專(zhuān)題21直線與圓的位置關(guān)系（13大類(lèi)型精準(zhǔn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：12大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1.直線和圓的位置關(guān)系

(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．

(3)相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離．

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓

心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中

直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

知識(shí)點(diǎn)2.切線的判定定理和性質(zhì)定理（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）

（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：

①切線必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．

②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．

1

③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線

的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確

指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交

點(diǎn)，作半徑，證垂直”．

（3）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．

（4）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿(mǎn)足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓

心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．

（5）切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半

徑，見(jiàn)垂直．

歸納總結(jié)：

切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可.

知識(shí)點(diǎn)3.切線長(zhǎng)定理

（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．

（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線

的夾角．

（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩

個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．

歸納總結(jié)：

切線長(zhǎng)定理的一個(gè)基本圖形如圖所示其中包含的其他結(jié)論有：

(1)三組垂直線段：OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP:

(2)三組全等三角形：△QAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP;

(3)兩組相等的孤：弧AD=弧BD,弧AE=弧BE;

(4)兩個(gè)等腰三角形：△OAB和△PAB.

知識(shí)點(diǎn)4.三角形的內(nèi)切圓

1.三角形的內(nèi)切圓：

2

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2．三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離

都相等.

要點(diǎn)歸納：

(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的

一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：

名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)

外心(三角形三角形三邊中垂線的(1)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距

外接圓的圓交點(diǎn)離相等，即OA=OB=OC；(2)

心)外心不一定在三角形內(nèi)部

內(nèi)心(三角形三角形三條角平分線(1)到三角形三邊距離相等；

內(nèi)切圓的圓的交點(diǎn)(2)OA、OB、OC分別平分∠

心)BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)

心在三角形內(nèi)部.

【類(lèi)型1】直線與圓的位置關(guān)系

1．（24-25九年級(jí)上·廣東江門(mén)·期中）若半徑為5m的圓，其圓心到直線的距離是4m，則直線和圓的位置關(guān)

系為（）

A．相離B．相交C．相切D．無(wú)法確定

【答案】B

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，先確定圓的半徑為5m，而圓心到直線的距離為4m，即圓心O

到直線的距離小于圓的半徑，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到直線與圓相交，則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．

【詳解】解：∵圓的半徑為5m，圓心到直線的距離為4m，

∴圓心到直線的距離圓的半徑，

∴直線與圓相交，

故選：B．

3

2．（24-25九年級(jí)下·河北秦皇島·階段練習(xí)）已知直線l與圓O相交，點(diǎn)P在直線l上，若P點(diǎn)到O點(diǎn)的

距離等于圓O的半徑，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．3個(gè)以上

【答案】B

【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可．

【詳解】解：∵直線l與圓O相交，

∴直線l與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)公共點(diǎn)到O點(diǎn)的距離等于圓O的半徑，

故選B，

3．（2025九年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）在Rt△ABC中，C90,AC4,BC3，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑

畫(huà)C，根據(jù)下列條件，分別求出的取值范圍．

(1)邊AB與C相離；

(2)邊AB與C相切；

(3)邊AB與C相交．

【答案】(1)0r2.4

(2)r2.4

(3)r2.4

【分析】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)

系完成判定．

（1）過(guò)C作CDAB于D，根據(jù)勾股定理得到AB5，再根據(jù)三角形的面積公式得到CD的長(zhǎng)，然后根據(jù)

