(完整版)大學(xué)概率統(tǒng)計試題及答案一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)A、B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，則P(A|B)的值為（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.72.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=c·e^{-2x-3y}（x>0,y>0），其余為0，則常數(shù)c=（）A.2B.3C.6D.124.設(shè)X~N(1,4)，Y~N(2,9)，且X與Y獨(dú)立，則P(X+Y≤3)=（）A.Φ(0)B.Φ(1)C.Φ(-1)D.Φ(2)5.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，σ2已知，X?,X?,…,X?為樣本，記\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)，則μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為（）A.\(\left(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\right)\)B.\(\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)\right)\)C.\(\left(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n),\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n)\right)\)D.\(\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\right)\)二、填空題（每小題4分，共20分）1.袋中有5個紅球、3個白球，不放回地依次取2個球，已知第一次取到紅球，則第二次取到白球的概率為________。2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}kx^2,&0≤x≤1\\0,&其他\end{cases}\)，則k=________；E(X)=________。3.設(shè)X~B(n,p)，且E(X)=2，D(X)=1.2，則n=________，p=________。4.設(shè)X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=0.5，D(X)=1，D(Y)=4，則D(X+Y)=________。5.設(shè)總體X的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1},&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)（θ>0），X?,X?,…,X?為樣本，則θ的矩估計量為________。三、計算題（共55分）1.（10分）某工廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，產(chǎn)量分別占全廠的25%、35%、40%，各生產(chǎn)線的次品率分別為5%、4%、2%?，F(xiàn)從全廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求：（1）該產(chǎn)品是次品的概率；（2）若抽到的是次品，該次品來自甲生產(chǎn)線的概率。2.（12分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：|Y\X|0|1||------|---|---||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|（1）求X與Y的邊緣分布律；（2）判斷X與Y是否獨(dú)立，說明理由；（3）計算Cov(X,Y)。3.（13分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2e^{-2x},&x>0\\0,&其他\end{cases}\)，定義Y=e^X。（1）求Y的概率密度f_Y(y)；（2）計算E(Y)和D(Y)。4.（10分）設(shè)總體X~N(μ,σ2)，σ2未知，從總體中抽取容量為16的樣本，測得樣本均值\(\bar{x}=50\)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=6。（1）求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）若σ2=36，求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間（已知t?.???(15)=2.131，z?.???=1.96）。5.（10分）某企業(yè)聲稱其產(chǎn)品的平均使用壽命至少為5000小時?，F(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25件，測得樣本均值為4900小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為200小時。假設(shè)使用壽命服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)該企業(yè)的聲稱是否成立（α=0.05，t?.??(24)=1.711）。四、證明題（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，證明切比雪夫不等式：對任意ε>0，有\(zhòng)(P(|X-μ|≥ε)≤\frac{\sigma2}{ε2}\)。---參考答案與解析一、單項選擇題1.由概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，代入得0.8=0.6+0.5-P(AB)，解得P(AB)=0.3。因此P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.6，選C。2.泊松分布的E(X)=λ，D(X)=λ，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2。展開E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2=λ+λ2-3λ+2=λ2-2λ+2=1，解得λ2-2λ+1=0，即λ=1，選A。3.由聯(lián)合概率密度的歸一性：\(\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ce^{-2x-3y}dxdy=1\)。