專題22正多邊形與圓（5大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強知識：5大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

知識點1.正多邊形及有關(guān)概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點歸納：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的

各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，

這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊

數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

1

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似

比的平方．

5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓

的外切正多邊形.

知識點2.正多邊形的有關(guān)計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.

要點歸納：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

知識點3.正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等

分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊

所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

2

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B

為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點歸納：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.

【類型1】有關(guān)正多邊形角的計算

1．（24-25九年級上·河南商丘·階段練習(xí)）正六邊形的中心角是（）

A．60B．120C．360D．720

2．（23-24九年級上·天津南開·期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，P為AB上一點，連接PA，PE，

則APE的度數(shù)為（）

A．18B．36C．54D．72

3．（23-24九年級上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，點O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA,OE，則AOE

的度數(shù)為（）

A．72°B．54°C．60°D．36°

4．（24-25九年級下·陜西寶雞·開學(xué)考試）如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，連接OC，OFCD于

3

點F，則COF的度數(shù)為．

5．（2025·安徽滁州·三模）如圖，在O的圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，過點D作DF∥OA交AE于點F，

則EDF的度數(shù)為．

【類型2】求正多邊形的邊數(shù)

6．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是40，則該正多邊形邊

數(shù)是（）

A．6B．9C．10D．12

7．（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，點O為正多邊形的

中心，若ADB20，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

A．9B．10C．18D．20

8．（2025·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，是正多邊形的一部分，若ACB18，則該正多邊形的邊數(shù)為．

9．（2025·安徽合肥·二模）如圖，在正n邊形中，118，則n的值是．

4

【類型3】求正多邊形的半徑、周長、面積

10．（24-25九年級下·貴州貴陽·階段練習(xí)）若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2，則其外接圓半徑為（）

43233333

A．B．C．D．

3324

11．（2025·安徽合肥·一模）如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形ABCDEF，已知這個正六邊形的半徑

是2，則它的面積是（）

A．63B．12C．123D．24

12．（24-25九年級上·山西呂梁·期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O．若AB4，則O的直徑為

（）

A．8B．10C．12D．14

13．（22-23九年級上·黑龍江佳木斯·期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，若O的周長是6，則

正六邊形的邊長是．

14．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）若正方形的周長為12，則這個正方形的邊心距為．

15．（24-25九年級下·上海·階段練習(xí)）邊心距為2的正六邊形面積是．

16．（24-25九年級上·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖1，有一個亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該

5

地基的平面示意圖可以近似的看作是半徑為5m的圓內(nèi)接正六邊形，求這個正六邊形地基的周長．

17．（24-25九年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OB3，求這個正六邊

形的周長．

18．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，正VABC外接圓的半徑為R，求正VABC的邊長，邊心距，

周長和面積．

【類型4】正多邊形的作圖問題

19．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖，多邊形ABCDE是正五邊形，請僅用無．刻．度．的．直．尺．按要求完成作圖（保留

作圖痕跡）．

(1)如圖1，作一個以BC為腰，頂角為36的等腰三角形；

(2)如圖2，作一個底角為54的等腰三角形．

20．（2025·上海嘉定·二模）已知正五邊形ABCDE，請僅．用．無．刻．度．的．直．尺．作圖，并完成相應(yīng)的任務(wù)（保留作

圖痕跡，不寫作法）．

6

【初步感知】

（1）如圖1，請直接寫出ABE的度數(shù)；

【實踐探究】

（2）請在圖2中作出以BE為對角線的菱形ABME，并證明你的結(jié)論；

【拓展延伸】

（3）請在圖2正五邊形ABCDE的基礎(chǔ)上再設(shè)計一個新的正五邊形A1B1C1D1E1.（不需要證明）

【類型5】正多邊形的實際應(yīng)用

21．（23-24九年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，是中國人民銀行1992年發(fā)行的鋁鋅合金外圓內(nèi)凹九邊形立體

感極強的“菊花1角硬幣”．霖霖移動該硬幣（O）與直角三角形（DEF）形成如圖所示位置．其中，AB

是O內(nèi)接正九邊形的一條邊，DF經(jīng)過點B和圓心O，點C是DE與O的交點，AOCE90，

F50．

(1)求證：DE是O的切線；

(2)若EF切O于點G，且霖霖測得DE25mm，EF21mm，求該硬幣（O）的直徑為多長（精確到

0.1mm）．

22．（24-25九年級下·江蘇徐州·階段練習(xí)）今年假期，你有沒有和父母或者小伙伴一起走進(jìn)影院去看一下

國漫電影《哪吒2》呀？影片中，玉虛宮的鎮(zhèn)宮之寶“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八邊

形”的宮殿，你想知道這座建筑有多大嗎？

問題一：要求出“正八邊形”的面積，我們可以把一個“正八邊形”均分成八個頂角為______度的等腰三角形；

問題二：VABC中，C90，A15，BC1，求VABC的面積和tan15的值分別是多少？（可以作AB

的中垂線DE交AC于D，交AB于E，則ADB為等腰三角形，BDC30）

問題三：若“正八邊形”的邊長AB為2a，求：正八邊形的面積．

7

23．（24-25九年級下·福建福州·期中）在綠化公園時，需要安裝一定數(shù)量的自動噴灑裝置，定時噴水養(yǎng)護(hù)

草坪．某公司準(zhǔn)備在一塊邊長為20m的正方形草坪（圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又

盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計合適的安裝方案．

k

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為rm的圓面，噴灑覆蓋率，s為待噴灑區(qū)域面積，k為待

s

噴灑區(qū)域中的實際噴灑面積．

這個問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題．

(1)如圖2，在該草坪中心位置設(shè)計安裝1個噴灑半徑為10m的自動噴灑裝置，該方案的實際噴灑面積

k___________，實際噴灑覆蓋率___________．

(2)如圖3，在該草坪內(nèi)設(shè)計安裝4個噴灑半徑均為5m的自動噴灑裝置；如圖4，設(shè)計安裝9個噴灑半徑均

1010

為m的自動噴灑裝置．．．以此類推，如圖5，設(shè)計安裝n2個噴灑半徑均為m的自動噴灑裝置，與（1）

3n

中的方案相比，采用這種增加裝置個數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出理由．

(3)如圖6，該公司設(shè)計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率1．已知

，2

正方形ABCD各邊上依次取點F，G，H，E，使得AEBFCGDH，設(shè)AExmO1的面積為ym，

求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)y取得最小值時r的值．

8

一、單選題

1．（24-25九年級上·黑龍江綏化·期末）已知正多邊形的中心角是30度，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A．12B．10C．8D．6

2．（23-24九年級上·青海果洛·期末）正六邊形的中心角為（）

A．120B．90C．60D．30

3．（22-23九年級上·廣西河池·期末）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，則AOB的度數(shù)是（）

A．45B．60C．72D．90

4．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）青秀山的龍象塔是南寧市的地標(biāo)建筑之一，始建于明代萬歷年間．該塔為

八角九層，重檐磚結(jié)構(gòu)．如圖所示的正八邊形是龍象塔其中一層的平面示意圖，點O為正八邊形的中心，

則AOB的度數(shù)為（）

A．60B．54C．45D．30

5．（2025·安徽合肥·三模）如圖，VABC是O的內(nèi)接正三角形，五邊形ADEFG是O的內(nèi)接正五邊形，

9

若線段BE恰好是O的一個內(nèi)接正n邊形的一條邊，則n的值為（）

A．15B．16C．17D．18

6．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點M，N，F(xiàn)分別是邊AE,AB,CD

與O的切點，則MFN的度數(shù)為（）

A．25B．36C．35D．40

7．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）一個正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為3，則這個正六邊形的外接圓的半徑

為（）

A．23B．4C．33D．6

8．（24-25九年級下·福建漳州·階段練習(xí)）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的

花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，AB所在圓的圓心

C恰好是ABO的內(nèi)心，若AB23，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）為（）

168

A．πB．πC．16πD．8π

33

二、填空題

9．（24-25九年級下·上海浦東新·階段練習(xí)）如果一個正多邊形內(nèi)角和是1440，那么它的中心角是．

10．（24-25九年級上·河南信陽·期末）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是60，則這個正多邊形是．

11．（24-25九年級上·福建廈門·期末）正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，則該正六邊形的周長是．

10

12．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，正五邊形ABCDE的頂點A,C在B上，F(xiàn)是優(yōu)弧AC上的一點（不

與點A,C重合），連接AF,CF，則AFC的度數(shù)為．

13．（22-23九年級上·廣西河池·期末）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口

b23cm，則邊長a為cm．

14．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）如圖，小明計劃繪制一個具有小太陽笑臉特征的圖案．為此，他首先繪制

了一個邊長為10的正十二邊形，再以該正十二邊形的每個頂點為圓心，邊長的一半為半徑，畫12個扇形，

這些扇形共同構(gòu)成如圖所示的“太陽”輪廓，那么，這個“太陽”輪廓的總長度是．（π取3.14）

15．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，O是半徑為3的正八邊形ABCDEFGH的外接圓，連接DF，則DF的

長為．

16．（2025·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在O內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，連接CE，DF交于點G．設(shè)正六邊

S

2

形ABCDEF的面積為S1，△DEG的面積為S2，則．

S1

11

三、解答題

17．（24-25九年級下·江西九江·開學(xué)考試）請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中，圓內(nèi)多邊形ABCD是矩形，請作出該圓的圓心；點即為所求；

(2)在圖2中，圓內(nèi)正多邊形ABCDE是正五邊形，請作出垂直CD的直徑．線段即為所求．

18．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD，以邊AB為直徑作O，點E是邊BC上一點

（不與B，C重合），將正方形沿DE折疊，使得點C恰好落在O上．

(1)判斷直線DC與O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若正方形的邊長為2，求線段BE的長．

19．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）明達(dá)中學(xué)在校園里建了一個讀書亭．它的地基是半徑為4米的正六邊

形．

(1)求地基的周長是多少？

(2)求地基的面積是多少？

20．（22-23九年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，半徑r4，求這個正六

邊形的邊長和邊心距OM的長．

12

21．（22-23九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出

了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設(shè)半徑為1的圓的面積與其內(nèi)接正n

△﹣

邊形的面積差為n，如圖①，圖②，若用圓的內(nèi)接正八邊形和內(nèi)接正十二邊形逼近半徑為1的圓，求812

的值．

22．（2025·山西長治·三模）閱讀與思考

請閱讀以下材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．

如果一個點把一條線段分割成兩部分，其中較長線段與整條線段之比，等于較短線段與

較長線段之比，則這個點叫做這條線段的黃金分割點，這個比例叫做黃金比，也叫做中

外比，按此比例設(shè)計出的圖案十分美麗．

ACBC