圓心到AB的距離與半徑的關(guān)系即可得到結(jié)論；

（2）解法同（1），邊AB與C相切時(shí)，r2.4；

（3）解法同（1），邊AB與C相交時(shí)，r2.4．

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)C作CDAB于D，

∵C90,AC4,BC3，

∴ABBC2AC25，

11

∵S△BCACACCD，

ABC22

BCAC

∴CD2.4，

AB

∴直線AB與C相離，則r的取值范圍是0r2.4；

4

（2）解：直線AB與C相切，則r的值是rCD2.4；

（3）解：直線AB與C相交，則r的取值范圍是r2.4．

【類(lèi)型2】已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑

4．（24-25九年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，C90，AC6，BC8，以點(diǎn)C為圓心，

r為半徑作圓，若與直線AB相離，則r的取值范圍為（）

A．0r4.4B．0r4.4C．0r4.8D．0r4.8

【答案】C

【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及勾股定理．根據(jù)題意畫(huà)出草圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，

利用勾股定理求出AB，再根據(jù)直線AB與圓相離得到CDr，最后利用等面積法求解，即可解題．

【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下，

過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，

ACB90，AC6，BC8，

ABAC2BC210，

以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，且與直線AB相離，

CDr，

11

Q6810CD，

22

解得CD4.8，

0r4.8

故選：C．

5．（22-23九年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）如果一圓的半徑為R，圓心到直線的距離為5，且這個(gè)圓與這條直線

有公共點(diǎn)，那么下列結(jié)論正確的是（）

A．R5B．R5C．0R5D．0R5

【答案】B

【分析】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．

根據(jù)這個(gè)圓與這條直線有公共點(diǎn)，可判斷出直線與圓相切或相交，即可得到R與5的大小關(guān)系．

【詳解】解：這個(gè)圓與這條直線有公共點(diǎn)，

直線與圓相切或相交，

圓心到直線的距離為5，

R5，

5

故選：B．

6．（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知Rt△ABC的斜邊AB6，直角邊AC3，以點(diǎn)C為圓心作C．

(1)當(dāng)半徑r為_(kāi)_______時(shí)，直線AB與C相切；

(2)當(dāng)C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，半徑r的取值范圍為_(kāi)_______；

(3)當(dāng)C與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，半徑r的取值范圍為_(kāi)_________．

33

【答案】(1)；

2

33

(2)r或3r33；

2

33

(3)0r或r33．

2

【分析】（1）如圖作CHAB于H，求出CH的值即可判斷；

33

（2）當(dāng)C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，半徑r的取值范圍為r或3r33；

2

33

（3）當(dāng)C與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，半徑r的取值范圍為0r或r33，

2

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，等面積法，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）如圖作CHAB于H，

在Rt△ABC中，AB6，AC3，ACB90，

∴由勾股定理得BCAB2AC233，

11

∵SACBCABCH，

ABC22

ACBC33333

∴CH，

AB62

33

∴當(dāng)半徑r時(shí)，直線AB與C相切，

2

33

故答案為：r；

2

（2）觀察圖形可知，

33

當(dāng)C與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，半徑r的取值范圍為r或3r33，

2

6

33

故答案為：r或3r33；

2

（3）觀察圖形可知，

33

當(dāng)C與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，半徑r的取值范圍為0r或r33，

2

33

故答案為：0r或r33．

2

【類(lèi)型3】圓平移到與直線相切時(shí)滿(mǎn)足的條件

7．（24-25九年級(jí)上·四川南充·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的P的圓心P的坐標(biāo)為

3,0，將OP沿x軸正方向平移，使P與y軸相切，則平移的距離為（）

A．1B．1或5C．3D．3或5

【答案】B

【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)圓與直線相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的

距離等于圓的半徑．分兩種情況討論：P位于y軸左側(cè)和P位于y軸右側(cè)，根據(jù)平移的性質(zhì)和圓的切線

的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．

【詳解】解：P的圓心P的坐標(biāo)為(3,0)，

OP3，

QeP的半徑為2，

APBP2，

OA1，OB5，

當(dāng)P位于y軸左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1，

當(dāng)P位于y軸右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5，

平移的距離為1或5，

故選：B．

8．（22-23九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,0，以點(diǎn)P

為圓心，2為半徑的P以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸正方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)P與y軸相切時(shí)，t

