一、解答題1.已知:如圖,在
中,
,以點(diǎn)
為圓心,
的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交線段
于點(diǎn)
,以點(diǎn)
為圓心,
長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交線段
與點(diǎn)
.（1)根據(jù)題意用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡);(2)設(shè)
①線段
的長(zhǎng)度是方程
的一個(gè)根嗎?并說(shuō)明理由.②若線段
,求
的值.2.已知,矩形ABCD中,AB＝4cm,BC＝8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD.BC于點(diǎn)E.F,垂足為O.(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形.(2)如圖1,求AF的長(zhǎng).(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A.C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)P的速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①問(wèn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,以A、P、C.Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎?若有可能,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度；若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A.P、C.Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.3.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,4),B(m,0)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)C,O關(guān)于直線AB對(duì)稱,點(diǎn)D在線段AB上.(1）如圖1,若m＝8,求AB的長(zhǎng);（2）如圖2,若m＝4,連接OD,在y軸上取一點(diǎn)E,使OD＝DE,求證:CE＝
DE；（3）如圖3,若m＝4
,在射線AO上裁取AF,使AF＝BD,當(dāng)CD+CF的值最小時(shí),請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)D的位置,并直接寫(xiě)出這個(gè)最小值．4.如圖1,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且CD＝AE,AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證:∠ABE＝∠CAD;(2)如圖2,以AD為邊向左作等邊△ADG,連接BG.?。┰嚺袛嗨倪呅蜛GBE的形狀,并說(shuō)明理由;ⅱ）若設(shè)BD＝1,DC＝k（0＜k＜1）,求四邊形AGBE與△ABC的周長(zhǎng)比（用含k的代數(shù)式表示）．5.如圖1,點(diǎn)
是正方形
邊
上任意一點(diǎn),以
為邊作正方形
,連接
,點(diǎn)
是線段
中點(diǎn),射線
與
交于點(diǎn)
,連接
.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出
和
的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.（2）把圖1中的正方形
繞點(diǎn)
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
,此時(shí)點(diǎn)
恰好落在線段
上,如圖2,其他條件不變,（1）中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）把圖1中的正方形
繞點(diǎn)
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
,此時(shí)點(diǎn)
、
恰好分別落在線段
、
上,連接
,如圖3,其他條件不變,若
,
,直接寫(xiě)出
的長(zhǎng)度．6.(已知:如圖1,矩形OACB的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(6,0)、(0,10),點(diǎn)D是y軸上一點(diǎn)且坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AC﹣CB方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.(1)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△BPD的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段CB上時(shí)（如圖2）,將矩形OACB沿OP折疊,頂點(diǎn)B恰好落在邊AC上點(diǎn)B′位置,求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo);（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在△BPD為等腰三角形的情況？若存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．7.如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AC,BC上的點(diǎn),且滿足DE⊥EF,垂足為點(diǎn)E,連接DF.(1)求∠EDF=(填度數(shù));(2)延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G,連接FG,如圖2,猜想AG,GF,FC三者的數(shù)量關(guān)系,并給出證明;（3）①若AB=6,G是AB的中點(diǎn),求△BFG的面積;②設(shè)AG=a,CF=b,△BFG的面積記為S,試確定S與a,b的關(guān)系,并說(shuō)明理由．8.定義:在△ABC中,若BC＝a,AC＝b,AB＝c,若a,b,c滿足ac+a2＝b2,則稱這個(gè)三角形為"類勾股三角形",請(qǐng)根據(jù)以上定義解決下列問(wèn)題:(1)命題"直角三角形都是類勾股三角形"是命題(填"真"或"假");(2)如圖1,若等腰三角形ABC是"類勾股三角形",其中AB＝BC,AC＞AB,請(qǐng)求∠A的度數(shù);(3)如圖2,在△ABC中,∠B＝2∠A,且∠C＞∠A.①當(dāng)∠A＝32°時(shí),你能把這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎?若能,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出分割線,并標(biāo)注被分割后的兩個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)；若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由；②請(qǐng)證明△ABC為“類勾股三角形".9．如圖,在四邊形
中,
,
,
,點(diǎn)
為
邊上一點(diǎn),連接
,
.
