廣東省廣州市番禺區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)集合A=1,2,3，B=x,yx∈AA．4 B．3 C．2 D．12．已知復(fù)數(shù)z1=?2+i，z2=1+2i，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)A．10 B．10 C．5 D．53．如圖，圓臺OO1的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°A．3 B．2 C．1 D．44．已知π4≤α≤π2，A．?55 B．55 C．2555．已知一組數(shù)據(jù)39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位數(shù)是50，那么實數(shù)x的取值范圍是（）A．50,+∞ B．50,+∞ C．50,55 6．已知向量a=(3?m,3)，b=(2,m+4)，若|aA．3 B．6 C．?6 D．?187．已知函數(shù)fx=?x2?2ax+1,x<1logA．0,34 B．0,22 C．8．對于一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D，用A表示事件A中的樣本點個數(shù)．若Ω=60，A=30，B=10，C=20，D=30，A∪BA．A與B對立 B．A與D不對立C．C與D互斥 D．A與C相互獨立二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1A．四點B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)B．三條直線BF，DE，CCC．直線A1C與直線D．直線A1C上存在點N使M，N，10．假設(shè)某人在出生起180天內(nèi)的體力、情緒、智力呈周期性變化，它們的變化規(guī)律遵循如圖所示的正弦型曲線模型：記智力曲線為I，情緒曲線為E，體力曲線為P，且三條曲線的起點位于坐標系的同一點處、均為可向右延伸，則（）A．智力曲線I的最小正周期是三個曲線中最大的B．在出生起180天內(nèi)，體力共有7次達高峰值C．第94天時，情緒值小于15D．第62天時，智力曲線I和情緒曲線E均處于上升期11．著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)fx=1，x∈Q0，A．對于任意的x∈R，都有fB．函數(shù)fxC．若T≠0且T為有理數(shù)，則fx+T=fxD．在fx圖象上存在不同的三個點A,B,C，使得△ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．使a>b成立的一個充分而非必要的條件是．13．當(dāng)x∈?π,π時，sinx≥cosx的解集為14．如圖，八面體Ω的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點B，C，D，E，在同一個平面內(nèi)．若點M在四邊形BCDE內(nèi)（包含邊界）運動，當(dāng)MA⊥ME時，則點M的軌跡的長度為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，在四邊形ABCD中，2BC=3AD，2BN=（1）用a，b表示BD，AN；（2）若AN與BD相交于點M，BC=6，AB=2，∠BAD=2π3，求16．如圖，已知三棱臺ABC?A1B1C1中，平面ABB1A1⊥（1）證明：AB1⊥（2）若AB的中點為D，求直線DB1與平面17．在花市志愿者選拔的面試結(jié)果中，隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組45,55，第二組55,65，第三組65,75，第四組75,85，第五組85,95，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）已知在上述分組中用分層隨機抽樣的方法從第四組和第五組中共選取了5人，若從這5人中用簡單隨機抽樣的方法選取2人，求這兩名候選者來自不同組的概率；（2）若前三組候選者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為64和64，后兩組候選者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為82和16，根據(jù)上述信息估計此次選拔所有候選者的面試成績的平均數(shù)和方差．