7

的值為（）

A．0.5B．1C．0.5或2.5D．1或3

【答案】C

【分析】當(dāng)圓的圓心到直線的距離等于圓半徑時(shí)，直線與圓相切，即可求解．

【詳解】解：（1）當(dāng)P的圓心P在y軸左側(cè)時(shí)，

P到y(tǒng)軸距離dr2時(shí)，⊙P與y軸相切，

∴P移動(dòng)時(shí)間t3220.5（秒）；

（2）當(dāng)P的圓心P在y軸右側(cè)時(shí)，

P到y(tǒng)軸距離dr2時(shí)，P與y軸相切，

∴P移動(dòng)時(shí)間t3222.5（秒）．

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是掌握判定方法：圓心到直線的距離等于圓的半徑．

9．（2025九年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，AOC30，半徑為1cm的P的

圓心在直線AB上，開(kāi)始時(shí)，PO6cm．如果P以1cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)滿(mǎn)足

條件時(shí)，P與直線CD相交．

【答案】4t8

【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，分當(dāng)點(diǎn)P在射線OA和點(diǎn)P在射線OB兩種情況進(jìn)行計(jì)算是

解題的關(guān)鍵．

求得當(dāng)P位于點(diǎn)O的左邊與CD相切時(shí)t的值和P位于點(diǎn)O的右邊與CD相切時(shí)t的值，兩值之間即為

相交．

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在射線OA時(shí)，P與CD相切，如圖，過(guò)P作PECD于E，

8

∴PE1cm，

∵AOC30，

∴OP2PE2cm，

∴P的圓心在直線AB上向右移動(dòng)了62cm后與CD相切，

62

∴P移動(dòng)所用的時(shí)間4（秒）；

1

當(dāng)點(diǎn)P在射線OB時(shí)，P與CD相切，如圖，過(guò)P作PECD與F，

∴PF1cm，

∵AOCDOB30，

∴OP2PF2cm，

∴P的圓心在直線AB上向右移動(dòng)了62cm后與CD相切，

62

∴P移動(dòng)所用的時(shí)間8（秒）．

1

∴當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（ts）滿(mǎn)足條件4t8時(shí)，P與直線CD相交．

故答案為：4t8．

【類(lèi)型4】切線的判定的認(rèn)識(shí)

10．（2025·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）下列判斷正確的是（）

A．同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓

C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧D．垂直于半徑的直線是圓的切線

【答案】A

【分析】本題主要考查了等弧的定義，弧與圓心角之間的關(guān)系，確定圓的條件，切線的定義，分別根據(jù)圓

的確定條件，圓周角定理，圓的切線的判定，等弧的概念依次進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：A、同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等，原說(shuō)法正確，符合題意；

B、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、能夠完全重合的弧是等弧，長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、經(jīng)過(guò)半徑外端且與半徑垂直的直線為圓的切線，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

9

故選：A．

11．（24-25九年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期中）下列命題：①等弧所對(duì)的弦相等；②垂直于弦的直線平分弦；

③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④直徑所對(duì)的圓周角是直角；⑤垂直于半徑的直線是圓的切線．其中正確

的命題有（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓周角、垂徑定理、切線等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和定理是解題關(guān)鍵．根

據(jù)“在等圓或同圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，相等的弧所對(duì)的圓心角相等”、垂徑定理、直徑所對(duì)的圓

周角是直角、切線的定義，逐一分析判斷即可．

【詳解】解：等弧所對(duì)的弦相等，說(shuō)法①正確；

垂直于弦的直徑平分弦，故說(shuō)法②錯(cuò)誤；

同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故說(shuō)法③錯(cuò)誤；

直徑所對(duì)的圓周角是直角，說(shuō)法④正確；

垂直于半徑且垂足在圓上的直線是圓的切線，故說(shuō)法⑤錯(cuò)誤．

綜上所述，正確的命題有①④，共計(jì)2個(gè)．

故選：C．

12．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O和直線l1，直線l2在同一平面內(nèi)，AB是O的直徑，直線l2是O的

