4)=log?(23·6/4)=log?(8·6/4)=log?(12)=log?(22·3)=2+log?3≈2+1.585=3.585指數函數與對數函數圖象指數函數圖象特征指數函數y=a?的圖象特征：1共有特征所有指數函數圖象都經過點(0,1)定義域為R，值域為(0,+∞)圖象沒有與坐標軸的交點，但以x軸為水平漸近線2a>1時的特征函數在R上單調遞增圖象在第一、二象限當x→+∞時，y→+∞；當x→-∞時，y→030<a<1時的特征函數在R上單調遞減圖象在第一、二象限當x→+∞時，y→0；當x→-∞時，y→+∞對數函數圖象特征對數函數y=log?x的圖象特征：1共有特征所有對數函數圖象都經過點(1,0)定義域為(0,+∞)，值域為R圖象沒有與x軸的交點（除了(1,0)），但以y軸為垂直漸近線2a>1時的特征函數在(0,+∞)上單調遞增圖象在第一、四象限當x→+∞時，y→+∞；當x→0?時，y→-∞30<a<1時的特征函數在(0,+∞)上單調遞減圖象在第一、四象限當x→+∞時，y→-∞；當x→0?時，y→+∞作圖及應用技巧1.確定特征點：如(0,1)、(1,0)等2.計算幾個典型點的坐標3.注意漸近線的位置4.平移、伸縮等變換對圖象的影響基本初等函數應用題生活與生產問題建模許多實際問題可以通過指數和對數函數建立數學模型：人口增長模型P(t)=P?·e^(rt)，其中P?是初始人口，r是增長率，t是時間例如：如果某城市初始人口為100萬，年增長率為3%，則10年后人口約為P(10)=100·e^(0.03·10)≈134.99萬復利計算模型S=P·(1+r)^t，其中P是本金，r是利率，t是時間（年）例如：投資10000元，年利率5%，10年后本息和為S=10000·(1+0.05)^10≈16289元放射性衰變模型N(t)=N?·e^(-λt)，其中N?是初始量，λ是衰變常數，t是時間例如：碳-14的半衰期約為5730年，則λ=ln2/5730，可用于計算考古樣本的年齡聲音強度模型分貝數L=10·log??(I/I?)，其中I是聲強，I?是參考聲強例如：聲強增加100倍，分貝數增加L=10·log??100=20分貝高考真題解析【例題】某種細菌在培養(yǎng)基中的數量與時間t(小時)的關系可表示為N(t)=N?·2^(t/3)，其中N?為初始數量。若培養(yǎng)24小時后細菌數量為初始數量的256倍，求：(1)常數N?的值；(2)培養(yǎng)多少小時后，細菌數量為初始數量的1024倍？解答：(1)已知N(24)=256·N?，代入函數表達式：N?·2^(24/3)=256·N?2^8=256等式成立，說明N?可以為任意正數(2)設培養(yǎng)t小時后，細菌數量為初始數量的1024倍，則：N?·2^(t/3)=1024·N?2^(t/3)=1024=2^10t/3=10t=30因此，培養(yǎng)30小時后，細菌數量為初始數量的1024倍。單元知識梳理與歸納主要知識點匯總1集合基礎集合的概念與表示方法集合間的基本關系集合的基本運算（并、交、補、差）運算律（交換律、結合律、分配律、德摩根律）2函數概念函數的定義與表示定義域與值域函數的四種表示方法映射與函數的關系3函數性質單調性（遞增、遞減）奇偶性（奇函數、偶函數）周期性與有界性復合函數與反函數4基本初等函數指數函數（y=a?）的性質與圖象對數函數（y=log?x）的性質與圖象指數與對數的運算定律函數的應用與建模易錯難點提示1集合運算優(yōu)先級注意運算順序：補集>交集>并集>差集，有括號先算括號內的2定義域確定確定函數定義域時，要綜合考慮分母不為零、偶次根式被開方數不小于零、對數的真數為正數等條件3復合函數求值注意復合函數f[g(x)]的計算順序是先計算g(x)，再將結果代入f4指數對數混淆不要混淆a?與x?，log?x與log?a，它們是不同的函數5底數限制指數函數y=a?和對數函數y=log?x的底數a必須滿足a>0且a≠16函數圖象特征點指數函數過點(0,1)，對數函數過點(1,0)，這是判斷和作圖的重要依據檢測測試與講評單元同步測試卷第一部分：選擇題（每題5分，共25分）1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，則A∩B=()A.{3,4}B.{1,2}C.{5,6}D.{1,2,5,6}2.若函數f(x)=2??1-1，則f(-1)=()A.0B.1C.-1D.23.下列函數中，定義域為R的是()A.y=log?(x-1)B.y=√(1-x2)C.y=2?D.y=1/x4.函數y=log?(x+2)的值域是(