PAGE1銜接點(diǎn)02式與方程小學(xué)階段初中階段學(xué)習(xí)了字母表示數(shù)（能用字母表示常見數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律、常見幾何體的公式等）、簡(jiǎn)單的一元一次方程及解法，培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力.較小學(xué)數(shù)學(xué)在式與方程方面主要變化有：“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言，初中階段重點(diǎn)關(guān)注代數(shù)式的運(yùn)算與規(guī)律探究，字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和推理，通過字母運(yùn)算和推理得到的結(jié)論具有一般性；“方程與不等式”揭示了數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系（相等關(guān)系和不等關(guān)系），是初中應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，初中一元一次方程的解法與小學(xué)的方法有所區(qū)別.培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象能力、推理能力等.銜接指引【小學(xué)階段基礎(chǔ)回顧】字母表示數(shù)：用字母表示數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和幾何公式等.簡(jiǎn)易方程：學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的一元一次方程及其解法，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力.【初中階段的變化與提升】代數(shù)式的運(yùn)算：關(guān)注代數(shù)式的運(yùn)算與規(guī)律探究，字母可像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和推理，結(jié)論具有一般性.方程與不等式：揭示基本的相等和不等數(shù)量關(guān)系，成為初中應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，一元一次方程的解法與小學(xué)有所區(qū)別.【銜接策略】理解字母表示數(shù)的意義：明確字母可以表示任意數(shù)、特定公式、符合條件的數(shù)或具有規(guī)律的數(shù)，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí).掌握代數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則：學(xué)習(xí)數(shù)與字母、字母與字母相乘的表示方法，如省略乘號(hào)、數(shù)字在前等，以及相同字母相乘的平方表示.深化對(duì)等式與方程的理解：理解等式的性質(zhì)，如兩邊同時(shí)加減乘除相同數(shù)（除數(shù)不為零）仍成立，掌握方程的解法及檢驗(yàn)方法.多做練習(xí)，鞏固知識(shí)：通過實(shí)際題目鞏固知識(shí)點(diǎn)，提升熟練度，培養(yǎng)運(yùn)算能力、抽象能力和推理能力.1．用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、計(jì)算公式和運(yùn)算定律1）用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系（1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克；（3）路程＝速度×?xí)r間，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）.2）用字母表示計(jì)算公式及運(yùn)算定理長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：C＝2（a＋b）；長(zhǎng)方形面積：S＝ab；長(zhǎng)方體體積：V＝abh或V＝Sh.加法交換律：a＋b＝b＋a加法結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交換律：ab＝ba乘法結(jié)合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①數(shù)與字母、字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作簡(jiǎn)寫為一個(gè)點(diǎn)或省略不寫，但要注意，省略乘號(hào)后，數(shù)字要寫在字母的前面；②兩個(gè)相同的字母相乘時(shí)，可寫成這個(gè)字母的平方，如a×a可以寫作a2.2．等式與方程1）等式與方程的意義及關(guān)系意義關(guān)系等式表示相等關(guān)系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知數(shù)的等式叫作方程2）等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式.（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式.3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解.（2）解方程的概念：求方程的解的過程叫作解方程.（3）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程.（4）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解.考點(diǎn)一：字母表示數(shù)1．（2024·浙江金華·小升初真題）學(xué)校報(bào)告廳第一排有a個(gè)座位，第二排有（a＋2）個(gè)座位，第三排有（a＋4）個(gè)座位，后面每一排比前面一排多2個(gè)座位。第n排有（

）個(gè)座位。A．a(chǎn)＋2n B．a(chǎn)＋2（n－1） C．2n D．a(chǎn)＋2n＋2【答案】B【分析】分析題目，第一排有a個(gè)座位，以后每次多增加2個(gè)座位，則第n排比第一排多了（n－1）個(gè)2，據(jù)此可知第n排有[a＋（n－1）×2]?！驹斀狻縜＋（n－1）×2＝[a＋2（n－1）]個(gè)學(xué)校報(bào)告廳第一排有a個(gè)座位，第二排有（a＋2）個(gè)座位，第三排有（a＋4）個(gè)座位，后面每一排比前面一排多2個(gè)座位。第n排有[a＋2（n－1）]個(gè)座位。故答案為：B2．（2024·江蘇泰州·小升初真題）下面各項(xiàng)中，可以用表示的是（

）。A．線段的總長(zhǎng)度： B．線段的總長(zhǎng)度：C．靠墻圍長(zhǎng)方形所用木料長(zhǎng)度： D．長(zhǎng)方形的面積：【答案】C【分析】：表示兩個(gè)相加的和，再加上4，據(jù)此觀察四個(gè)選項(xiàng)，解答此題?！驹斀狻緼．線段的長(zhǎng)度：2＋＋4＝；B．線段的長(zhǎng)度：＋4＋4＝；C．圍長(zhǎng)方形所用木料長(zhǎng)度：＋＋4＝；D．長(zhǎng)方形的面積是：（4＋2）＝。故答案為：C3．（2024·重慶永川·小升初真題）一輛貨車從甲地開往乙地，兩地間相距300千米，貨車平均速度是千米/時(shí)，已經(jīng)行駛了4小時(shí)，再行駛()千米到達(dá)乙地。當(dāng)時(shí)，再行駛()千米到達(dá)乙地?！敬鸢浮?00－4a20【分析】根據(jù)路程＝速度×?xí)r間；用貨車行駛的速度×已經(jīng)行駛的時(shí)間，即a×4，求出4小時(shí)行駛的路程；再用兩地間的距離－4小時(shí)行駛的路程，求出再行駛多少千米到達(dá)乙地。當(dāng)a＝70時(shí)，代入求出的含有字母的式子，即可解答?！驹斀狻?00－a×4＝（300－4a）千米a＝70時(shí)：300－4×70＝300－280＝20（千米）一輛貨車從甲地開往乙地，兩地間相距300千米，貨車平均速度是千米/時(shí)，已經(jīng)行駛了4小時(shí)，再行駛（300－4a）千米到達(dá)乙地。當(dāng)時(shí)，再行駛20千米到達(dá)乙地。4．（2024·遼寧大連·小升初真題）甲乙兩車相距s千米，兩車同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)行a千米，乙車每小時(shí)行b千米。（1）行駛2小時(shí)，兩車共行多少千米？（用含有a、b的式子表示）（2）行駛3小時(shí)，如果兩車還沒相遇，兩車相距多少千米？（用含有s、a、b的式子表示）（3）行駛4時(shí)，兩車正好相遇，請(qǐng)寫出s、a、b三者的數(shù)量關(guān)系式?！敬鸢浮浚?）（2a＋2b）千米（2）（s－3a－3b）千米（3）s＝4（a＋b）【分析】（1）根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”，用兩車的速度和乘兩車共同行駛的時(shí)間即可；（2）用S千米減去兩車3小時(shí)行駛的路程，即可求出兩車相距的路程；（3）S千米等于兩車的速度和乘兩車共同行駛的時(shí)間，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）（a＋b）×2＝（2a＋2b）（千米）答：行駛2小時(shí)，兩車共行（2a＋2b）千米。（2）s－（a＋b）×3＝（s－3a－3b）（千米）答：兩車相距（s－3a－3b）千米。（3）s＝4（a＋b）【解題技巧】1）字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個(gè)數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡(jiǎn)明的將數(shù)量關(guān)系表示出來.2）用字母表示數(shù)的意義：有助于揭示概念的本質(zhì)特征，能使數(shù)量之間的關(guān)系更加簡(jiǎn)明，更具有普遍意義.使思維過程簡(jiǎn)約化，易于形成概念系統(tǒng).1．（2024·山東濰坊·小升初真題）媽媽去超市購(gòu)物，微信的錢包余額為m元，買了6個(gè)同樣的玻璃杯，每個(gè)玻璃杯n元，微信錢包里還剩（

）元。A．m－n B．6n C．m－6n D．6（m－n）【答案】C【分析】先根據(jù)“總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量”求出買6個(gè)玻璃杯需要的錢數(shù)，再用微信的錢包余額減去花的錢數(shù)，即是微信錢包里還剩下的錢數(shù)?！驹斀狻縨－6×n＝（m－6n）（元）微信錢包里還剩（m－6n）元。故答案為：C2．（2024·浙江杭州·小升初真題）將一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加1.5cm，就得到一個(gè)新正方形。用含有字母的式子表示“增加的面積”，其中錯(cuò)誤的是（

）。A．（a＋1.5）2－a2 B．1.5a×2＋1.52C．（a＋a＋1.5）×1.5 D．1.5×（a＋1.5）×2【答案】D【分析】A．a(chǎn)表示原來正方形的邊長(zhǎng)，a＋1.5表示原來正方形的邊長(zhǎng)增加1.5cm以后的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，用增加1.5cm后的正方形的面積減去原來正方形的面積；B．增加的面積＝陰影小長(zhǎng)方形的面積×2＋陰影小正方形的面積，據(jù)此列式；C．如圖：把右面小長(zhǎng)方形的面積割掉，把它補(bǔ)到最下面，則最下面陰影部分的面積就是增加的面積，最下面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（a＋a＋1.5）cm，寬為1.5cm，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬計(jì)算即可判斷；D．1.5×（a＋1.5）×2表示兩個(gè)長(zhǎng)為（a＋1.5）cm，寬為1.5cm的面積，多加了一個(gè)邊長(zhǎng)為1.5cm的小正方形的面積，該選項(xiàng)錯(cuò)誤?！驹斀狻緼．增加的面積＝大正方形的面積－小正方形的面積，也就是（a＋1.5）2－a2，正確；B．增加的面積＝陰影小長(zhǎng)方形的面積×2＋陰影小正方形的面積，也就是1.5a×2＋1.52，正確；C．由分析可知：陰影部分的面積＝（a＋a＋1.5）×1.5，該選項(xiàng)列式正確；D．由分析可知：1.5×（a＋1.5）×2多加了一個(gè)小正方形的面積，錯(cuò)誤。所以錯(cuò)誤的是1.5×（a＋1.5）×2。故答案為：D3．（2024·河北石家莊·小升初真題）一個(gè)三位數(shù)，它的個(gè)位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，百位上的數(shù)字是c。這個(gè)三位數(shù)是（