切線，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，下列條件不能判定直線l1與O相切的是（）

∥

A．l1l2B．l1AB

C．l1與O只有一個(gè)公共點(diǎn)D．點(diǎn)O到l1上某點(diǎn)的距離等于半徑

【答案】D

【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切

線的判定定理“經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線”或“圓心到直線的距離等于半徑”逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即

可．

【詳解】解：AB是O的直徑，且l2是O的切線

l2AB

∥

又l1l2

l1AB

10

直線l1與O相切

故選項(xiàng)A、B可以判定，不符合題意；

C、根據(jù)圓的切線的定義，可知與圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是切線，選項(xiàng)C可以判定，不符合題意；

D、根據(jù)與圓心的距離等于半徑的直線為圓的切線，選項(xiàng)D不可判定，符合題意；

故選：D．

【類(lèi)型5】切線的判定條件

13．（23-24九年級(jí)上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，D是O外一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)A作AECD，垂足為E，連接OC．若使CD切O于點(diǎn)C，添加的下列條件中，不正確的是（）

A．OC∥AEB．OACCAEC．OCACAED．OAAC

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定即可得到答案．

【詳解】解：A、∵AECD，

∴AED90，

當(dāng)OC∥AE時(shí)，則OCD90，即OCDE，

∴CD切O于點(diǎn)C，該選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、∵AECD，

∴AED90，則CAEACE90，

∵OAOC，

∴OACOCA，

當(dāng)OACCAE時(shí)，則OCAACE90，即OCDE，

∴CD切O于點(diǎn)C，該選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、當(dāng)OCACAE時(shí)，OC∥AE，

∵AECD，

∴AED90，

∴OCD90，即OCDE，

∴CD切O于點(diǎn)C，該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、當(dāng)OAAC時(shí)，由OAOC得到OAOCAC，

∴OAC是等腰三角形，無(wú)法確定OCD90，

∴不能得到CD切O于點(diǎn)C，該選項(xiàng)不正確，符合題意．

故選：D．

11

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，平行線的判定與性質(zhì)，熟記圓的切線的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

14．（17-18九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，如果∠AOB=120°，

那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．

【答案】60

【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因?yàn)镺A⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．

【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，

1

∴OABOBA180AOB30，

2

∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時(shí)，AC才能成為⊙O的切線，

∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．

故答案為：60．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此

題的關(guān)鍵．

15．（21-22九年級(jí)上·北京·期末）在下圖中，AB是O的直徑，要使得直線AT是O的切線，需要添加

的一個(gè)條件是．（寫(xiě)一個(gè)條件即可）

【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）

【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°

即可．

【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，

∵∠ABT=∠ATB=45°，

∴∠BAT=90°，

又∵AB是圓O的直徑，

∴AT是圓O的切線，

12

故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．

【類(lèi)型6】證明直線與圓相切

16．（19-20九年級(jí)上·福建福州·期中）如圖,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分線交BC于D,以D

為圓心,DB長(zhǎng)為半徑作⊙D．求證:AC與⊙D相切.

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半徑），即可得出AC是⊙D的切線．

【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，如圖所示：

∵AB為⊙D的切線，

∴∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，

∴BD=DF，

∴AC與⊙D相切．

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定、角平分線的性質(zhì)定理、熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．

17．（2025·江蘇·二模）如圖，在O中，AB是O的直徑，點(diǎn)E在O上，點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)，AECD，

垂足為點(diǎn)D．求證：CD是O的切線．

13

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查切線的判定、等弧所對(duì)的圓周角相等、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練

掌握切線的判定是解答的關(guān)鍵．連接OC，先證明OCAOACCAD得到OC∥AD，再利用平行線的

性質(zhì)得到AECD，進(jìn)而利用切線的判定定理可得結(jié)論．

【詳解】證明：連接OC，

∵點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)，

))

