第4講小專題:“動(dòng)態(tài)圓”法解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題考點(diǎn)一“平移圓”模型概述粒子源發(fā)射速度大小、方向一定、入射點(diǎn)不同但在同一直線上的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí),它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,其軌跡圓的圓心必處于垂直于入射方向的同一直線上,如圖所示應(yīng)用在實(shí)際問題中,可以通過移動(dòng)軌跡圓的方法探究臨界情形[例1]如圖所示為邊長為L的正方形有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域ABCD,帶電粒子從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場,恰好從C點(diǎn)飛出磁場;若帶電粒子以相同的速度從AD的中點(diǎn)P垂直于AD射入磁場,從DC邊的M點(diǎn)飛出磁場(M點(diǎn)未畫出)。設(shè)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為t1,由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間為t2(帶電粒子所受重力不計(jì)),則t1∶t2為()[A]2∶1 [B]4∶3[C]3∶2 [D]3∶2【答案】C【解析】由題意知,帶電粒子從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場時(shí)的軌跡圓心處于D點(diǎn),即粒子運(yùn)動(dòng)半徑r=L,軌跡對應(yīng)的圓心角為θ=90°;當(dāng)粒子從P點(diǎn)入射時(shí),根據(jù)平移圓模型,其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中Ⅱ所示,根據(jù)幾何關(guān)系得cosθ′=r-L2r=12,即θ′=60°,由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=θ360°T,所以t1∶t2=θ∶θ′考點(diǎn)二“旋轉(zhuǎn)圓”模型概述在磁場中的同一點(diǎn),速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子,在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,對不同運(yùn)動(dòng)方向的粒子,其軌跡圓的圓心處于同一圓周上,如圖所示應(yīng)用在實(shí)際問題中,可通過旋轉(zhuǎn)軌跡圓的方法來探究軌跡與磁場邊界相切的情形,進(jìn)而明確臨界點(diǎn)的位置[例2](2024·安徽蕪湖階段練習(xí))如圖所示,水平直線邊界PQ的上方空間內(nèi)有方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場,長為2d、與PQ平行的擋板MN到PQ的距離為d,邊界PQ上的S點(diǎn)處有一電子源,可在紙面內(nèi)向PQ上方各方向均勻地發(fā)射電子。已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e,速度大小均為eBdm,N、S的連線與PQ垂直,不計(jì)電子之間的作用力,則擋板MN的上表面沒有被電子擊中部分的長度為([A]d [B]3d-d[C](2-3)d [D](3-3)d【答案】D【解析】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)洛倫茲力提供向心力有evB=mv2r,可得r=mveB=d,作出粒子從不同方向射出的軌跡,如圖所示,則擋板MN的上表面被電子擊中部分為CD,根據(jù)幾何關(guān)系可得DN=(2d)2-d2=3d,CN=d,故沒有被電子擊中部分的長度為s=2d-(3d-d)考點(diǎn)三“放縮圓”模型概述在磁場中的同一點(diǎn),沿同一方向運(yùn)動(dòng)的不同速率的帶電粒子,入射方向確定,其軌跡圓心落在過入射點(diǎn)垂直于入射方向的射線上,如圖所示應(yīng)用實(shí)際問題中,可結(jié)合半徑可能的變化對軌跡圓進(jìn)行放大或縮小,從而尋找軌跡圓周與磁場邊界相切的情形,由此可以發(fā)現(xiàn)臨界點(diǎn)[例3](2024·廣西玉林二模)(多選)如圖所示,邊長為L的等邊三角形ABC內(nèi)有垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0的勻強(qiáng)磁場,D是AB邊的中點(diǎn),一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從D點(diǎn)以速度v平行于BC邊方向射入磁場,不計(jì)粒子重力,下列說法正確的是()[A]粒子可能從B點(diǎn)射出[B]若粒子從C點(diǎn)射出,則粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為32[C]若粒子從C點(diǎn)射出,則