PAGE1銜接點01運算與技巧小學階段初中階段【運算內容】主要學習基本的四則運算，包括整數、分數的加減乘除，以及簡單的估算和計算器使用.【運算技巧】注重運算的準確性和熟練度，通過反復練習掌握基本的運算技巧，如：湊十法、乘法口訣等.【運算內容】在小學基礎上，擴展到有理數、有理數和實數，增加了負數、無理數的概念和運算，學習乘方、開方等更復雜的運算，以及代數式的運算.【運算技巧】強調靈活運用運算律和運算技巧，如交換律、結合律、分配律等，提高運算效率和準確性，同時注重運算過程中的邏輯性和嚴密性.銜接指引鞏固基礎運算能力1.提高計算準確率與速度：在小學高年級，應重點練習整數、分數的四則運算，確保計算準確快速，為初中學習有理數、實數的運算打下堅實基礎.2.強化運算順序：熟練掌握運算順序，即先乘除后加減，有括號先算括號內的，避免在復雜運算中出現錯誤.學習并運用運算定律1.理解并掌握運算定律：在小學階段，應深入學習加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律等，理解其意義并能靈活運用.2.運用運算定律簡化計算：在解決實際問題時，有意識地運用運算定律進行簡便計算，提高運算效率和準確性.培養(yǎng)抽象思維能力1.從具體到抽象過渡：在小學高年級，逐漸引入用字母表示數的概念，讓學生理解代數式的意義，為初中學習代數式運算做好準備.2.解決代數問題：通過解決簡單的代數問題，如解一元一次方程，培養(yǎng)學生的抽象思維和邏輯推理能力.學習新的運算技巧1.預習有理數運算：在暑假期間，可以預習有理數的加減乘除運算，特別是負數的運算規(guī)則，為初中學習做好準備.2.掌握乘方、開方運算：了解乘方、開方的概念和運算規(guī)則，通過練習掌握其計算方法.培養(yǎng)良好的學習習慣1.養(yǎng)成預習和復習的習慣：在小學高年級，開始培養(yǎng)預習和復習的習慣，為初中學習更復雜的數學知識做好準備.2.整理錯題集：將做錯的題目整理成錯題集，分析錯誤原因，避免重復犯錯，提高學習效率.1．運算定律1）加法交換律：加法結合律：2）乘法交換律：乘法結合律：3）乘法分配律：乘法分配律的逆用：2．運算性質1）減法的性質：2）除法的性質：3）商的“不變性”，即若，則，；3．裂項公式（補充）：把一項拆成兩項的和或積，使得算式可以消去某些項，使運算簡捷.第一類（“裂差”型運算）：或第二類（“裂和”型運算）：或裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的.4．數列求和公式（補充）eq\o\ac(○,1)等差數列求和等差數列求和公式：（首項+末項）×項數÷2等差數列的項數計算方法：（末項－首項）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數列求和等比數列的求和公式：（末項×公比—首項）÷（公比—1）（公比≠1）5．乘法公式（補充）平方差公式：完全平方公式：，考點一：活用運算定律和性質（湊整思想）1．（2024·內蒙古通遼·小升初真題）脫式計算下面各題，能簡算的要簡算。7.6×2.5×4

87×8586

1.25×8×4×2.5

73×101

1【答案】（1）76；（2）858586（4）100；（5）7373；（6）28【分析】（1）根據乘法結合律先計算2.5×4，再計算7.6乘（2.5×4）的積；（2）把87寫成（86＋1）形式，再根據乘法分配律進行計算；（3）先將3.28與6.4交換位置，帶符號移動，再根據減法的性質，連續(xù)減去兩個數可以等于減去這兩個數的和，把原式改寫成（26.4－6.4）－（3.28＋4.72）形式進行簡算；（4）根據乘法結合律，添加小括號，分別計算（1.25×8）和（4×2.5），所得積最后再相乘；（5）把101寫成（100＋1）形式，再根據乘法分配律進行計算；（6）把除法改寫成乘法形式，再根據乘法分配律進行簡算。【詳解】（1）7.6×2.5×4＝7.6×（2.5×4）＝7.6×10＝76（2）87×85＝（86＋1）×85＝86×85＝85＋85＝8585（3）26.4－3.28－6.4－4.72＝26.4－6.4－3.28－4.72＝（26.4－6.4）－（3.28＋4.72）＝20－8＝12（4）1.25×8×4×2.5＝（1.25×8）×（4×2.5）＝10×10＝100（5）73×101＝73×（100＋1）＝73×100＋73×1＝7300＋73＝7373（6）1＝（14＝1＝8＋20＝282．（2024·山西呂梁·小升初真題）脫式計算，能簡算的要簡算。0.25×5.32×4

