【課標(biāo)要求】1.通過史實(shí),了解萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程。知道萬有引力定律。認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的重要意義。認(rèn)識(shí)科學(xué)定律對(duì)人類探索未知世界的作用。2.會(huì)計(jì)算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。【考情分析】萬有引力定律及其應(yīng)用2024·新課標(biāo)卷·T16、2024·山東卷·T5、2024·湖南卷·T7、2023山東卷·T3、2023·新課標(biāo)卷·T17人造衛(wèi)星宇宙速度2024·福建卷·T5、2024·河北卷·T8、2023·廣東卷·T7、2023·江蘇卷·T4、2023·湖南卷·T4第1講行星的運(yùn)動(dòng)萬有引力與相對(duì)論中國科技網(wǎng)2024年9月26日消息顯示,天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)地球即將迎來一個(gè)新的“迷你月亮”。這顆新發(fā)現(xiàn)的小行星被命名為2024PT5,直徑可能在5至42米之間,它將于9月29日至11月25日期間,在距地球約420萬千米遠(yuǎn)的地方繞地球運(yùn)行。之后它將返回日心軌道。請(qǐng)思考:(1)不同的小行星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道以及速度周期等有何特點(diǎn)?(2)萬有引力定律的內(nèi)容、公式及適用條件是什么?(3)地球表面不同緯度的物體所受萬有引力和重力有何關(guān)系?用什么方法可以計(jì)算出地球質(zhì)量?1.(2025·內(nèi)蒙古高考適應(yīng)性考試)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文臺(tái)首次發(fā)現(xiàn),其繞太陽運(yùn)行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為()[A]1.5×103[B]1.5×104[C]1.5×106[D]1.5×107【答案】A2.利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù),不能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()[A]地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))[B]月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及月球與地球間的距離[C]地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及地球與太陽間的距離[D]人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度及周期【答案】C【答案】橢圓焦點(diǎn)面積半長軸公轉(zhuǎn)周期正比反比Gm1m2r26.67×l01-考點(diǎn)一開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律(1)已知同一行星在軌道的兩個(gè)位置的速度:近日點(diǎn)速度大小為v1,遠(yuǎn)日點(diǎn)速度大小為v2,近日點(diǎn)與太陽距離為r1,遠(yuǎn)日點(diǎn)與太陽距離為r2。試推導(dǎo)v1、v2與r1、r2間有什么關(guān)系。提示:由開普勒第二定律可得12Δl1r1=12Δl2r12v1Δt·r1=12v2Δt·r解得v1v2(2)把行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng),試推導(dǎo)開普勒第三定律a3T2=k提示:由萬有引力提供向心力有Gm中m行r2=m行4π2T2r,解得對(duì)開普勒定律的三點(diǎn)理解(1)開普勒定律除了適用于行星繞太陽的運(yùn)動(dòng),同樣適用于月球(人造衛(wèi)星)繞地球的運(yùn)動(dòng)等天體系統(tǒng)。(2)v1v2=r2r1(3)開普勒第三定律a3T2=k中,k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體k[例1]【對(duì)開普勒定律的理解】(2024·廣東一模)如圖所示為太陽系主要天體的分布示意圖,下列關(guān)于太陽系行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述正確的是()[A]所有行星均以太陽為中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)[B]地球與太陽的連線、火星與太陽的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等[C]所有行星運(yùn)行軌道半長軸的二次方與其公轉(zhuǎn)周期的三次方之比都相等[D]地球和火星圍繞太陽運(yùn)行的軌道都是