第3講力的合成與分解情境導思我們直接用雙手把一段圓木掰成兩半不容易,但若我們使用斧子,就很容易將圓木向兩邊劈開(如圖)。仔細觀察你會發(fā)現(xiàn),斧子的橫截面就像是兩個背靠背黏合在一起的斜面。斧子這種獨特的形狀能夠將一個較小的力分解成兩個較大的分力。想一想,這是什么原因呢?1.(2025·云南昆明期中)(多選)關于力的合成和分解,下列說法正確的是()[A]兩個力的合力,可能比這兩個分力都小[B]已知合力及一個分力的大小和方向,求另一個分力有唯一解[C]兩個分力大小一定,夾角越大,合力越小[D]把一個力分解為兩個分力,兩個分力不能同時大于這個力的2倍【答案】ABC2.(2024·黑龍江鶴崗期末)(多選)如圖所示,把光滑斜面上物體的重力mg分解為F1、F2兩個力,則()[A]F1是斜面作用在物體上使物體下滑的力,F2是物體對斜面的壓力[B]物體受到mg、FN、F1、F2四個力作用[C]物體受到的合力為mgsinθ,方向沿斜面向下[D]FN、F1、F2三個力的作用效果和mg與FN兩個力的作用效果相同【答案】CD【答案】同一點一點相同合力分力等效替代合力有向合力有向線段分力逆運算平行四邊形垂直方向平行四邊形方向算術考點一共點力的合成(1)互成角度的兩個力,其中一個力增大后,合力一定增大嗎?請作圖說明。(2)有三個共點力F1=8N,F2=7N,F3=16N,這三個力合力的最大值和最小值分別是多少?若F3=10N呢?提示:(1)不一定。如圖,F2增大后,合力F可能減小,可能不變,還可能增大。(2)31N1N25N01.共點力合成的方法(1)作圖法。(2)計算法。①圖甲中,F1與F2垂直,F=F1②圖乙中,F1與F2大小相等,夾角為θ,F=2F1cosθ2③圖丙中,F1與F2大小相等,夾角為120°,F=F1=F2。2.合力大小的范圍(1)兩個共點力的合成。①當兩個力方向相同時,合力最大,Fmax=F1+F2。②當兩個力方向相反時,合力最小,Fmin=|F1-F2|。③合力大小的變化范圍為|F1-F2|≤F≤F1+F2。(2)三個共點力的合成。①最大值:當三個分力同方向時,合力最大,即Fmax=F1+F2+F3。②最小值:如果一個力的大小處于另外兩個力的合力大小范圍內,則其合力的最小值為零,即Fmin=0;如果不處于,則合力的最小值等于最大的一個力減去另外兩個力的大小之和,即Fmin=F1-(F2+F3)(F1為三個力中最大的力)。3.多個共點力的合成方法依據(jù)平行四邊形定則先求出任意兩個力的合力,再求這個合力與第三個力的合力,依次類推,求完為止。[例1]【兩個力的合成及合力的范圍】(多選)兩個力F1和F2之間的夾角為θ,其合力為F。下列說法正確的是()[A]合力F總比分力F1和F2中的任何一個力都大[B]若F1和F2大小不變,θ角減小,合力F一定增大[C]若夾角θ不變,F1大小不變,F2增大,合力F可能減小[D]若F1和F2大小不變,合力F與θ的關系圖像如圖所示,則任意改變這兩個分力的夾角,能得到的合力大小的變化范圍是2N≤F≤10N【答案】BC【解析】合力F的取值范圍是|F1-F2|≤F≤F1+F2,所以合力F不一定總比分力F1和F2中的任何一個力都大,故A錯誤;根據(jù)余弦定理可得合力大小為F=F12+F22+2F1F2cosθ,θ角減小,則合力F一定增大,故B正確;若夾角θ為鈍角,θ不變,F1大小不變,F2增大,有可能有如圖所示的情況,則F合′<F合,故C正確;由題圖得,當θ=180°時,合力為2N,即|F1-F2|=2N,當θ=90°時,合力為10N,即F12+F22=10N,解得F1=6N,F2=8N或F1=8N,[例2]【作圖法求合力】如圖所示,某物體同時受到共面的三個共點力作用,坐標紙小方格邊長的長度對應1N大小的力。甲、乙、丙、丁四種情況中,關于三個共點力的合力大小,下列說法正確的是()[A]圖甲中最小 [B]圖乙中為8N[C]圖丙中為5N [D]圖丁中為1N【答案】D【解析】由題圖可知,F甲=2N,方向豎直向上;F乙=45N,方向斜向右下;F丙=25N,方向斜向左上;F丁=1N,方向豎直向上。則題圖丁的合力最小,為1N,故選D。[變式]利用作圖法求出下面兩種情況下物體所受的合力大小?！