21.4.3利用二次函數(shù)模型解決拋物線形運動軌跡問題第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)【2025-2026學年】滬科版

數(shù)學

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********21.4.3利用二次函數(shù)模型解決拋物線形運動軌跡問題學習目標理解拋物線形運動軌跡的形成原理，能準確分析運動過程中物體的位置變化與二次函數(shù)的關(guān)系。熟練掌握針對拋物線形運動軌跡建立二次函數(shù)模型的方法，包括坐標系的合理設定和函數(shù)表達式的求解。能夠運用二次函數(shù)模型解決拋物線形運動軌跡中的相關(guān)問題，如物體的最大高度、運動的水平距離、特定位置的坐標等，提升綜合應用數(shù)學知識的能力。課堂講解知識點一：拋物線形運動軌跡的特點拋物線形運動軌跡常見于拋射體運動，如投擲鉛球、投籃、發(fā)射炮彈等。在忽略空氣阻力的情況下，物體的運動軌跡是一條拋物線，其運動過程可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動（受重力影響），合運動軌跡為拋物線。知識點二：解決拋物線形運動軌跡問題的步驟建立平面直角坐標系：通常以物體拋出點為原點，水平方向為\(x\)軸（正方向與物體水平運動方向一致），豎直向上為\(y\)軸。也可根據(jù)實際情況選擇其他點作為原點，如物體運動的最高點、落地點等，以簡化計算。確定關(guān)鍵數(shù)據(jù)與點的坐標：收集運動過程中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)，如拋出點坐標、最高點坐標、某一時刻的位置坐標等。將這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標系中的點的坐標。建立二次函數(shù)表達式：根據(jù)拋物線的頂點坐標或已知點的坐標，選擇合適的二次函數(shù)形式（頂點式或一般式）。代入已知點的坐標，求出函數(shù)表達式中的系數(shù)，確定二次函數(shù)表達式。運用函數(shù)表達式解決問題：根據(jù)所求函數(shù)表達式，結(jié)合問題要求，計算物體的最大高度、運動的水平距離、到達某一高度時的水平位置等。對計算結(jié)果進行合理性驗證，確保符合實際運動情況。知識點三：實例分析——投籃運動軌跡問題問題：一名籃球運動員在距離籃筐中心水平距離\(4m\)處投籃，球的運動軌跡是一條拋物線。當球運動到水平距離投籃點\(2m\)時，達到最大高度\(3m\)，已知籃筐中心距離地面的高度為\(3.05m\)，問球能否投中籃筐？解題步驟：建立坐標系：以投籃點為原點，水平方向為\(x\)軸，豎直向上為\(y\)軸建立平面直角坐標系。確定已知點坐標：球的最高點坐標為\((2,3)\)，籃筐中心坐標為\((4,3.05)\)。設二次函數(shù)表達式：因為已知最高點坐標，設拋物線的表達式為\(y=a(x-2)?2+3\)（\(aa?

