PAGE1專題19圓心角與圓周角（9大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測(cè)）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1.弧、弦、圓心角的關(guān)系（重點(diǎn)）1.圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．2.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)的其余各對(duì)量也相等．要點(diǎn)歸納：運(yùn)用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，輕松證明相等問題(1)在同圓或等圓中，證明等孤的問題目前可以有三種途徑，一是由垂徑定理得到等孤，二是證明弧所對(duì)的圓心角相等，三是證明孤所對(duì)的弦相等.(2)在同圓或等圓中，當(dāng)證明等弦、等角的問題時(shí)，除利用三角形全等及其他相關(guān)的性質(zhì)外，一定要善于利用孤、弦、圓心角三者的相關(guān)定理.知識(shí)點(diǎn)2.圓周角圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．要點(diǎn)歸納：(1)圓周角定理中的圓周角與圓心角是通過它們所對(duì)的同一條孤聯(lián)系在一起的，故不能把“一條孤所對(duì)的”去掉(2)同一條孤所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，它們都相等，但注意不要誤以為“同一條弦所對(duì)的圓周角都相等”，一條弦(非直徑)所對(duì)的圓周角有兩類，它們是相等或互補(bǔ)的關(guān)系，即圓周角在弦的同側(cè)時(shí)相等，異側(cè)時(shí)互補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)3.圓內(nèi)接多邊形一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）溫馨提示：(1)內(nèi)接與外接是相對(duì)的概念，描述的是圖形的位置關(guān)系.(2)每一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)內(nèi)接四邊形，但并不是所有的四邊形都有外接圓，只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓.方法總結(jié)：圓中求角的四個(gè)常用思路(1)同孤所對(duì)的圓周角相等；(2)一條孤所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半(3)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(4)同圓的半徑相等，在以兩半徑為邊的三角形中，等邊對(duì)等角.【類型一】圓心角與圓周角的概念1．（24-25九年級(jí)上·河南商丘·期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（24-25九年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是（）A． B． C． D．3．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半圓O中，為直徑，下列四個(gè)選項(xiàng)中所對(duì)的圓周角是（

）A． B． C． D．【類型2】弧、弦、圓心角之間的關(guān)系4．（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，已知在中，是直徑，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C．到、的距離相等 D．5．（2024九年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，已知，則與的關(guān)系是（）

A． B． C． D．不確定6．（23-24九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）在同圓或等圓中，若的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度，則下列說法正確的有（）①的度數(shù)的度數(shù)；②所對(duì)的圓心角等于所對(duì)的圓心角；③和是等??；④所對(duì)的弦長(zhǎng)等于所對(duì)的弦長(zhǎng)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【類型3】有關(guān)弧、弦、圓心角的計(jì)算7．（24-25九年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，在中，，則（）A． B． C． D．8．（24-25九年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，是的弦，連接，若，則弦，之間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．9．（23-24九年級(jí)上·廣東江門·期中）在中，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．10．（2025·云南楚雄·三模）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，C是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．11．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，為的直徑，點(diǎn)C、D是的三等分點(diǎn)，，求的度數(shù)．12．（21-22九年級(jí)上·福建廈門·期中）已知：如圖所示，A，B，C，D是⊙上的點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．【類型4】有關(guān)弧、弦、圓心角的證明13．（21-22九年級(jí)上·吉林·期中）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)E，AB＝CD，連接AD，BC．求證：．14．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖所示，已知，求證：．15．（23-24九年級(jí)上·甘肅武威·期末）已知，如圖，在中，，，求證：．16．（24-25九年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，D，E分別是的半徑上的點(diǎn)，且，垂足分別為D，E，．求證：．17．（24-25九年級(jí)上·福建南平·期末）如圖，在中，弦，于，于．(1)求證：．(2)若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．【類型5】圓周角定理18．（2025·廣西欽州·二模）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．19．（2025·青海西寧·二模）如圖，是直徑，是上一點(diǎn)，連接，若，則的大小為（