957【答案】5.32；1110；1【分析】（1）根據乘法交換律a×b＝b×a把0.25×5.32×4變成0.25×4×5.32，再按順序計算；（2）把17×6改寫成27+2（3）根據乘法交換律a×b＝b×a把45×3【詳解】（1）0.25×5.32×4＝0.25×4×5.32＝1×5.32＝5.32（2）9=9=9=＝10＋100＋1000＝1110（3）4===3．（2024·河南周口·小升初真題）計算下面各題，能簡算的要簡算。1?4592÷【答案】953；1【分析】（1）先計算括號里的減法，原式化為：15÷59＋0.8÷59，再把除法換算成乘法，原式化為：15×95＋0.8×9（2）把8.57×80化為857×0.8；85.7化為857×0.1，原式化為：857×1.9＋857×0.8＋857×0.1，再根據乘法分配律逆運算，原式化為：857×（1.9－0.8－0.1），再進行計算；（3）先計算小括號里的加法，再計算中括號里的乘法，最后計算括號外的除法；（4）把分母567×345＋222中的567化為566＋1，化為：（566＋1）×345＋222，再根據乘法分配律，原式化為566×345＋1×345＋222，再根據加法結合律，原式化為：566×345＋（354＋222）；最后化為：566×345＋567，再進行計算。【詳解】（1－45）÷59＝15÷59＝15×95＝（15＋0.8）×＝（0.2＋0.8）×9＝1×9＝9857×1.9－8.57×80－85.7＝857×1.9－857×0.8－857×0.1＝857×（1.9－0.8－0.1）＝857×1＝85792÷[（12＋34＝92÷[（24＋34＝92÷[54×＝92÷＝92×＝3566×345+567＝566×345+567＝566×345+567＝566×345+567＝566×345+567＝566×345+567＝14．（2024·河南南陽·小升初真題）脫式計算，能簡算的要簡算。89×1.61×0.25+0.18×14【答案】890.75；2022【分析】（1）先算小括號里面的加法，再算中括號里面的除法，最后算中括號外面的乘法；（2）先交換“?718”和“+14.2”的位置，然后根據加法減法的性質a－b－c＝a－（b＋c）把15.8+14.2?7（3）先把14、25%變成0.25，然后根據乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把1.61×0.25+0.18×0.25+1.21×0.25變成1.61+0.18+1.21（4）先把2024拆成2023＋1，然后根據乘法分配律計算（a＋b）×c＝a×c＋b×c把2023+1×20222023【詳解】（1）8＝8＝8＝8＝8＝8（2）15.8?＝15.8+14.2?＝15.8+14.2＝30?1＝29（3）1.61×0.25+0.18×＝1.61×0.25+0.18×0.25+1.21×0.25＝1.61+0.18+1.21＝3×0.25＝0.75（4）2024×＝2023+1＝2023×＝2022+＝2022湊整思想是一種廣泛應用于數學計算中的方法，其核心在于通過調整數值，使其變成更容易計算的整數，從而簡化運算過程，提高計算速度和準確性.如：把“一些分數（或小數）湊成整數”，把“一些整數湊成10的整倍數”，使有理數式子容易計算出結果，這一思想在小學數學教育中尤為重要，它不僅幫助學生快速掌握加減乘除的基本運算，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維和解決問題的能力.以下是湊整法在不同運算中的具體應用：加法湊整其基本思路是將加數湊成整數，再進行計算.例如，計算1999+198+97+8時，可以將每個加數湊成整數：1999+198+97+8=(2000?1)+(200?2)+(100?3)+8=2300?6+8=2302.減法湊整例如，計算2537?118?382時，可以先將減數湊成整數：2537?118?382=2537?(118+382)=2537?500=2037乘法湊整1）乘法湊整通常利用乘法的交換律和結合律.例如，計算8×34×25×125×4時，可以將乘數湊成整十、整百：8×34×25×125×4=(8×125)×(25×4)×34=1000×100×34=34000002）利用互為倒數的特性，如計算，由于?和?互為倒數，乘積為1，所以整個表達式簡化為1×5=5.除法湊整除法湊整可以通過將除數或被除數湊成整數，再進行計算.例如，計算316÷9+413÷9+171÷9時，可以將被除數相加，再除以相同的除數：316÷9+413÷9+171÷9=(316+413+171)÷9=900÷9=100分數加減法的湊整湊整法同樣適用于分數運算.例如，計算，可以先將同分母的分數相加：和，最終結果為1+1=2.1．（2024·湖南株洲·小升初真題）脫式計算，能簡算的要簡算。①864÷[（327－263）÷8]

②85×34③78+50%?【答案】①108；②75③27【分析】①先計算小括號里面的減法，再計算中括號里面的除法，最后計算括號外的除法；②先將34③將50%化成分數12④通過觀察，可以發(fā)現6.75和3.25可以相加得到整數，根據加法交換律和減法的性質，將式子化為（6.75＋3.25）－（76＋17【詳解】①864÷[（327－263）÷8]＝864÷[64÷8]＝864÷8＝108②85×34＝85×0.75＋15×0.75＝（85＋15）×0.75＝100×0.75＝75③78＋（50%－14＝78＋（12－1＝78＋14＝78＝2④6.75－76＋3.25－＝（6.75＋3.25）－（76＋17＝10－4＝62．（2024·河南鄭州·小升初真題）脫式計算，能簡算的要簡算。（1）1417×（3）241×690÷339÷345×678÷241

（4）4【答案】（1）72（3）4；（4）1【分析】（1）先算小括號里面的減法，再按照乘法分配律的逆運算進行計算；（2）先算小括號里面的加法，再算中括號里面的乘法，然后算中括號里面的減法，最后算除法；（3）根據帶符號搬家，將式子中的數重新組合進行簡便計算；（4）先算小括號里面的減法和加法，再按照從左到右的順序計算?！驹斀狻浚?）1＝2117×2312＋11＝2117×（2312＋＝2117×＝7（2）3.75?＝[3.75－815×9＝[3.75－2.4]÷0.135＝1.35÷0.135＝10（3）241×690÷339÷345×678÷241＝（241÷241）×（690÷345）×（678÷339）＝1×2×2＝4（4）4＝（6516＋26）÷1316＝48116×1613＝37×1＝13．（2024·四川成都·小升初真題）計算下面各題，能簡算的要簡算。（1）29+512×24（4）34?23×7.2