0\)）。求系數(shù)\(a\)：投籃點為原點\((0,0)\)，將其代入表達式得\(0=a(0-2)?2+3\)，即\(4a+3=0\)，解得\(a=-\frac{3}{4}\)。所以二次函數(shù)表達式為\(y=-\frac{3}{4}(x-2)?2+3\)。判斷能否投中：將籃筐中心的\(x\)坐標\(4\)代入表達式，得\(y=-\frac{3}{4}(4-2)?2+3=-\frac{3}{4}\times4+3=-3+3=0\)，這與實際籃筐中心高度\(3.05m\)不符，說明假設的投籃點高度為\(0\)不合理。重新考慮，若投籃點高度為\(1.8m\)（運動員身高相關(guān)），則原點坐標為\((0,1.8)\)，最高點坐標為\((2,3)\)。設表達式為\(y=a(x-2)?2+3\)，代入\((0,1.8)\)得\(1.8=a(0-2)?2+3\)，\(4a=1.8-3=-1.2\)，\(a=-0.3\)。表達式為\(y=-0.3(x-2)?2+3\)。當\(x=4\)時，\(y=-0.3\times(4-2)?2+3=-0.3\times4+3=1.8m\)，仍不符合。再次調(diào)整，若最高點高度為\(3.5m\)，投籃點\((0,2)\)，則代入得\(2=a(0-2)?2+3.5\)，\(4a=2-3.5=-1.5\)，\(a=-0.375\)。表達式\(y=-0.375(x-2)?2+3.5\)，當\(x=4\)時，\(y=-0.375\times4+3.5=2m\)，還是不符。（此處說明實際問題中需準確測量數(shù)據(jù)，以下以正確數(shù)據(jù)為例）正確數(shù)據(jù)：投籃點\((0,2)\)，最高點\((2,3.5)\)，則表達式\(y=a(x-2)?2+3.5\)，代入\((0,2)\)得\(2=4a+3.5\)，\(a=-\frac{3}{8}\)。當\(x=4\)時，\(y=-\frac{3}{8}\times4+3.5=2m\)，仍不對，說明需根據(jù)實際情況精準建模。知識點四：實例分析——鉛球投擲軌跡問題問題：一名運動員投擲鉛球，鉛球的運動軌跡是拋物線。鉛球出手時距離地面的高度為\(1.6m\)，當水平距離出手點\(4m\)時，達到最大高度\(3.2m\)，求鉛球落地時的水平距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）。解題步驟：建立坐標系：以鉛球出手點為原點，水平方向為\(x\)軸，豎直向上為\(y\)軸建立平面直角坐標系。確定已知點坐標：出手點坐標為\((0,1.6)\)，最高點坐標為\((4,3.2)\)。設二次函數(shù)表達式：因為已知最高點坐標，設表達式為\(y=a(x-4)?2+3.2\)（\(aa?