計算得c·\(\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx\right)\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-3y}dy\right)\)=c·(1/2)(1/3)=c/6=1，故c=6，選C。4.X+Y~N(1+2,4+9)=N(3,13)，但標(biāo)準(zhǔn)化時P(X+Y≤3)=P\left(\frac{(X+Y)-3}{\sqrt{13}}≤0\right)=Φ(0)，選A。5.σ2已知時，μ的置信區(qū)間用Z分布，選A。二、填空題1.設(shè)A=“第一次取紅球”，B=“第二次取白球”，則P(B|A)=P(AB)/P(A)。P(A)=5/8，P(AB)=(5×3)/(8×7)=15/56，故P(B|A)=(15/56)/(5/8)=3/7。2.由歸一性：\(\int_{0}^{1}kx2dx=1\)，即k·(1/3)=1，k=3。E(X)=\(\int_{0}^{1}x·3x2dx=3\int_{0}^{1}x3dx=3×(1/4)=3/4\)。3.E(X)=np=2，D(X)=np(1-p)=1.2，解得1-p=1.2/2=0.6，故p=0.4，n=2/0.4=5。4.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1+4+2×ρ×√D(X)√D(Y)=5+2×0.5×1×2=5+2=7。5.一階矩E(X)=\(\int_{0}^{1}x·θx^{θ-1}dx=θ\int_{0}^{1}x^θdx=θ/(θ+1)\)。令樣本矩\(\bar{X}=E(X)\)，解得θ=\(\bar{X}/(1-\bar{X})\)，故矩估計量為\(\hat{θ}=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}\)（其中\(zhòng)(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)）。三、計算題1.（1）設(shè)A=“甲生產(chǎn)線”，B=“乙生產(chǎn)線”，C=“丙生產(chǎn)線”，D=“次品”。由全概率公式：P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0125+0.014+0.008=0.0345。（2）由貝葉斯公式：P(A|D)=P(A)P(D|A)/P(D)=0.25×0.05/0.0345≈0.0125/0.0345≈0.3623。2.（1）X的邊緣分布律：P(X=0)=0.1+0.3=0.4；P(X=1)=0.2+0.4=0.6。Y的邊緣分布律：P(Y=0)=0.1+0.2=0.3；P(Y=1)=0.3+0.4=0.7。（2）若X與Y獨(dú)立，則對所有i,j有P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)。例如，P(X=0,Y=0)=0.1，而P(X=0)P(Y=0)=0.4×0.3=0.12≠0.1，故不獨(dú)立。（3）E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6；E(Y)=0×0.3+1×0.7=0.7；E(XY)=0×0×0.1+0×1×0.3+1×0×0.2+1×1×0.4=0.4；Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.6×0.7=0.4-0.42=-0.02。3.（1）Y=e^X，X>0時Y>1，反函數(shù)X=lnY，導(dǎo)數(shù)dx/dy=1/Y。f_Y(y)=f_X(lnY)·|dx/dy|=2e^{-2lnY}·(1/Y)=2·Y^{-2}·(1/Y)=2Y^{-3}（y>1），其他為0。（2）E(Y)=\(\int_{1}^{+\infty}y·2y^{-3}dy=2\int_{1}^{+\infty}y^{-2}dy=2×[-y^{-1}]_{1}^{+\infty}=2×(0+1)=2\)；E(Y2)=\(\int_{1}^{+\infty}y2·2y^{-3}dy=2\int_{1}^{+\infty}y^{-1}dy\)，但此積分發(fā)散？錯誤！原X的概率密度是f(x)=2e^{-2x}（x>0），則Y=e^X，正確計算應(yīng)為：E(Y)=\(\int_{0}^{+\infty}e^x·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=2×1=2\)；E(Y2)=\(\int_{0}^{+\infty}(e^x)^2·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}e^{0}dx=2\int_{0}^{+\infty}1dx\)，發(fā)散？這說明Y的二階矩不存在，但題目可能存在設(shè)計問題。實(shí)際應(yīng)為Y=e^{-X}更合理，若按原題，可能題目筆誤，假設(shè)Y=e^{-X}，則：Y=e^{-X}，x>0時0<y<1，反函數(shù)x=-lny，dx/dy=-1/y，f_Y(y)=f_X(-lny)·|dx/dy|=2e^{-2(-lny)}·(1/y)=2y2·(1/y)=2y（0<y<1），則E(Y)=\(\int_{0}^{1}y·2ydy=2×(1/3)=2/3\)，E(Y2)=\(\int_{0}^{1}y2·2ydy=2×(1/4)=1/2\)，D(Y)=1/2-(2/3)2=1/2-4/9=1/18。但原題Y=e^X，可能正確解答應(yīng)為：由于X~Exp(2)，E(e^X)=\(\int_{0}^{+\infty}e^x·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=2\)，而E(e^{2X})=\(\int_{0}^{+\infty}e^{2x}·2e^{-2x}dx=2\int_{0}^{+\infty}1dx\)發(fā)散，故D(Y)不存在?？赡茴}目意圖為Y=e^{-X}，此處按原題解答，指出二階矩不存在。4.（1）σ2未知，用t分布，置信區(qū)間為\(\bar{x}±t_{\alpha/2}(n-1)·s/\sqrt{n}\)。代入得50±2.131×6/4=50±3.1965，即(46.8035,53.1965)。（2）σ2已知，用Z分布，置信區(qū)間為\(\bar{x}±z_{\alpha/2}·σ/\sqrt{n}\)。代入得50±1.96×6/4=50±2.94，即(47.06,52.94)。5.檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ≥5000，H?:μ<5000（單側(cè)檢驗(yàn)）。檢驗(yàn)統(tǒng)計量t=(4900-5000)/(200/√25)=(-100)/40=-2.5。臨界值t?.??(24)=1.