【答案】（1）23；（2）60；（3）15；（4）0.6；（5）23【分析】（1）先算括號里面的加法，再算括號外面的乘法。括號里面是異分母分數加法，先通分將分數轉化為同分母加法。分數的乘法，能約分的要先約分。（2）分數連乘能約分的先約分。（3）運用乘法的分配律簡便運算。（4）先算括號里面的減法，再算括號外面的乘法。括號里面是異分母分數減法，先通分將分數轉化為同分母減法。分數的乘法，能約分的要先約分。（5）分數的乘除混合運算現將分數的除法轉化成分數的乘法計算。除以一個數相當于乘這個數的倒數。（6）先算括號里面的減法，再算括號外面的乘法。括號里面是整數減分數，先將整數轉化為和另外一個分數同分母的分數，再根據同分母減法計算。分數的乘法，能約分的要先約分。【詳解】（1）2==（2）4==4×5×3=60（3）5===15（4）3===0.6（5）5==（6）1?==4．（2024·四川巴中·小升初真題）計算下面各題，能簡算的要簡算。25×40×4

24÷171823.2?4.5+6.8?15.5

405÷15×198?184

【答案】4000；54；410；378；12.5【分析】（1）根據乘法結合律（a×b）×c＝a×（b×c）進行簡算；（2）先算小括號里面的減法，再算中括號里面的乘法，最后算中括號外面的除法；（3）先算8×3（4）先交換“?4.5”和“+6.8”的位置，再根據減法的性質a－b－c＝a－（b＋c）進行簡算；（5）先算括號里面的減法，再算除法，最后算乘法；（6）根據乘法分配律的逆運算a×c＋b×c＝（a＋b）×c進行簡算?！驹斀狻浚?）25×==1000×4=4000（2）24÷=24÷=24÷=24×=54（3）8×=8×=3+=3+1=4（4）23.2?4.5+6.8?15.5=23.2+6.8?4.5?15.5==30?20=10（5）405÷15×=405÷15×14=27×14=378（6）29×====5．（2024·河南駐馬店·小升初真題）用你喜歡的方法計算。845318【答案】5；370；31.25；1.2【分析】（1）先計算小括號里的加法，然后計算中括號里的乘法，再算中括號里的減法，最后算中括號外的除法；（2）（3）兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再相加，積不變，這叫做乘法分配律，根據乘法分配律簡便計算；（4）先計算兩個括號里的除法和乘法，然后算前面括號里的減法，最后算除法；【詳解】（1）8＝[845－＝[845－＝8÷1.6＝5（2）52×3.7＋37%×260＋0.22×370＝52×3.7＋3.7×26＋22×3.7＝（52＋26＋22）×3.7＝100×3.7＝370（3）318×7.4－＝3.125×7.4－3.125＋3.6×3.125＝（7.4－1＋3.6）×3.125＝10×3.125＝31.25（4）9.6?10＝?9.6?10.5÷1.25÷＝（9.6－8.4）÷1＝1.2÷1＝1.2考點二：巧分組法1.（2024·廣東·小升初模擬）計算題，寫出計算過程和結果。（1）（2）【答案】（1）；（2）2050【分析】（1）將帶分數轉化為整數和真分數相加，利用加法的交換律和結合律將整數和整數相加，分數和分數相加。（2）觀察數據，把整數和整數先加起來。【詳解】（1）＝＝＝25＋＝（2）＝＝＝＝＝＝20502.．（2024六年級·浙江·培優(yōu)）計算。（1）（2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1【答案】（1）（2）1012【分析】（1）根據帶分數的意義，可將算式變?yōu)?，然后去掉括號，將算式變?yōu)椋缓蟾鶕Х柊峒液屠ㄌ柕膽?，將算式變?yōu)?，再計算括號里面的結果，接著根據乘法的意義，將算式變?yōu)檫M行簡算即可。（2）合理分組：（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1每兩個數為一組，結果是3；一共有337組；進行簡算即可?！驹斀狻浚剑剑剑剑剑剑剑剑?）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋13－10＋7－4+1=（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1每兩個數為一組，結果是3；一共有337組；=3×337+1=10123.．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考小升初真題）簡算，并寫出簡算過程。99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1【答案】50；【分析】第四小題，通過觀察，兩組數字為一組，共分為25組，每組得數是2，進而計算即可；【詳解】99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1＝（99－97）＋（95－93）＋（91－89）＋…＋（7－5）＋（3－1）＝2＋2＋2＋…＋2＋2（25個2）＝2×25＝504.（2024·江蘇·六年級?？计谥校┯嬎悖骸敬鸢浮?1；【分析】法1：把整數和整數部分相加，分數和分數部分相加，分數部分相加時，把寫成1－，寫成－，寫成－，寫成－，寫成－，寫成－，再進行簡算即可；法2：把整數和整數部分相加，分數和分數部分相加，分數部分相加時，添項，再減去，達到湊整的目的，再進行簡算即可?！驹斀狻糠?：＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（）＝21＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－）＝21＋（1－）＝21＋＝21【詳解】法2：＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（+－）＝21＋（＋＋＋＋＋－）＝21＋（＋＋＋＋－）＝21＋（＋＋＋－）＝21＋（＋＋－）＝21＋（＋－）＝21＋（1－）＝21＋＝21在數學計算中，巧分組法是一種重要的巧算技巧。它通過將算式中的若干項合理分組，使得每組的計算結果相同或便于計算，從而快速得出整個算式的答案。例如，在計算一系列連續(xù)奇數相加時，可以根據數字的符號規(guī)律，將四個數分為一組，因為每組的和為零，最終簡化計算過程。這種方法尤其適用于涉及大量相近數字的加法運算，通過尋找數字間的規(guī)律和特征，進行分組處理，可以顯著提高計算效率。【解題技巧】觀察所求算式特征，巧妙運用分組搭配處理，可以簡化運算。1．（2024六年級·全國·）計算。2004【答案】1169【分析】根據帶分數的意義，可將算式變?yōu)?004+12?2003+13+2002+【詳解】2004＝2004+＝2004+＝2004?2003+2002?2001…+2?1+＝2004?2003＝1+1…+1＝1×1002+＝1002+167+＝11692．（2023·四川成都·小升初真題）計算。1014【答案】818【分析】1014?9920+81130?71342+61556，根據帶分數的意義以及帶符號搬家，將算式變?yōu)?016?32?54?98?1716?3332?6564【詳解】10=10?9+8?7+6+===8+=8+=82016?＝＝＝＝=2016?8?=2016?8?=2008?=2008?1+=20073．（2025五年級下·全國·專題練習）計算：1【答案】1【分析】將算式重新分組并組合，把能湊整或約分化簡的部分結合在一起簡算，這道題可以用分組求解法求解。算式中共有2006個分數，從第二個分數22007開始依次往后數，每4個分數為一組，到2005【詳解】1＝1＝1＝1【點睛】這道題的關鍵在于發(fā)現分組求和的規(guī)律。分組求和是將數列中的項按照一定的規(guī)律分成若干組，然后逐組求和的方法。4．（2025五年級下·全國·專題練習）計算：1【答案】0【分析】將算式重新分組并組合，把能湊整或約分化簡的部分結合在一起簡算，這道題可以用分組求解法求解。算式中共有2000個分數，從第一個分數12001開始依次往后數，每4個分數為一組，到2000【詳解】1＝1＝1＝0考點三：換元法1．（2024·成都市小升初模擬）計算（寫出必要的計算過程）?！敬鸢浮俊痉治觥考僭O＝a，則原式變形為：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋），化簡后即可得解?！驹斀狻吭O＝a，原式化為：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋）＝a＋＋a2＋－a－a2－＝【點睛】要仔細觀察算式的特點，靈活運用一些定律進行簡便計算，注意解題的關鍵是將的和設為a。2.（2023·廣東·校考小升初模擬）用簡便方法計算。【答案】【分析】假設，，把字母代入原式化簡含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化簡后的式子求出結果，據此計算。【詳解】假設，原式＝＝＝＝＝＝＝換元法是一種在數學解題中廣泛使用的方法，尤其在解決復雜問題時，能夠顯著簡化計算步驟，使問題變得更容易處理。在小學階段，學生們初次接觸換元法，主要是為了培養(yǎng)他們的邏輯思維和問題解決能力。換元法的基本思想是將一個復雜的數學表達式中的某一部分用一個新變量來代替，從而將原問題轉化為更容易解決的形式。例如，在解決某些代數問題時，若某個表達式重復出現，我們可以將其用一個字母（如x或y）來表示，這樣就能簡化計算過程。這種方法的實質是轉化，通過構造新的變量（即換元），將復雜的問題標準化、簡單化?！窘忸}技巧】從式子的整體角度考察，把部分式子用字母代替后，再進行化簡求值。通過引入字母轉化命題結構，這樣不但可以減少運算過程，還有利于尋找接題思路，其中的新變量在解題過程中起到橋梁作用。1．（2021六年級上·遼寧·專題練習）算一算。（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）