∴BCCE，

∴∠OAC∠CAD，

∵OAOC，

∴OACOCA，

∴∠CAD∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AECD，

∴OCCD，又OC為O的半徑，

∴CD是O的切線．

18．（2025·四川眉山·一模）如圖，AB為O的直徑，取OA的中點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CDAB交O于點(diǎn)D，

D在AB的上方，連接AD、BD，點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上，且ADAE．

(1)求E的度數(shù)；

(2)試判斷ED與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

14

【答案】(1)E30

(2)ED與O的位置關(guān)系是相切，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔

助線是解題的關(guān)鍵．

（1）如圖，連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADOD．推出△OAD是等邊三角形．得到OAD60，

再結(jié)合ADAE即可求解；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到ODE90．由垂直的定義得到ODDE．推出DE是O的切線．

【詳解】（1）解：如圖，連接OD，

OAOD，

點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CDAB，

ADOD，

OAODAD，

OAD是等邊三角形，

OAD60，

ADAE，

1

EADEOAD30；

2

（2）解：ED與O的位置關(guān)系是相切，理由如下：

由（1）知ADE30，ADO60，

ODE90，

ODDE，

ED是O的切線．

19．（2025·山東臨沂·一模）如圖，VABC內(nèi)接于O，D是BC上一點(diǎn)，ADAC．E是O外一點(diǎn)，

BAECAD，ADEACB，連接BE．

(1)若CD2，DE6，求BD的長(zhǎng)；

15

(2)求證：EB是O的切線．

【答案】(1)4

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，掌握切線的判定是關(guān)鍵．

（1）證明ADE≌ACB(ASA)，得到BCDE6，即可求解；

（2）連接BO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)F，可得AFBABF90，AFBACB，ABEAFB，所以

ABFABE90，結(jié)合切線的判定即可求解．

【詳解】（1）解：BAECAD，

BAEBADCADBAD，即EADBAC，

又ADEACB，ADAC，

ADEACB(ASA)，

BCDE6，

BDBCCD624；

（2）證明：連接BO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)F，連接AF，

BF是O的直徑，

BAF90，

AFBABF90，

∵，

ABAB

∴AFBACB，

由（1）知ADEACB(ASA)

∴AEAB，

AEBABE，

又BAECAD，

ABEACB，

ABEAFB，

ABFABE90，

OBBE，

EB是O的切線．

【類(lèi)型7】切線的性質(zhì)

16

20．（2025·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O與△OAB的邊AB相切于點(diǎn)C，與邊OB相交于點(diǎn)D．點(diǎn)E為優(yōu)弧CD

上的點(diǎn)，連接CE,DE．若B40，則E的度數(shù)為（）

A．20B．25C．35D．40

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)定理等知識(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCB90.即可得到

COB50.根據(jù)圓周角定理即可得到答案．

【詳解】解：如圖，連接OC．

O與△OAB的邊AB相切于點(diǎn)C，

OCAB，

OCB90，

B40，

COB50，

1

ECOB25；

2

故選：B．

21．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)O外一點(diǎn)P作圓的切線PA,PB，點(diǎn)A,B為切點(diǎn)，AC為直徑，

設(shè)P50，則C的度數(shù)為．

【答案】65

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，連接OB，由切線的性質(zhì)可得

OAPOBP90，則由四邊形內(nèi)角和定理可得AOB的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到答案．