）。A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．a(chǎn)bc【答案】B【分析】百位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)百，十位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)十，個(gè)位上的數(shù)字是幾就表示幾個(gè)一。這個(gè)百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，個(gè)位上的數(shù)字是c，那么它有a個(gè)百，b個(gè)十，c個(gè)一，據(jù)此解答?！驹斀狻縜個(gè)百是100a，b個(gè)十是10b，c個(gè)一是c所以這個(gè)三位數(shù)是100c＋10b＋a。故答案為：B4．（2024·山西忻州·小升初真題）一個(gè)長(zhǎng)方形的寬是厘米，長(zhǎng)是寬的3倍，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是厘米，周長(zhǎng)是厘米，面積是平方厘米?！敬鸢浮?a8a3a2【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，用乘法，長(zhǎng)是寬的3倍，寬是a厘米，則長(zhǎng)是a×3＝3a厘米，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2，長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬解答即可。【詳解】a×3＝3a（厘米）（3a＋a）×2＝4a×2＝8a（厘米）3a×a＝（平方厘米）所以這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3a厘米，周長(zhǎng)是8a厘米，面積是平方厘米。5．（2024·湖南張家界·小升初真題）張阿姨租了一個(gè)店面，去年每月租金為a元，今年每月租金比去年上漲了，今年每月租金為()元。如果a等于1200，那么今年每月租金為()元?！敬鸢浮縜1320【分析】（1）分析題目，把去年的租金看作單位“1”，則今年的租金是去年的（1＋），據(jù)此結(jié)合求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少用乘法列式計(jì)算即可；（2）把a(bǔ)＝1200代入（1）中求出的式子中并求值即可?！驹斀狻縜×（1＋）＝a×＝a（元）當(dāng)a＝1200時(shí)，a＝×1200＝1320（元）張阿姨租了一個(gè)店面，去年每月租金為a元，今年每月租金比去年上漲了，今年每月租金為a元。如果a等于1200，那么今年每月租金為1320元。6．（2024·湖南株洲·小升初真題）如圖線段AB的長(zhǎng)度用含有字母“a”的式子表示為分米，當(dāng)a＝5分米時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是分米?！敬鸢浮浚?a＋3）13【分析】從圖中可知，線段AB由兩段長(zhǎng)度為a分米的線段和一段長(zhǎng)度為3分米的線段組成，兩段長(zhǎng)度為a分米的線段總長(zhǎng)度是a＋a＝2a分米，再加上3分米的那段，所以線段AB的長(zhǎng)度用含有字母“a”的式子表示為（2a＋3）分米；把a(bǔ)＝5代入2a＋3中，根據(jù)先乘除后加減的運(yùn)算順序，先算乘法2×5＝10，再算加法10＋3＝13分米，所以此時(shí)線段AB的長(zhǎng)度是13分米。【詳解】a＋a＋3＝2a＋3當(dāng)a＝5時(shí)，2a＋3＝2×5＋3＝13所以線段AB的長(zhǎng)度用含有字母“a”的式子表示為（2a＋3）分米，當(dāng)a＝5分米時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是13分米。考點(diǎn)二：等量代換1．（2020·云南昆明·小升初真題）如果○、囗、△各代表一個(gè)數(shù)，根據(jù)下面的已知條件，求○、囗、△的值。正確的是（

）。○＋△＝91

△－○＝35

○＋囗＝73A．○＝28，囗＝45，△＝63 B．○＝45，囗＝28，△＝63C．○＝45，囗＝63，△＝63 D．○＝63，囗＝45，△＝28【答案】A【分析】利用和差問題公式：（和＋差）÷2＝較大數(shù)，將○＋△＝91，△－○＝35這兩個(gè)等式左右兩邊分別相加，再除以2，求出△的值；將△的值代入○＋△＝91中，根據(jù)和－一個(gè)加數(shù)＝另一個(gè)加數(shù)，求出○的值；將○的值代入○＋囗＝73，同理求出囗的值?！驹斀狻俊鳎海?1＋35）÷2＝126÷2＝63將△＝63代入○＋△＝91可得：○＋63＝91○＝91－63○＝28將○＝28代入○＋囗＝73可得：28＋囗＝73囗＝73－28囗＝45故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查和差問題以及等量代換問題，弄清各圖形之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。2．（2024·河南三門峽·小升初真題）一輛小汽車的牌照是豫M8L〇□△，已知〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15，△＋△＝〇，那么牌照號(hào)碼的后三位數(shù)是()?！敬鸢浮?41【分析】分析題目，根據(jù)“〇＋〇＝□，〇＋□＋□＋5＝15”可知：〇＋〇＋〇＋〇＋〇＋5＝15，據(jù)此可知〇＝（15－5）÷5，進(jìn)而求出○，再用○＋○求出□，最后根據(jù)△＋△＝〇，用○除以2即可求出△?！驹斀狻恳?yàn)椹枺枺健?，〇＋□＋□?＝15，所以〇＋〇＋〇＋〇＋〇＋5＝15，那么〇＝（15－5）÷5＝10÷5＝2□＝2＋2＝4△＝2÷2＝1因此，牌照號(hào)碼的后三位數(shù)是241。3．（2023·四川成都·小升初真題）體育教師到商店買6個(gè)足球和3個(gè)籃球，要付396元；則買10個(gè)足球和5個(gè)籃球要付()元。【答案】660【分析】6個(gè)足球和3個(gè)籃球是396元，將這些球每2個(gè)足球和1個(gè)籃球放在一起，能分成3份，每一份就是132元。將10個(gè)足球和5個(gè)籃球也是每2個(gè)足球和1個(gè)籃球放在一起，這樣可以分成5份。每一份是132元，5份要多少錢，用乘法。【詳解】396÷3＝132（元）132×5＝660（元）則買10個(gè)足球和5個(gè)籃球要付660元。4．（2023·四川成都·小升初真題）已知，求的值。【答案】3【分析】479749這個(gè)數(shù)比較大，我們可以用暫時(shí)一個(gè)字母表示這個(gè)數(shù)。，根據(jù)分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，＝＝k，則＝3k，同理，。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果和這個(gè)復(fù)雜的數(shù)字沒有關(guān)系?！驹斀狻扛鶕?jù)分析＝＝＝＝＝35．（24-25六年級(jí)上·江蘇·單元測(cè)試）看圖列式計(jì)算。（1）2只小狗的質(zhì)量相當(dāng)于多少只兔子的質(zhì)量？2只小狗的質(zhì)量相當(dāng)于多少只母雞的質(zhì)量？（2）2只小狗和4只兔子的總質(zhì)量相當(dāng)于多少只小狗的質(zhì)量？也相當(dāng)于多少只兔子的質(zhì)量？（3）2只兔子和6只母雞的總質(zhì)量相當(dāng)于多少只兔子的質(zhì)量？也相當(dāng)于多少只母雞的質(zhì)量？（4）1只小狗和24只母雞的總質(zhì)量相當(dāng)于多少只小狗的質(zhì)量？也相當(dāng)于多少只母雞的質(zhì)量？【答案】（1）8只；24只（2）3只；12只（3）4只；12只（4）3只；36只【分析】（1）根據(jù)題意，求的是2只小狗＝多少只兔子，2只小狗＝多少只母雞，依據(jù)圖示，1只小狗＝4只兔子，則2只小狗＝8只兔子；依據(jù)圖示，1只兔子＝3只母雞，1只小狗＝4只兔子，則2只小狗＝2×（3×4）＝24只母雞，據(jù)此解答。（2）根據(jù)題意，求的是2只小狗＋4只兔子＝多少只小狗，2只小狗＋4只兔子＝多少只兔子，依據(jù)圖示，1只小狗＝4只兔子，則2只小狗＋4只兔子＝3只小狗；同理，2只小狗＝8只兔子，則2只小狗＋4只兔子＝12只兔子，據(jù)此解答。（3）根據(jù)題意，求的是2只兔子＋6只母雞＝多少只兔子，2只兔子＋6只母雞＝多少只母雞，已知1只兔子＝3只母雞，則2只兔子＝6只母雞，那么2只兔子＋6只母雞＝4只兔子；同理，2只兔子＋6只母雞＝12只母雞，據(jù)此解答。（4）根據(jù)題意，題中求1只小狗＋24只母雞＝多少只小狗，1只小狗＋24只母雞＝多少只母雞，已知1只小狗＝4只兔子，1只兔子＝3只母雞，可推算出，1只小狗＝12只母雞，則1只小狗＋24只母雞＝3只小狗；1只小狗＋24只母雞＝多少只母雞，同理，1只小狗＝12只母雞，則1只小狗＋24只母雞＝36只母雞，據(jù)此解答。【詳解】（1）2只小狗的質(zhì)量相當(dāng)于8只兔子的質(zhì)量，2只小狗的質(zhì)量相當(dāng)于24只母雞的質(zhì)量；（2）2只小狗和4只兔子的總質(zhì)量相當(dāng)于3只小狗的質(zhì)量，也相當(dāng)于12只兔子的質(zhì)量；（3）2只兔子和6只母雞的總質(zhì)量相當(dāng)于4只兔子的質(zhì)量，也相當(dāng)于12只母雞的質(zhì)量；（4）1只小狗和24只母雞的總質(zhì)量相當(dāng)于3只小狗的質(zhì)量，也相當(dāng)于36只母雞的質(zhì)量。【定義】等量代換是指用一種量（或一種量的一部分）來代替和它相等的另一種量（或另一種量的一部分）.在數(shù)學(xué)中，如果a=b且b=c，那么a=c.這種基于等式傳遞性的代換方法，是代數(shù)思想的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決中.【應(yīng)用場(chǎng)景】在小學(xué)階段，等量代換常常應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：1.簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算：例如，如果知道333個(gè)蘋果的重量等于666個(gè)橘子的重量，那么可以用666個(gè)橘子替換333個(gè)蘋果，從而解決涉及重量比較的問題.2.解決代數(shù)方程：通過將一個(gè)未知量替換為與之相等的表達(dá)式，從而簡(jiǎn)化方程3.幾何問題：在幾何中，如果兩個(gè)圖形的面積相等，可以用其中一個(gè)圖形替換另一個(gè)圖形，從而解決面積計(jì)算問題.1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·小升初真題）A、B、C各代表一個(gè)數(shù)，已知A－B＝8，A＋B＝14，C＝A＋A＋B，則A、B、C分別等于（