橢圓,且這兩個(gè)橢圓必定有公共的焦點(diǎn)【答案】D【解析】八大行星均在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng),太陽處于橢圓其中一個(gè)焦點(diǎn)上,故A錯(cuò)誤;同一行星與太陽的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等,故B錯(cuò)誤;開普勒第三定律的內(nèi)容為a3T2=k(k為常量),故C錯(cuò)誤;D項(xiàng)表達(dá)了開普勒第一定律(軌道定律)的內(nèi)容,[例2]【開普勒定律的應(yīng)用】(2025·安徽合肥階段練習(xí))(多選)如圖所示,“天問一號(hào)”探測器在M點(diǎn)制動(dòng)后,成功進(jìn)入近火點(diǎn)為N的橢圓軌道,探測器在橢圓軌道上環(huán)繞數(shù)圈后,在N點(diǎn)再次制動(dòng)后順利進(jìn)入近火圓軌道。已知探測器在近火圓軌道上的周期為T,橢圓軌道的長軸為火星半徑的3倍,忽略火星的自轉(zhuǎn),則()[A]探測器在橢圓軌道上M、N兩點(diǎn)的加速度大小之比為1∶2[B]探測器在橢圓軌道上M、N兩點(diǎn)的速度大小之比為1∶2[C]探測器在橢圓軌道上的周期為36[D]探測器在橢圓軌道上的周期為32【答案】BC【解析】設(shè)火星半徑為R,則rM=2R,rN=R,由牛頓第二定律有maM=Gm火mrM2,maN=Gm火mrN2,得aM=Gm火4R2,aN=Gm火R2,則aM∶aN=1∶4,故A錯(cuò)誤1∶2,故B正確;橢圓的半長軸為a=1.5R,由開普勒第三定律有T橢2T2=a3R3=(1.5R)3開普勒定律的適用范圍(1)開普勒第二定律及其引出的推論,不僅適用于繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的所有行星,也適用于以行星為中心的衛(wèi)星,還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行的情況。但需要注意的是,不同行星的運(yùn)行不能套用開普勒第二定律。(2)開普勒第三定律不僅適用于太陽系,它對(duì)具有中心天體的引力系統(tǒng)(如行星-衛(wèi)星系統(tǒng))和雙星系統(tǒng)[L3T2=G(m考點(diǎn)二萬有引力定律1.萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向,如圖所示。(1)在赤道上:GMmR2=mg1+mω2(2)在兩極上:GMmR2=mg2.地球表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn)),由mg=GMmR2,得g=(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度g′,由mg′=GMm(R+h)2,得g′=GM3.萬有引力的兩個(gè)推論推論1:在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零,即∑F引=0。推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對(duì)其的萬有引力,即F=GM'[例3]【重力與萬有引力的關(guān)系】(多選)萬有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧測力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重力,隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M,引力常量為G,將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說法正確的是()[A]在北極地面稱量時(shí),彈簧測力計(jì)讀數(shù)為F0=GMm[B]在赤道地面稱量時(shí),彈簧測力計(jì)讀數(shù)為F1=GMm[C]在北極上空高出地面h處稱量時(shí),彈簧測力計(jì)讀數(shù)為F2=GMm[D]在赤道上空高出地面h處稱量時(shí),彈簧測力計(jì)讀數(shù)為F3=GMm【答案】AC【解析】在北極地面稱量時(shí),物體不隨地球自轉(zhuǎn),萬有引力等于重力,則有F0=GMmR2,故A正確;在赤道地面稱量時(shí),萬有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力,則有F1<GMmR2,故B錯(cuò)誤;在北極上空高出地面h處稱量時(shí),萬有引力等于重力,則有F2=GMm(R+h)2,故C正確;在赤道上空高出地面h處稱量時(shí),萬有引力大于重力,[例4]【“挖補(bǔ)法”求解萬有引力】(2025·江蘇南通開學(xué)考)如圖所示為一半徑為R、質(zhì)量為M均勻分布的球體,從中挖去直徑為R的球體,虛線過兩球的球心,一質(zhì)點(diǎn)分別位于圖中的1、2、3點(diǎn)時(shí),受到的萬有引力分別為F1、F2、F3,則有()[A]F1<F2=F3 [B]F1<F2<F3[C]F1=F2=F3 [D]F1=F2<F3【答案】D【解析】設(shè)球體的密度為ρ,挖去小球體前的質(zhì)量為M=ρ·43πR3,被挖去的小球體質(zhì)量為M′=ρ·43π(R2)3=18M,根據(jù)萬有引力定律可得F1=GMmR2-GM'm(R2)