17

【詳解】解：如圖所示，連接OB，

∵PA,PB都是O的切線，

∴OAPOBP90，

∴∠AOB360∠OAP∠OBP∠P130，

∵AC為直徑，

1

∴CAOB65，

2

故答案為：65．

22．（2025·湖南·中考真題）如圖，VABC的頂點(diǎn)A，C在O上，圓心O在邊AB上，ACB120°，BC

與O相切與點(diǎn)C，連接OC．

(1)求ACO的度數(shù)；

(2)求證：ACBC．

【答案】(1)30

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵．

（1）由切線的性質(zhì)得到OCB90，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；

（2）由等邊對(duì)等角得到OACACO30，再由三角形內(nèi)角和定理可得B30，則可證明AB，

進(jìn)而可證明ACBC．

【詳解】（1）解：∵BC與O相切與點(diǎn)C，

∴OCBC，

∴OCB90，

∵ACB120°，

∴ACO∠ACB∠OCB1209030;

（2）證明：∵OAOC，

∴OACACO30，

18

∵ACB120°，ABACB180，

∴B30，

∴AB，

∴ACBC．

23．（24-25九年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖VABC中，ACB90，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，

以點(diǎn)E為圓心，EC為半徑作E交AC于點(diǎn)F．

(1)求證：AB與E相切；

(2)若AB15，BC9，試求AF的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)3

【分析】本題主要考查了圓與三角形的綜合，角平分線性質(zhì)，圓的切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，勾股

定理，一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

（1）作EHAB于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線性質(zhì)得EHEC，得點(diǎn)H在E上，即得AB與E相

切；

（2）根據(jù)勾股定理求得AC，表示出AE12EC，根據(jù)切線性質(zhì)定理表示出所需要的邊，根據(jù)勾股定理

列出關(guān)于EC的方程，解方程即可得出結(jié)果．

【詳解】（1）證明：

如圖，作EHAB于點(diǎn)Q，

ACB90，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，

ECBC于點(diǎn)C，

EHEC，

EC是E的半徑，EHEC，

19

點(diǎn)H在E上，

EH是E的半徑，且ABEH，

AB與E相切．

（2）

解：

ACB90，AB15，BC9，

ACAB2BC21529212，

EHEFEC，

AEACEC12EC，

EC是E的半徑，且BCEC，

BC是E的切線，

BHBC9，

AHABBH1596，

AHE90，

AH2EH2AE2，

62EC2(12EC)2，

9

EFEC，

2

99

AFACEFEC123，

22

AF的長(zhǎng)為3．

【類(lèi)型8】切線長(zhǎng)定理

24．（2024·西藏日喀則·二模）如圖，P為O外一點(diǎn)，PA，PB分別切O于A，B兩點(diǎn)，若PA6，則PB

（）

20

A．3B．6C．9D．12

【答案】B

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，

它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．

利用切線長(zhǎng)定理即可直接得出答案．

【詳解】解：由切線長(zhǎng)定理可知：

PBPA6，

故選：B．

25．（24-25九年級(jí)上·北京石景山·期末）如圖，O是VABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．若CF7，

AB9，則VABC的周長(zhǎng)為（）

A．16B．23C．25D．32

【答案】D

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，由切線長(zhǎng)定理得ADAE，CECF，BDBF，即可求解；掌握切線長(zhǎng)

定理是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：O是VABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，

ADAE，

CECF，

BDBF，

VABC的周長(zhǎng)為：

ABBCCD

ADBDAECECFBF

2AB2CF

2927

32；

21

故選：D．

26．（19-20九年級(jí)上·貴州黔西·期末）如圖，PA，PB分別切O于點(diǎn)A，B，MN切O于點(diǎn)C，分別交

PA，PB于點(diǎn)M，N，若PBPA7.5cm，則PMN的周長(zhǎng)是．

【答案】15cm/15厘米

【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，這兩條切線的長(zhǎng)度相等是解題關(guān)鍵．根

據(jù)切線長(zhǎng)定理可知MAMC，NBNC，從而可求出CPMNPMMNPNPAPB，即可求解．

【詳解】解：∵M(jìn)N切O于點(diǎn)C，

∴MAMC，NBNC，

∴CPMNPMMNPN

PMCMCNPN

PMAMNBPN

PAPB

15cm．

故答案為：15cm．

【類(lèi)型9】有關(guān)切線長(zhǎng)定理的計(jì)算與證明

27．（22-23九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，PA,PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，

