PAGE1專題22正多邊形與圓（5大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1.正多邊形及有關(guān)概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點(diǎn)歸納：

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．3.正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

要點(diǎn)歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)2.正多邊形的有關(guān)計(jì)算(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.要點(diǎn)歸納：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.知識(shí)點(diǎn)3.正多邊形的畫法1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。

要點(diǎn)歸納：畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).【類型1】有關(guān)正多邊形角的計(jì)算1．（24-25九年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）正六邊形的中心角是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·天津南開·期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，P為上一點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（23-24九年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為正五邊形的中心，連接，則的度數(shù)為（

）A．72° B．54° C．60° D．36°4．（24-25九年級(jí)下·陜西寶雞·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是正五邊形的中心，連接，于點(diǎn)，則的度數(shù)為．5．（2025·安徽滁州·三模）如圖，在的圓內(nèi)接正五邊形中，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為．【類型2】求正多邊形的邊數(shù)6．（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·期末）一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對(duì)的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是（

）A．6 B．9 C．10 D．127．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)、、、為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．9 B．10 C．18 D．208．（2025·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是正多邊形的一部分，若，則該正多邊形的邊數(shù)為．9．（2025·安徽合肥·二模）如圖，在正邊形中，，則的值是．【類型3】求正多邊形的半徑、周長(zhǎng)、面積10．（24-25九年級(jí)下·貴州貴陽·階段練習(xí)）若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2，則其外接圓半徑為（

）A． B． C． D．11．（2025·安徽合肥·一模）如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形，已知這個(gè)正六邊形的半徑是2，則它的面積是（

）

A． B．12 C． D．2412．（24-25九年級(jí)上·山西呂梁·期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于．若，則的直徑為（

）A．8 B．10 C．12 D．1413．（22-23九年級(jí)上·黑龍江佳木斯·期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，若的周長(zhǎng)是，則正六邊形的邊長(zhǎng)是．14．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若正方形的周長(zhǎng)為12，則這個(gè)正方形的邊心距為．15．（24-25九年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）邊心距為2的正六邊形面積是．16．（24-25九年級(jí)上·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖1，有一個(gè)亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該地基的平面示意圖可以近似的看作是半徑為的圓內(nèi)接正六邊形，求這個(gè)正六邊形地基的周長(zhǎng)．17．（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，半徑，求這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)．

18．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，正外接圓的半徑為，求正的邊長(zhǎng)，邊心距，周長(zhǎng)和面積．【類型4】正多邊形的作圖問題19．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多邊形是正五邊形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，作一個(gè)以為腰，頂角為的等腰三角形；(2)如圖2，作一個(gè)底角為的等腰三角形．20．（2025·上海嘉定·二模）已知正五邊形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺作圖，并完成相應(yīng)的任務(wù)（保留作圖痕跡，不寫作法）．【初步感知】（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；【實(shí)踐探究】（2）請(qǐng)?jiān)趫D2中作出以為對(duì)角線的菱形，并證明你的結(jié)論；【拓展延伸】（3）請(qǐng)?jiān)趫D2正五邊形的基礎(chǔ)上再設(shè)計(jì)一個(gè)新的正五邊形.（不需要證明）【類型5】正多邊形的實(shí)際應(yīng)用21．（23-24九年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）如圖，是中國(guó)人民銀行年發(fā)行的鋁鋅合金外圓內(nèi)凹九邊形立體感極強(qiáng)的“菊花1角硬幣”．霖霖移動(dòng)該硬幣（）與直角三角形（）形成如圖所示位置．其中，是內(nèi)接正九邊形的一條邊，經(jīng)過點(diǎn)和圓心，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，，．(1)求證：是的切線；(2)若切于點(diǎn)，且霖霖測(cè)得，，求該硬幣（）的直徑為多長(zhǎng)（精確到）．22．（24-25九年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）今年假期，你有沒有和父母或者小伙伴一起走進(jìn)影院去看一下國(guó)漫電影《哪吒2》呀？影片中，玉虛宮的鎮(zhèn)宮之寶“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八邊形”的宮殿，你想知道這座建筑有多大嗎？問題一：要求出“正八邊形”的面積，我們可以把一個(gè)“正八邊形”均分成八個(gè)頂角為______度的等腰三角形；問題二：中，，，，求的面積和的值分別是多少？（可以作的中垂線交于D，交于E，則為等腰三角形，）問題三：若“正八邊形”的邊長(zhǎng)為，求：正八邊形的面積．23．（24-25九年級(jí)下·福建福州·期中）在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)草坪．某公司準(zhǔn)備在一塊邊長(zhǎng)為的正方形草坪（圖1）中安裝自動(dòng)噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的安裝方案．說明：一個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為的圓面，噴灑覆蓋率為待噴灑區(qū)域面積，為待噴灑區(qū)域中的實(shí)際噴灑面積．這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題．(1)如圖2，在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為的自動(dòng)噴灑裝置，該方案的實(shí)際噴灑面積___________，實(shí)際噴灑覆蓋率___________．(2)如圖3，在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為5m的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4，設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置．．．以此類推，如圖5，設(shè)計(jì)安裝個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置，與（1）中的方案相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由．(3)如圖6，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率．已知正方形各邊上依次取點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)取得最小值時(shí)的值．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·黑龍江綏化·期末）已知正多邊形的中心角是30度，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．12 B．10 C．8 D．62．（23-24九年級(jí)上·青海果洛·期末）正六邊形的中心角為（