18．已知△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ccosA+3（1）求C的大??；（2）若AB=BC=2，在△ABC的邊AC和BC上分別取點D，E，將△CDE沿線段DE折疊到平面ABE后，頂點C恰好落在邊AB上（設(shè)為點P）．設(shè)PB=n，CE=m，回答以下問題：（ⅰ）當(dāng)n=23時，求（ⅱ）當(dāng)m取最小值時，求△PBE的面積．19．若函數(shù)fx的定義域為D，?x∈D都有fm?x+fm+x=2n，則稱函數(shù)f（1）已知定義R上的函數(shù)fx的圖象關(guān)于點1,1中心對稱，且當(dāng)x≥2時，fx=x2（2）探究函數(shù)gx（3）運用第（2）問的結(jié)論，求Sk=g?2k+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由集合B中元素的屬性x∈A，y∈A，x?y∈A，可得集合B中的元素有2,1，3,1，（3,2），共3個.故答案為：B.【分析】本題考查集合B中元素個數(shù)的求解，關(guān)鍵在于理解集合B的定義，即B中的元素是滿足x∈A，y∈A且x?y∈A的有序數(shù)對(x，y)，我們需要逐一列舉出滿足條件的有序數(shù)對，從而確定集合B的元素個數(shù).2．【答案】A【解析】【解答】解：z1故答案為：A．【分析】本題考查復(fù)平面內(nèi)兩點間距離的計算，關(guān)鍵在于理解復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，以及兩點間距離與復(fù)數(shù)差的模的聯(lián)系，先求出兩個復(fù)數(shù)的差，再計算該差的模，從而得到兩點間的距離．3．【答案】A【解析】【解答】解：因為圓臺OO1的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為所以在圓錐SO1中，可得2π?AO又在圓錐SO中，可得2π?OB=12×2×π?SB=4π所以該圓臺的高為?=A故答案為：A.【分析】利用“側(cè)面展開圖弧長=底面圓周長”，結(jié)合弧長公式l=θ?r（θ為圓心角弧度），求上下底面半徑，將圓臺的高、母線差、半徑差轉(zhuǎn)化為直角三角形，用勾股定理求解.4．【答案】B【解析】【解答】解：由π4≤α≤π2可知因此cos2α=?1?cos2α=2cos2α?1，即2cos2又有π4≤α≤π因此解得cosα=1故答案為：B.【分析】本題考查三角函數(shù)的求值，涉及二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系.先根據(jù)α的范圍確定2α的范圍，進而確定cos2α的符號，求出cos2α的值，再利用二倍角余弦公式求出cosα.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵8×65%=5.2，∴這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列后，第65百分位數(shù)是第6個數(shù)，因此x不小于50，即故答案為：A．【分析】本題考查百分位數(shù)的概念及應(yīng)用，關(guān)鍵是理解百分位數(shù)的計算規(guī)則，通過數(shù)據(jù)個數(shù)與百分位數(shù)的乘積確定對應(yīng)的位置，進而分析出x的取值范圍．6．【答案】D【解析】【解答】解：由|a?3b|=|a因此2(3?m)+3(m+4)=0，所以m=?18.故答案為：D【分析】本題考查向量模長與數(shù)量積的關(guān)系，利用|A→|=|B→7．【答案】B【解析】【解答】解：當(dāng)x<1時，不等式fx≤32為因為a>0,a≠1，所以函數(shù)y=x2+2ax+12所以ymin=x由于0<a≤22，則當(dāng)x≥1時，函數(shù)fx所以fxmax=f1=綜上，a的取值范圍是0,22.

故答案為：B.

【分析】分段討論：將函數(shù)按定義域分為x<1和x≥1兩部分，分別處理不等式f(x)≤32；

