PAGE1專題06有理數(shù)的乘法和除法內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)01有理數(shù)的乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和-1.知識點(diǎn)02有理數(shù)的乘法運(yùn)算律（1）乘法交換律：；（2）乘法結(jié)合律：；（3）乘法分配律：．知識點(diǎn)03確定乘積符號（1）若a＜0，b＞0，則ab<0；（2）若a＜0，b＜0，則ab>0；（3）若ab＞0，則a、b同號；（4）若ab＜0，則a、b異號；（5）若ab=0，則a、b中至少有一個數(shù)為0.知識點(diǎn)04有理數(shù)除法法則◆除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)◆兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.【題型1兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算】例題：（2024七年級上·浙江·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)504(4)【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)4(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算、兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算：（1）根據(jù)加法法則，進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計算即可；（4）先算括號，再根據(jù)乘法法則，進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．（3）解：；（4）解：原式．2．（2024七年級上·浙江·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；【答案】(1)21(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．3．（2024六年級上·上?！ｎ}練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)0；(2)；(3)；(4)；(5)0；(6)；(7)1；(8)【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算、多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法法則，正確運(yùn)用有理數(shù)的乘法法則，尤其是符號法則，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)0與任何數(shù)相乘都得0進(jìn)行計算；（2）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算；（3）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算；（4）根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正進(jìn)行計算；（5）根據(jù)0與任何數(shù)相乘都得0進(jìn)行計算；（6）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算；（7）先利用乘法交換律，再根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正進(jìn)行計算；（8）先計算括號中的式子，再根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負(fù)進(jìn)行計算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：；（7）解：；（8）解：．【題型2多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算】例題：（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算等，掌握多個有理數(shù)相乘的符號規(guī)律為解題的關(guān)鍵．（1）先確定積的負(fù)號，然后進(jìn)行計算即可；（2）先確定積的負(fù)號，然后進(jìn)行約分計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題考查多個有理數(shù)相乘，熟練掌握有理數(shù)乘法法則是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)多個有理數(shù)乘法法則計算即可求解；（2）根據(jù)多個有理數(shù)乘法法則計算即可求解；（3）根據(jù)多個有理數(shù)相乘法則計算即可求解；【詳解】（1）解：；（2）解：（3）解：3．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)0(4)【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算．（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（4）逆用乘法分配律進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【題型3倒數(shù)】例題：（2025·江蘇南京·二模）的倒數(shù)是．【答案】【知識點(diǎn)】倒數(shù)【分析】本題主要考查倒數(shù)，根據(jù)兩個數(shù)的乘積為1，這兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可．【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25六年級上·上?！るA段練習(xí)）的倒數(shù)是．【答案】【知識點(diǎn)】倒數(shù)【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是知道乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)．根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可．【詳解】解：的倒數(shù)是，故答案為：．2．（24-25六年級上·上海閔行·階段練習(xí)）的倒數(shù)是．【答案】/【知識點(diǎn)】倒數(shù)【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，掌握“乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”是解題關(guān)鍵．將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可．【詳解】解：，的倒數(shù)是，即的倒數(shù)是，故答案為：．3．（24-25七年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）的相反數(shù)是，的倒數(shù)為．【答案】【知識點(diǎn)】倒數(shù)、相反數(shù)的定義【分析】本題屬于較為基礎(chǔ)的相反數(shù)與倒數(shù)的概念填空題，主要考查了相反數(shù)與倒數(shù)的判斷，考生做此類題時一定要認(rèn)真，細(xì)心，抓住細(xì)節(jié)，防止出錯．根據(jù)題意，相反數(shù)為相加為0的兩個數(shù)，倒數(shù)為乘積為1的兩個數(shù)．據(jù)此即可求解．【詳解】解：的相反數(shù)是，的倒數(shù)為；故答案為：，．【題型4有理數(shù)乘法運(yùn)算律】例題：（24-25七年級上·吉林四平·期末）計算：【答案】47【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法分配律，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可．【詳解】．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）計算：．