敬鸢浮?N0【解析】題圖1中,由力的三角形定則可知,F2與F3的合力剛好為F1,所以合力大小為F=2F1=6N;題圖2中,由力的三角形定則可知,首尾順次相連的力合力為0。[例3]【共點力的合成】(2024·山西大同階段檢測)如圖所示,一個“Y”形彈弓頂部跨度為L,兩根相同的橡皮條自由長度均為L,在兩橡皮條的末端用一塊軟羊皮(長度不計)做成裹片。若橡皮條的彈力與形變量的關系滿足胡克定律,且勁度系數(shù)為k,發(fā)射彈丸時每根橡皮條的最大長度為1.5L(彈性限度內),則發(fā)射過程中裹片對彈丸的最大作用力為()[A]223kL [B][C]kL [D]2kL【答案】A【解析】根據(jù)胡克定律可知,每根橡皮條的最大彈力為F=k(1.5L-L)=0.5kL,設此時兩根橡皮條與合力的夾角均為θ,根據(jù)幾何關系知sinθ=0.5L1.5L=13,則cosθ=1-sin2θ=223,根據(jù)平行四邊形定則知,彈丸被發(fā)射過程中所受的最大彈力為F考點二力的分解1.力的分解常用的方法項目正交分解法效果分解法分解方法將一個力沿著兩個互相垂直的方向進行分解根據(jù)一個力產生的實際效果進行分解實例分析x軸方向上的分力Fx=Fcosθ,y軸方向上的分力Fy=FsinθF1=GcosF2=Gtanθ力的分解方法選取原則一般來說,當物體受到三個或三個以下的力時,常按效果分解法進行分解,若這三個力中,有兩個力互相垂直,優(yōu)先選用正交分解法。當物體受到三個以上的力時,常用正交分解法2.一個已知力分解時有無解的討論已知合力F和兩個分力F1、F2的方向,求兩個分力的大小,有唯一解已知合力F和一個分力(大小、方向)求另一個分力(大小、方向),有唯一解已知合力F和兩分力F1、F2(F1>F2)的大小,求兩分力的方向F>F1+F2,無解F=F1+F2,有唯一解,F1和F2與F同向F=F1-F2,有唯一解,F1與F同向,F2與F反向F1-F2<F<F1+F2,有無數(shù)組解(若限定在某一平面內,有兩組解)已知合力F和F1的方向、F2的大小(F1與合力的夾角為θ)F2<Fsinθ,無解F2=Fsinθ,有唯一解Fsinθ<F2<F,有兩組解F2≥F,有唯一解[例4]【力的正交分解法】(2023·廣東卷,2)如圖所示,可視為質點的機器人通過磁鐵吸附在船舷外壁面檢測船體。壁面可視為斜面,與豎直方向夾角為θ。船和機器人保持靜止時,機器人僅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用,磁力垂直壁面。下列關系式正確的是()[A]Ff=G [B]F=FN[C]Ff=Gcosθ [D]F=Gsinθ【答案】C【解析】如圖所示,將重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解,根據(jù)平衡條件可知,沿斜面方向有Ff=Gcosθ,垂直于斜面方向有F=Gsinθ+FN,故C正確。[例5]【力的效果分解法】(2024·重慶渝中模擬)豎直墻上M為一固定圓環(huán),同一高度的N為一鐵釘,M、N之間連著細鐵絲,俯視如圖所示,選項A中,有一力F沿圖中水平方向拉著鐵釘,B、C、D選項中用同一大小的力F在鐵絲中點沿圖中方向拉鐵絲。四種情況下,鐵釘受到拉力最大的是()[A][B][C][D]【答案】B【解析】選項A中,鐵釘受到拉力FA=F;選項B中,對鐵絲中點的力F的分解示意圖如圖所示,根據(jù)幾何關系有sinαF=sinθFB,解得鐵釘受到的拉力FN=FB=sinθsinαF,可知θ=90°時,FN>F;又根據(jù)選項B、C、D中α角不變,力F不變,θ角減小,可知鐵釘受到的拉力也逐漸減小[例6]【力的分解的多解問題】(多選)已知力F,且它的一個分力F1與F成30°角,大小未知,另一個分力F2的大小為33F,方向未知,則F1的大小可能是([A]3F3 [B][C]23F3 [D]【答案】AC【解析】根據(jù)題意,作出矢量三角形,如圖,通過幾何關系得,F1=33F或F1′=233F,故A、C正確,B[變式]若已知力F,且它的一個分力F1與F成30°角,F1大小未知,當另一個分力F2取最小值時,分力F1大小為多少?