【答案】；【分析】（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）可以設最短的式子為a，次短的式子為b，則設＋＋＝a；＋＋＋＝b，即原式變?yōu)椋海?＋a）×b－（1＋b）×a，之后運用乘法分配律即可化簡，再代入式子即可求解；可以設＝a，＝b，即原式變?yōu)椋海?＋a）×b－（1＋b）×a，之后運用乘法分配律即可化簡，再代入式子即可求解；【詳解】（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）設＋＋＝a；＋＋＋＝b原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a＝b＋ab－a－ab＝b－a將＋＋＝a；＋＋＋＝b代入得：原式＝（＋＋＋）－（＋＋）＝＋＋＋－－－＝設＝a，＝b原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a＝b＋ab－a－ab＝b－a將＝a，＝b代入式子原式＝－＝2．（2021六年級上·江蘇南京·專題練習）計算下面各題。【詳解】（4）設＝a，＝b，則原式＝（b＋）a－（a＋）b＝ab＋a－ab－b＝×（a－b）＝×[（）－（）]＝×＝（5）設＝a，＝b，則原式＝（b＋）a－（a＋）b＝ab＋a－ab－b＝×（a－b）＝×[（）－（）]＝×＝考點四：分數裂項計算1．（24-25六年級上·江蘇常州·期中）先觀察下列等式再完成題后問題。