【答案】【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用有理數(shù)的乘法分配律求解即可．【詳解】解：．2．（24-25七年級上·廣東河源·期中）下面是樂樂同學(xué)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：第一步第二步第三步．第四步任務(wù)：(1)填空：①以上運(yùn)算步驟中，第一步依據(jù)的運(yùn)算律是；②第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是．(2)請直接寫出正確的計算結(jié)果．【答案】(1)①乘法分配律；②二，計算時符號出現(xiàn)錯誤(2)【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律簡便運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．（1）①利用乘法分配律可得答案；②根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則判斷即可；（2）根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的乘法和加減運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）解：①在所給運(yùn)算步驟中，第一步依據(jù)的運(yùn)算律是乘法分配律；②第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是計算時符號出現(xiàn)錯誤，故答案為：①乘法分配律；②二，計算時符號出現(xiàn)錯誤；（2）解：．3．（24-25七年級上·廣東江門·期中）計算：能用簡算的用簡算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律【分析】本題考查乘法分配律，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用乘法分分配律的逆運(yùn)算進(jìn)先計算解答即可；（2）把原式化為，然后運(yùn)用乘法分配律解題即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【題型5有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】例題：（24-25七年級上·廣東梅州·期中）某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)點(diǎn)在東西方向運(yùn)營，向東走為正，向西走為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬海┮老群蟠涡蛴涗浫缦拢海?1)將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？在鼓樓的什么方向？(2)若每千米的價格為2元，司機(jī)一個下午的營業(yè)額是多少？【答案】(1)離鼓樓出發(fā)點(diǎn)米，出租車在鼓樓(2)116元【知識點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用，絕對值的應(yīng)用，有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量，比較簡單．（1）把記錄的數(shù)字加起來，看結(jié)果是正還是負(fù)，就可確定是向東還是西；（2）求出記錄數(shù)字的絕對值的和，再乘以2即可．【詳解】（1）解：，故出租車離鼓樓出發(fā)點(diǎn)米，出租車在鼓樓；（2）解：元，故司機(jī)一個下午的營業(yè)額是116元．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·福建漳州·期中）海洋科考隊于某天早晨乘船從海島M出發(fā)，在南北走向的海岸線上進(jìn)行科考活動．規(guī)定向北行進(jìn)為正，向南行進(jìn)為負(fù)．從出發(fā)到結(jié)束當(dāng)天的科考活動時，他們的行進(jìn)里程（單位：海里）記錄如下：．(1)結(jié)束當(dāng)天的科考活動時，科考隊是在海島M的北邊還是南邊？距離海島M有多遠(yuǎn)？(2)從出發(fā)到結(jié)束當(dāng)天的科考活動，科考隊的船只總共行駛了多少海里？(3)如果船只每行駛1海里耗油4升，那么在整個科考活動過程中，船只共耗油多少升？【答案】(1)科考隊是在海島M的北邊，距離海島M有海里；(2)科考隊的船只總共行駛了海里；(3)船只共耗油升．【知識點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、絕對值的幾何意義、有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)的加法和乘法，絕對值的意義等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算，再由結(jié)果即可得出答案；（2）根據(jù)絕對值的意義求解即可；（3）根據(jù)單位耗油量乘以行駛里程即可求解．【詳解】（1）解：（海里），∴科考隊是在海島M的北邊，距離海島M有海里；（2）解：由題意可得：（海里），∴科考隊的船只總共行駛了海里；（3）解：（升），∴船只共耗油升．2．（24-25七年級上·湖南永州·期中）道州臍橙“橙紅鮮美、香甜多汁”，因出產(chǎn)于永州市道縣而得名．現(xiàn)有20筐道州臍橙，以每筐千克的質(zhì)量為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示，記錄如下：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）筐數(shù)(1)這筐道州臍橙中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？(2)若道州臍橙每千克售價元，則這筐道州臍橙可賣多少元？【答案】(1)最重的一筐比最輕的一筐重千克(2)這20筐道州臍橙可賣元【知識點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【分析】本題考查有理數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分別列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算的順序計算即可．（1）利用超出最多的重量減去不足最多的重量，即可解題；（2）用總質(zhì)量成單價即可．【詳解】（1）解：由題知，（千克），答：最重的一筐比最輕的一筐重千克；（2）解：由題知，總質(zhì)量為（千克），（元），答：這20筐道州臍橙可賣元．3．（24-25六年級上·上海·期中）外賣送餐為我們生活帶來了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣小哥一周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過40單（送一次外賣為一單）的部分記為“”，低于40單的部分記為“”，下表是該外賣小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量/單(1)求外賣小哥這一周平均每天送餐多少單．(2)外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的部分，每單補(bǔ)貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補(bǔ)貼6元：超過50單的部分，每單補(bǔ)貼8元．求外賣小哥這一周工資收入多少元．【答案】(1)45(2)1574元【知識點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意，得外賣小哥這一周平均每天送餐單數(shù)為：，解答即可．（2）先計算正常產(chǎn)量的工資，加上超產(chǎn)的獎勵工資即可．本題考查的是正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，平均數(shù)的計算，有理數(shù)的加法與乘法的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，正確的列代數(shù)式計算計算是解本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得外賣小哥這一周平均每天送餐單數(shù)為：（單）．