【答案】32【解析】根據(jù)三角形定則知,當另一個分力F2與F1垂直時,F2最小,則F1=Fcos30°=32F考點三“活結—死結”模型與“動桿—定桿”模型1.“活結—死結”模型模型結構模型解讀模型特點“活結”把繩子分為兩段,且可沿繩移動,“活結”一般由繩跨過滑輪或繩上掛一光滑掛鉤而形成,繩子因“活結”而彎曲,但實際為同一根繩“活結”兩側的繩子上的張力大小處處相等“死結”把繩子分為兩段,且不可沿繩子移動,“死結”兩側的繩因結而變成兩根獨立的繩“死結”兩側的繩子上的張力不一定相等2.“定桿—動桿”模型模型結構模型解讀模型特點輕桿被固定,不發(fā)生轉動桿受到的彈力方向不一定沿桿輕桿用光滑的轉軸或鉸鏈連接桿平衡時,桿所受到的彈力方向一定沿著桿,否則桿會轉動[例7]【“活結—死結”模型】如圖,懸掛物體甲的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處;繩的一端固定在墻上,另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連,甲、乙兩物體質量相等。系統(tǒng)平衡時,O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β。若α=70°,則β等于()[A]45° [B]55° [C]60° [D]70°【答案】B【解析】物體甲是拴牢在O點的,且甲、乙兩物體的質量相等,則繩OB、OC的拉力大小相等,O點處于平衡狀態(tài),則繩OA拉力的方向在繩OB、OC的角平分線上,如圖所示,根據(jù)幾何關系有180°=2β+α,解得β=55°。[變式]若甲、乙兩物體的質量均為m=2kg,重力加速度g取10m/s2,取sin55°=0.82,sin70°=0.94。繩OA的拉力約為多大?【答案】23N【解析】如圖所示,由正弦定理得FTOC又FTOC=mg=20N,解得FTOA=F合≈23N。[例8]【“定桿—動桿”模型】如圖甲所示,輕桿OB可繞B點自由轉動,另一端O點用細繩拉住,固定在左側墻壁上,質量為m的重物用細繩OC懸掛在輕桿的O點,OA與輕桿的夾角∠BOA=30°。圖乙中水平輕桿OB一端固定在豎直墻壁上,另一端O裝有小滑輪,用一根繩跨過滑輪后懸掛一質量為m的重物,圖中∠BOA=30°,則:(1)甲、乙兩圖中細繩OA的拉力各是多大?(2)圖甲中輕桿受到的彈力是多大?(3)圖乙中輕桿對滑輪的作用力是多大?【答案】(1)2mgmg(2)3mg(3)mg【解析】(1)題圖甲中,以O點為研究對象,受力分析如圖甲所示,根據(jù)平衡條件得FT1=mgsin30°=2FN1=mgtan30°=3題圖乙中,對O點分析,如圖乙所示,根據(jù)受力平衡有FT1′=FT2′=mg。(2)由牛頓第三定律,圖甲中OB桿受到的彈力大小F彈=FN1=3mg。(3)根據(jù)題意可得,滑輪受到繩子的作用力應為圖乙中兩段繩中拉力FT1′和FT2′的合力F2,因FT1′=FT2′=mg,且拉力FT1′和FT2′的夾角為120°,由幾何知識得F2=mg,圖乙中,由于平衡,則輕桿對滑輪的作用力和輕繩對滑輪的作用力大小相等,方向相反,即FN2=F2=mg。[變式]在[例8]甲、乙兩圖中輕桿受到的彈力方向是否沿桿的方向?【答案】題圖甲中,輕桿受到的彈力方向沿桿的方向;題圖乙中,輕桿受到的彈力方向沿兩段繩子夾角的平分線方向,不沿桿的方向。(滿分:60分)對點1.共點力的合成1.(6分)(2024·安徽蕪湖模擬)(多選)物體靜止于水平桌面上,兩者之間的最大靜摩擦力為5N,現(xiàn)將水平面內的三個力同時作用于物體的同一點,三個力的大小分別為2N、2N、3N。下列關于物體的受力情況和運動情況判斷正確的是()[A]物體所受靜摩擦力可能為2N[B]物體所受靜摩擦力可能為4N[C]物體可能仍保持靜止[D]物體一定被拉動【答案】ABC【解析】2N、2N、3N三個力可構成閉合三角形,則三個力的合力范圍為0～7N,由于最大靜摩擦力為5N,因此可判定選項A、B、C正確,D錯誤。2.(4分)如圖所示,AB是半圓的直徑,O為圓心,P點是圓上的一點,在P點作用了三個共點力F1、F2、F3。