0\)）。求系數(shù)\(a\)：將出手點\((0,1.6)\)代入表達式得\(1.6=a(0-4)?2+3.2\)，即\(16a+3.2=1.6\)，解得\(a=-\frac{1.6}{16}=-0.1\)。所以二次函數(shù)表達式為\(y=-0.1(x-4)?2+3.2\)。求落地時的水平距離：鉛球落地時，\(y=0\)，代入表達式得\(0=-0.1(x-4)?2+3.2\)。解方程：\(0.1(x-4)?2=3.2\)，\((x-4)?2=32\)，\(x-4=\pm\sqrt{32}=\pm4\sqrt{2}\approx\pm5.656\)。因為水平距離不能為負，所以\(x=4+5.656\approx9.7m\)。所以鉛球落地時的水平距離約為\(9.7m\)。例題講解例1：一個小球從地面被斜向上拋出，其運動軌跡是拋物線。已知小球在拋出后\(1s\)時，水平距離拋出點\(5m\)，高度為\(8m\)；在拋出后\(3s\)時，達到最大高度\(12m\)，此時水平距離拋出點\(15m\)。求小球拋出后多久落地？落地時的水平距離是多少？解：建立坐標系：以拋出點為原點，\(x\)軸為水平方向，\(y\)軸為豎直向上。確定已知點坐標：\((5,8)\)（\(1s\)時），最高點\((15,12)\)（\(3s\)時）。設表達式：設\(y=a(x-15)?2+12\)，代入\((5,8)\)得\(8=a(5-15)?2+12\)，\(100a=8-12=-4\)，\(a=-\frac{1}{25}\)。表達式為\(y=-\frac{1}{25}(x-15)?2+12\)。落地時\(y=0\)，則\(0=-\frac{1}{25}(x-15)?2+12\)，\((x-15)?2=300\)，\(x=15\pm10\sqrt{3}\)，取正根\(x=15+10\sqrt{3}\approx32.3m\)。因為水平方向勻速，\(3s\)運動\(15m\)，速度\(5m/s\)，所以落地時間\(t=\frac{32.3}{5}\approx6.5s\)。例2：炮彈從炮口射出后，運動軌跡是拋物線。已知炮口在原點\((0,0)\)，炮彈在水平距離炮口\(1000m\)時，高度為\(800m\)；在水平距離炮口\(2000m\)時，達到最大高度\(1200m\)。求炮彈落地時的水平距離。解：設表達式為\(y=a(x-2000)?2+1200\)，代入\((1000,800)\)得\(800=a(1000-2000)?2+1200\)，\(1000000a=800-1200=-400\)，\(a=-4\times10^{-7}\)。落地時\(y=0\)，則\(0=-4\times10^{-7}(x-2000)?2+1200\)，\((x-2000)?2=3\times10^{9}\)，\(x=2000\pm\sqrt{3}\times10^{4.5}\)（計算得）\(x\approx2000+5477=7477m\)。課堂小結(jié)拋物線形運動軌跡問題的核心是建立二次函數(shù)模型，關(guān)鍵在于合理設定坐標系和準確確定拋物線上點的坐標。解決此類問題需經(jīng)歷建立坐標系、確定點坐標、求函數(shù)表達式、運用表達式求解問題等步驟，每個環(huán)節(jié)都要結(jié)合運動實際情況。要注意區(qū)分水平方向和豎直方向的運動關(guān)系，利用二次函數(shù)的頂點坐標求最大高度，利用\(y=0\)求落地時的水平距離等。作業(yè)提升一名運動員投籃，籃球出手時高度為\(2.1m\)，水平距離籃筐\(6m\)。當水平距離出手點\(3m\)時，籃球達到最大高度\(3.3m\)，問籃球能否進入籃筐（籃筐高度為\(3.05m\)）？一物體從高處被拋出，運動軌跡為拋物線。已知拋出點\((0,5)\)，當水平距離\(2m\)時，高度\(7m\)；水平距離\(6m\)時，高度\(5m\)，求物體的最大高度及出現(xiàn)的水平距離。炮彈發(fā)射后，軌跡是拋物線，發(fā)射點\((0,0)\)，在水平距離\(500m\)時高度\(400m\)，水平距離\(1000m\)時高度\(500m\)，求炮彈落地時的水平距離。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解新課導入問題:從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？推進新課問題:從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).小球運動的時間是多少時,小球最高？小球運動中的最大高度是多少？分析：①由a=-5可得，圖象的開口向下；②結(jié)合自變量t的取值范圍0≤t≤6，畫函數(shù)圖象的草圖如圖；③根據(jù)題意，結(jié)合圖象可知，小球在拋物線的頂點時為最大高度。解：顯然t取頂點的橫坐標時，這個函數(shù)有最大值，這個最大值即為小球的最大高度.h＝30t-5t2(0≤t≤6)即小球運動的時間是3s時，小球最高，且最大高度是45m.一般地，當a>0(a<0)時，拋物線y=ax2+bx+c的頂點有最低（高）點，也就是說，當x=

時，二次函數(shù)有最?。ù螅┲?。上拋物體在不計空氣阻力的情況下，有如下的表達式其中h是物體上升的高度，V0是物體被上拋時豎直向上的初始速度，g是重力加速度（取g=10m/s2）,t是物體拋出后經(jīng)過的時間.例在一次排球比賽中，排球從靠近地面處被墊起時豎直向上的初始速度為10m/s.（1）問排球上升的最大高度是多少？（2）已知某運動員在2.5m高度時扣球效果最佳，如果她要打快攻，問該運動員在排球被墊起后多長時間扣球最佳？（精確到0.1s）解（1）根據(jù)題意，得因為拋物線開口向下，頂點坐標為（1,5）.答：排球上升的最大高度是5m.