2=GMm2R2,F3=GMmR2-GM'm(3R2)

2=[例5]【星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解】如圖是某農(nóng)家院內(nèi)打出的一口深度為d的水井,如果質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零,地球可以看作是質(zhì)量分布均勻的球體,地球半徑為R,則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為()[A]R-dR [C]R2-d2【答案】B【解析】根據(jù)萬有引力定律得,地球表面上的重力加速度為g=GMR2,設(shè)離地面高度為d處的重力加速度為g′,由萬有引力定律有g(shù)′=GM(R+d)2,兩式聯(lián)立得g′=R2g(R+d)2,對(duì)于在地面上質(zhì)量為m的物體,根據(jù)萬有引力定律有GMmR2=mg,從而得g43πGρ(R-d)=R-dRg,所以考點(diǎn)三天體的質(zhì)量和密度的估算1.利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由GMmR2=mg,得天體質(zhì)量M=(2)天體密度ρ=MV=M432.利用運(yùn)行天體已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由GMmr2=m4π2T2r(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度ρ=MV=M43(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行,可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=3πGT2,故只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期[例6]【“重力加速度法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度】航天員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放,二者幾乎同時(shí)落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落,經(jīng)時(shí)間t落到月球表面。已知引力常量為G,月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求:(1)月球表面的自由落體加速度大小g月;(2)月球的質(zhì)量M;(3)月球的密度ρ?！敬鸢浮?1)2ht2(2)2【解析】(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng),有h=12g月t2月球表面的自由落體加速度大小g月=2h(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響,有GMmR2=mg月,得月球的質(zhì)量M=(3)月球的密度ρ=MV=2hR[例7]【“環(huán)繞法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度】(2025·福建漳州一模)“嫦娥七號(hào)”探測器將于2026年前后發(fā)射,準(zhǔn)備在月球南極登陸,登陸月球前假設(shè)探測器繞月球做周期為T1的勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑可認(rèn)為等于月球半徑。月球繞地球做周期為T2的勻速圓周運(yùn)動(dòng),其軌道半徑為月球半徑的k倍。引力常量為G,則()[A]根據(jù)題中所給信息可求出地球的質(zhì)量[B]根據(jù)題中所給信息可求出月球的質(zhì)量[C]周期T1和T2滿足T12[D]地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比m地m【答案】D【解析】月球繞地球近似做圓周運(yùn)動(dòng),有Gm地m月(kR月)2=m月(2πT2)2kR月,解得m地=4π2(kR月)3GT22,由于不知道月球的半徑,故不能求出地球的質(zhì)量,故A錯(cuò)誤;探測器繞月球表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有Gm月mR月D正確;開普勒第三定律是相對(duì)于同一個(gè)中心天體的,不同的中心天體該表達(dá)式不適用,故C錯(cuò)誤。[變式]根據(jù)[例7]中的信息能否求出地球和月球密度?【答案】見解析【解析】由上知m地=4π2(kR月)3則ρ地=m地V地由于R月R地m月=4π2R月3GT12,V月=43πR計(jì)算中心天體的質(zhì)量、密度時(shí)的兩點(diǎn)區(qū)別(1)天體半徑和衛(wèi)星的軌道半徑的區(qū)別。通常把天體看成一個(gè)球體,天體的半徑指的是球體的半徑。