單調(diào)性與最值：x<1時，二次函數(shù)通過對稱軸找最小值，確保最小值非負；交集綜合：兩區(qū)間條件取交集，得參數(shù)a的取值范圍.8．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得，PA=12，PB=16，PCA、因為PA∪B=PA+PBB、因為PA∪D=PA+PD=1，若C、當(dāng)A與D對立時，所以C∩D=C∩A=C?A∩CD、因為PA∩C=PA?PC故答案為：D.【分析】本題圍繞古典概型中事件的互斥、對立、相互獨立關(guān)系展開，需利用樣本點個數(shù)與概率的對應(yīng)關(guān)系（概率=樣本點個數(shù)/總樣本點個數(shù)），結(jié)合互斥、對立、獨立事件的定義判斷選項.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：連接B1D1，延長BF與DEA、由長方體性質(zhì)：BB1∥DD1且BB1=DD1因BD∥EF（平行傳遞性），根據(jù)“兩條平行直線確定一個平面”，故B,D,E,F共面，A正確.B、設(shè)交點為P（因BF與DE不平行，必相交）BF?平面BCC1B1，DE?平面兩平面交線為CC1（長方體中BC故BF,DE,CC1交于C、A1C?平面AA1C1C，OF與平面AA1C1根據(jù)“過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”，故A1C與D、A1,O,C,C1共面（平面AA1C1C），連接OM，因M是EF中點，EF∥BD∥設(shè)交點為N，則M,N,O共線（N在OM上），故A1C上存在故選：ABD.【分析】A：利用“平行傳遞性”（BD∥BB：通過“線線相交→確定公共點”，結(jié)合“兩平面交線”性質(zhì)，證明三線共點.C：依據(jù)“異面直線判定定理”（平面內(nèi)一點與平面外一點，連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線異面）判斷.D：利用“平面內(nèi)直線相交性”，結(jié)合OM與A110．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、由圖象得，智力曲線I的最小正周期是三個曲線中最大的，A正確.B、由圖象得，體力曲線P的最小正周期為23天，7×23+6=167<180,7×23+6>180，所以在出生起180天內(nèi)，體力共有8次達高峰值，B錯誤.C、由圖象得，情緒曲線E的最小正周期為28天，所以第84天情緒值為10，第91天情緒值為20，而94?91=3<3.5，所以第94天情緒值大于15，C錯誤..D、由圖象得，智力曲線I的最小正周期為33天，而1.75<6233<2，所以第62天，智力曲線I處于上升期，2<6228故答案為：AD.【分析】本題圍繞正弦型曲線模型的周期、峰值、函數(shù)值及單調(diào)性展開，需結(jié)合圖像觀察與周期計算，分析各選項：

周期判斷：通過圖像直觀比較三條曲線的周期長短.

峰值次數(shù)：利用體力曲線周期，計算180天內(nèi)包含的周期數(shù)，確定峰值次數(shù).

特定天數(shù)函數(shù)值：根據(jù)情緒曲線周期與已知點函數(shù)值，判斷第94天的函數(shù)值范圍.

單調(diào)性判斷：依據(jù)智力、情緒曲線周期，分析第62天所在的周期區(qū)間，確定單調(diào)性.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、取x=3（無理數(shù)），則f(3)=0（無理數(shù)對應(yīng)函數(shù)值為0），計算f(f(3))=f(0)B、當(dāng)x∈Q時，?x∈Q，則f?x當(dāng)x∈?RQ時，?x∈綜上所述：x∈R時，f?x=fxC、當(dāng)x∈Q時，因T≠0且T為有理數(shù)，所以T+x∈Q，則fT+x當(dāng)x∈?RQ時，因T≠0且T為有理數(shù)，所以T+x∈綜上所述：若T≠0且T為有理數(shù)，則fx+T=fxD、假設(shè)在fx圖象上存在不同的三個點A,B,C，使得△ABC不妨設(shè)當(dāng)Aa,1，Bb,1，Cc,0，其中a,b∈Q，c∈則AB=b?a,0，AC=則AB?BC=b?ac?b≠0，故AC?BC=c?ac?b所以，△ABC為不是直角三角形.同理設(shè)Aa,0，Bb,0，Cc,1，其中c∈Q，a,b∈則AB=b?a,0，AC=則AB?BC=b?ac?b≠0，故AC?BC=c?ac?b所以，△ABC為不是直角三角形.綜上所述，在fx圖象上不存在不同的三個點A,B,C，使得△ABC故答案為：BC.