第1頁|共2頁2000年全國統(tǒng)一高考理科數(shù)學真題及答案（適用于30個省市自治區(qū)）本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁。第II卷3至9頁。共150分?？荚嚂r間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）注意事項：1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答，不能答在試題卷上。3．考試結束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式其中c′、c分別表示上、下底面周長，l表示斜高或母線長其中S′、S分別表示上、下底面積，h表示高一、選擇題：本大題共12分，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）設集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，則在映射f下，象20的原象是（）（A）2（B）3（C）4（D）5（2）在復平面內(nèi)，把復數(shù)對應的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應的復數(shù)是（A）（B）（C）（D）（3）一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（A）（B）（C）6（D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是（A）若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，則tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，則tgα>tgβ（5）函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是（6）《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分希累進計算。全月應納稅所得額稅率不超過500元的部分5%超過500元至2000元的部分10%超過2000元至5000元的部分15%……某人一月份應交納此項稅款26.78元，則他的當月工資、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，則（A）R<P<Q（B）P<Q<R（C）Q<P<R（D）P<R<Q（8）以極坐標中的點（1，1）為圓心，1為半徑的圓的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（A）（B）（C）（D）（10）過原點的直線與圓相切，若切點在第三象限，則該直線的方程是（A）（B）（C）（D）（11）過拋物線（a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（A）2a（B）（C）4a（D）（12）如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為（A）（B）（C）（D）第II卷（非選擇題共90分）注意事項：1．第II卷共7頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。2．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。題號二三總分171819202122分數(shù)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。（13）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、第三、五位置,其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有_________種（用數(shù)字作答）（14）橢圓的焦點為，點P為其上的動點。當為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是__________________。（15）設是首項為1的正項數(shù)列，且（n=1，2，3…），則它的通項公式是＝_________。（16）如圖，E、F分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是__________________。（要求：把可能的圖的序號填上）三、解答題：本大題共16小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（I）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（II）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？（18）（本小題滿分12分）如圖，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且（I）證明：；（II）假定CD=2，，記面為α，面CBD為β，求二面角αBDβ的平面角的余弦值；（III）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使？請給出證明。（19）（本小題滿分12分）設函數(shù)，其中a>0。（I）解不等式f(x)≤1；（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞]上是單調(diào)函數(shù)。（20）（本小題滿分12分）（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（II）設是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。（21）（本小題滿分12分）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示。（I）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關系P＝f(t)；寫出圖二表求援種植成本與時間的函數(shù)關系式Q＝g(t)；（II）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：，時間單位：天）（22）（本小題滿分14分）如圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點。當時，求雙曲線離心率e的取值范圍。參考解答及評分標準說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則。二、對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)。四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分。（1）C（2）B（3）D（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）A（10）C（11）C（12）D二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分。（13）252（14）（15）（16）②③三、解答題（17）本小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力。滿分12分。解：（I）…………6分y取得最大值必須且只需即所以當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為…………8分（II）將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)的圖象；（ii）把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；（iii）把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變）,得到函數(shù)的圖象（iv）把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；綜上得到函數(shù)的圖象。………………12分（18）本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關系，邏輯推理能力，滿分12分。（I）證明：連結、AC，AC和BD交于O，連結∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，BC=CD又∵DO=OB………………2分但AC⊥BD，又………………4分（II）解：由（I）知AC⊥BD，是二面角αBDβ的平面角在中，BC=2，，…………6分∵∠OCB=60°作，垂足為H?！帱cH是OC的中點，且，所以?！?分（III）當時，能使證明一：∵又由此可推得∴三棱錐是正三棱錐?！?0分設相交于G.又是正三角形的BD邊上的高和中線,∴點G是正三角形的中心。即?！?2分證明二：由（I）知，?！?0分當時，平行六面體的六個面是全等的菱形。同的證法可得又……12分（19）本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識，分數(shù)計論的數(shù)學思想方法和運算、推理能力。滿分12分。解：（I）不等式f(x)≤1即，由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常數(shù)a>0所以，原不等式等價于即…………3分所以，當0<a<1時，所給不等式的解集為；當a≥1時，所給不等式的解集為{x|x≥0}…………6分（II）在區(qū)間[0，+∞]上任取，使得…………8分（i）當a≥1時又即所以，當a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)遞減函數(shù)?！?0分（ii）當0<a<1時，在區(qū)間[0，+∞]上存在兩點，滿足，即，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞]上不是單調(diào)函數(shù)。綜上，當且僅當a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)函數(shù)?！?2分（20）本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力，滿分12分。解：（I）因為是等比數(shù)列，故有將代入上式，得……3分即整理得解得p=2或p=3?！?分（II）設的公比分別是p=q，p≠q，為證不是等比數(shù)列只需證。事實上，，由于p≠q，，又不為零，因此，故不是等比數(shù)列?！?2分（21）本小題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力，滿分12分。解：（I）由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關系為……2分由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關系為……4分（II）設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)-g(t)即……6分當0≤t≤200時，配方整理得所以，當t=50時，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；當200<t≤300時，配方整理得所以，當t=300時，h(t)取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5?！?0分綜上，由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大。…12分（22）本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力，滿分14分。解：如圖，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸。因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以