（1）請你猜想：________。（2）探究并計算：。【答案】（1）－（2）【分析】（1）＝－，可寫成：＝－；＝－，可寫成：＝－；＝－；可寫成：＝－；…由此可知：最前面的分數可以寫成分母第一個乘數分之一減去第二個乘數分之一的形式，即＝－，據此解答。（2）＋＋＋…＋；把化為×；把化為，再化為：×，最后化為：×（1－）；化為×，把化為，再化為：×，最后化為：×（－）；化為×；把化為；再化為：×，最后化為：×（－）；…化為：×，最后化為：×（－）；再根據乘法分配律的逆運算，原式化為：×（1－＋－＋－＋…＋－），最后化為：×（1－），再進行計算【詳解】（1）根據分析可知，＝＝－＝－（2）＋＋＋…＋＝×＋×＋×＋…＋×＝×（1－）＋×（－）＋×（－）＋…＋×（－）＝×（1－＋－＋－＋…＋－）＝×（1－）＝×＝2．（2021六年級上·遼寧·專題練習）計算。

【答案】【分析】，把原式×，原式化為：×（＋＋＋＋），再把化為－，化為：－，化為－，化為－，化為－，原式化為：×（－＋－＋－＋－＋－），再進行計算；，原式化為：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，再化為：（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋），再把化為1－，化為－，化為－，化為－，化為－，化為－，原式化為：6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－），再進行計算；，原式化為：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，原式化為：（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋），再把（＋＋＋＋）×，原式化為：5＋×（＋＋＋＋），再把化為－，化為－，化為＋，化為－，化為－，原式化為：5＋×（－＋－＋＋＋－＋－），再進新計算；，把原式化為：（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－）；去掉括號，原式化為：1×99－（＋＋＋…＋），再把化為，化為，＝，……，化為，原式化為：1×99－（＋＋＋…＋），再把化為1－，化為－，化為－…化為－，原式化為：1×99－（1－＋－＋－＋…＋－），最后化為：1×99－（1－），再進行計算?！驹斀狻浚健粒ǎ健粒ǎ健粒ǎ健粒剑?＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＝（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋）＝6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－）＝6＋（1－）＝6＋＝＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＝（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋）＝5＋×（＋＋＋＋）＝5＋×（－＋－＋＋＋－＋－）＝5＋×（－）＝5＋×＝5＋＝＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－）＝1×99－（＋＋＋…＋）＝1×99－（1－＋－＋－＋…＋－）＝1×99－（1－）＝99－＝【解題技巧】把一項拆成兩項的和或積，使得算式可以消去某些項，使運算簡捷。利用下面的拆項公式課化簡一些有理數式子的計算第一類（“裂差”型運算）：①或②。裂差型裂項的三大關鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復雜形式可為都是x(x為任意自然數)的，但是只要將x提取出來即可轉化為分子都是1的運算。（2）分母上均為幾個自然數的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”（3）分母上幾個因數間的差是一個定值。第二類（“裂和”型運算）：或裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。1．（2024·河北石家莊·小升初真題）觀察下列式子：，，，…請計算＝()?！敬鸢浮?0.9【分析】觀察給出的分解方法，找出規(guī)律，將所求的算式中的每一個加數分解成兩個分數的差的形式，然后進行計算即可得解。【詳解】2．（2021六年級上·江蘇南京·專題練習）計算下面各題?！敬鸢浮?；；；；1【分析】（1）＝－，＝－，……，＝－，則原式＝－＋－……＋－，最后把式子進行化簡即可計算。（2）＝－，＝－，……，則原式＝－＋－…，最后把式子進行化簡即可計算。（3）＝（－）×，＝（－）×，……，則原式＝（－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）×，再運用乘法分配律進行簡算。（4）＝（1－）×，＝（－）×，……，則原式＝（1－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）×，再運用乘法分配律進行簡算。（5）已知，，，則原式＝1＋（）－（）＋（）－（），運用“去括號”和“添括號”的方法把式子進行化簡即可解答。【詳解】＝－＋－＋……＋－＝－＝＝－＋－＋－＋－＋－＝－＝＝（－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）×＝（－＋－＋…＋－）×＝（－）×＝×＝＝（1－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）×＝（1－＋－＋－…＋－）×＝（1－）×＝×＝＝1＋（）－（）＋（）－（）＝1＋＋－－＋＋－＝1＋＋（－）－（－）＋（）－＝2－＝13．（2024·全國·小升初模擬）【詳解】4．（2022·浙江杭州·小升初真題）用遞等式計算：【詳解】（6）＝＝＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋＝86．（23-24六年級下·四川成都·期末）選擇適當的方法計算。【詳解】＝－＋－……＋－＝＋－（＋）＋＋－……＋＋－（＋）＝＋－－＋＋－……＋＋－－＝－＝考點五：數列求和（等差、等比數列）1．（2020·四川成都·小升初模擬）計算?！敬鸢浮俊痉治觥坑^察分數的分子和分母發(fā)現它們是連續(xù)的奇數，相鄰的兩個數相差2，那么分子里數字的個數有（2013－1）÷2＋1＝1007個數，分子的數字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的數字的個數有（4027－2015）÷2＋1＝1007個數，分母的數字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后進行約分。【詳解】＝＝＝故答案為：【點睛】此題考查的是一個特殊的計算，注意計算是有規(guī)律可循的?！窘忸}技巧】eq\o\ac(○,1)等差數列求和等差數列求和公式：（首項+末項）×項數÷2等差數列的項數計算方法：（末項－首項）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數列求和等比數列的求和公式：（末項×公比—首項）÷（公比—1）（公比≠1）1．（24-25七年級上·廣東惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，將①式右邊順序倒置，得②，由②式+①式，得；；由結論求；（2）①觀察一列數2，4，8，16，32，…，發(fā)現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是；根據此規(guī)律，如果（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么，；②為了求的值，可令①，則②，由②式﹣①式，得，，即．仿照以上推理，計算．【答案】（1），，（2）①，；②【分析】本題考查了含乘方的有理數的運算，數字規(guī)律探究，正確分析并仿照題目中的解題方法進行求解是解題的關鍵．(1)根據題目所給方法，可得，從而求得，根據上面得到的公式進行計算即可求得的值；(2)①觀察一列數2，4，8，16，32，…，發(fā)現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數2，根據此規(guī)律，可得(n為正整數)，據此即可得答案；②根據推理進行計算即可求得的值．【詳解】解：（1）如果欲求的值，可令①，將①式右邊順序倒置，得②，由②式+①式，得，，由結論求，故答案為：，，．（2）①觀察一列數2，4，8，16，32，…，發(fā)現從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數，這個常數是2．根據此規(guī)律，如果（n為正整數）表示這個數列的第n項，那么，；故答案為：，．②為了求的值，可令①，則②，由②式﹣①式，得，，即．2．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）【等比數列】按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列的一般形式可以寫成：．一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用表示．如：數列為等比數列，其中，公比為．根據以上材料，解答下列問題：（1）等比數列的公比為，第項是．【公式推導】如果一個數列，是等比數列，且公比為，那么根據定義可得到：．所以，，，（2）由此，請你填空完成等比數列的通項公式：．【拓廣探究】等比數列求和公式并不復雜，但是其推導過程——錯位相減法，構思精巧、形式奇特．下面是小明為了計算的值，采用的方法：設①，則②，得，．【解決問題】（3）請仿照小明的方法求的值．【答案】（1）3；243；（2）；（3）【分析】本題考查了新定義運算，有理數的乘方運算，理解題意是解題的關鍵．（1）根據題目中給出的等比數列的定義即可求解；（2）根據公式推導過程即可求解；（3）根據例題的方法求得，然后錯位相減法，即可求解．【詳解】解：（1）等比數列的公比為，第四項為，第五項為，故答案為：3，243；（2），，，，故答案為：；（3）設①，則②，得，．考點六：運用乘法公式運算1．（24-25七年級下·四川達州·開學考試）計算：用簡便方法計算．解：①②．（i）例題的求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（ii）用簡便方法計算：．【詳解】（3）解：（i）由可知其符合平方差公式，故答案為：平方差公式；（ii）．2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）簡便計算：．【答案】4【分析】本題主要考查完全平方公式與有理數的簡便計算，掌握完全平方公式的計算是關鍵．根據題意，運用完全平方公式計算即可．【詳解】解：．3．（2022·四川綿陽·小升初真題）計算題。