【分析】A：通過舉反例（取無理數(shù)x），驗證復(fù)合函數(shù)值不恒為0.B：依據(jù)偶函數(shù)定義，分類討論x為有理數(shù)、無理數(shù)時f(?x)=f(x).C：利用周期定義，結(jié)合“有理數(shù)+有理數(shù)=有理數(shù)，無理數(shù)+有理數(shù)=無理數(shù)”，分類驗證周期性.D：采用假設(shè)法，設(shè)出點坐標后用向量內(nèi)積判斷直角，證明假設(shè)不成立.12．【答案】a>b+1（答案不唯一）【解析】【解答】解；由于a>b+1?a>b+1>b，但a>b不能得到a>b+1，所以使a>b成立的一個充分而非必要的條件可以是a>b+1，事實上，使a>b成立的一個充分而非必要的條件可以是a>b+c，其中c>0.故答案為：a>b+1（答案不唯一）.【分析】充分不必要條件是指如果有事物情況A，則必然有事物情況B；如果有事物情況B不一定有事物情況A，A就是B的充分而不必要的條件，我們需要找到一個條件，能推出a>b，但a>b推不出該條件.13．【答案】?π,?【解析】【解答】解：當(dāng)x∈?π,π時，sinx≥cosx?x∈?π,π所以x?π4∈所以x?π4∈所以x∈?π,?3π4所以當(dāng)x∈?π,π時，sinx≥cosx的解集為?π,?故答案為：?π,?3π【分析】1.三角恒等變換：將sinx?cosx2.正弦函數(shù)性質(zhì)：利用正弦函數(shù)非負區(qū)間[2kπ,2kπ+π]，結(jié)合x的范圍確定x?π3.區(qū)間回代：解關(guān)于x的不等式，得到最終解集.14．【答案】2【解析】【解答】解：以AE為直徑作球N，球N半徑R=2，A,E與球上任意一點(除去點A,E)均能構(gòu)成直角，故M點軌跡為球N與四邊形BCDE（包括邊界）的交線.易知A在平面BCDE上的投影O為菱形BCDE的外心，且Rt△AOB,Rt△AOC,Rt△AOD,Rt△AOE都全等，故四邊形BCDE為正方形，四棱錐A?BCDE為正四棱錐，A在平面BCDE上的投影為正方形BCDE的中心O，記球心N在平面BCDE上的投影為K，NK=1故平面BCDE截球N的小圓半徑r=R即點M的軌跡以O(shè)E中點K為圓心，半徑為2的圓在四邊BCDE內(nèi)（包含邊界）的一段弧，由題意可知KO=KE=如圖所示，設(shè)該圓弧交BE,ED于點F,G，所以F,O,G,E四點共圓，而∠FEK=∠GEK=45°，所以所以F,K,G三點共線，即FG也是半徑為2的圓的直徑，故所求為2π故答案為：2π【分析】首先由MA⊥ME，聯(lián)想到以AE為直徑的球（直徑所對圓周角為直角），點M軌跡是該球與平面BCDE的交線（圓?。?分析八面體結(jié)構(gòu)，確定平面BCDE為正方形，計算球心到平面的距離，進而求出交線圓（小圓）的半徑，根據(jù)正方形與小圓的位置關(guān)系，確定圓弧為半圓，計算其長度.15．【答案】（1）解：由題意BD=因為在四邊形ABCD中，2BC=3AD所以BN=所以AN=AB+BN=12（2）解：因為BC=6，AB=2，∠BAD=2π3，所以所以a?所以BD=a?BD?所以cos∠DMN=【解析】【分析】（1）利用向量加法的三角形法則，結(jié)合已知線段比例關(guān)系，將BD、AN用a，b表示.（2）首先求得a?b=?4,a2=16,b2=4（1）由題意BD=因為在四邊形ABCD中，2BC=3AD所以BN=所以AN=（2）因為BC=6，AB=2，∠BAD=2π3，所以所以a?所以BD=a?BD?所以cos∠DMN=16．【答案】（1）證明：在三棱臺ABC?A1B1C在等腰梯形ABB1A由余弦定理得：AB則AB2=A而平面ABB1A1⊥平面BCC1所以AB1⊥（2）解：過B1作B1H⊥AB，垂足為H，因為A又因為BC?平面BCC1B又因為BA⊥BC，BA∩AB1=A，BA,AB1?平面B1H?平面ABB又因為AB∩BC=B，AB,BC?平面ABB1A1，所以可得∠B1DH為D由等面積法可得12即12B1由于點D是直角三角形AB1B斜邊AB所以sin∠因為∠B1DH所以DB1與平面ABC所成角為【解析】【分析】（1）利用三棱臺的結(jié)構(gòu)特征、余弦定理、勾股定理逆定理證明線線垂直，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得線面垂直.（2）通過作垂線找到線面角的平面角，利用等面積法求垂線長度，結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系計算線面角大小.（1）在三棱臺ABC?A1B1C1在等腰梯形ABB1A由余弦定理得：AB則AB2=A而平面ABB1A1⊥平面BCC1所以AB1⊥（2）過B1作B1H⊥AB，垂足為H，因為AB又因為BC?