答：外賣小哥這一周平均每天送餐45單．（2）解：∵外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補(bǔ)貼構(gòu)成，送單補(bǔ)貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的部分，每單補(bǔ)貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補(bǔ)貼6元：超過50單的部分，每單補(bǔ)貼8元．∴本周工資為：（元）．答：外賣小哥這一周工資收入1574元．【題型6有理數(shù)的除法運(yùn)算】例題：（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)5(2)(3)(4)36【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)除法計算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；（2）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即可解答；（3）根據(jù)有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；（4）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即可解答；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的除法運(yùn)算．根據(jù)有理數(shù)的除法運(yùn)算法則，先確定結(jié)果符號，再計算數(shù)值．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)4(2)(3)0(4)【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．本題主要考查了有理數(shù)除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)除法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．3．（2024七年級上·江蘇·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)3(2)(3)(4)【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算．熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運(yùn)算即可；（2）直接進(jìn)行除法運(yùn)算即可；（3）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運(yùn)算即可；（4）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行除法運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【題型7有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算】例題：（24-25六年級上·黑龍江哈爾濱·期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)3(3)(4)12【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，乘法分配律，掌握其運(yùn)算法則是關(guān)鍵．（1）先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計算即可；（2）先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法，加減運(yùn)算法則計算即可；（3）先將除法變乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法分配律的逆運(yùn)算計算即可；（4）運(yùn)用乘法分配律計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·黑龍江·期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)的除法運(yùn)算、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】（）利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則即可求解；（）利用有理數(shù)的除法法則即可求解；（）利用有理數(shù)的乘法分配律即可求解；（）利用有理數(shù)的乘法分配律即可求解；本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．（1）先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計算即可；（2）先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計算即可；（3）先化乘為除，然后按有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．3．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和除法法則．（1）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計算即可．（2）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：【題型8有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算之新定義型問題】例題：（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）中考新趨勢?新定義若規(guī)定：，例如：，試求的值．【答案】【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算和新定義運(yùn)算，理解題意，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題中給出的信息，利用已知的新定義運(yùn)算法則和有理數(shù)的除法運(yùn)算法則計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·陜西寶雞·階段練習(xí)）定義新運(yùn)算“※”：對于有理數(shù)a，b（a，b都不為0），．例如：．求的值．【答案】．【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題考查的是新定義運(yùn)算，有理數(shù)的除法運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算的運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．先根據(jù)定義計算括號內(nèi)的，再根據(jù)定義進(jìn)行下一步的計算，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴．2．（24-25七年級上·廣東江門·階段練習(xí)）“”表示一種新的運(yùn)算，它是這樣定義的：．例如：(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)6(2)7【知識點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算、兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】此題考查了有理數(shù)的加法和乘法混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（2）利用題中的新定義先計算，進(jìn)一步計算即可求出值．【詳解】（1）解：根據(jù)題中的新定義得：；（2）解：根據(jù)題中的新定義得：．3．（24-25七年級上·廣東惠州·階段練習(xí)）在有理數(shù)的范圍內(nèi)，定義三個數(shù)之間的新運(yùn)算“”，，例如．