【詳解】【解題技巧】平方差公式：完全平方公式：，1．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）用簡便方法計算：(1)；(2)．【答案】(1)6399(2)【分析】本題主要考查了利用平方差公式進行簡便運算，將原式進行正確的變形是解題的關鍵．（1）利用平方差公式計算即可；（2）利用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)25000(2)1【分析】該題考查了運用平方差公式進行簡便計算．（1）根據平方差公式可以化簡題目中的式子即可解答．（2）根據平方差公式可以化簡題目中的式子即可解答．【詳解】（1）解：．（2）解：．3．（24-25七年級下·江蘇宿遷·階段練習）運用整式乘法公式簡便計算：(1)；(2)．【答案】(1)810000；(2)400．【分析】本題主要考查乘法公式的應用，熟練掌握并靈活運用是解答本題的關鍵．（1）將轉化為，再利用平方差公式計算即可；（2）將轉化為，再利用完全平方公式計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．一、選擇題1．（2024·河南開封·小升初真題）計算時，用（

）計算比較簡便。A．加法結合律 B．乘法分配律C．乘法交換律 D．乘法結合律【答案】D【分析】乘法結合律是指三個數相乘，可以先把前兩個數相乘，再同第三個數相乘，也可以先把后兩個數相乘，再同第一個數相乘，結果不變；由此把和相結合，然后再進行簡算即可?！驹斀狻浚剑剑剿杂嬎銜r，用乘法結合律計算比較簡便。故答案為：D2．（2024·山西晉中·小升初真題）張麗用計算器計算“45.7×9.9”時，發(fā)現鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確結果的是（

）。A．45.7×3.3×3 B．45.7×10－0.1 C．45.7×8.8＋45.7×1.1【答案】B【分析】根據題意，計算器上的鍵“9”壞了，只需把9.9拆成別的數，再利用乘法運算定律進行簡算，即可得到正確的結果。A．把9.9拆成3.3×3計算即可；B．把9.9拆成（10－0.1），再根據乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c去掉括號；C．把9.9拆成（8.8＋1.1），再根據乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c去掉括號。【詳解】A．45.7×9.9＝45.7×3.3×3，所以45.7×3.3×3能得到正確的結果；B．45.7×9.9＝45.7×（10－0.1）＝45.7×10－45.7×0.145.7×10－0.1≠45.7×10－45.7×0.1，所以45.7×10－0.1不能得到正確的結果；C．45.7×9.9＝45.7×（8.8＋1.1）＝45.7×8.8＋45.7×1.1，所以45.7×8.8＋45.7×1.1能得到正確的結果。故答案為：B3．（2023·廣東深圳·小升初真題）《九章算術》是中國古代第一部數學專著。它介紹了分數除以分數的另一種方法：先通分，再把分子直接相除。例如：。下面（