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為π[D]若粒子從AB邊射出,則粒子的速度越大,其在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短【答案】BC【解析】帶負(fù)電的粒子從D點(diǎn)以速度v平行于BC邊射入磁場,由左手定則可知,粒子向下偏轉(zhuǎn),由于BC邊的限制,粒子不能到達(dá)B點(diǎn),故A錯(cuò)誤;粒子從C點(diǎn)射出的軌跡如圖甲所示,根據(jù)幾何關(guān)系可得R2=(R-L2sin60°)2+(L-L2cos60°)2,解得R=32L,則粒子軌跡對應(yīng)圓心角的正弦值為sin∠O=L-12Lcos60°R=32,則∠O=60°πm3qB0,故B、C正確;由qvB0=mv2若粒子從AB邊射出,則粒子的速度越大,軌跡半徑越大,如圖乙所示,但軌跡對應(yīng)的圓心角相同,根據(jù)T=2πmqB,可知粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期相等,則其在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同,(滿分:60分)對點(diǎn)1.“平移圓”模型1.(4分)如圖所示,在xOy平面的Ⅰ、Ⅳ象限內(nèi)有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域,線狀粒子源從y軸左側(cè)平行于x軸正方向不斷射出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度大小為v0的帶正電粒子。磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為mv02qR,方向垂直于xOy平面向里。不考慮粒子間的相互作用,不計(jì)粒子受到的重力。所有從不同位置進(jìn)入磁場的粒子中,[A]πR6v0[C]πR3v0【答案】C【解析】粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有qv0B=mv02r,解得r=2R,如圖所示,當(dāng)粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的圓心角最大時(shí),粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長,由于sinα=FEr,要使圓心角α最大,則FE最長,經(jīng)分析可知,當(dāng)粒子從y軸上的D′點(diǎn)射入,從x軸上的E′點(diǎn)射出磁場時(shí),粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長,有sinαm=OE'r,解得αm=π6,最長時(shí)間為tm=π62π·22.(6分)(2025·河南開封期末)(多選)如圖所示,在平面等腰直角三角形ACO區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。大量帶正電的粒子先后以速度v0垂直O(jiān)C邊從不同位置射入磁場,有些粒子能在邊界AO上相遇。已知OC>3mv0qB。粒子質(zhì)量為m,電荷量為q,不計(jì)粒子重力,[A]磁場方向垂直于紙面向外[B]磁場方向垂直于紙面向里[C]相遇粒子的入射時(shí)間差的最大值為π[D]相遇且入射時(shí)間差最大的兩粒子入射點(diǎn)之間的距離為(【答案】BC【解析】由題知,有些粒子能在邊界AO上相遇,說明帶正電的粒子向AO偏轉(zhuǎn),根據(jù)左手定則知,磁場方向垂直于紙面向里,A錯(cuò)誤,B正確;如圖所示,設(shè)粒子在P點(diǎn)相遇,做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,當(dāng)粒子軌跡在AO處相切時(shí)間差有最大值,此時(shí)兩軌跡對應(yīng)的圓心角分別為θ=45°和α=135°,設(shè)θ=45°時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1,α=135°時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2,則時(shí)間差最大值為Δtm=t2-t1=(135°360°-45°360°)2πmqB=πm2qB,C正確;由幾何關(guān)系知,r=OP,則相遇且入射時(shí)間差最大的兩粒子入射點(diǎn)之間的距離為Δx=OD-OE=OO′+O′對點(diǎn)2.“旋轉(zhuǎn)圓”模型3.(4分)如圖所示,在x軸的上方(y≥0)存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(未畫出),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。在原點(diǎn)O有一個(gè)離子源向x軸上方的各個(gè)方向發(fā)射出質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子,速率都為v。