(1)計算：；(2)計算：；(3)計算：．【答案】(1)10(2)3(3)【知識點(diǎn)】帶有字母的絕對值化簡問題、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、絕對值等知識點(diǎn)，將新定義的運(yùn)用化成有理數(shù)的運(yùn)算成為解題的關(guān)鍵．（1）先將原式化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后運(yùn)用絕對值和有理數(shù)混合運(yùn)算法則計算即可；（2）先將原式化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后運(yùn)用絕對值和有理數(shù)混合運(yùn)算法則計算即可；（3）先將原式化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后運(yùn)用絕對值和有理數(shù)混合運(yùn)算法則計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．【題型9有理數(shù)的除法中絕對值之分類討論問題】例題：（24-25七年級上·浙江金華·期中）分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，如在化簡時，可以這樣分類：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．用這種方法解決下列問題：(1)當(dāng)時，求的值．(2)當(dāng)時，求的值．(3)已知是有理數(shù)，當(dāng)時，試求的值．【答案】(1)1(2)(3)2或【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、絕對值的幾何意義【分析】本題主要考查絕對值的意義及有理數(shù)的除法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算及絕對值的意義是解題的關(guān)鍵；（1）把直接代入進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)絕對值的意義及有理數(shù)的除法運(yùn)算可進(jìn)行求解；（3）由題意可分當(dāng)和進(jìn)行分類求解即可．【詳解】（1）解：把代入得：；（2）解：∵，∴；（3）解：由可分：當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有；綜上所述，的值為2或．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·期末）有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．(1)______0；（填“”或“”）(2)化簡：．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、有理數(shù)的減法運(yùn)算、帶有字母的絕對值化簡問題、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值，有理數(shù)的比較大小，有理數(shù)的除法運(yùn)算．（1）根據(jù)數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大，有理數(shù)的減法法則判斷即可；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值化簡即可．【詳解】（1）解：根據(jù)數(shù)軸得：，，∴；（2）解：∵，∴；2．（24-25七年級上·山東聊城·期中）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：(1)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，求的值(2)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)，求的值(3)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．【答案】(1)或(2)或(3)【知識點(diǎn)】帶有字母的絕對值化簡問題、有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題主要考查了絕對值的意義，有理數(shù)的乘、除法法則；（1）根據(jù)，得出，同號或，異號，然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可；（2）根據(jù)，得出，，或，，或，，兩負(fù)一正或，，兩正一負(fù)，然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可；（3）根據(jù)，得出，，，求出，根據(jù)，，得出、、中一負(fù)兩正，再化簡絕對值即可．【詳解】（1）解：已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，，，，，，異號，．故的值為或．（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，，，，，，，，，兩負(fù)一正，，，兩正一負(fù)，．故的值為或（3）已知，，是有理數(shù)，，，所以，，，，，兩正一負(fù)，所以．3．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）“分類討論”是一種重要數(shù)學(xué)思想方法，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的兩個問題．例：三個有理數(shù)a，b，c滿足，求的值．解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即，，時，則：；②當(dāng)a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)，，，則：，綜上述：的值為3或．請運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解答下面的問題：(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)時，求值．(2)已知a，b，c是有理數(shù)，，，求的值．【答案】(1)或0(2)1【知識點(diǎn)】有理數(shù)加法運(yùn)算、有理數(shù)的除法運(yùn)算、絕對值的幾何意義【分析】本題考查了絕對值的意義，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法法則，根據(jù)分類討論的思想方法，能不重不漏的分類，會確定字母的范圍和字母的值是關(guān)鍵．（1）對、進(jìn)行討論，即、同正，、同負(fù)，、異號，根據(jù)絕對值的意義計算得到結(jié)果；（2）根據(jù)，，是有理數(shù)，，把求轉(zhuǎn)化為求的值，根據(jù)得結(jié)果．【詳解】（1）解：已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，可分為四種情況：①若，，；②若，，；③若，，；④若，，．故的值為或0；（2）解：因?yàn)?，，是有理?shù)，，，所以，，，且，，有兩個負(fù)數(shù)一個正數(shù)，不妨設(shè)，，，則．一、單選題1．（2025·陜西延安·模擬預(yù)測）計算：（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計算，直接根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則求解即可．【詳解】解：，故選：B．2．（2025·湖南常德·二模）下面算式錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】有理數(shù)的減法運(yùn)算、有理數(shù)加法運(yùn)算、有理數(shù)的除法運(yùn)算、兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的加減乘除法則，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，錯誤，符合題意；B、，正確，不符合題意；C、，正確，不符合題意；D、，正確，不符合題意；故選A．3．（24-25七年級上·浙江溫州·階段練習(xí)）將下列運(yùn)算符號填入算式的“”中，使運(yùn)算結(jié)果最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別計算出四種運(yùn)算下的結(jié)果即可得．【詳解】解：使運(yùn)算結(jié)果最小的是故選：D．4．（2025·山東濟(jì)南·二模）已知表示有理數(shù)a，b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的除法計算，根據(jù)數(shù)軸可得，據(jù)此化簡絕對值后計算求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得，∴，，故選：C．5．（2025·四川·模擬預(yù)測）定義一種新運(yùn)算：