BAC25，求PAB和P的度數(shù)．

【答案】PAB65，P50

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得到OAP90，利用互余關(guān)系求出PAB的度數(shù)，利用切線長(zhǎng)定理，得到△ABP

是等腰三角形，利用三角形內(nèi)角和求出P的度數(shù)即可．

【詳解】解：∵PA,PB是⊙O的切線，

∴PAPB,OAP90，

∴PABOAPBAC902565，

∴PABPBA65，

∴P180656550．

22

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理．熟練掌握切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．

28．（18-19九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一點(diǎn)E，以BE

為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．

(1)求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；

(2)計(jì)算△ABC的面積．

【答案】（1）BE＝6；(2)SABC＝24..

【分析】（1）連接OD，由切△線的性質(zhì)得OD⊥AC，，在Rt△ODA中運(yùn)用勾股定理可以求出半徑OD，即

可求得直徑BE的長(zhǎng)；

（2）由切線長(zhǎng)定理知，CD=BC，在Rt△ABC中運(yùn)用勾股定理可以求出BC，則可由直角三角形的面積公式

求得△ABC的面積．

【詳解】（1）連接OD，

∴OD⊥AC

∴△ODA是直角三角形

設(shè)半徑為r

∴AO＝r＋2

2

∴r2r216

解之得：r＝3

∴BE＝6

(2)∵∠ABC＝900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線

∵CD切⊙O于D

∴CB＝CD

23

令CB＝x

∴AC＝x＋4，CB＝x，AB＝8

2

∵x282x4

∴x＝6.

12

∴SABC＝8624（cm）.

2

△

故答案為（1）BE＝6；(2)SABC＝24..

△

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，切線的定義，切線長(zhǎng)定理.

29．（18-19九年級(jí)·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點(diǎn)，且AB∥CD，

OB＝6cm，OC＝8cm．

（Ⅰ）求證：OB⊥OC；

（Ⅱ）求CG的長(zhǎng)．

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）6.4cm

【分析】（Ⅰ）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得

∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；

（Ⅱ）由勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，進(jìn)而由切線長(zhǎng)定理即可得到CG的長(zhǎng).

【詳解】解：（Ⅰ）連接OF；根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠OBE+∠OCF＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∴OB⊥OC；

24

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°．

∵OB＝6cm，OC＝8cm，

∴由勾股定理得到：BC＝OB2OC2＝10cm，

1111

∴SOBOCBCOF即6810OF

BOC2222

∴OF＝4.8cm．

∴CFOC2OF2＝6.4cm，

∵CF、CG分別與⊙O相切于F、G，

∴CG＝CF＝6.4cm．

【點(diǎn)睛】本題綜合運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)定理．注意：求直角三角形斜邊上的高時(shí)，可以借助直

角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算．

【類(lèi)型10】三角形的內(nèi)切圓

30．（23-24九年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，VABC中，A80，點(diǎn)O是VABC的內(nèi)心．則BOC的度

數(shù)（）

A．60B．80C．120D．130

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和、三角形的內(nèi)心等知識(shí)，熟練掌握三角形的內(nèi)心的定義是解題關(guān)鍵．先

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得ABCACB100，再根據(jù)三角形的內(nèi)心可得BO平分ABC，CO平分

ACB，從而可得OBCOCB50，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得．

【詳解】解：∵VABC中，A80，

∴ABCACB180A100，

∵點(diǎn)O是VABC的內(nèi)心，

∴BO平分ABC，CO平分ACB，

25

11

∴OBCABC，OCBACB，

22

111

∴OBCOCBABCACBABCACB50，

222

∴BOC180OBCOCB130，

故選：D．

31．（24-25九年級(jí)上·江西新余·階段練習(xí)）如圖，O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D、E、F為切點(diǎn)，若AD9，