）是采用這種方法計算的。A． B．C． D．【答案】D【分析】A．分數化成小數，用分子除以分母即可；B．分數除法的計算法則：除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數；C．商不變的規(guī)律：被除數和除數同時乘（或除以）一個相同的數（0除外），商不變；D．被除數、除數先通分，再把分子直接相除?！驹斀狻緼．，是把分數轉化成小數，根據小數除法的計算法則進行計算，不符合題意；B．，是根據分數除法的計算法則進行計算，不符合題意；C．，是根據商不變的規(guī)律進行計算，不符合題意；D．，先通分把變成，再用分子直接相除，符合題意。故答案為：D4．（2022·廣西貴港·小升初真題）有一個數字鍵“4”壞了的計算器，用這個計算器計算24×25時，下列按鍵方案中（

）合適。A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×25【答案】A【分析】當計算器中數字鍵壞了后，可以運用加減乘除法將不能按出的數字轉換成別的算式，再進行解答?！驹斀狻緼．25×24＝3×8×25，所以可以用A選項的方法；B．25×24＝6×4×25，有4，不可以用B選項的方法；C．25×24＝25×（25－1）＝25×25－25，不相等，所以不可以用C選項的方法；D．25×24＝2×2×6×25，不相等，所以不可以用D選項的方法。故答案為：A【點睛】本題考查計算器的使用，結合乘法運算定律是解題的關鍵。二、填空題5．（2024·河北石家莊·小升初真題）觀察下列式子：，，，…請計算＝()?！敬鸢浮?0.9【分析】觀察給出的分解方法，找出規(guī)律，將所求的算式中的每一個加數分解成兩個分數的差的形式，然后進行計算即可得解?！驹斀狻?．（2024·浙江溫州·小升初真題）計算“0.36＋”。方法一：用分數加減法計算，和是個相加；方法二：用小數加減法計算，和是個0.01相加?！敬鸢浮?248【分析】計算“0.36＋”時，可以把小數化成分數，把算式轉化為＋，根據同分母分數加法的計算方法算出和，再根據和的分子是幾就是幾個相加解答；還可以把分數化成小數，把算式轉化為0.36＋0.12，算出和，再根據分數的意義判斷和是幾個0.01相加?！驹斀狻?.36＝＝0.36＋＝＋＝，和是12個相加；＝3÷25＝0.120.36＋＝0.36＋0.12＝0.48，和是48個0.01相加。方法一：用分數加減法計算，和是12個相加；方法二：用小數加減法計算，和是48個0.01相加。7．（2022·湖南長沙·小升初真題）計算：?！敬鸢浮?0.9【分析】因為1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）n÷2，將算式變?yōu)椋缓蟾鶕謹档幕拘再|，將分數的分子和分母同時乘2，則算式變?yōu)?，再計算出括號里面的加法，接著根據乘法分配律，將算式變?yōu)椋鶕?，將算式變?yōu)?，接著將算式化為，然后計算括號里面的減法，最后計算括號外面的乘法?！驹斀狻浚剑剑剑剑剑剑剑剑健军c睛】解決本題關鍵是找出分母的規(guī)律，再進一步把算式進行化簡。8．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·小升初真題）請根據①、②兩題的運算方法計算第③題。①4×6＝（4×6）×（1×1）＝24×1＝24×1②0.4×0.6＝（4×6）×（0.1×0.1）＝24×0.01＝0.24③＝()×()×（）＝()×()＝()【答案】236/0.3【分析】觀察①②算式，先把兩個因數計數單位的個數相乘，再乘兩個計數單位的積，據此解答即可?！驹斀狻俊粒?×3×（×）＝6×＝9．（2024·山東濰坊·小升初真題）一種數學運算，規(guī)則是這樣的：＝ad－bc，例如＝5×3－2×4＝7，那么＝()。【答案】8【分析】根據規(guī)則＝ad－bc，可知＝4×3.25－2×2.5，據此計算出得數即可?！驹斀狻浚?×3.25－2×2.5＝13－5＝810．（2024·河南南陽·小升初真題）1＋…＝()【答案】2【分析】分母從1開始依次乘2，分子是1的分數相加，通過拆分消元解答?！驹斀狻?＋…＝1＋（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋…＝1＋1－＋－＋－＋－＋－＋…＝2所以…＝211．（2024六年級·全國·競賽）計算：()?！敬鸢浮?【分析】把帶分數化為假分數；算式的分子和分母分開計算，分子先算括號里面的減法，再計算括號外面的乘法；分子先算括號里面的加法，再計算括號外面的除法；然后根據分數與除法的關系，用算式的分子除以分母即可?！驹斀狻俊军c睛】此題考查分數的四則混合運算，掌握運算順序。12．（2024六年級·全國·競賽）快速計算，直接填空。(1)（234＋342＋423）÷111＝()；(2)×＋×＋×＝()；(3)9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981＝()；(4)()；(5)()?！敬鸢浮?1)9(2)(3)98.1(4)4048(5)4730【分析】（1）234＋342＋423的和等于999，999可以寫成9×111，再除以111即可解答。（2）可以分成50＋，再分別乘，分成70＋，再分別與，分成90＋，再分別與，然后相加即可解答。（3）先利用積不變規(guī)律，把0.5×98.1改寫成5×9.81，把0.049×981改寫成4.9×9.81，再利用乘法分配律進行簡算。（4）20242＝2024×2024＝4048×1012，再利用乘法分配律，用1013減1012，再乘4048。（5）把5＋8＋11＋14＋…＋167加兩次，變成（5＋167）＋（8＋164）＋（11＋161）＋…＋（167＋4）＝172×[（167－5）÷3＋1]，再把結果除以2。【詳解】（1）（234＋342＋423）÷111＝999÷111＝9×111÷111＝9（2）×＋×＋×＝（50＋）×＋（70＋）×＋（90＋）×＝50×＋×＋70×＋×＋90×＋×＝30＋1＋40＋1＋50＋＝122（3）9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981＝9.81×0.1＋5×9.81＋4.9×9.81＝9.81×（0.1＋5＋4.9）＝9.81×10＝98.1（4）1013×4048?20242＝1013×4048–2024×2024＝1013×4048–4048×1012＝4048×（1013－1012）＝4048×1＝4048（5）（5＋8＋11＋14＋…＋167）＋（5＋8＋11＋14＋…＋167）＝（5＋167）＋（8＋164）＋（11＋161）＋…＋（167＋4）＝172×[（167－5）÷3＋1]＝172×55＝94609460÷2＝4730所以5＋8＋11＋14＋…＋167＝473013．（2014六年級·全國·競賽）計算。?！敬鸢浮?【分析】有小數、分數的四則混合運算的法則也是先算乘除，后算加減，有括號的先算括號里面的。先將分數的除法轉化為分數的乘法，除以一個分數相當于乘這個分數的倒數。即算出除法和乘法，再算減法，最后算加法。再算出分數的加減法的時候，可以同分母的分數先相加減，再計算比較簡便【詳解】＝＝＝＝＝＝＝414．（23-24六年級上·福建莆田·期末）如果“”，那么“()”。計算的結果是()?！敬鸢浮俊痉治觥浚?）因為＝，，與互為倒數，所以的商和的商互為倒數，而C的倒數是，由此解答。（2）先將除數，化成假分數，分子用相乘的形式表示，即，再利用乘法分配律，從而進行簡便計算?！驹斀狻浚?）如果“”，那么“”（2）＝2016÷＝2016×＝2016×＝2016×＝即的結果是。15．（23-24五年級下·河南周口·期中）計算并填空。()