對那些在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的離子,在磁場中可能到達(dá)的位置中與x軸及y軸最遠(yuǎn)距離分別為()[A]2mvqB2mvqB [B[C]2mvqBmvqB [D]【答案】A【解析】若讓沿x軸正方向射出的離子的軌跡圓繞O點(diǎn)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖所示),可以得出離y軸最遠(yuǎn)為|x|=2r=2mvqB,離x軸最遠(yuǎn)為y=2r=2mvqB4.(6分)(2024·重慶渝中階段練習(xí))(多選)如圖所示,在等腰直角三角形abc區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場,O為ab邊的中點(diǎn),在O處有一粒子源沿紙面內(nèi)不同方向、以相同的速率v=qBLm不斷向磁場中釋放相同的帶正電粒子,已知粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,直角邊ab長為22L,不計(jì)重力和粒子間的相互作用力。則([A]從ac邊射出的粒子中在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為π[B]從ac邊射出的粒子中在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為π[C]粒子能從bc邊射出的區(qū)域長度為L[D]粒子能從bc邊射出的區(qū)域長度為2L【答案】BD【解析】粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)洛倫茲力提供向心力有Bqv=mv2r,解得r=L;如圖,過O點(diǎn)作ac的垂線Od,則Od=Oacos45°=L,此時(shí)對應(yīng)軌跡的弦長最短,運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短,由幾何關(guān)系知軌跡對應(yīng)的圓心角為60°,則最短時(shí)間為t=60°360°T,又T=2πrv,則t=πm3qB,故A錯(cuò)誤,B正確;粒子軌跡與ac相切時(shí),交bc邊最遠(yuǎn)的e點(diǎn),由幾何關(guān)系可知,Oe長度為直徑,則粒子能從bc邊射出的區(qū)域長度為eb=Oecos對點(diǎn)3.“放縮圓”模型5.(4分)如圖所示,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向垂直于紙面向里,圖中虛線為磁場的邊界,其中bc段是半徑為R的四分之一圓弧,ab、cd的延長線通過圓弧的圓心,Ob長為R。一束質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子,在紙面內(nèi)以不同的速率從O點(diǎn)垂直ab射入磁場,已知所有粒子均從圓弧邊界射出,其中M、N是圓弧邊界上的兩點(diǎn),不計(jì)粒子間的相互作用和重力。下列分析正確的是()[A]粒子帶負(fù)電[B]從M點(diǎn)射出粒子的速率一定大于從N點(diǎn)射出粒子的速率[C]從M點(diǎn)射出的粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定小于從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間[D]所有粒子所用最短時(shí)間為2【答案】D【解析】粒子做逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)左手定則可知,粒子帶正電,A錯(cuò)誤。根據(jù)qvB=mv2r得v=qBrm,從M點(diǎn)射出粒子的圓周半徑更小,則速度更小,B錯(cuò)誤。由t=θ2πT=θ2π·2πmqB可知,粒子周期不變,圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角越大,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長,由幾何關(guān)系可知,弦切角等于圓心角的一半,弦切角越小,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短,如圖所示。當(dāng)弦與bc圓弧邊界相切時(shí),弦切角最小,Ob等于R,由幾何關(guān)系,此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為120°,M、N兩點(diǎn)具體位置未知,則無法判斷從M點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間和從N點(diǎn)射出粒子所用時(shí)間的大小關(guān)系,C錯(cuò)誤,D正確。6.(14分)如圖所示,正方形區(qū)域abcd內(nèi)(含邊界)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,ab=l,Oa=0.4l,大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ab邊成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁場,不計(jì)粒子所受重力和粒子間的相互作用,已知帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,取sin37°=0.6,cos37°=0.8。