第二十四章圓第10課切線長定理及三角形的內(nèi)切圓

知識點(diǎn)1

切線長定理

切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的

長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B.

則

PA與PB有什么關(guān)系？∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？并說明理由．

解：PA

PB，∠APO

∠BPO.

理由如下：如圖，連接OA，OB.

∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴OA

AP，OB

BP.

又OA＝

，OP＝

?，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(

)．

∴PA

PB，∠APO

∠BPO.

＝＝⊥⊥OBOPHL＝＝

切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的

?

相等，這一點(diǎn)和圓心的連線

?兩條切線的夾角．切

線長平分

1．

【例1】(人教九上P99探究改編)如圖，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PA，

PB分別切⊙O于A，B兩點(diǎn)，若PA＝3，則PB＝

?．3

2．

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，若∠APB

＝60°，PO＝4，則⊙O的半徑為

?．2

知識點(diǎn)2

三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

3．

三角形的內(nèi)切圓：

是指與三角形各邊都

的圓．如圖，⊙O就是△ABC的內(nèi)

切圓．

三角形的內(nèi)心：是指內(nèi)切圓的圓心，是三角形三條

?的

交點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等．如圖，點(diǎn)O就是△ABC的內(nèi)心．相切角平分線

4．

【例2】(人教九上P100【例2】改編)如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O

與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝18cm，BC＝26

cm，CA＝28cm，求AF，BD，CE的長．

解：根據(jù)切線長定理，得AE＝AF，

BF＝BD，CE＝CD.

設(shè)AF＝AE＝x，則CE＝CD＝28－x，BF＝BD＝18－x.

∵BC＝26，∴(18－x)＋(28－x)＝26.

解得x＝10.

∴AF＝10cm，BD＝8cm，CE＝18cm.

5．

(北師九下P95例題改編)如圖，在△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC，

AC，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn).

若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求

△ABC內(nèi)切圓的半徑．

解：如圖，連接ID，IE.

∵BC2＋AC2＝32＋42＝25，AB2＝25，

∴BC2＋AC2＝AB2.∴△ABC為直角三角形，∠C＝90°.

由題可知∠IDC＝∠C＝∠IEC＝90°，ID＝IE.

∴四邊形DCEI為正方形．

∴ID＝CD＝CE＝IE.

由題可知，BD＝BF，AE＝AF.

∴CD＋CE＝BC－BD＋AC－AE＝BC＋AC－(BD＋AE)＝BC

＋AC－(BF＋AF)＝BC＋AC－AB＝2.

∴IE＝CD＝CE＝1.∴△ABC內(nèi)切圓的半徑為1.

1．

如圖，已知PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠P＝60°，PA

＝4，則弦AB的長是

?．4

2．

(人教九上P100練習(xí)T1改編)如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，且∠A

＝50°，則∠BOC的度數(shù)為

?．115°

3．

(北師九下P96習(xí)題T1改編)如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，

B，PA＝17cm，點(diǎn)C是劣弧AB上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)C的切

線分別交PA，PB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則△PEF的周長為(

C

)A．

17

cmB．

25

cmC．

34

cmD．

35

cmC

4．

如圖所示是一塊三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用

料，并且使截下來的圓與三角形的三條邊都相切？

解：作法：(1)分別作∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)P；

(2)過點(diǎn)P作線段BC的垂線交BC于點(diǎn)E；

(3)以點(diǎn)P為圓心，線段PE長為半徑畫圓．

如圖，⊙P即為所求．

5．

(人教九上P102習(xí)題T11改編)如圖，直線AB，BC，CD分別與

⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，則

BE＋CG的值為(

D

)A．

13

cmB．

12

cmC．

11

cmD．

10

cmD

6．

(廣州中考)如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相

切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則(BF＋CE－BC)的值

和∠FDE的大小分別為(

D

)A．

2r，90°－αB