．如：

，則

的值為(

)A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查了新運(yùn)算的運(yùn)算法則以及有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，難度較小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．依題意，根據(jù)該新運(yùn)算的運(yùn)算法則，代入數(shù)值即可列式作答．【詳解】解：依題意，那么

，故選：C．二、填空題6．（2025·湖南·模擬預(yù)測）計算：．【答案】【知識點(diǎn)】有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)除法法則，掌握除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)除法法則計算即可．【詳解】解：．故答案為：．7．（2025·四川資陽·模擬預(yù)測）若，比較四個數(shù)的大小，并用“”連接．【答案】【知識點(diǎn)】有理數(shù)大小比較、倒數(shù)【分析】本題考查了有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和有理數(shù)的大小比較，正確得出，，是解題的關(guān)鍵；根據(jù)可得，，，即可得解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，所以；故答案為：?．（24-25七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，按程序框圖中的順序計算，當(dāng)輸入的初始值x為32時，則輸出的最后結(jié)果為．【答案】128【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查程序流程圖與有理數(shù)的運(yùn)算，把32代入流程圖，列出算式進(jìn)行計算，直至最后結(jié)果，即可．【詳解】解：，，輸出；故答案為：128．9．（24-25六年級上·上海普陀·期中）定義：對于數(shù)對，如果，那么稱為“和積等數(shù)對”．如：因?yàn)椋?，所以，都是“和積等數(shù)對”．下列數(shù)對中，是“和積等數(shù)對”的是．（填序號）①；②；③．【答案】①③/③①【知識點(diǎn)】兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算、有理數(shù)加法運(yùn)算【分析】本題考查了“和積等數(shù)對”，有理數(shù)的加法和乘法，理解“和積等數(shù)對”的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“和積等數(shù)對”的定義計算即可．【詳解】解∶①，是“和積等數(shù)對”；②，不是“和積等數(shù)對”；③，是“和積等數(shù)對”；故答案為：①③．10．（24-25七年級上·湖北武漢·期末）下列說法：①若，則；②若，且，則；③若，則；④若，，，則．其中正確的有．（填序號）【答案】②③④【知識點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、帶有字母的絕對值化簡問題、有理數(shù)加法運(yùn)算、兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題主要考查了絕對值、有理數(shù)的計算等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．針對每一選項(xiàng)逐一判斷．【詳解】解：對于①：當(dāng)時，無意義，故①錯誤，不符合題意；對于②：∵，∴同號，∵，∴，，∴，∴，故②正確，符合題意；對于③：若，則有四種情況，1：如數(shù)軸所示，此時，∴，，∴；2如數(shù)軸所示，此時，∴，，∴；3如數(shù)軸所示，此時，∴，，∴；4如數(shù)軸所示，此時，∴，，∴；綜上，若，則；故③正確，符合題意；對于④：∵，∴a、b、c中至少有一個負(fù)數(shù)，∵，∴同號，∵，∴a和b均為負(fù)數(shù)，∴故④正確，符合題意；綜上，正確的有②③④；故答案為：②③④．三、解答題11．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）原式利用乘法分配律計算即可求解；（2）原式從左到右依次計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．12．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，乘除混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先把除法化為乘法，再根據(jù)乘法法則進(jìn)行計算，即可作答．（2）先運(yùn)算乘除，再運(yùn)算加法，即可作答．（3）先運(yùn)算小括號內(nèi)，再運(yùn)算中括號，即可作答．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．13．（24-25七年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）在1，，3，，中任意取出兩個數(shù)相乘，最大的積是a，最小的積是b．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】絕對值非負(fù)性、有理數(shù)加法運(yùn)算、兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法計算，有理數(shù)加法計算，絕對值的非負(fù)性：（1）根據(jù)乘法計算法則可得要使得兩個數(shù)的乘積最大，則這兩個數(shù)一定要同號，且絕對值要滿足是最大的兩個數(shù)，要使得兩個數(shù)的乘積最小，這兩個數(shù)一定要異號，且絕對值要滿足是最大的兩個數(shù)，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)絕對值的非負(fù)性得到，則，據(jù)此代值計算即可．【詳解】（1）解：∵要使得兩個數(shù)的乘積最大，∴這兩個數(shù)一定要同號，且絕對值要滿足是最大的兩個數(shù)，∴；∵要使得兩個數(shù)的乘積最小，∴這兩個數(shù)一定要異號，且絕對值要滿足是最大的兩個數(shù)，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴．14．（24-25七年級上·甘肅慶陽·期末）閱讀下列材料：計算：解法一：原式；解法二：原式；解法三：原式的倒數(shù)為，所以原式(1)上面三種解法得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤的解法，其中解法_________是錯誤的；(2)請你運(yùn)用合適的方法計算：．【答案】(1)一(2)【知識點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計算，有理數(shù)乘法分配律：（1）觀察解題過程可知，解法一是錯誤的，原因是除法沒有分配律；（2）先計算，計算方法為先把除法變成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的結(jié)果取倒數(shù)即為題目所求式子的值．【詳解】（1）解：觀察解題過程可知，解法一是錯誤的，原因是除法沒有分配律，故答案為：一；（2）解：原式的倒數(shù)為．所以．15．（2024七年級上·遼寧·專題練習(xí)）閱讀下面解題