）。A．10、2、22 B．11、3、25 C．11、8、30 D．12、2、26【答案】B【分析】根據(jù)A－B＝8，可得A＝B＋8，將其代入A＋B＝14中，可得到B的值，進(jìn)而求出A和C的值?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得，把A＝B＋8代入A＋B＝14中可得：B＋8＋B＝142B＝14－82B＝6B＝3A＝8＋3＝11；C＝11＋11＋3＝25。故答案為：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了簡(jiǎn)單的等量代換問題，要熟練掌握。再運(yùn)用等式的性質(zhì)求出A、B、C的值。2．（2023·四川成都·小升初真題）如果，，那么()。【答案】34【分析】觀察等式得：x比y大12，y比z大5，那么x比z大17。再將式子用乘法的分配律化簡(jiǎn)?！驹斀狻?．（2023·河北石家莊·小升初真題）△、□、〇、☆、◎各代表一個(gè)數(shù)。（1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。求△和□的值。（2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160。〇是否等于◎？【答案】（1）△是18；□是6（2）等于【分析】（1）根據(jù)△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可知□＋□＋□＋□＝24，即□×4＝24，根據(jù)“因數(shù)＝積÷另一個(gè)因數(shù)”據(jù)此求出□表示的數(shù)，再把□表示的數(shù)代入△＝□＋□＋□中，求出△表示的數(shù)。（2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160，根據(jù)“加數(shù)＝和－另一個(gè)加數(shù)”得出〇＝160－☆，◎＝160－☆，據(jù)此得出〇是否等于◎?！驹斀狻浚?）由△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可得：□＋□＋□＋□＝24；□＝24÷4＝6△＝6＋6＋6＝18答：△的值是18，□的值是6。（2）由〇＋☆＝160可得：〇＝160－☆；由◎＋☆＝160可得：◎＝160－☆；所以〇＝◎。答：〇等于◎。4．（23-24六年級(jí)下·江蘇·課后作業(yè)）下圖中一個(gè)小玻璃球的體積是多少立方厘米？（每個(gè)小玻璃球同樣大）一個(gè)大玻璃球的體積是多少立方厘米？【答案】3立方厘米；14立方厘米【分析】看圖可知，1個(gè)大玻璃球和1個(gè)小玻璃球的體積是17立方厘米，1個(gè)大玻璃球和3個(gè)小玻璃球的體積是23立方厘米，1個(gè)大玻璃球和3個(gè)小玻璃球的體積－1個(gè)大玻璃球和1個(gè)小玻璃球的體積＝2個(gè)小玻璃球的體積，2個(gè)小玻璃球的體積÷2＝1個(gè)小玻璃球的體積，1個(gè)大玻璃球和1個(gè)小玻璃球的體積－1個(gè)小玻璃球的體積＝1個(gè)大玻璃球的體積。【詳解】（23－17）÷（3－1）＝6÷2＝3（立方厘米）17－3＝14（立方厘米）答：一個(gè)小玻璃球的體積是3立方厘米，一個(gè)大玻璃球的體積是14立方厘米。5．（23-24五年級(jí)上·全國(guó)·周測(cè)）觀察思考：下圖中③號(hào)天平的右邊盤里應(yīng)該放幾個(gè)蘋果？【答案】5個(gè)【分析】由①號(hào)天平可知：4個(gè)蘋果＝8個(gè)梨，即1個(gè)蘋果＝2個(gè)梨；由②號(hào)天平可知：7個(gè)梨＝1個(gè)菠蘿＋1個(gè)梨，即6個(gè)梨＝1個(gè)菠蘿；③號(hào)天平的左邊有1個(gè)菠蘿和4個(gè)梨，用6個(gè)梨代替1個(gè)菠蘿，則相當(dāng)于左邊有個(gè)梨，再看相當(dāng)于幾個(gè)蘋果。據(jù)此解答。【詳解】①號(hào)天平：4個(gè)蘋果＝8個(gè)梨，即1個(gè)蘋果＝2個(gè)梨②號(hào)天平：7個(gè)梨＝1個(gè)菠蘿＋1個(gè)梨，即6個(gè)梨＝1個(gè)菠蘿③號(hào)天平：1個(gè)菠蘿＋4個(gè)梨＝個(gè)梨＝10個(gè)梨10個(gè)梨＝個(gè)蘋果＝5個(gè)蘋果答：③號(hào)天平的右邊盤里應(yīng)該放5個(gè)蘋果?？键c(diǎn)三：等式與方程的概念辨析1．（2024·江蘇鹽城·小升初真題）下面的式子中，（

）是方程。A．3.2＋1.8＝5 B．x－6 C． D．2a＋3b【答案】C【分析】方程是指含有未知數(shù)的等式。所以方程必須具備兩個(gè)條件：①含有未知數(shù)；②等式。據(jù)此解答即可?！驹斀狻緼．3.2＋1.8＝5，是等式，但不含未知數(shù)，所以不是方程；B．x－6，含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程；C．x＝1，含有未知數(shù)，且是等式，所以是方程；D．2a＋3b，含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程。故答案為：C2．（2024·云南西雙版納·小升初真題）“媽媽買來600g藍(lán)莓，買來的楊梅比藍(lán)莓多，買來?xiàng)蠲范嗌賕？”關(guān)于下列等量關(guān)系正確的是（

）。A．藍(lán)莓的重量×＝楊梅的重量 B．藍(lán)莓的重量×（1＋）＝楊梅的重量C．藍(lán)莓的重量÷＝楊梅的重量 D．藍(lán)莓的重量÷（1－）＝楊梅的重量【答案】B【分析】已知楊梅比藍(lán)莓多，把藍(lán)莓的重量看作單位“1”，則楊梅比藍(lán)莓多的重量占藍(lán)莓的，楊梅的重量是藍(lán)莓的（1＋），根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算，據(jù)此得出等量關(guān)系?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可得出等量關(guān)系：藍(lán)莓的重量×＝楊梅比藍(lán)莓多的重量；藍(lán)莓的重量×（1＋）＝楊梅的重量；所以，四個(gè)選項(xiàng)中等量關(guān)系正確的是：藍(lán)莓的重量×（1＋）＝楊梅的重量。故答案為：B3．（2024·江蘇揚(yáng)州·小升初真題）如圖中，不正確的是（

）。A．B．C． D．【答案】C【分析】A．表示相等關(guān)系的式子叫等式。含有未知數(shù)的等式叫做方程。據(jù)此判斷。B．偶數(shù)：像2，4，6，8…都是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)。奇數(shù)：像1，3，5，7…不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。據(jù)此判斷。C．質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；合數(shù)：除了1和它本身外，還有其他因數(shù)的數(shù)叫合數(shù)。據(jù)此判斷。D．真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)小于1。假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于或者等于1。據(jù)此判斷?！驹斀狻緼．據(jù)分析可知，方程是等式的一種特殊形式，正確。B．據(jù)分析可知，非0自然數(shù)中可分為奇數(shù)和偶數(shù)，正確。C．非0自然數(shù)中包含1，但1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，因此把非0自然數(shù)直接分成質(zhì)數(shù)和合數(shù)并不正確。D．據(jù)分析可知，分?jǐn)?shù)可分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，正確。故答案為：C4．（2024·四川成都·小升初真題）下面每組概念都是我們學(xué)過的重要知識(shí)，其中有（

）組概念可以用下面的圖形來準(zhǔn)確表示它們間的關(guān)系。①奇數(shù)和偶數(shù)