）A． B． C． D．3．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）青秀山的龍象塔是南寧市的地標(biāo)建筑之一，始建于明代萬歷年間．該塔為八角九層，重檐磚結(jié)構(gòu)．如圖所示的正八邊形是龍象塔其中一層的平面示意圖，點(diǎn)為正八邊形的中心，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2025·安徽合肥·三模）如圖，是的內(nèi)接正三角形，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，若線段恰好是的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一條邊，則n的值為（

）A．15 B．16 C．17 D．186．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是正五邊形的內(nèi)切圓，點(diǎn)M，N，F(xiàn)分別是邊與的切點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．（24-25九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）一個(gè)正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為3，則這個(gè)正六邊形的外接圓的半徑為（

）A． B．4 C． D．68．（24-25九年級(jí)下·福建漳州·階段練習(xí)）鐵藝花窗是園林設(shè)計(jì)中常見的裝飾元素．如圖是一個(gè)花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對(duì)應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，中心為點(diǎn)O，所在圓的圓心C恰好是的內(nèi)心，若，則花窗的周長(zhǎng)（圖中實(shí)線部分的長(zhǎng)度）為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（24-25九年級(jí)下·上海浦東新·階段練習(xí)）如果一個(gè)正多邊形內(nèi)角和是，那么它的中心角是．10．（24-25九年級(jí)上·河南信陽·期末）若一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個(gè)正多邊形是．11．（24-25九年級(jí)上·福建廈門·期末）正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，則該正六邊形的周長(zhǎng)是．12．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正五邊形的頂點(diǎn)在上，是優(yōu)弧上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，則的度數(shù)為．

13．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，在擰開一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口，則邊長(zhǎng)a為．14．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明計(jì)劃繪制一個(gè)具有小太陽笑臉特征的圖案．為此，他首先繪制了一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正十二邊形，再以該正十二邊形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)的一半為半徑，畫12個(gè)扇形，這些扇形共同構(gòu)成如圖所示的“太陽”輪廓，那么，這個(gè)“太陽”輪廓的總長(zhǎng)度是．（π?。?5．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，是半徑為3的正八邊形的外接圓，連接，則的長(zhǎng)為．16．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在內(nèi)接正六邊形中，連接，交于點(diǎn)．設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則．三、解答題17．（24-25九年級(jí)下·江西九江·開學(xué)考試）請(qǐng)僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，圓內(nèi)多邊形是矩形，請(qǐng)作出該圓的圓心；點(diǎn)即為所求；(2)在圖2中，圓內(nèi)正多邊形是正五邊形，請(qǐng)作出垂直的直徑．線段即為所求．18．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形，以邊為直徑作，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），將正方形沿折疊，使得點(diǎn)C恰好落在上．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2，求線段的長(zhǎng)．19．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）明達(dá)中學(xué)在校園里建了一個(gè)讀書亭．它的地基是半徑為4米的正六邊形．(1)求地基的周長(zhǎng)是多少？(2)求地基的面積是多少？20．（22-23九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)和邊心距的長(zhǎng)．21．（22-23九年級(jí)上·安徽淮南·階段練習(xí)）劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積．設(shè)半徑為1的圓的面積與其內(nèi)接正n邊形的面積差為，如圖①，圖②，若用圓的內(nèi)接正八邊形和內(nèi)接正十二邊形逼近半徑為1的圓，求的值．22．（2025·山西長(zhǎng)治·三模）閱讀與思考請(qǐng)閱讀以下材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．如果一個(gè)點(diǎn)把一條線段分割成兩部分，其中較長(zhǎng)線段與整條線段之比，等于較短線段與較長(zhǎng)線段之比，則這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比例叫做黃金比，也叫做中外比，按此比例設(shè)計(jì)出的圖案十分美麗．如圖1，C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，或就是