PAGE1專題09有理數(shù)混合運(yùn)算易錯問題與化簡絕對值問題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)01有理數(shù)混合運(yùn)算易錯問題1.運(yùn)算順序混亂：未遵循“先乘方，再乘除，最后加減”的順序，如忽略括號優(yōu)先級，或?qū)ν夁\(yùn)算從左到右的規(guī)則執(zhí)行錯誤（例：誤將3-5×2先算減法）。2.符號處理失誤：乘除運(yùn)算中忽略負(fù)數(shù)符號，如(-3)÷(-2)誤算為-1.5；加減運(yùn)算中去括號時符號錯誤，如3-(2-5)誤得3-2-5。3.分?jǐn)?shù)與小數(shù)轉(zhuǎn)換錯誤：混合運(yùn)算中分?jǐn)?shù)與小數(shù)運(yùn)算時未統(tǒng)一形式，導(dǎo)致計算出錯（如0.5×1/3誤算為0.5÷3）。知識點(diǎn)02化簡絕對值相關(guān)知識點(diǎn)1.絕對值代數(shù)意義：若a>0，則|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判斷絕對值內(nèi)數(shù)的正負(fù)性。2.化簡步驟：先分析絕對值內(nèi)式子的符號，再根據(jù)定義去絕對值符號，如化簡|3-π|時，因3-π<0，故|3-π|=π-3。3.含字母絕對值化簡：需分類討論字母取值范圍，如|a|化簡時，分a≥0和a<0兩種情況，避免直接去掉絕對值符號?！绢}型1有理數(shù)中乘除混合運(yùn)算易錯】例題：（24-25七年級上·四川綿陽·期中）計算：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：．2．（23-24七年級上·陜西西安·期中）計算的結(jié)果是．3．（24-25七年級上·黑龍江·課后作業(yè)）計算：．【題型2含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算】例題：（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）計算：【變式訓(xùn)練】1．（24-25六年級上·上?！るA段練習(xí)）計算：；2．（24-25七年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）計算：．3．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：4．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：5．（24-25七年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┯嬎悖?1)(2)【題型3有理數(shù)的混合運(yùn)算中的新定義型問題】例題：（24-25七年級上·河南周口·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：．如：．(1)_____；(2)求的值．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·貴州畢節(jié)·期中）對于任意有理數(shù)a，b，我們定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定：，如：．(1)求的值；(2)求的值．2．（24-25七年級上·云南紅河·期中）【閱讀理解】材料一：類比“有理數(shù)的乘方”的定義，我們規(guī)定：求若干個相同的非零有理數(shù)的商的運(yùn)算，叫作除方，如，等．把（記作讀作“的括號3次方”；把記作，讀作“3的括號4次方”．材料二：我們知道除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，例如：．(1)仿照上例，將下列除方運(yùn)算的結(jié)果寫成冪的形式：①；②；(2)求的值．3．（24-25七年級上·遼寧阜新·期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“*”運(yùn)算：；；；；；．(1)計算：①；②；③；(2)是否存在整數(shù)m，n，使得，若存在，直接寫出的值，若不存在，說明理由．【題型4根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置化簡絕對值】例題：（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且．(1)填空：0；0．（“＜”或“＞”或“＝”填空）(2)化簡代數(shù)式：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級上·廣東揭陽·期中）已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)試判斷式子的符號；(2)化簡：．2．（23-24七年級上·四川瀘州·期末）在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，(1)判斷下列各式與的大?。孩伲虎?；③；(2)化簡式子：．3．（24-25七年級上·重慶巴南·階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____．(2)化簡：【題型5利用分類討論數(shù)學(xué)思想化簡絕對值】例題：（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）數(shù)學(xué)思想·分類討論已知，則的值是多少？【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個數(shù)的絕對值過程中，化簡時，可以這樣分類：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．請用這種方法解決下列問題．(1)當(dāng)時，則______；當(dāng)時，則______．(2)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，試求的值．(3)已知，，是非零有理數(shù)，滿足且，求的值．2．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個數(shù)的絕對值過程中，化簡時，可以這樣分類：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．請用這種方法解決下列問題．(1)當(dāng)時，則______；當(dāng)時，則______．(2)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，試求的值．(3)已知，，是非零有理數(shù)，滿足且，求的值．3．（24-25七年級上·四川遂寧·階段練習(xí)）探究題：閱讀下列材料并解決有關(guān)問題．我們知道，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．請用上面的結(jié)論解決下列問題：(1)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，．(2)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，．(3)已知，，，是有理數(shù)，當(dāng)時，的最大值是．【題型6利用點(diǎn)在數(shù)軸上的幾何意義化簡絕對值】例題：（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，則兩點(diǎn)之間的距離可以表示為，根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3與的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離用絕對值符號可以表示為；(3)代數(shù)式可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；若，則______；(4)求代數(shù)式的最小值為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）同學(xué)們都知道，表示4與之差的絕對值，實(shí)際上也可以理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．