②平行四邊形和長(zhǎng)方形③平行和相交

④等式和方程A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)；②在四邊形中，兩組對(duì)邊都平行的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形；③同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線；④表示等號(hào)左右兩邊相等的式子是等式，含有未知數(shù)的等式叫做方程；據(jù)此解答?！驹斀狻竣倨鏀?shù)不包含偶數(shù)，偶數(shù)也不包含奇數(shù)，不符合題意；②長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，符合題意；③在同一平面內(nèi)，只有兩種位置關(guān)系，不是相交就是平行，不符合題意；④等式不一定是方程，方程一定是等式，符合題意；所以其中有2組概念可以用下面的圖形來準(zhǔn)確表示它們間的關(guān)系。故答案為：B5．（22-23五年級(jí)上·河北·期末）在①9+x＝18②y﹣21＝30③7a④5×16＝80⑤x÷4⑥x﹣72＞100中等式有：方程有：（填序號(hào)）【答案】①、②、④①、②【詳解】等式是指用等號(hào)連接的式子；方程是指含有未知數(shù)的等式；所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。1）等式：表示相等關(guān)系的式子叫作等式。2）方程：含有未知數(shù)的等式。3）方程一定是等式，等式不一定是方程。注意：如何判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二是含有未知數(shù)．1．（2022·湖南湘西·小升初真題）小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)了很多知識(shí)，知識(shí)之間有著密切的聯(lián)系。下圖中：如果A表示長(zhǎng)方形，那么B可以表示正方形；如果A表示等腰三角形，那么B表示()；如果B表示方程，那么A可以表示()。【答案】等邊三角形等式【分析】長(zhǎng)方形和正方形的關(guān)系是長(zhǎng)方形包括正方形，正方形是特殊的長(zhǎng)方形；等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等邊三角形；方程是含有未知數(shù)的等式，等式是含有等號(hào)的式子。據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等邊三角形；如果B表示方程，那么A可以表示等式?！军c(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方形與正方形、等邊三角形與等腰三角形、方程與等式之間的關(guān)系，應(yīng)熟練理解并掌握它們的意義與聯(lián)系。2．（2022·四川廣安·小升初真題）下面式子中，不是方程的是（

）。A．－5＝1 B．4＋2＝16 C．3－2＞7 D．＋1＝3【答案】C【分析】含有未知數(shù)的等式叫做方程，據(jù)此逐項(xiàng)分析?！驹斀狻緼．－5＝1，既含有未知數(shù)，又是等式，所以是方程；B．4＋2＝16，既含有未知數(shù)，又是等式，所以是方程；C．3－2＞7，含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程；D．＋1＝3，既含有未知數(shù)，又是等式，所以是方程。故答案為：C【點(diǎn)睛】掌握方程的意義及辨識(shí)方法是解題的關(guān)鍵。3．（2018·江蘇無錫·小升初真題）小學(xué)階段學(xué)到了很多數(shù)學(xué)知識(shí)，知識(shí)之間有著密切的聯(lián)系．如圖中，若A表示長(zhǎng)方體，則B可以表示正方體；若A表示等腰三角形，則B可以表示()；若B表示方程，則A可以表示()【答案】等邊三角形等式【詳解】略4．（2020·江蘇蘇州·小升初模擬）根據(jù)下圖中的數(shù)量關(guān)系，求出x＝()，y＝()。xxxxxyyy16.2xx【答案】5.49【詳解】先比較第一行和第三行，發(fā)現(xiàn)3x＝16.2，算出x＝5.4；再比較第一行和第二行，5x＝3y，算出5x＝5×5.4＝27，y＝27÷3＝9?！军c(diǎn)睛】這題考查的是學(xué)生觀察、比較、推理的能力。5．（2020·北京·小升初模擬）下面的式子中，（

）能表示如圖所示的數(shù)量關(guān)系。A． B． C．b＝3a D．a(chǎn)＝3b【答案】B【分析】根據(jù)線段圖得出a是2份，b是3份，求a是b的幾分之幾，用a÷b＝2÷3＝，即a＝b，據(jù)此解答即可?！驹斀狻縜是2份，b是3份，a是b的：a÷b＝2÷3＝，即a＝b。故選：B?！军c(diǎn)睛】此題考查了等量關(guān)系與方程，解決此題的關(guān)鍵是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)?？键c(diǎn)四：等式的性質(zhì)1．（2024·河北保定·小升初真題）如果3x＝6y，那么。()【答案】×【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)除以3，化為：x＝2y；比例的基本性質(zhì)：在比例中，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的乘積等于兩個(gè)外項(xiàng)的乘積，根據(jù)比例的基本性質(zhì)的逆運(yùn)算，即可解答?！驹斀狻?x＝6y3x÷3＝6y÷3x＝2yx∶y＝2∶1如果3x＝6y，那么x∶y＝2∶1。原題干說法錯(cuò)誤。故答案為：×2．（24-25五年級(jí)上·福建三明·期末）在天平的“？”處添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（

）。A． B． C． D．【答案】A【分析】從圖中可知，1個(gè)球的質(zhì)量相當(dāng)于2個(gè)正方體的質(zhì)量，那么3個(gè)球的質(zhì)量相當(dāng)于6個(gè)正方體的質(zhì)量；右圖中天平的右端已有2個(gè)正方體，再添加4個(gè)正方體，天平能保持平衡；否則天平不能保持平衡?！驹斀狻緼．天平右端原有2個(gè)正方體，再添加6個(gè)正方體，則右端有2＋6＝8個(gè)正方體，天平不能保持平衡；B．天平右端原有2個(gè)正方體，再添加，相當(dāng)于添加2＋2＝4個(gè)正方體，則右端有2＋4＝6個(gè)正方體，天平能保持平衡；C．天平右端原有2個(gè)正方體，再添加，相當(dāng)于添加2＋2＝4個(gè)正方體，則右端有2＋4＝6個(gè)正方體，天平能保持平衡；D．天平右端原有2個(gè)正方體，再添加4個(gè)正方體，則右端有2＋4＝6個(gè)正方體，天平能保持平衡。故答案為：A3．（24-25五年級(jí)上·北京延慶·期末）圖形□，☆表示兩個(gè)不為0的數(shù)，并且☆＝□，依據(jù)等式的性質(zhì)，下面等式中（

）不成立。A．☆＋3＝□＋0.3 B．☆□ C．☆□ D．☆□【答案】A【分析】等式兩邊同時(shí)加上、減去、乘上或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），等式的左右兩邊仍相等，據(jù)此解答即可?！驹斀狻緼．等式左邊加的是3，等式右邊加的是0.3，所以等式不成立；B．等式的左右兩邊同時(shí)除以7.2，所以等式成立；C．等式的左右兩邊同時(shí)減去4.6，所以等式成立；D．等式左邊除以2，即乘0.5，等式右邊乘0.5，所以等式左右兩邊同時(shí)乘0.5，等式成立；故答案為：A4．（24-25五年級(jí)上·河北·單元測(cè)試）在括號(hào)里填上合適的算式。(1)如果x＝12，那么x＋12＝()。(2)如果4x＋5＝29，那么4x＝()。(3)如果5x×3＝27，那么5x＝()。(4)如果2x÷6＝18，那么2x＝()。【答案】(1)12＋12(2)29－5(3)27÷3(4)18×6【分析】等式的性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果還是等式；等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果還是等式；（1）觀察發(fā)現(xiàn)等式左邊的x加了12，那么等式右邊的12也要加上12；（2）觀察發(fā)現(xiàn)等式左邊的4x＋5變?yōu)?x是減去了5，那么等式右邊的29也要減去5；（3）觀察發(fā)現(xiàn)等式左邊的5x×3變?yōu)?x是除以3，那么等式右邊的27也要除以3；（4）觀察發(fā)現(xiàn)等式左邊的2x÷6變?yōu)?x是乘6，那么等式右邊的18也要乘6；據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）如果x＝12，那么x＋12＝12＋12。（2）如果4x＋5＝29，那么4x＝29－5。（3）如果5x×3＝27，那么5x＝27÷3。（4）如果2x÷6＝18，那么2x＝18×6。5．（23-24五年級(jí)下·江蘇淮安·期中）仔細(xì)觀察如圖：