BD6，則VABC的面積為．

【答案】54

【分析】本題主要考查切線長(zhǎng)定理，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意，連接OE,OF，根據(jù)內(nèi)切

圓的性質(zhì)可得四邊形CEOF是正方形，則CEEOOFFC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得AEAD9，

222

BFBD6，設(shè)O的半徑為r，則CECFr，運(yùn)用勾股定理可得9r6r96，據(jù)此計(jì)算

即可求解．

【詳解】解：如圖所示，連接OE,OF，

∵O是直角三角形ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D、E、F為切點(diǎn)，

∴CCEOCFO90，

∴四邊形CEOF是矩形，

∵CECF，

∴矩形CEOF是正方形，

∴CEEOOFFC，

∵點(diǎn)D、E、F為切點(diǎn)，

∴AEAD9，BFBD6，

設(shè)O的半徑為r，則CECFr，

26

222

∴9r6r96，

∴r3或18（舍去），

∴AC9312，BC639，

1

∴VABC的面積12954，

2

故答案為：54．

32．（2025九年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，O是VABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，且A90，

5

BC，CA2，則O的半徑是．

2

1

【答案】/0.5

2

【詳解】設(shè)ODOFAFADx，利用切線長(zhǎng)定理，構(gòu)建方程，解方程即可解決問(wèn)題．

本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上基本知識(shí)．

【解答】解：在Rt△ABC中，

5

∵A90，BC，CA2，

2

3

∴ABBC2AC2，

2

∵O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，

∴BDBE，ADAF，CFCE，

如圖，連接OD，OF，

∵ODAB，OFAC，ODOF，

∴ODCAOFA90，

∴四邊形ADOF是正方形，

設(shè)ODOFAFADx，

3

則CECF2x，BDBEx，

2

5

∵BECE，

2

27

35

∴2xx，

22

1

∴x，

2

1

則圓O的半徑為．

2

故答案為：1．

2

33．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，在VABC中，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法作出VABC的內(nèi)心O．（不

寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了作三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，分別作

CAB，ABC的角平分線，二者所在的直線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．

【詳解】解：如圖所示，分別作CAB，ABC的角平分線，二者所在的直線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．

34．（24-25九年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）（1）尺規(guī)作圖：如圖，已知VABC．求作：VABC的內(nèi)切圓O．（要

求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．

（2）VABC的內(nèi)切圓O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB5cm,BC7cm,CA6cm，求AF

的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）2

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【分析】本題主要考查了尺規(guī)作三角形內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)性質(zhì)定理，

對(duì)于（1），作C的平分線CK，再作A的平分線AG，交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OHBC，交BC于點(diǎn)D，

以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓，即為所求作；

對(duì)于（2），根據(jù)切線長(zhǎng)定理得AEAF,BFBD,CDCE，再結(jié)合AB5cm,BC7cm,CA6cm，可得答案．

【詳解】解：（1）如圖所示．

（2）如圖所示，

∵VABC的內(nèi)切圓O與BC,CA,AB分別相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，

∴AEAF,BFBD,CDCE．

∵AB5cm,BC7cm,CA6cm，

∴BF(5AF)cm，

∴BD(5AF)cm．

則CD[7(5AF)](2AF)cm，

∴CE(2AF)cm，

則AE[6(2AF)](4AF)cm，

即AF4AF，

解得AF2cm．

35．（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，VABC中，C90，BC5，O與VABC的三邊分別相

切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若O的半徑為2，求VABC的周長(zhǎng)．

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【答案】30

【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)

鍵．

設(shè)ADx，由切線長(zhǎng)定理得AEx，根據(jù)題意可得四邊形OECF為正方形，則CECF2，BDBF3，

在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周長(zhǎng)．

【詳解】解：連接OE，OF，設(shè)ADx．

由切