例如，的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)5的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)所學(xué)知識試探索下列問題的答案．(1)若，則．(2)請找出符合條件的，使得．(3)由以上探索猜想：對于任何有理數(shù)是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．2．（24-25七年級上·云南曲靖·期中）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和1兩點(diǎn)之間的距離是____，數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離是____；(2)數(shù)軸上表示a和1的兩點(diǎn)之間的距離為6，則a表示的數(shù)為____；(3)若x表示一個有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．3．（24-25七年級上·廣東湛江·期中）先閱讀，結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：【閱讀】：表示與差的絕對值，也可理解為與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看作，表示與的差的絕對值，也可理解為與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．【探索】：(1)數(shù)軸上表示和兩點(diǎn)之間的距離是________；一般地、數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是，那么的值為________．(2)若，，且數(shù)、在數(shù)軸上表示的點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的最大距離是________，最小距離是________；(3)利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)，使得，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是________．(4)應(yīng)用：小明媽媽要租房，使小明到學(xué)校與媽媽到上班地點(diǎn)距離和最小，若把租房地記作，媽媽上班地點(diǎn)記作，小明學(xué)校記作2，那么距離和的最小值是：________．(5)拓展：的最小值是：________．一、單選題1．（23-24七年級上·青海西寧·期中）計算的結(jié)果等于（

）A．10 B． C．5 D．2．（2025·河南開封·二模）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3．（24-25七年級上·山東濟(jì)南·期中）已知非零實(shí)數(shù)，，滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（23-24七年級上·四川眉山·期末）定義一種對正整數(shù)的“運(yùn)算”：①當(dāng)為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)）并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如：時，其“運(yùn)算”如下：若，則第次“運(yùn)算”的結(jié)果是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（24-25七年級上·北京順義·期末）計算：.6．（2025·四川資陽·模擬預(yù)測）有理數(shù)m、n對應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，若圖所示，則下列關(guān)系中正確的有（填寫序號）．①；②；③；④；⑤．7．（24-25七年級上·西藏林芝·期中）新定義：規(guī)定“”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，且，，，，，則．8．（24-25七年級上·安徽蚌埠·期中）下列結(jié)論：①若為有理數(shù)，則；②若，則；③若，則；④若，則，則其中正確的結(jié)論的是（填序號）．三、解答題9．（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)．10．（24-25七年級上·山西呂梁·期末）計算：(1)(2)11．（24-25七年級上·山東聊城·期末）計算(1)；(2)；(3)．12．（24-25七年級上·甘肅定西·期中）我們定義一種新運(yùn)算：．例如：．(1)求的值；(2)求的值．13．（24-25七年級上·湖北恩施·期中）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且．(1)求與的值．(2)化簡：．14．（24-25七年級上·浙江金華·階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)其中，是實(shí)數(shù)，如．計算：(1)；(2)．15．（24-25七年級上·福建漳州·期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示1和4的兩點(diǎn)之間的距離是_______；數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是_______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如數(shù)軸上表示數(shù)與數(shù)5兩點(diǎn)之間的距離等于．(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，求的最小值；(3)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?0（為常數(shù)），求的值．16．（24-25八年級上·湖南邵陽·期末）定義新運(yùn)算：，（右邊的運(yùn)算為平常的加、減、乘、除）．例如：，．若，則稱有理數(shù)，為“隔一數(shù)對”．例如：，，，所以2，3就是一對“隔一數(shù)對”．(1)下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是______（請?zhí)钚蛱枺?，；②，?2)計算：．(3)已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”．計算：．17．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題．【提出問題】三個有理數(shù)，，滿足，求的值．【解決問題】解：由題意，得，，三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)．①，，都是正數(shù)，即，，時，則②當(dāng)，，中有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)，，，則．綜上所述，值為3或．【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)三個有理數(shù)，，滿足，求的值；(2)若，，為三個不為0的有理數(shù)，且，求的值．18．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)與2所