衛(wèi)星的軌道半徑指的是衛(wèi)星圍繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道圓的半徑。衛(wèi)星的軌道半徑大于或等于天體的半徑。(2)自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的區(qū)別。自轉(zhuǎn)周期是指天體繞自身某軸線運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間,公轉(zhuǎn)周期是指衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間。自轉(zhuǎn)周期與公轉(zhuǎn)周期一般不相等。(滿分:60分)對(duì)點(diǎn)1.開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律1.(4分)(2025·江蘇南通階段檢測)2024年3月20日,鵲橋二號(hào)中繼星成功發(fā)射升空,并順利進(jìn)入月球附近的橢圓形捕獲軌道,沿順時(shí)針方向運(yùn)行。如圖所示,捕獲軌道的近月點(diǎn)為A,遠(yuǎn)月點(diǎn)為C,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,設(shè)鵲橋二號(hào)由A第一次運(yùn)動(dòng)到B和由B第一次運(yùn)動(dòng)到C的時(shí)間分別為t1、t2,對(duì)應(yīng)的兩個(gè)階段鵲橋二號(hào)與月球連線掃過的面積分別為S1、S2,在A、B兩點(diǎn)的速度大小分別為vA、vB,加速度大小分別為aA、aB。則()[A]t1>t2 [B]S1<S2[C]vA<vB [D]aA<aB【答案】B【解析】由開普勒第二定律可知,鵲橋二號(hào)在近月點(diǎn)A速度最大,在遠(yuǎn)月點(diǎn)C速度最小,可知vA>vB>vC,故C錯(cuò)誤;由A到B再到C的過程中,速度逐漸減小,弧長AB等于弧長BC,因此t1<t2,又鵲橋二號(hào)與月球連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等,有S1<S2,故A錯(cuò)誤,B正確;由牛頓第二定律有GMmr2=ma,可得a=GMr2,又rA<rB,則aA>aB2.(6分)(多選)與地球公轉(zhuǎn)軌道“外切”的小行星甲和“內(nèi)切”的小行星乙的公轉(zhuǎn)軌道如圖所示,假設(shè)這些小行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道都在同一平面內(nèi),地球的公轉(zhuǎn)半徑為R,小行星甲的遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽的距離為R1,小行星乙的近日點(diǎn)到太陽的距離為R2,則()[A]小行星甲在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度小于近日點(diǎn)的速度[B]小行星乙在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)加速度[C]小行星甲與乙的運(yùn)行周期之比T1T[D]甲、乙兩行星從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)的時(shí)間之比t1t【答案】AD【解析】根據(jù)開普勒第二定律,小行星甲在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度小于近日點(diǎn)的速度,故A正確;根據(jù)GMmR2=ma知,小行星乙在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度等于地球公轉(zhuǎn)加速度,故B錯(cuò)誤;根據(jù)開普勒第三定律,小行星甲與乙的運(yùn)行周期之比T1T2=(R1+R2)

3(R23.(4分)(2024·山東卷,5)“鵲橋二號(hào)”中繼星環(huán)繞月球運(yùn)行,其24小時(shí)橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r,則月球與地球質(zhì)量之比可表示為()[A]r3a3 [B]a3r3 [C]【答案】D【解析】“鵲橋二號(hào)”中繼星在24小時(shí)橢圓軌道運(yùn)行時(shí),根據(jù)開普勒第三定律有a3T2=k,同理,對(duì)地球的同步衛(wèi)星有r3T2=k′,對(duì)于地球同步衛(wèi)星,有GM地mr2=m·4π2rT2對(duì)點(diǎn)2.萬有引力定律4.(4分)(2025·廣西南寧階段檢測)中國空間站軌道高度約為400km,地球半徑約為6400km。當(dāng)航天員出艙在空間站艙外作業(yè)時(shí),其所受地球的引力大約是他在地面所受地球引力的()[A]110 [B]12 [C]9100 【答案】D【解析】在地球表面時(shí)F1=GMmR2,在空間站時(shí)F2=GMm(R+h)2,可得F2F1=(RR故選D。5.