(1)求帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間;(2)若帶電粒子從ad邊離開磁場,求v0的取值范圍?！敬鸢浮?1)143πm90qB(2)qBl4【解析】(1)由r=mvqB可知,速度較小的粒子能夠從ab邊離開磁場,此部分粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長,如圖甲所示,由qv0B=mv02r、T=2πrv0得T=2π則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間t=360°-74°(2)由于粒子速度越大,其軌道半徑越大,但圓心處于同一直線上,當(dāng)軌跡與ad邊相切后直至與cd邊相切的粒子會(huì)從ad邊射出磁場,如圖乙中軌跡Ⅰ、Ⅱ所示,設(shè)其初速度分別為v01、v02,軌道半徑分別為R1、R2,由幾何關(guān)系分別有R1+R1sin37°=0.4l,R2+R2cos37°=l,根據(jù)qvB=mv2r,解得v01=qBl4m,v即qBl4m<v0≤7.(4分)(2024·甘肅蘭州模擬)如圖所示,平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.2T,原點(diǎn)O處有一粒子源,能向紙面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射比荷為4×108C/kg的正粒子,粒子初速度v0=8×106m/s,不計(jì)粒子所受重力,有一與x軸成45°角傾斜放置的足夠長擋板跨越第一、三、四象限,P是擋板與x軸交點(diǎn),OP=162cm,則擋板上被粒子打中的區(qū)域長度為()[A]24cm [B]16cm[C]20cm [D]32cm【答案】C【解析】粒子源到擋板的距離h=162sin45°cm=16cm,粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由qv0B=mv02r,解得其軌道半徑r=mv0qB=10cm<h=16cm,即所有粒子的軌跡圓的圓心均處于r=10cm的圓周上,打在擋板上的動(dòng)態(tài)軌跡邊界如圖所示,其中打在最下方A點(diǎn)的粒子距離粒子源為2r,則有xAC=(2r)2-h2=12cm,打在最上方D點(diǎn)的粒子有xCD=r2-(h-r)28.(18分)(2025·云南高考適應(yīng)性考試)某小組基于“試探電荷”的思想,設(shè)計(jì)了一個(gè)探測磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場強(qiáng)度的裝置,其模型如圖所示。該裝置由粒子加速器、選擇開關(guān)和場測量模塊(圖中長方體區(qū)域)組成。MNPQ為場測量模塊的中截面。以PQ中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),QP方向?yàn)閤軸正方向,在MNPQ平面上建立Oxy平面直角坐標(biāo)系。帶電粒子經(jīng)粒子加速器加速后可從O點(diǎn)沿y軸正方向射入。選擇開關(guān)撥到S1擋可在模塊內(nèi)開啟垂直于Oxy平面的待測勻強(qiáng)磁場,長為2d的PQ區(qū)間標(biāo)有刻度線用于表征磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向;撥到S2擋可在模塊內(nèi)開啟平行于x軸的待測勻強(qiáng)電場,長為l的NP和QM區(qū)間(l>d2)標(biāo)有刻度線用于表征電場強(qiáng)度的大小和方向。帶電粒子以速度v入射,其質(zhì)量為m、電荷量為+q,(1)開關(guān)撥到S1擋時(shí),在PO區(qū)間(x0,0)處探測到帶電粒子,求磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小;(2)開關(guān)撥到S2擋時(shí),在(d,y0)處探測到帶電粒子,求電場強(qiáng)度的方向和大小;(3)求該裝置PO區(qū)間和NP區(qū)間的探測量程。若粒子加速器的電壓為U,要進(jìn)一步擴(kuò)大量程,U應(yīng)增大還是減小?請簡要說明?！敬鸢浮?1)2mvq(2)2dmv2qy0【解析】(1)帶正電的粒子向右偏轉(zhuǎn),受洛倫茲力方向向右,由左手定則可知,磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向外。由幾何關(guān)系,可知粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r0與x0的關(guān)系為2r0=x0,根據(jù)牛頓第二定律有qvB=mv2r0,解得(2)由帶正電粒子向右偏轉(zhuǎn),可知電場力水平向右,故電場方向水平向右。粒子射入電場中做類平拋運(yùn)動(dòng),由水平方向、豎直方向位移公式有d=12at2,y0=vt,由牛頓第二定律可得Eq=ma,聯(lián)立解得E=2(3)①若測量磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向:設(shè)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,由牛頓第二定律有qvB=