()

()觀察以上算式，我發(fā)現：()。按照這樣的規(guī)律，我知道()。【答案】在分數加法中，如果第一個加數是，并且相鄰兩個分數的分子都是1，后一個分數的分母是前一個分數分母的2倍，那么這幾個分數的和就等于1減去最后一個分數?！痉治觥浚艳D化成1－，轉化成－，原式轉化成1－＋－，進行計算；，把轉化成1－，轉化成－，把轉化成－，原式轉化成1－＋－＋－，進行計算；，把轉化成1－，轉化成－，把轉化成－，把轉化成－，原式轉化成1－＋－＋－＋－，進行計算；由此可以發(fā)現，在分數加法中，如果第一個加數是，并且相鄰兩個分數的分子都是1，后一個分數的分母是前一個分數分母的2倍，那么這幾個分數的和就等于1減去最后一個分數，由此計算即可?！驹斀狻浚?－＋－＝1－＝＝1－＋－＋－＝1－＝＝1－＋－＋－＋－＝1－＝＝1－＋－＋－＋－＋－＋…＋＝1－＝綜上所述：，，，觀察以上算式，我發(fā)現：在分數加法中，如果第一個加數是，并且相鄰兩個分數的分子都是1，后一個分數的分母是前一個分數分母的2倍，那么這幾個分數的和就等于1減去最后一個分數。按照這樣的規(guī)律，我知道。16．（2011六年級下·全國·競賽）計算。＝?！敬鸢浮?006【分析】先算出括號里面的加法，發(fā)現規(guī)律，前一個分數的分子可以和后面的分母約分，據此解答即可?！驹斀狻咳⒂嬎泐}17．（2024·河南平頂山·小升初真題）計算下面各題，能簡便的用簡便方法計算。（1）10－0.34－0.66

（2）（3）

（4）【答案】（1）9；（2）6（3）；（4）【分析】（1）根據減法的性質把原式化為10－（0.34＋0.66）進行簡算；（2）根據乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把（＋）×8化為×8＋×8，再根據加法結合律化為5＋（＋）進行簡算；（3）先算小括號里的減法，再算中括號里的除法，最后算中括號外的乘法；（4）根據分數的拆分把原式化為－＋－＋－＋－＋－＋1－，通過消項簡算?！驹斀狻浚?）10－0.34－0.66＝10－（0.34＋0.66）＝10－1＝9（2）＝×8＋×8＋＝5＋（＋）＝5＋1＝6（3）＝×[÷]＝×[×8]＝×3＝（4）＝－＋－＋－＋－＋－＋1－＝1－＝18．（2024·重慶沙坪壩·小升初真題）計算。（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）；（2）9.25；（3）；（4）；（5）253764【分析】（1）左邊小括號的加法和右邊小括號同時運算，再算左邊中括號里的乘法，然后算中括號里的減法，最后算括號外的除法；（2）先計算小括號的除法和乘法，再算小括號里的減法，然后計算中括號的加法，最后計算括號外的除法；（3）先同時算分子、分母的乘法和除法，再同時算分子、分母的加法和減法，最后算乘法即可；（4）先算小括號的減法，再算中括號的乘法和除