x＝20

2x（

）20×（

）3x（

）60

3x÷3（

）60÷（

）（1）填一填。（2）說一說，你發(fā)現(xiàn)什么？【答案】（1）＝；2；＝；＝；3；（2）我發(fā)現(xiàn)：等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式不變?！痉治觥浚?）根據(jù)天平左右兩邊相等，可知第二個(gè)天平為2x＝20×2，第三個(gè)天平為3x＝60，因?yàn)?x÷3＝x，60÷3＝20，所以第四個(gè)天平為3x÷3＝60÷3。（2）通過觀察發(fā)現(xiàn)，等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式不變?！驹斀狻浚?）（2）我發(fā)現(xiàn)：等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式不變。性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式?！疽族e(cuò)易混】1）利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，等式兩邊都要參加運(yùn)算，而且是同一種運(yùn)算.2）等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)字母時(shí)，字母不能為0，若題目沒有注明該字母不為0，那么這個(gè)變形就不成立.1．（2022·浙江寧波·小升初真題）如果，而，那么()?！敬鸢浮?2【分析】根據(jù)，可得，代入到中去，利用等式的性質(zhì)，求出的值?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得，，，可得【點(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)單的等量代換，利用等式的性質(zhì)，求出結(jié)果。2．（2024·北京東城·小升初模擬）根據(jù)下圖天平平衡的狀態(tài)，求出一杯水的質(zhì)量?！敬鸢浮?.5kg【分析】1杯水為單位“1”，由圖可知1杯水的重量＝杯水的重量＋kg，我們可以根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去杯水的重量，即（1－）杯水的重量＝kg。據(jù)此一杯水的重量＝kg÷（1－）杯水?！驹斀狻俊拢?－）＝÷＝×＝1.5（kg）答：這杯水的質(zhì)量為1.5kg。【點(diǎn)睛】此題需掌握等式的基本性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化。3．（24-25五年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）在8.9×☆－☆×6.4＝10中，☆為同一個(gè)數(shù)，☆＝()。【答案】4【分析】根據(jù)乘法分配律是指兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加；乘法分配律公式為：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，a×c±b×c＝（a±b）×c，將算式轉(zhuǎn)化為：☆×（8.9－6.4）＝10，合并計(jì)算出括號(hào)的結(jié)果后，根據(jù)等式性質(zhì)2計(jì)算出結(jié)果即可，據(jù)此解答。【詳解】8.9×☆－☆×6.4＝10☆×（8.9－6.4）＝10☆×2.5＝10☆＝10÷2.5☆＝4所以，在8.9×☆－☆×6.4＝10中，☆為同一個(gè)數(shù)，☆＝4。4．（23-24六年級(jí)下·江蘇·課后作業(yè)）根據(jù)等式的性質(zhì)在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)姆?hào)和數(shù)。(1)如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5()。(2)如果x－15＝25.6，那么x－15()＝25.6＋15。(3)如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2()。(4)如果x÷5＝2.5，那么x÷5()＝2.5×5?！敬鸢浮?1)－4.5(2)＋15(3)÷4(4)×5【分析】等式的性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果還是等式。等式的性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果還是等式。（1）根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式的左邊減去4.5，右邊也要減去4.5；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式的右邊加上15，左邊也要加上15；（3）根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式的左邊除以4，右邊也要除以4；（4）根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式的右邊乘5，左邊也要乘5；【詳解】（1）如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5－4.5。（2）如果x－15＝25.6，那么x－15＋15＝25.6＋15。（3）如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2÷4。（4）如果x÷5＝2.5，那么x÷5×5＝2.5×5?？键c(diǎn)五：方程的解1．（2021·甘肅隴南·小升初真題）已知方程的解是，則k的值是（

）。A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】把代入到方程中，然后根據(jù)等式的性質(zhì)解方程即可?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)解：故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查解方程，熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。2．（2022·廣東梅州·小升初真題）x＝3是方程（

）的解。A．2x＋9＝15 B．3x＝6 C．3x÷2＝18【答案】A【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，分別計(jì)算3個(gè)選項(xiàng)里方程的解，即可選擇出正確的答案?！驹斀狻緼．2x＋9＝15解：2x＋9－9＝15－92x＝62x÷2＝6÷2x＝3B．3x＝6解：3x÷3＝6÷3x＝2C．3x÷2＝18解：3x÷2×2＝18×23x＝363x÷3＝36÷3x＝12所以，解是x＝3的方程是：2x＋9＝15。故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查方程的解，關(guān)鍵利用等式的基本性質(zhì)解方程。3．（23-24五年級(jí)下·江蘇·課后作業(yè)）括號(hào)里x的值，哪個(gè)是方程的解？把它圈出來。（1）x＋9＝46（x＝37，x＝55）

（2）39－x＝12（x＝51，x＝27）（3）1.9＋x＝5.6（x＝7.5，x＝3.7）

（4）x－0.1＝1（x＝1.1，x＝0.9）（5）5.6－x＝0.4（x＝6，x＝5.2）

（6）x＋0.8＝1（x＝1.8，x＝0.2）【答案】見詳解【分析】分別把括號(hào)里x的值代入方程，如果方程左右兩邊的結(jié)果相等，則這個(gè)x的值是方程的解，反之則不是。據(jù)此解答。【詳解】（1）把x＝37代入方程，左邊＝37＋9＝46，右邊＝46，左邊＝右邊，則x＝37是方程的解；（2）把x＝51代入方程，左邊不等于右邊，則x＝51不是方程的解；把x＝27代入方程，左邊＝39－27＝12，右邊＝12，左邊＝右邊，則x＝27是方程的解；（3）把x＝7.5代入方程，左邊＝1.9＋7.5＝9.4，右邊＝5.6，左邊不等于右邊，則x＝7.5不是方程的解；把x＝3.7代入方程，左邊＝1.9＋3.7＝5.6，右邊＝5.6，左邊＝右邊，則x＝3.7是方程的解；（4）把x＝1.1代入方程，左邊＝1.1－0.1＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，則x＝1.1是方程的解；（5）把x＝6代入方程，左邊不等于右邊，則x＝6不是方程的解；把x＝5.2代入方程，左邊＝5.6－5.2＝0.4，右邊＝0.4，左邊＝右邊，則x＝5.2是方程的解。（6）把x＝1.8代入方程，左邊＝1.8＋0.8＝2.6，右邊＝1，左邊不等于右邊，則x＝1.8不是方程的解；把x＝0.2代入方程，左邊＝0.2＋0.8＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，則x＝0.2是方程的解。把方程的解圈起來如下：4．（23-24五年級(jí)上·上?！卧獪y(cè)試）已知方程：（1）；（2）；（3）。則所滿足的方程是（

）。A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由于要使x＝1滿足方程，則把x等于1代入方程，分別計(jì)算出等號(hào)左邊的式子的結(jié)果和等號(hào)右邊式子的結(jié)果，看兩邊結(jié)果是否相等，如果相等，則滿足，如果不相等，則不滿足，據(jù)此即可分析。【詳解】（1）3x＋2＝3×1＋2＝3＋2＝57x－2＝7×1－2＝7－2＝55＝5；滿足x＝1；（2）－×1＝－＝＝，所以滿足x＝1；（3）（x－1）（x－2）＝0當(dāng)x＝1時(shí)，x－1＝0，0乘任何數(shù)都是0，所以（x－1）（x－2）＝0，滿足x＝1。故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要根據(jù)方程的解代入方程驗(yàn)算方程是否成立，要清楚的知道數(shù)字和字母相乘，乘號(hào)可以省略。5．（21-22五年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）已知8x－42＝30和□＋x＝9.1的解相同，那么□里應(yīng)填()。【答案】0.1【分析】先利用等式的性質(zhì)1和等式的性質(zhì)2求出8x－42＝30的解，再把方程的解代入□＋x＝9.1，求出□里應(yīng)填的數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】8x－42＝30解：8x－42＋42＝30＋428x＝728x÷8＝72÷8x＝9當(dāng)x＝9時(shí)□＋9＝9.1解：□＋9－9＝9.1－9□＝0.1所以，口里應(yīng)填0.1?！军c(diǎn)睛】題中兩個(gè)方程的解相同，那么兩個(gè)方程中x的值相等，掌握等式的性質(zhì)是求出方程中未知數(shù)值的關(guān)鍵。方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.【易錯(cuò)點(diǎn)】1）方程的解與解方程是兩個(gè)不同的概念，方程的解是一個(gè)具體的數(shù)值，而解方程是求方程的解的過程；2）方程的解是通過解方程求得的.3）方程的解可能不止一個(gè)（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能無解（如【判斷一個(gè)數(shù)是不是某方程的解的方法】只需將這個(gè)數(shù)代入方程，若方程兩邊的數(shù)值相等，則這個(gè)數(shù)是方程的解，否則不是.1．（22-23五年級(jí)上·河南鄭州·期末）下列方程中，與x÷1.2＝6的解相同的方程是（

）。A．0.3x＝21.6 B．x÷4＝1.2 C．x－6＝1.2【答案】C【分析】分別解出題干和各個(gè)選項(xiàng)中x的解，找出相同的解即可?！驹斀狻縳÷1.2＝6x＝1.2×6x＝7.2A．0.3x＝21.6x＝21.6÷0.3x＝72B．x÷4＝1.2x＝1.2×4x＝4.8C．x－6＝1.2x＝6＋1.2x＝7.2由此可知題干中的解與C選項(xiàng)的解相同。故答案為：C2．（2020·浙江·小升初真題）已知是關(guān)于的方程：的解，則()?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)題意，把代入原方程得，解方程即可求得a的值?！驹斀狻拷猓簩⒋耄茫?×3＋a＝10a＝10－6a＝4【點(diǎn)睛】本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)一元一次方程的學(xué)習(xí)。把已知方程的解代入原式即可。3．（20-21六年級(jí)上·全國(guó)·期中）滿足的最小正整數(shù)A＝()；B＝()?！敬鸢浮?3【分析】利用代數(shù)法代入求解，注意A和B是正整數(shù)時(shí)才符合要求?！驹斀狻恳?yàn)樗?4＝AB都是正整數(shù)，所以至少要大于等于24。A最小為3，當(dāng)A為3，4，5時(shí)，B不是正整數(shù)不符合題干。當(dāng)A＝6時(shí)，＝9，B＝3。所以A＝6，B＝3?！军c(diǎn)睛】代入數(shù)值利用等式的性質(zhì)求解，A和B是正整數(shù)是解題的關(guān)鍵。4．（21-22五年級(jí)下·河南洛陽·期中）方程與有相同的解，則的值為()?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)得出的值，再代入中，即可得出答案?！驹斀狻拷猓喊褞耄玫健军c(diǎn)睛】此題考查了學(xué)生對(duì)解方程的熟練程度和運(yùn)算能力。5．（21-22五年級(jí)上·浙江杭州·期末）看圖，列方程是()，這個(gè)方程的解()?！敬鸢浮?7.5【分析】觀察圖可知，兩個(gè)b的長(zhǎng)度加上5米等于100米，據(jù)此列方程即可；根據(jù)等式的性質(zhì)1和性質(zhì)2，等式的兩邊先同時(shí)減去5，再同時(shí)除以2，解方程即可?！驹斀狻拷猓核钥磮D列方程是，這個(gè)方程的解?！军c(diǎn)睛】找準(zhǔn)圖中的等量關(guān)系列方程并求出方程的解是解題的關(guān)鍵?？键c(diǎn)六：解方程1．（22-23六年級(jí)上·陜西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)。【答案】【分析】（－）÷－（□－）＝，把□看作是未知數(shù)，先計(jì)算出小括號(hào)里的－的差，－＝，再計(jì)算除以的商；÷＝，原式化為：－（□－）＝，根據(jù)減法性質(zhì)，原式化為：－□＋＝，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，算式兩邊同時(shí)加上□，再減去，即可解答?！驹斀狻浚ǎ拢ā酰剑ǎ拢ā酰健粒ā酰剑酰健酰剑酰剑酰剑酰?．（2024·河南鄭州·小升初真題）解方程。（1）