（2）當h=2.5m時，得10t-5t2=2.5.解方程，得

t1≈0.3(s)，t2≈1.7(s).在排球上升和下落中，各有一次經(jīng)過2.5m高度，但第一次經(jīng)過時離排球被墊起僅有0.3s，要打快攻，選擇此時扣球，可令對方措手不及，易獲成功.答：該運動員應在排球被墊起后0.3s時扣球最佳.隨堂練習1.把一個小球以20m/s的速度豎直向上彈出，它在空中高度h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系：h=20t-5t2，當h=20時，小球的運動時間為（）A.20s B.2sB

2.在距離地面2m高的某處把一物體以初速度v0(m/s)豎直向上拋出，咋不計空氣阻力的情況下，其上升高度s(m)與拋出時間t(s)滿足：(其中g(shù)是常數(shù)，通常取10m/s2).若v0=10m/s，則該物體在運動過程中最高點距地面（）A.5m B.6mC.7m D.8mC3.校運動會上，小明參加鉛球比賽，若某次試擲，鉛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為，求小明這次試擲的成績及鉛球出手時的高度.試擲的成績：10m鉛球出手時的高度：m

A．

4mB．

6mC．

8mD．

10mD23456781

4234567813．

如圖，點點在練習打網(wǎng)球時發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)球沿與地面成一定角度的方向飛出，網(wǎng)球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，網(wǎng)球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間x(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系y＝－0.5x2＋2x，請根據(jù)要求解答下列問題：(1)在飛行過程中，網(wǎng)球從飛出到落地所用時間是多少？解：(1)當y＝0時，0＝－0.5x2＋2x，解得x1＝0，x2＝4.因為4－0＝4(s)，所以在飛行過程中，網(wǎng)球從飛出到落地所用時間是4s.23456781(2)在飛行過程中，網(wǎng)球飛行高度何時最大？最大高度是

多少？y＝－0.5x2＋2x＝－0.5(x－2)2＋2，所以當x＝2時，y取得最大值，此時，y＝2，答：在飛行過程中，網(wǎng)球在第2s時飛行高度最大，最大高度是2m.23456781知識點2

水流拋物型4.

[跨學科·物理]“水幕電影”的工作原理是把影像打在拋物線

狀的水幕上，通過光學原理折射出圖象.水幕是由若干個

水嘴噴出的水柱組成的(如圖)，水柱的最高點為P，AB＝2

m，BP＝9m，水嘴高AD＝5m，

則水柱落地點C到水嘴所

在墻的距離AC是________m.5234567815.

[真實情境]合肥天鵝湖有一個著名的景點——音

樂噴泉，音樂噴泉可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏起伏變化而

變化．某種音樂噴泉噴出的水線形狀如拋物線，設其出水口

為原點，出水口離岸邊18m，音樂變化時，拋物線的頂點在

直線y＝kx上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線(如圖)，這組

拋物線的統(tǒng)一形式為y＝ax2＋bx.23456781(1)若已知k＝1，且噴出的拋物線水線的最大高度達3m，求此時a，b的值；(2)若k＝1，噴出的水恰好到達岸邊，求此時噴出的拋物線水線的最大高度．解：(1)由題意可知，拋物線的頂點坐標為(3，3)，由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x＝9.因為k＝1，所以頂點在直線y＝x上，所以頂點坐標為(9，9)，所以此時噴出的拋物線水線的最大高度為9m.234567816．

[2024·天津中考改編]從地面斜向上拋出一小球，小球的

高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式

是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列結(jié)論：①小球從拋出到落地需要6s；②小球運動中的高度可以是30m；③小球運動2s時的高度小于運動5s時的高度．C其中，正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．

0B．

1C．

2D．

323456781

解：(1)依題意，函數(shù)圖象的頂點的坐標為

，所以可設函數(shù)表達式為y＝a(x－4)2＋

.因為點(0，1)在拋物線上，所以1＝a(0－4)2＋

，解得a＝－

，所以羽毛球飛行的路線對應的函數(shù)表達式為y＝23456781

23456781

解得x1

＝1(不合題意，舍去)，x2＝7，所以此時乙與球網(wǎng)的水平距離為7－5＝2(m)．234567818.

[中考趨勢·探究建模]根據(jù)素材，完成任務．素材1一圓形噴泉池的中央安裝了一個噴水裝置OA，通過調(diào)

節(jié)噴水裝置OA的高度，從而實現(xiàn)噴出水柱豎直方向的

升降，但不改變水柱的形狀．為了美觀，在半徑為2.1

m的噴泉池四周種植了一圈寬度相等的花卉23456781素材2從噴水口A噴出的水柱呈拋物線