《應(yīng)用統(tǒng)計學》練習題及答案一、數(shù)據(jù)描述與統(tǒng)計量計算某高職院校市場營銷專業(yè)2023級30名學生的《消費者行為學》期末成績（滿分100分）如下（已排序）：58,62,65,68,70,72,73,75,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,961.計算該組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)、眾數(shù)。2.計算四分位數(shù)（Q1、Q3）和四分位距（IQR）。3.計算方差和標準差（樣本標準差，分母為n-1）。4.繪制莖葉圖，并簡要描述數(shù)據(jù)分布特征。答案：1.均值、中位數(shù)、眾數(shù)計算-均值（$\bar{x}$）：$\bar{x}=\frac{\sumx_i}{n}=\frac{58+62+\cdots+96}{30}=\frac{2490}{30}=83$（分）。-中位數(shù)（$M_e$）：n=30為偶數(shù)，中位數(shù)是第15和16個數(shù)的平均值，即$\frac{81+82}{2}=81.5$（分）。-眾數(shù)（$M_0$）：數(shù)據(jù)中75出現(xiàn)2次，其余數(shù)值均出現(xiàn)1次，因此眾數(shù)為75（分）。2.四分位數(shù)與四分位距-Q1（第25百分位數(shù)）：位置為$(n+1)\times0.25=31\times0.25=7.75$，即第7個數(shù)（73）與第8個數(shù)（75）的0.75分位數(shù)，$Q1=73+0.75\times(75-73)=74.5$（分）。-Q3（第75百分位數(shù)）：位置為$(n+1)\times0.75=31\times0.75=23.25$，即第23個數(shù)（89）與第24個數(shù)（90）的0.25分位數(shù)，$Q3=89+0.25\times(90-89)=89.25$（分）。-四分位距（IQR）：$Q3-Q1=89.25-74.5=14.75$（分）。3.方差與標準差-樣本方差（$s^2$）：首先計算離均差平方和$\sum(x_i-\bar{x})^2$：$(58-83)^2+(62-83)^2+\cdots+(96-83)^2=625+441+\cdots+169=3420$（計算過程略）。$s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{3420}{29}\approx117.93$（分2）。-樣本標準差（$s$）：$s=\sqrt{117.93}\approx10.86$（分）。4.莖葉圖繪制與分布特征莖葉圖以十位為莖，個位為葉：5|86|2587|0235567898|01234567899|0123456分布特征：數(shù)據(jù)主要集中在70-95分之間，低分段（<70分）僅有3個數(shù)據(jù)，高分段（≥90分）有7個數(shù)據(jù)，整體呈輕微左偏（均值83略高于中位數(shù)81.5），數(shù)據(jù)分布較分散（標準差約10.86分）。二、概率分布應(yīng)用某電商平臺銷售的智能手表，歷史退貨率為5%?，F(xiàn)隨機抽取10臺該手表，假設(shè)退貨事件獨立。1.計算恰好2臺退貨的概率。2.計算至少1臺退貨的概率。3.若該平臺日銷量為500臺，近似計算日退貨量不超過30臺的概率（使用正態(tài)近似）。答案：設(shè)X為退貨數(shù)量，X~B(n,p)，其中n=10，p=0.05。1.恰好2臺退貨的概率二項分布概率公式：$P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$$P(X=2)=C(10,2)\times0.05^2\times0.95^8=45\times0.0025\times0.6634\approx0.0746$（約7.46%）。2.至少1臺退貨的概率$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-C(10,0)\times0.05^0\times0.95^{10}=1-1\times1\times0.5987\approx0.4013$（約40.13%）。3.日退貨量不超過30臺的概率（正態(tài)近似）當n=500，p=0.05時，X~B(500,0.05)，可近似為正態(tài)分布$N(np,np(1-p))$，其中：$np=500\times0.05=25$，$np(1-p)=25\times0.95=23.75$，標準差$\sigma=\sqrt{23.75}\approx4.87$。需計算$P(X\leq30)$，使用連續(xù)性修正，轉(zhuǎn)化為$P(X\leq30.5)$。標準化：$Z=\frac{30.5-25}{4.87}\approx1.13$。查標準正態(tài)分布表，$P(Z\leq1.13)\approx0.8708$，因此日退貨量不超過30臺的概率約為87.08%。三、參數(shù)估計與假設(shè)檢驗?zāi)呈称窂S生產(chǎn)的餅干，包裝標注凈含量為200g。質(zhì)檢部門隨機抽取25袋，測得平均凈含量為198g，樣本標準差為5g（假設(shè)凈含量服從正態(tài)分布）。1.計算總體均值的95%置信區(qū)間。2.檢驗該批次餅干凈含量是否符合標注（α=0.05）。答案：1.95%置信區(qū)間計算總體方差未知，使用t分布。樣本量n=25，自由度df=24，α=0.05，雙側(cè)檢驗的t臨界值$t_{0.025,24}=2.064$。