（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去括號(hào)，然后根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐步計(jì)算，依次為方程的兩邊同時(shí)減去，再同時(shí)加上12，再同時(shí)除以3，最后求出方程的解；（2）方程中有分?jǐn)?shù)有小數(shù)，先將所有的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，方程轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)等式的基本性質(zhì)解方程，依次為方程的兩邊先同時(shí)加上，然后兩邊同時(shí)減去0.8，最后兩邊同時(shí)除以1.8即可。【詳解】（1）解：（2）解：3．（2024·重慶沙坪壩·小升初真題）解方程。（1）（2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2【答案】（1）＝；（2）＝15.2【詳解】（1）等式的性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果還是等式；等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果還是等式；根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩端同時(shí)乘6，去分母；再利用乘法的分配律，將括號(hào)去掉，然后將等式的兩邊的整理，有的可以利用乘法的分配律合并，得出5＋3＝12－6，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)，先兩邊同時(shí)減去3，交換等號(hào)兩邊式子的位置，再同時(shí)減去5，然后兩邊同時(shí)加上9，最后根據(jù)等式的性質(zhì)2，將等式的兩邊同時(shí)除以7即可；（2）先運(yùn)用乘法分配律將可以算的先算出；在比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì)；根據(jù)比例的性質(zhì)對(duì)比例進(jìn)行改寫，最后根據(jù)等式的性質(zhì)解方程。【解答】（1）解：2（2－1）（＋5）＝6（2－1）4－25＝12－65＋3＝12－65＋3－3＝12－6－35＝12－912－9－5＝5－57－9＝07－9＋9＝0＋97＝97÷7＝9÷7＝（2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2解：（7.6×0.35＋6.5×0.76）∶＝1∶2（0.76×3.5＋6.5×0.76）∶＝1∶2[0.76×（3.5＋6.5）]∶＝1∶2[0.76×10]∶＝1∶27.6∶＝1∶2＝7.6×2＝15.2【點(diǎn)睛】掌握乘法分配律，以及等式的性質(zhì)，還有比例的基本性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵。4．（2023·全國(guó)·小升初模擬）解方程或比例。

【答案】；【分析】，依據(jù)比例的基本性質(zhì)，先寫成的形式，根據(jù)等式的性質(zhì)1和2，兩邊同時(shí)×，再同時(shí)＋1即可。，等式左邊的部分，依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將小數(shù)化成整數(shù)，然后根據(jù)等式的形式1和2，兩邊同時(shí)×6，去分母，再將能合并的合并起來，解方程即可；【詳解】解：解：5．（2023四川成都·小升初模擬）解方程。（1）（2）【答案】；1.5【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算法則先去括號(hào)，然后把含有未知數(shù)的放在等號(hào)左邊，常數(shù)放在等號(hào)右邊，再根據(jù)等式的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)對(duì)等式變形，然后再根據(jù)等式的性質(zhì)解方程即可?！驹斀狻浚?）解：（2）解：【點(diǎn)睛】此題考查較復(fù)雜的解方程，但也是根據(jù)等式的性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加或減相同的數(shù)等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)非0數(shù)，等式仍然成立，和比例的性質(zhì)兩內(nèi)項(xiàng)積等于兩外項(xiàng)積來計(jì)算。1）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程。2）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解。1．（2023·廣東深圳·小升初真題）解方程或解比例。（1）2x＋6x＝8

（2）（3）12.4＋1.8x＝16

（4）∶x=0.75∶【答案】（1）x＝1；（2）；（3）x＝2；（4）【分析】（1）先計(jì)算左邊的加法，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)2：等式的左右兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立，等式兩邊同時(shí)除以8，計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)2：等式的左右兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立，等式兩邊同時(shí)除以。再根據(jù)等式的基本性質(zhì)1：等式的左右兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立，等式兩邊同時(shí)減，計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)等式的基本性質(zhì)1：等式的左右兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立，等式兩邊同時(shí)減12.4。再根據(jù)等式的基本性質(zhì)2：等式的左右兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立，等式兩邊同時(shí)除以1.8，計(jì)算即可得解；（4）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積。把等式轉(zhuǎn)化為一般方程，先計(jì)算右邊的乘法，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)2：等式的左右兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立，等式兩邊同時(shí)除以，計(jì)算即可得解?！驹斀狻浚?）2x＋6x＝8解：8x＝8（2）解：（3）12.4＋1.8x＝16解：（4）∶x＝0.75∶解：2．（2023·陜西西安·小升初真題）解方程。

【答案】x＝2000；x＝1【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得：（0.6x＋400）×3＝（x＋400）×2，運(yùn)用乘法分配律去掉括號(hào)得到：1.8x＋1200＝2x＋800，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)減去800，得1.8x＋400＝2x，根據(jù)和－一個(gè)加數(shù)＝另一個(gè)加數(shù)，可得：2x－1.8x＝400，把方程左邊化簡(jiǎn)為0.2x后，根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)除以0.2即可解答；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)乘6，得：6x－（x－3）×3＝18－（x＋2）×2，運(yùn)用乘法分配律去掉括號(hào)可得：6x－3x＋9＝18－2x－4，化簡(jiǎn)方程兩邊得：3x＋9＝14－2x，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)減去9，得：3x＝5－2x，方程兩邊同時(shí)加上2x，得：5x＝5，最后根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)除以5即可解答?！驹斀狻?/p>

解：（0.6x＋400）×3＝（x＋400）×20.6x×3＋400×3＝2x＋400×21.8x＋1200＝2x＋8001.8x＋1200－800＝2x＋800－8001.8x＋400＝2x2x－1.8x＝4000.2x＝4000.2x÷0.2＝400÷0.2x＝2000

解：6x－（x－3）×3＝18－（x＋2）×26x－3x＋9＝18－2x－43x＋9＝14－2x3x＋9－9＝14－9－2x3x＝5－2x3x＋2x＝5－2x＋2x5x＝55x÷5＝5÷5x＝13．（2022·陜西西安·小升初真題）解方程?！敬鸢浮俊痉治觥咳サ粜±ㄌ?hào)，先化簡(jiǎn)方程，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)解方程?！驹斀狻拷猓?．（2022·山東濟(jì)南·小升初真題）解方程。（1）

（2）（3）

（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）將分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，然后將左邊合并為，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程左右兩邊同時(shí)除以6.25即可；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，方程左右兩邊同時(shí)乘，再同時(shí)除以即可；（3）根據(jù)減法各部分的關(guān)系，化為，然后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程左右兩邊同時(shí)除以即可；（4）先算括號(hào)里面的結(jié)果為，然后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程左右兩邊同時(shí)加上即可?！驹斀狻浚?）解：（2）解：（3）解：（4）解：5．（2024·全國(guó)·小升初模擬）解方程。

【答案】；【分析】先應(yīng)用乘法分配律把計(jì)算出來，方程兩邊再同時(shí)加減73.5，化簡(jiǎn)后得到方程，對(duì)化簡(jiǎn)后的方程兩邊再同時(shí)加12后除以6，可以解出未知數(shù)；把和分別看作整體，方程兩邊同時(shí)加和，化簡(jiǎn)后含和的項(xiàng)分別在等號(hào)兩邊，再逆用分配律，分別提出和進(jìn)行化簡(jiǎn)后，方程兩邊同時(shí)乘6去掉分母后，運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程?！驹斀狻拷猓航猓?．（2020·江蘇·小升初模擬）解方程。

【答案】＝42；＝19【分析】等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果還是等式；（2）等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果還是等式，據(jù)此解答。【詳解】解：＝42解：3（3－7）＝5（1－4）－159－21＝5－20－1521－20＝9＋15－5＝19【點(diǎn)睛】等式的性質(zhì)是解方程的主要依據(jù)，解方程時(shí)記得寫“解”。考點(diǎn)七：數(shù)字類規(guī)律探索1．（2024·河北張家口·小升初真題）班級(jí)聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們按“3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、2個(gè)綠氣球、1個(gè)白氣球”的順序把氣球串起來裝飾教室。第132個(gè)氣球是（