若F2的大小已知,則這三個力的合力為()[A]F2 [B]2F2 [C]3F2 [D]4F2【答案】C【解析】根據(jù)平行四邊形定則,先將F1、F3合成,如圖所示,可知合力恰好沿直徑PO方向,方向與力F2方向相同,大小可以用半徑長度表示,即三個力的合力大小為3F2。3.(4分)(2024·河南鄭州開學考試)如圖所示,輕繩OA、OB和OP將一只動物花燈懸掛在P點,花燈保持靜止。已知繩OA和OB的夾角為106°,對O點拉力的大小皆為F,取sin53°=0.8,cos53°=0.6,輕繩OP對O點拉力的大小為()[A]F [B]53F [C]65F [D]【答案】C【解析】根據(jù)矢量合成可知,輕繩OP對O點拉力的大小為F拉=2Fcos106°2=65F,對點2.力的分解4.(4分)(2024·山東濰坊開學考試)生活中經常用刀來劈開物體,如圖是刀刃的橫截面,F是作用在刀背上的力,若刀刃的橫截面是等腰三角形,刀刃兩側面的夾角為θ,則刀劈物體時對物體側向推力FN的大小為()[A]FN=Fsinθ [B]FN[C]FN=F2sinθ2 [D]【答案】C【解析】將力F分解為垂直于劈面的兩個分力,大小均為FN,由平行四邊形定則可得F=2FNsinθ2,解得FN=F5.(4分)(2024·重慶沙坪壩階段檢測)如圖所示,小物塊靜止在光滑水平冰面上,要使小物塊沿OO′方向運動,在施加水平向左的拉力F1的同時還需要再施加一個力F2,F2的最小值為()[A]F2=F1sinθ [B]F2=F1cosθ[C]F2=F1tanθ [D]F2=F【答案】A【解析】已知F1的方向,要使小物塊沿OO′方向運動,即F1和F2的合力沿OO′方向,根據(jù)力的三角形定則,可知F2的最小值為F2=F1sinθ。6.(10分)如圖,傾角為15°的斜面上放著一個木箱,用100N的拉力F斜向上拉著木箱,F與水平方向成45°角。分別以平行于斜面和垂直于斜面的方向為x軸和y軸建立平面直角坐標系,把F分解為沿著兩個坐標軸的分力。試在圖中作出分力Fx和Fy,并計算它們的大小?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥繉分解在x軸方向和y軸方向,如圖,根據(jù)平行四邊形定則,x軸方向上的分力Fx=Fcos(45°-15°)=Fcos30°=503N,y軸方向上的分力Fy=Fsin(45°-15°)=Fsin30°=50N。對點3.“活結—死結”模型與“動桿—定桿”模型7.(4分)(2024·陜西安康模擬)四個小朋友玩“東西南北跑比賽”,他們被圍在一個彈力圈中,從中心向外沿各自的方向移動,去拿外圍的游戲道具,誰先拿到誰就能贏得比賽。某時刻四個小朋友處于如圖所示的僵持狀態(tài),則此時受到彈力圈的彈力最小的是()[A]1號小朋友 [B]2號小朋友[C]3號小朋友 [D]4號小朋友【答案】C【解析】彈力圈上的力可近似為大小處處相等,彈力圈對3號小朋友的張角最大,根據(jù)平行四邊形定則可知合力最小。8.(4分)一質量為m的小球通過短輕繩懸掛在光滑鉸鏈上,光滑鉸鏈(不計質量)與輕桿連接,輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O′連接,如圖所示。已知兩輕桿與水平地面和豎直墻壁的夾角都為30°,重力加速度為g,則下面輕桿和上面輕桿受到鉸鏈的作用力大小分別為()[A]3mg,mg [B]mg,3mg[C]32mg,mg [D]mg,3【答案】B【解析】由題意可知,兩輕桿為兩個“動桿”,而“動桿”上彈力方向沿輕桿。對鉸鏈進行受力分析,鉸鏈所受輕繩拉力大小為mg,方向豎直向下,下面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向下,設為F1,上面輕桿對鉸鏈的彈力方向沿輕桿斜向上,設為F2,如圖所示。在力的矢量三角形中,由正弦定理有F1sin30°=mgsin30°=F2sin120°,解得F1=mg,F9.(6分)(多選)如圖所示為一側耳朵佩戴口罩的示意圖,一側的口罩帶是由直線AB、弧線BCD和直線DE組成的。假若口罩帶可