平面BCC1B又因為BA⊥BC，BA∩AB1=A，BA,AB1?平面B1H?平面ABB又因為AB∩BC=B，AB,BC?平面ABB1A1，所以可得∠B1DH為D由等面積法可得12即12B1由于點D是直角三角形AB1B斜邊AB所以sin∠因為∠B1DH所以DB1與平面ABC所成角為17．【答案】（1）解：由題意應(yīng)在第四組抽取5×0.0200.020+0.005=4在第五組抽取5?4=1人，記為e，從這5人中用簡單隨機抽樣的方法選取2人，可能的組合為：a,b,這兩名候選者來自不同組的可能的組合為a,e,故所求為410（2）解：因為后兩組的頻率之和為0.020+0.005×10=0.25所以后兩組的頻數(shù)之和為0.25×100=25，所以前三組的頻率之和為1?0.25=0.75，前三組的頻數(shù)之和為100?25=75，所以估計此次選拔所有候選者的面試成績的平均數(shù)為64×75+82×25100估計此次選拔所有候選者的面試成績的方差為1=0.75×84.25+0.25×198.25=112.75.即：平均數(shù)68.5，方差112.75.【解析】【分析】（1）概率計算：利用“分層抽樣按比例抽取人數(shù)”，確定第四、五組抽取人數(shù)，用“列舉法”枚舉所有組合，統(tǒng)計符合條件的組合數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式計算.（2）統(tǒng)計量估計：由頻率分布直方圖得后兩組頻率，計算頻數(shù)；用“分層抽樣平均數(shù)公式”（加權(quán)平均）估計總體平均數(shù)；用“分層抽樣方差公式”（組內(nèi)方差+組間差平方的加權(quán)）估計總體方差.（1）由題意應(yīng)在第四組抽取5×0.0200.020+0.005=4在第五組抽取5?4=1人，記為e，從這5人中用簡單隨機抽樣的方法選取2人，可能的組合為：a,b,這兩名候選者來自不同組的可能的組合為a,e,故所求為410（2）因為后兩組的頻率之和為0.020+0.005×10=0.25所以后兩組的頻數(shù)之和為0.25×100=25，所以前三組的頻率之和為1?0.25=0.75，前三組的頻數(shù)之和為100?25=75，所以估計此次選拔所有候選者的面試成績的平均數(shù)為64×75+82×25100估計此次選拔所有候選者的面試成績的方差為1=0.75×84.25+0.25×198.25=112.75.18．【答案】（1）解：已知ccosA+3csinA?b?a=0，根據(jù)正弦定理則有a=2RsinA，b=2Rsin代入原式可得：2RsinsinCcosA+因為B=π?A+C，所以sin所以sinCcosA+化簡得：3sin因為∠A∈0,π，所以sinA≠0，所以上式可變形為：23所以sinC?又因為C∈0,π，所以C?π6∈?（2）（?。┙猓阂驗锳B=BC=2，由（1）知，C=π3，所以由折疊可知：PE=CE=m，BE=2?m.在△PBE中，根據(jù)余弦定理：PE已知PB=n=23，cosm解得m=14故n=23時，（ⅱ）解：在△PBE中，根據(jù)余弦定理：mm=令t=4?n0<t<4，則m=t+根據(jù)基本不等式：a+b≥2ab（a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b對于t+12t，有t+12t≥2此時m取最小值：m=43則n=4?23，BE=2?m=8?4△PBE的面積：S△PBE因為sinB=sinπ3=則S△PBE故m取最小值時，△PBE的面積為：143【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理：asinA=bsinB=（2）（?。├谜郫B性質(zhì)（CE=PE=m，CD=PD），結(jié)合已知邊長與余弦定理列方程求解m.（ⅱ）根據(jù)余弦定理，列出關(guān)于m，n的方程，根據(jù)基本不等式a+b≥2ab（a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b（1）已知ccosA+3csinA?b?a=0，根據(jù)正弦定理則有a=2RsinA，b=2Rsin代入原式可得：2RsinsinCcosA+因為B=π?A+C，所以sin所以sinCcosA+化簡得：3sin因為∠A∈0,π，所以sinA≠0，所以上式可變形為：23所以sinC?又因為C∈0,π，所以C?π6∈?（2）（ⅰ）因