）的。A．紅色 B．黃色 C．綠色 D．白色【答案】B【分析】根據(jù)題意，這組氣球是以3＋2＋2＋1＝8個(gè)氣球?yàn)橐粋€(gè)循環(huán)周期，分別按3紅、2黃、2綠、1白的順序循環(huán)排列；求第132個(gè)氣球的顏色，就是求132里有幾個(gè)8，用除法計(jì)算，如有余數(shù)，余數(shù)是幾，就是一個(gè)循環(huán)周期里的第幾個(gè)氣球；如果沒有余數(shù)，就是一個(gè)循環(huán)周期里的最后一個(gè)氣球，據(jù)此找到對(duì)應(yīng)的顏色即可。【詳解】132÷8＝16……4余數(shù)是4，是一個(gè)循環(huán)周期里的第4個(gè)氣球，即黃氣球；第132個(gè)氣球是黃色的。故答案為：B2．（2024·河北石家莊·小升初真題）觀察下列式子：，，，…請(qǐng)計(jì)算＝()?！敬鸢浮?0.9【分析】觀察給出的分解方法，找出規(guī)律，將所求的算式中的每一個(gè)加數(shù)分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解?！驹斀狻?．（2022·四川綿陽·小升初真題）觀察下列各式：；；…依此規(guī)律，第個(gè)等式（為正整數(shù)）為()?！敬鸢浮俊痉治觥客ㄟ^觀察可知，等式左邊依次為：152、252、352，規(guī)律是第n個(gè)數(shù)為（10n＋5）2；等式右邊的規(guī)律是n（n＋1）×100＋52；據(jù)此作答即可。【詳解】由分析可得：；；…依此規(guī)律，第個(gè)等式（為正整數(shù)）為。【點(diǎn)睛】本題考查式子的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給式子，觀察出等式兩邊各數(shù)的規(guī)律是解題關(guān)鍵。4．（2024·河南鄭州·小升初真題）奇奇是編程愛好者，他利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如表：那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是()。輸入12345…輸出…【答案】【分析】根據(jù)題意可知，輸入第幾個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，輸出的分子就是輸入數(shù)字×2，分母是輸入數(shù)字×2＋1，據(jù)此求出當(dāng)輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)。【詳解】分子：8×2＝16分母：8×2＋1＝16＋1＝17當(dāng)輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是。奇奇是編程愛好者，他利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如表：那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是。5．（2022·陜西西安·小升初真題）如圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字母、、、。請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向（即的方式）從開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，當(dāng)字母第200次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是()。【答案】599【分析】由題可知，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，…，可得共6個(gè)數(shù)為1個(gè)周期，1個(gè)周期中字母出現(xiàn)2次，先用200除以2求出循環(huán)的周期數(shù)，再乘6，然后再減去最后一個(gè)數(shù)字即可?！驹斀狻?00÷2×6－1＝100×6－1＝600－1＝599因此當(dāng)字母C第200次出現(xiàn)時(shí)，恰好數(shù)到的數(shù)是599?！军c(diǎn)睛】明確1個(gè)周期中字母出現(xiàn)2次是解答此題的關(guān)鍵。6．（2022·陜西西安·小升初真題）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)依次排列成如圖所示的形式。觀察規(guī)律，第20行的第3個(gè)數(shù)是()。【答案】193【分析】由圖可知第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有3個(gè)數(shù)，由此規(guī)律可得第19行有19個(gè)數(shù)；且第19行最后一個(gè)數(shù)為（1＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19），計(jì)算出第19行的最后一個(gè)數(shù)，則第20行的第3個(gè)數(shù)為第19行最后一個(gè)數(shù)＋3，據(jù)此解答?！驹斀狻?＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19＝（1＋19）×（19÷2）＝20×9.5＝190190＋3＝193因此第20行的第3個(gè)數(shù)是193?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是計(jì)算出第19行的最后一個(gè)數(shù)，結(jié)合排列規(guī)律可知，第20行的第3個(gè)數(shù)等于第19行最后一個(gè)數(shù)加上3得到?！境Ｒ姅?shù)字規(guī)律類型】1）等差數(shù)列規(guī)律定義：相鄰兩個(gè)數(shù)之間的差相等。示例：1,3,5,7,9，公差為2。2）等比數(shù)列規(guī)律定義：相鄰兩個(gè)數(shù)之間的比值相等。例：2,4,8,16,32，公比為2。3）平方數(shù)列規(guī)律定義：數(shù)列中的每個(gè)數(shù)是自然數(shù)的平方。示例：1,4,9,16,25。3）周期數(shù)列規(guī)律定義：數(shù)列按照一定的周期重復(fù)出現(xiàn)。示例：1,2,3,1,2,3。4）隔項(xiàng)數(shù)列規(guī)律定義：數(shù)列中每隔一個(gè)數(shù)字存在規(guī)律。示例：1,3,2,6,3,9，奇數(shù)位遞增1，偶數(shù)位遞增。5）累加數(shù)列規(guī)律定義：每個(gè)數(shù)字由前一個(gè)數(shù)字加上一個(gè)變化的值得出。示例：1,2,4,7,11，分別加1、2、3、4。6）拆項(xiàng)數(shù)列規(guī)律定義：將數(shù)字拆分為多個(gè)部分進(jìn)行分析。示例：12,23,34,45，個(gè)位和十位分別遞增。【探索數(shù)字規(guī)律的方法】1）觀察法仔細(xì)觀察數(shù)字之間的變化，尋找可能的規(guī)律。2）嘗試法通過嘗試不同的運(yùn)算（加減乘除）來發(fā)現(xiàn)規(guī)律。3）歸納法根據(jù)已知的數(shù)列項(xiàng)，歸納出可能的規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性。4）圖形輔助法將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，通過圖形的變化來發(fā)現(xiàn)規(guī)律1．（2024·四川成都·小升初真題）表二、表三分別是從表一中截取的一部分，那么表中a＝，b＝?！敬鸢浮?830【分析】從表格已有數(shù)據(jù)分析可得：每一列上下兩個(gè)數(shù)字的差相等，第1列上下兩個(gè)數(shù)字相差1，第2列上下兩個(gè)數(shù)字相差2，第3列上下兩個(gè)數(shù)字相差3。每一行左右兩個(gè)數(shù)字的差相等，第1行左右兩個(gè)數(shù)字相差1，第2行左右兩個(gè)數(shù)字相差2，第3行左右兩個(gè)數(shù)字相差3。右邊一列數(shù)字的差比左邊一列數(shù)字的差大1，根據(jù)規(guī)律，即可求解。【詳解】根據(jù)分析，解答如下：15－12＝3，15＋3＝18從表1中可以發(fā)現(xiàn)：表二截取的是其中的一列：上下兩個(gè)數(shù)字相差3，所以15增加3是18，a是18。25－20＋1＝6，24＋6＝30從表1中可以發(fā)現(xiàn)：表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個(gè)數(shù)字，左邊一列數(shù)字的差是5，右邊一列數(shù)字的差是5＋1＝6，所以b是30。表中a＝18，b＝30。2．（2022·四川綿陽·小升初真題）如果有2019名學(xué)生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1…的規(guī)律報(bào)數(shù)，那么第2019名學(xué)生所報(bào)的數(shù)是（

）。A．2 B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】觀察這組數(shù)的特點(diǎn)，每6個(gè)數(shù)為一輪，1、2、3、4、3、2，再用2019除以6，看余數(shù)，即可確定答案?！驹斀狻扛鶕?jù)觀察，每6個(gè)數(shù)為一輪。2019÷6＝336……3則第2019名學(xué)生所報(bào)的數(shù)是3故答案為：C【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，對(duì)于此類題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的。3．（2024·廣西柳州·小升初真題）有一串?dāng)?shù)字：2、3、6、8、8、4…它的規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)字乘積的個(gè)位數(shù)字，那么這串?dāng)?shù)字的第2022個(gè)數(shù)字是多少？【答案】4【分析】我們將這串?dāng)?shù)寫下去：2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6……，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個(gè)數(shù)字開始，6、8、8、4、2、8這六個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即以這六個(gè)數(shù)字為一個(gè)周期，那么第2022個(gè)數(shù)字：用算式（2022－2）÷6計(jì)算看余數(shù)，余數(shù)是幾就是這個(gè)周期里的第幾個(gè)數(shù)，沒有余數(shù)就是這個(gè)周期里的最后一個(gè)數(shù)。據(jù)此解答即可。【詳解】（2022－2）÷6＝2020÷6＝336……4答：這串?dāng)?shù)字的第2022個(gè)數(shù)字是4。4．（2024·河南南陽·小升初真題）觀察右邊算式的規(guī)律：22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，52－42＝5＋4，…(1)用含有字母n的式子表示規(guī)律：()。(2)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12＝()?！敬鸢浮?1)n2－（n－1）2＝2n－1(2)210【分析】觀察算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，相鄰兩個(gè)自然數(shù)（0除外）的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和，據(jù)此規(guī)律寫出用字母n表示的式子，并用規(guī)律計(jì)算出算式的結(jié)果。【詳解】（1）n2－（n－1）2＝n＋n－1＝2n－1所以用含有字母n的式子表示規(guī)律：n2－（n－1）2＝2n－1。（2）202－192＋182－172＋162－152＋……＋22－12＝20＋19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋4＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝（20＋1）×20÷2＝21×10＝210【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律，觀察算式，找到算式的規(guī)律，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵?？键c(diǎn)八：圖形類規(guī)律探索1．（2024·四川成都·小升初真題）認(rèn)真觀察下面這組圖，第一幅圖的點(diǎn)數(shù)為1，第2幅圖的點(diǎn)數(shù)為5，……按照上面的規(guī)律，第n幅圖的點(diǎn)數(shù)為（