(4分)(2024·山東淄博期中)如圖所示,有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體,在距球心2R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。若以球心O為中心挖去一個(gè)半徑為R3的球體,則剩下部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為([A]GMm27R2 [C]13GMm54R2【答案】C【解析】剩下部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力等于完整球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力減去被挖去的小球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,即F=GMm4R2-GM小m4R2,被挖去的小球體的質(zhì)量為M小=ρ·43π(R3)3,而大球體的質(zhì)量為M=ρ6.(4分)中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所主持研制的“海斗一號(hào)”在無纜自主模式下刷新了中國下潛深度紀(jì)錄,最大下潛深度超過了10000m。若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體,且球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零,忽略地球的自轉(zhuǎn),則下列關(guān)于“海斗一號(hào)”下潛所在處的重力加速度g和下潛深度h的關(guān)系圖像可能正確的是()[A][B][C][D]【答案】D【解析】設(shè)地球的質(zhì)量為M,地球的半徑為R,“海斗一號(hào)”下潛h深度后,以地心為球心、以R-h為半徑的地球的質(zhì)量為M′,根據(jù)密度相等有M43πR3=M'43π(R-h)3,由于球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零,根據(jù)萬有引力定律有GM'm(R-h對(duì)點(diǎn)3.天體的質(zhì)量和密度的估算7.(4分)(2024·新課標(biāo)卷,16)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn),在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行,其中行星GJ1002c的軌道近似為圓,軌道半徑約為日地距離的0.07倍,周期約為0.06年,則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的()[A]0.001倍 [B]0.1倍[C]10倍 [D]1000倍【答案】B【解析】設(shè)紅矮星質(zhì)量為M1,行星質(zhì)量為m1,軌道半徑為r1,周期為T1,太陽質(zhì)量為M2,地球質(zhì)量為m2,日地距離為r2,周期為T2,根據(jù)萬有引力定律有GM1m1r12=m14π2T12r1,GM2m2r22=m24π2T22r28.(6分)(2024·廣東佛山二模)(多選)磷是構(gòu)成DNA的重要元素,2023年科學(xué)家在土衛(wèi)二的海洋中檢測到磷。此發(fā)現(xiàn)意味著土衛(wèi)二有可能存在生命。目前探測器已經(jīng)測出了土衛(wèi)二的密度為ρ,現(xiàn)發(fā)射一顆貼近土衛(wèi)二表面的人造衛(wèi)星對(duì)土衛(wèi)二進(jìn)一步觀測,已知引力常量為G,則根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)不能計(jì)算出()[A]人造衛(wèi)星的周期[B]土衛(wèi)二的質(zhì)量[C]人造衛(wèi)星的向心加速度大小[D]人造衛(wèi)星與土衛(wèi)二之間的萬有引力大小【答案】BCD【解析】對(duì)貼近土衛(wèi)二表面的人造衛(wèi)星有GMmR2=m(2πT)2R,GMmR2=ma,又ρ=MV=M43πR3=34π×MR3,解得T=49.(8分)如圖所示,某星球水平地面上,固定放置一個(gè)直角三角形斜面AB,斜面的傾角θ=30°,頂點(diǎn)A高h(yuǎn)=10m。將小球從A點(diǎn)以速度v0=10m/s水平拋出,恰好落在B點(diǎn),已知該星球半徑R=3000km,引力常量G=6.67×10-11N(1)小球的飛行時(shí)間;(2)該星球表面的重力加速度;(3)該星球的平均密度。【答案】(1)3s(2)203m/s2(3)8×103kg/m【解析】(1)水平方向有x=v0t,tanθ=hx解得t=3s。(2)豎直方向有h=12gt2解得g=203m/s2(3)根據(jù)萬有引力定律可得GMmR2=星球密度ρ=MV=M解得ρ≈8×103kg/m3。10.(4分)(2025·貴州貴陽二模)為順利完成月球背面的“嫦娥六號(hào)”探測器與地球間的通信,我國新研制的“鵲橋二號(hào)”中繼通信衛(wèi)星在2024年上半年發(fā)射,假設(shè)定位在地月拉格朗日L2點(diǎn),位于拉格朗日點(diǎn)上的衛(wèi)星可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知地、月中心間的距離約