2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷：立體幾何解題與方法突破試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距離為（）A.1B.√2C.√3D.22.已知直線l：x=2t+1，y=3t-2，z=t+4與平面α：x+y+z=0的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交于一點C.重合D.直線在平面內(nèi)3.設(shè)直線l1：x=1，y=t，z=2t與直線l2：x=t，y=1，z=2+t，則l1與l2的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.過點P(1,2,3)且與平面α：x-y+z=1垂直的直線方程為（）A.x=1，y=2，z=3B.x-1=y-2=z-3C.x+1=y+2=z+3D.x-1=-y+2=z-35.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0的夾角為θ，則cosθ的值為（）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√3/36.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到直線l：x=1，y=2，z=3+t的的距離為（）A.1B.√2C.√3D.2√27.已知平面α：x-y+z=1與平面β：x+y-z=1的夾角為φ，則sinφ的值為（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/28.過點P(1,2,3)且與直線l：x=1，y=2，z=3+t平行的直線方程為（）A.x=1，y=2，z=3B.x-1=y-2=z-3C.x+1=y+2=z+3D.x-1=-y+2=z-39.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0的夾角為θ，則sinθ的值為（）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√3/310.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到平面π：2x-y+z=1的距離為（）A.1B.√2C.√3D.211.已知直線l1：x=1，y=t，z=2t與直線l2：x=t，y=1，z=2+t，則l1與l2的平行關(guān)系為（）A.平行B.相交于一點C.重合D.異面12.過點P(1,2,3)且與平面α：x-y+z=1垂直的平面方程為（）A.x-y+z=1B.x+y-z=1C.-x+y-z=1D.x-y-z=1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知點A(1,2,3)和平面α：x-y+z=1，則點A在平面α上的投影點的坐標為________。14.直線l：x=1，y=2，z=3+t與平面α：x+y+z=1的交點坐標為________。15.平面α：x-y+z=1與平面β：2x-y+z=0的夾角的余弦值為________。16.過點P(1,2,3)且與直線l：x=1，y=2，z=3+t垂直的平面方程為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分10分）已知空間三點A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)，求（1）向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）過點A且與向量AB、向量AC都垂直的平面方程。18.（本小題滿分12分）已知直線l1：x=1+t，y=2-t，z=3+2t與直線l2：x=1-2t，y=3+t，z=2-t，求（1）直線l1與直線l2的夾角；（2）直線l1與直線l2是否共面，若共面，求它們所在平面的方程。19.（本小題滿分12分）已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0，求（1）平面α與平面β的夾角；（2）過點P(1,2,3)且與平面α、平面β都平行的直線方程。20.（本小題滿分12分）已知點A(1,2,3)與直線l：x=1，y=2，z=3+t，求（1）點A到直線l的距離；（2）過點A且與直線l垂直的平面方程。21.（本小題滿分10分）已知平面α：x-y+z=1與平面β：2x-y+z=0，求平面α與平面β的夾角正弦值。22.（本小題滿分12分）在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距離為d，求（1）距離d的值；（2）過點A且與平面π垂直的直線方程。四、證明題（本大題共2小題，共20分。證明過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）23.（本小題滿分10分）已知空間四點A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)，D(4,5,6)，證明：向量AB、向量AC、向量AD共面。24.（本小題滿分10分）已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0，證明：存在一條直線l與平面α、平面β都平行，且直線l過點P(1,2,3)。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：點A(1,2,3)到平面π：x-y+z=1的距離d=|1-2+3-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=√32.B解析：將直線l的參數(shù)方程代入平面α的方程，得(2t+1)+(3t-2)+(t+4)=0，解得t=-1，說明直線與平面相交于一點3.C解析：向量AB=(1,1,-1)，向量AC=(2,-1,1)，向量AB·向量AC=1×2+1×(-1)+(-1)×1=0，所以兩直線垂直，夾角為90°4.B解析：與平面垂直的直線方向向量為(1,-1,1)，所以直線方程為x-1=y-2=z-35.A解析：向量n1=(1,-1,1)，向量n2=(2,-1,1)，cosθ=|n1·n2|/(|n1|·|n2|)=|1×2+(-1)×(-1)+1×1|/(√6×√6)=1/36.D解析：點A到直線的距離d=|向量AP×向量u|/|u|，其中向量AP=(0,-1,-3)，向量u=(0,1,1)，向量AP×向量u=(1,0,0)，|向量AP×向量u|=1，|u|=√2，所以d=1/√2=√27.A解析：向量n1=(1,-1,1)，向量n2=(1,1,-1)，cosφ=|n1·n2|/(|n1|·|n2|)=|1×1+(-1)×1+1×(-1)|/(√3×√3)=-1/3，所以sinφ=√(1-(-1/3)^2)=√6/38.B解析：與直線l平行的直線方向向量為(1,0,1)，所以直線方程為x-1=y-2=z-39.A解析：同第5題，cosθ=1/3，所以sinθ=√(1-(1/3)^2)=2√2/310.C解析：點A到平面π的距離d=|2×1-1×2+1×3-1|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=√311.A解析：向量AB=(1,1,-1)，向量AC=(2,-1,1)，向量AB·向量AC=1×2+1×(-1)+(-1)×1=0，所以兩直線平行12.A解析：與平面垂直的平面法向量為(1,-1,1)，過點P(1,2,3)的平面方程為(x-1)-(y-2)+(z-3)=0，即x-y+z=1二、填空題答案及解析13.(0,1,1)解析：設(shè)投影點為P(x,y,z)，則向量AP與平面垂直，即(1-x,2-y,3-z)·(1,-1,1)=0，解得x=0，y=1，z=114.(1,2,1)解析：將直線l的參數(shù)方程代入平面α的方程，得1+2+1=1，解得t=-1，所以交點坐標為(1,2,2)15.2/3解析：同第5題，cosθ=1/316.x-y+z=2解析：過點P(1,2,3)且與直線l垂直的平面法向量為(0,1,1)，平面方程為y-2+z-3=0，即y+z=5三、解答題答案及解析17.解：(1)向量AB=(1,1,1)，向量AC=(2,2,2)，向量AB·向量AC=1×2+1×2+1×2=6，|AB|=√3，|AC|=√3，cosθ=6/(√3×√3)=1，所以夾角余弦值為1(2)過點A(1,2,3)且與向量AB、向量AC都垂直的平面法向量為向量AB×向量AC=(0,0,0)，所以平面方程為0=0，即平面為整個空間18.解：(1)向量AB=(1,1,1)，向量AC=(-2,-1,-1)，向量AB·向量AC=-2-1-1=-4，|AB|=√3，|AC|=√6，cosθ=-4/(√3×√6)=-2/3，θ=arccos(-2/3)(2)兩直線方向向量不平行，且向量AB×向量AC=(0,0,0)，所以兩直線異面19.解：(1)向量n1=(1,-1,1)，向量n2=(2,-1,1)，cosθ=|n1·n2|/(|n1|·|n2|)=1/3，θ=arccos(1/3)(2)與平面垂直的直線方向向量為向量n1×向量n2=(0,0,0)，所以直線為整個空間20.解：(1)向量AP=(0,-1,-3)，向量u=(0,1,1)，向量AP×向量u=(1,0,0)，|向量AP×向量u|=1，|u|=√2，所以d=1/√2=√2(2)過點A(1,2,3)且與直線l垂直的平面法向量為(0,1,1)，平面方程為y-2+z-3=0，即y+z=521.解：同第15題，sinθ=√(1-(1/3)^2)=2√2/322.解：(1)點A到平面π的距離d=|1-2+3-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)