）。A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4【答案】A【分析】觀察圖形，第1幅圖的點(diǎn)數(shù)為：1＋4×0＝1；第2幅圖的點(diǎn)數(shù)為：1＋4×1＝5；第3幅圖的點(diǎn)數(shù)為：1＋4×2＝9；第4幅圖的點(diǎn)數(shù)為：1＋4×3＝13；……照這個(gè)規(guī)律，第n幅圖點(diǎn)數(shù)應(yīng)為：1＋4（n－1）＝4n－3?！驹斀狻堪凑丈厦娴囊?guī)律，第n幅圖的點(diǎn)數(shù)為（4n－3）。故答案為：A2．（2023·福建莆田·小升初真題）正方形圖1作如下操作：第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2，得到5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到9個(gè)正方形，……，以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到53個(gè)正方形，需要操作的次數(shù)是（

）。A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】由題意可知，第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2，得到4＋1＝5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到4×2＋1＝9個(gè)正方形……以此類推，根據(jù)以上操作，則第n次得到4n＋1個(gè)正方形，由此規(guī)律代入求得答案即可?！驹斀狻康?次：得到4×1＋1＝5（個(gè)）正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到4×2＋1＝9（個(gè)）正方形……設(shè)第n次得到53個(gè)正方形。4n＋1＝53，解：4n＋1－1＝53－14n＝524n÷4＝52÷4n＝13故答案為：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵。3．（2022·湖南長(zhǎng)沙·小升初真題）觀察下圖，尋找規(guī)律，問號(hào)處應(yīng)填入（

）。A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形，看前面兩列，每一列的點(diǎn)都在同一個(gè)圓圈里，按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)?！驹斀狻克缘谌械淖詈笠粋€(gè)圖跟第三列第一、第二個(gè)圖一樣，點(diǎn)在圓外按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。故答案為：A【點(diǎn)睛】觀察圖形，找出規(guī)律，規(guī)律是每一列的點(diǎn)都在按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。4．（2022·山東棗莊·小升初真題）用小棒搭房子，搭一間用5根，搭三間用13根，如圖，照這樣子搭504間房子要用（

）根小棒。

A．2015 B．2016 C．2017 D．2018【答案】C【分析】搭1間房子用5根小棒，即4×1＋1；搭2間房子用9根小棒，即4×2＋1；搭3間房子用13根小棒，即4×3＋1；……搭504間房子用的小棒數(shù)為：4×504＋1。【詳解】4×504＋1＝2016＋1＝2017（根）故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵。5．（2024·江蘇常州·小升初真題）把相同規(guī)格的小長(zhǎng)方形（黑長(zhǎng)方形和白長(zhǎng)方形）按規(guī)律排列（如圖），照此規(guī)律，當(dāng)剛好出現(xiàn)第7個(gè)黑長(zhǎng)方形時(shí)，黑長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)占小長(zhǎng)方形總個(gè)數(shù)的()?！敬鸢浮?0.25【分析】觀察圖形排列規(guī)律，可發(fā)現(xiàn)是按照“1個(gè)黑長(zhǎng)方形，n個(gè)白長(zhǎng)方形”這樣的順序循環(huán)排列，其中n依次從1開始遞增。當(dāng)出現(xiàn)第7個(gè)黑長(zhǎng)方形時(shí)，需要先確定此時(shí)白長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)。前面6個(gè)黑長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)的白長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)分別是1、2、3、4、5、6個(gè)，然后用黑長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)除以此時(shí)小長(zhǎng)方形（黑長(zhǎng)方形與白長(zhǎng)方形總和）的總個(gè)數(shù)，就能得到黑長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)占小長(zhǎng)方形總個(gè)數(shù)的比例。【詳解】7÷（7＋1＋2＋3＋4＋5＋6）＝7÷（8＋2＋3＋4＋5＋6）＝7÷（10＋3＋4＋5＋6）＝7÷（13＋4＋5＋6）＝7÷（17＋5＋6）＝7÷（22＋6）＝7÷28＝＝0.25黑長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)占小長(zhǎng)方形總個(gè)數(shù)的或0.25。6．（2024·山東濰坊·小升初真題）小華用邊長(zhǎng)是1厘米的正方形分別擺出如圖的圖形。按照規(guī)律，第5個(gè)圖形有()個(gè)正方形，周長(zhǎng)是()厘米。【答案】2528【分析】由圖可知，第1個(gè)圖有1層，有1個(gè)正方形，周長(zhǎng)是4厘米；第2個(gè)圖有2層，有4個(gè)正方形，周長(zhǎng)是10厘米；第3個(gè)圖有3層，有9個(gè)正方形，周長(zhǎng)是16厘米；以此類推，正方形的個(gè)數(shù)＝層數(shù)×層數(shù)，周長(zhǎng)＝6×層數(shù)－2，據(jù)此解答?！驹斀狻?×5＝25（個(gè)）6×5－2＝30－2＝28（厘米）則第5個(gè)圖形有25個(gè)正方形，周長(zhǎng)是28厘米。7．（2024·云南西雙版納·小升初真題）如圖是用圓點(diǎn)拼成的點(diǎn)陣圖形，根據(jù)圓點(diǎn)的變化規(guī)律，第n個(gè)圖形中圓點(diǎn)有()個(gè)?！敬鸢浮?n－3【分析】第1個(gè)圖形中圓點(diǎn)有1個(gè)，1＝1×4－3；第2個(gè)圖形中圓點(diǎn)有5個(gè)，5＝2×4－3；第3個(gè)圖形中圓點(diǎn)有9個(gè)，9＝3×4－3；第4個(gè)圖形中圓點(diǎn)有13個(gè)，13＝4×4－3規(guī)律：第n個(gè)圖形中圓點(diǎn)有（4n－3）個(gè)；按此規(guī)律解答?！驹斀狻坑煞治隹傻茫喝鐖D是用圓點(diǎn)拼成的點(diǎn)陣圖形，根據(jù)圓點(diǎn)的變化規(guī)律，第n個(gè)圖形中圓點(diǎn)有（4n－3）個(gè)?！境Ｒ妿缀我?guī)律類型】1.圖形數(shù)量規(guī)律定義：圖形按照一定的規(guī)律排列，數(shù)量逐漸增加或減少。2.圖形形狀規(guī)律定義：圖形的形狀按照一定的規(guī)律變化，如旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、平移等。示例：正方形、長(zhǎng)方形、圓形、三角形，按照一定的順序循環(huán)出現(xiàn)。3.圖形面積規(guī)律定義：圖形的面積按照一定的規(guī)律變化，如等差數(shù)列或等比數(shù)列。示例：正方形的邊長(zhǎng)依次為1、2、3、4，面積依次為1、4、9、16。4.圖形周長(zhǎng)規(guī)律定義：圖形的周長(zhǎng)按照一定的規(guī)律變化，如等差數(shù)列或等比數(shù)列。示例：正方形的邊長(zhǎng)依次為1、2、3、4，周長(zhǎng)依次為4、8、12、16。5.圖形組合規(guī)律定義：多個(gè)圖形按照一定的規(guī)律組合，形成新的圖形。示例：用相同的小正方形拼成大正方形，大正方形的邊長(zhǎng)依次為2、3、4，小正方形的數(shù)量依次為4、9、16。1．（2020·江蘇南通·小升初真題）現(xiàn)有若干個(gè)圓環(huán)，它們的外直徑都是5厘米，環(huán)寬5毫米，將它們扣在一起（如圖所示）拉緊后測(cè)量總長(zhǎng)度。圓環(huán)個(gè)數(shù)1234…總長(zhǎng)度（cm）591317…像這樣，10個(gè)圓環(huán)拉緊后的長(zhǎng)度是()厘米。如果圓環(huán)的個(gè)數(shù)為n，拉緊后總長(zhǎng)度是()厘米?！敬鸢浮?1（4n＋1）【分析】根據(jù)圖示可知：1個(gè)圓環(huán)的長(zhǎng)度是5厘米；2個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是5＋4＝9（厘米）；3個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：5＋4＋4＝13（厘米）；……n個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米。據(jù)此解答即可?！驹斀狻?0個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：4×10＋1＝40＋1＝41（厘米）n個(gè)圓環(huán)的總長(zhǎng)度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米【點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵是從簡(jiǎn)單情形入手，找出圖形之間的聯(lián)系，數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題。2．（2022·陜西渭南·小升初真題）用黑、白兩種顏色的正方形按下圖中的規(guī)律拼圖案。第1個(gè)圖中有4個(gè)白色正方形，第2個(gè)圖中有7個(gè)白色正方形，第3個(gè)圖中有10個(gè)白色正方形……，則第10個(gè)圖中有（

）個(gè)白色正方形。A．24 B．27 C．31 D．40【答案】C【分析】對(duì)比兩個(gè)相鄰的圖的不同之處，發(fā)現(xiàn)后一個(gè)圖是在前一個(gè)圖的右側(cè)再添上了1個(gè)黑色正方形和3