）A． B． C． D．20．（2025·陜西商洛·二模）如圖，是的內(nèi)接三角形，且．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．21．（2025·四川南充·二模）如圖，點(diǎn)、、、都在上，若，，則的度數(shù)為．【類型6】圓周角定理的推論22．（2025·山西·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)是上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．23．（2025·海南三亞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，C，D為上兩點(diǎn)，，連接，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．60° D．70°24．（24-25九年級(jí)下·福建漳州·期中）如圖，是的直徑，，為上同側(cè)的兩點(diǎn)，連接，，，且，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．25．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，為的弦，且，連接．若，則的度數(shù)為．【類型7】圓周角的有關(guān)計(jì)算與證明26．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，，，為的直徑，且，求的長(zhǎng)．27．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，中，為的直徑，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．【類型8】圓內(nèi)接四邊形28．（2025·云南西雙版納·二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則（

）A． B． C． D．29．（24-25九年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．30．（2025·安徽安慶·二模）如圖，是直徑，點(diǎn)、、在半圓上，若，則．【類型9】圓有關(guān)角的綜合計(jì)算與證明31．（24-25九年級(jí)上·重慶潼南·期末）如圖，是的一個(gè)內(nèi)接三角形，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），設(shè)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)猜想與之間的關(guān)系，并給予證明．32．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，，垂足為D，，分別交于點(diǎn)F，G．(1)求證：；(2)若，求弧的長(zhǎng)度．33．（18-19九年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）如圖，已知為的直徑且，A為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D、E重合），線段經(jīng)過點(diǎn)E，且，F(xiàn)為上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)A在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四邊形的最大面積．34．（24-25九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）已知⊙O的半徑為2，弦，，求的度數(shù)．35．（24-25九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）已知中，，以為直徑的交于D，交于E．(1)如圖①，當(dāng)為銳角時(shí)，連接，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將圖①中的邊不動(dòng)，邊繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖②，的延長(zhǎng)線與相交于E．請(qǐng)問：與的數(shù)量關(guān)系是否與（1）中得出的關(guān)系相同？若相同，請(qǐng)加以證明；若不同，請(qǐng)說明理由．36．（2021·福建福州·二模）如圖，四邊形中，，，過三點(diǎn)的圓與交于點(diǎn)．(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)若，求證：．一、單選題1．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，、、是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．42．（24-25九年級(jí)下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，是半圓O的直徑，B，C兩點(diǎn)在半圓上，且，點(diǎn)P在上，連接，若，則（

）A． B． C． D．3．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，已知銳角，（1）在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，交射線于點(diǎn)D，連接（2）分別以點(diǎn)，D為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)（3）連接，．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．所有正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④4．（2025·江蘇泰州·三模）如圖，在圓O中，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，垂直平分半徑，且，則長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C． D．5．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2025·云南昆明·二模）如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，若，則的大小為（

）A． B． C． D．7．（2025·廣西百色·二模）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，，則的半徑是（

）A． B． C． D．48．（2025·山東淄博·二模）如圖，的半徑為2，四邊形內(nèi)接于，，若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．1 D．二、填空題9．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)，，在上，，則．10．（2025·河南·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為．11．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等邊三角形內(nèi)接于圓O，點(diǎn)是上的一個(gè)三等分點(diǎn)（即），則的度數(shù)為．12．（2025·北京海淀·二模）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．若，則．13．（2025·四川南充·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則在其他小于平角的8個(gè)角中，可以確定度數(shù)的有個(gè)．14．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．經(jīng)過點(diǎn)A，D，E，與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為°．三、解答題15．（23-24九年級(jí)上·山西呂梁·期中）如圖，是的直徑，弦與相交于點(diǎn)E，．若，求直徑的長(zhǎng)．

16．（23-24九年級(jí)上·北京朝陽·期中）如圖，A，P，B，C是上的四個(gè)點(diǎn)，．求證：是等邊三角形．

17．（2024九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，的半徑為，圓周角，求的長(zhǎng)．18．（2010·浙江·中考模擬）如圖，為的直徑，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)E，，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．19．（20-21九