置信區(qū)間公式：$\bar{x}\pmt_{\alpha/2}\times\frac{s}{\sqrt{n}}$代入數(shù)據(jù)：$198\pm2.064\times\frac{5}{\sqrt{25}}=198\pm2.064\times1=(195.936,200.064)$（g）。2.假設(shè)檢驗（雙側(cè)檢驗）-原假設(shè)$H_0:\mu=200$（符合標注）；備擇假設(shè)$H_1:\mu\neq200$（不符合標注）。-檢驗統(tǒng)計量：$t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{198-200}{5/\sqrt{25}}=\frac{-2}{1}=-2$。-臨界值：$t_{0.025,24}=2.064$（雙側(cè)檢驗，拒絕域為$|t|>2.064$）。-結(jié)論：計算得$|t|=2<2.064$，未落入拒絕域，因此不拒絕原假設(shè)，認為該批次餅干凈含量符合標注（α=0.05）。四、方差分析某超市為測試三種促銷策略（A、B、C）對飲料銷量的影響，在6家門店分別采用不同策略，連續(xù)一周的日銷量（箱）數(shù)據(jù)如下：|策略A|策略B|策略C||-------|-------|-------||12|15|18||14|17|20||13|16|19||11|14|17|（注：每家策略對應(yīng)4個樣本）1.建立單因素方差分析表（計算組間平方和、組內(nèi)平方和、總平方和、F統(tǒng)計量）。2.檢驗三種促銷策略對銷量是否有顯著影響（α=0.05）。答案：設(shè)因素為促銷策略，k=3組，每組n=4，總樣本數(shù)N=12。1.方差分析表計算-各組均值：$\bar{x}_A=\frac{12+14+13+11}{4}=12.5$，$\bar{x}_B=15.5$，$\bar{x}_C=18$。-總均值：$\bar{x}=\frac{12.5\times4+15.5\times4+18\times4}{12}=\frac{50+62+72}{12}=\frac{184}{12}\approx15.33$。-總平方和（SST）：$\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2$計算各數(shù)據(jù)與總均值的離差平方和：(12-15.33)2+(14-15.33)2+…+(17-15.33)2=11.09+1.77+…+2.79≈68.67。-組間平方和（SSB）：$\sum_{j=1}^kn_j(\bar{x}_j-\bar{x})^2$=4×(12.5-15.33)2+4×(15.5-15.33)2+4×(18-15.33)2=4×8.01+4×0.03+4×7.13≈32.04+0.12+28.52=60.68。-組內(nèi)平方和（SSE）：SST-SSB=68.67-60.68=7.99。-自由度：組間df1=k-1=2，組內(nèi)df2=N-k=9，總df=N-1=11。-均方（MS）：MSB=SSB/df1=60.68/2=30.34，MSE=SSE/df2=7.99/9≈0.89。-F統(tǒng)計量：F=MSB/MSE=30.34/0.89≈34.1。方差分析表：|來源|平方和（SS）|自由度（df）|均方（MS）|F統(tǒng)計量||------------|--------------|--------------|------------|---------||組間差異|60.68|2|30.34|34.1||組內(nèi)差異|7.99|9|0.89|—||總差異|68.67|11|—|—|2.顯著性檢驗α=0.05，查F分布表，臨界值$F_{0.05}(2,9)=4.26$。計算得F=34.1>4.26，落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，認為三種促銷策略對銷量有顯著影響（α=0.05）。五、簡單線性回歸分析某企業(yè)2020-2023年的廣告投入（x，萬元）與銷售額（y，百萬元）數(shù)據(jù)如下：|年份|廣告投入x|銷售額y||------|-----------|---------||2020|10|50||2021|15|65||2022|20|80||2023|25|95|1.建立銷售額y關(guān)于廣告投入x的線性回歸方程$\hat{y}=a+bx$。2.計算判定系數(shù)$R^2$，并解釋其意義。3.預(yù)測當廣告投入為30萬元時的銷售額。答案：1.回歸方程建立計算相關(guān)統(tǒng)計量：$\sumx=10+15+20+25=70$，$\sumy=50+65+80+95=290$，$\sumxy=10×50+15×65+20×80+25×95=500+975+1600+2375=5450$，$\sumx^2=100+225+400+625=1350$，n=4。斜率b：$b=\frac{n\sumxy-\sumx\sumy}{n\sumx^2-(\sumx)^2}=\frac{4×5450-70×290}{4×1350-70^2}=\frac{21800-20300}{5400-4900}=\frac{1500}{500}=3$。截距a：$a=\bar{y}-b\bar{x}=\frac{290}{4}-3×\frac{70}{4}=72.5-52.5=20$。回歸方程：$\hat{y}=20+3x$。2.判定系數(shù)$R^2$總平方和SST：$\sum(y_i-\bar{y})^2=(50-72.5)^2+(65-72.5)^2+(80-72.5)^2+(95-72.5)^2=506.25+56.25+56.25+506.25=1125$?；貧w平方和SSR：$\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^2$，計算各$\hat{y}_i$：$\hat{y}_1=20+3×10=50$，$\hat{y}_2=20