與
交于點(diǎn)
,且
∥
.(1)求證:
;(2)若
,
.求
的長(zhǎng).10.如圖,
是邊上的兩點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿
方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿
運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.(1)出發(fā)2秒后,求線段PQ的長(zhǎng);（2）求點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)幾秒后,
是等腰三角形;（3）點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使
成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．11.如圖,
為邊長(zhǎng)不變的等腰直角三角形,
,
,在
外取一點(diǎn)
,以
為直角頂點(diǎn)作等腰直角
,其中
在
內(nèi)部,
,
,當(dāng)E.P、D三點(diǎn)共線時(shí),
.下列結(jié)論:①E.P、D共線時(shí),點(diǎn)
到直線
的距離為
;②E、P、D共線時(shí),
；；④作點(diǎn)
關(guān)于
的對(duì)稱點(diǎn)
,在
繞點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,
的最小值為
;⑤
繞點(diǎn)
旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)
落在
上,當(dāng)點(diǎn)
落在
上時(shí),取
上一點(diǎn)
,使得
,連接
,則
．其中正確結(jié)論的序號(hào)是___.12.如圖所示,已知
中,
,
,
,
、
是
的邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)
從點(diǎn)
開(kāi)始沿
方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒
,點(diǎn)
從點(diǎn)
開(kāi)始沿
方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒
,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為
.(1)則
____________
;（2）當(dāng)
為何值時(shí),點(diǎn)
在邊
的垂直平分線上?此時(shí)
_________?（3）當(dāng)點(diǎn)
在邊
上運(yùn)動(dòng)時(shí),直接寫(xiě)出使
成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．13.如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB＝∠ECD＝90°,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E在邊AC的左側(cè),連接AE.(1)求證:AE＝BD;(2)試探究線段AD.BD與CD之間的數(shù)量關(guān)系;(3)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE交AB于點(diǎn)F,若BD:AF＝1:2
,CD＝
,求線段AB的長(zhǎng)．14.閱讀與理解:折紙,常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如,在
中,
（如圖）,怎樣證明
呢？分析:把
沿
的角平分線
翻折,因?yàn)?,所以,點(diǎn)
落在
上的點(diǎn)
處,即
,據(jù)以上操作,易證明
,所以
,又因?yàn)?,所以
.感悟與應(yīng)用:（1）如圖（a）,在
中,
,
,
平分
,試判斷
和
、
之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由；(2)如圖(b),在四邊形
中,
平分
,
,
,
,①求證:
;②求
的長(zhǎng).15．如圖1,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)A點(diǎn)C重合,連接BD并延長(zhǎng),在BD延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使AE＝AB,連接CE．(1)若∠AED＝20°,則∠DEC＝度;(2)若∠AED＝a,試探索∠AED與∠AEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想;(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,求證:EH2+CH2＝2AE2.16.如圖,在兩個(gè)等腰直角
和
中,∠ACB=∠DCE=90°.(1)觀察猜想:如圖1,點(diǎn)E在BC上,線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;（2）探究證明:把
繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把
繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AC=BC=10,DE=12,當(dāng)A、E、D三點(diǎn)在直線上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)．17.如圖,在△ABC中,AB＝30cm,BC＝35cm,∠B＝60°,有一動(dòng)點(diǎn)M自A向B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N自B向C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),若M,N同時(shí)分別從A,B出發(fā).(1)經(jīng)過(guò)多少秒,△BMN為等邊三角形;(2)經(jīng)過(guò)多少秒,△BMN為直角三角形．18.在
中,
,CD是AB邊上的高,若
.(1)求CD的長(zhǎng).(2)動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為1個(gè)單位/秒;動(dòng)點(diǎn)Q在邊AC上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),速度為v個(gè)單位秒
,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
,當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)C時(shí),兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).①若當(dāng)
時(shí),
,求t的值.②若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在某一時(shí)刻,使
成立,求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.19.已知a,b,c滿足

＝|c﹣17|+b2﹣30b+225,(1)求a,b,c的值;（2）試問(wèn)以a,b,c為邊能否構(gòu)成三角形?若能構(gòu)成三角形,求出三角形的周長(zhǎng)和面積；若不能構(gòu)成三角形,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.已知
是等邊三角形,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AD
如圖1,若
,
,求AD的長(zhǎng);
如圖2,以AD為邊作
,分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.
小明通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn),提出猜想:在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有
,小明把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過(guò)討論,形成了證明該猜想的兩種想法想法1:利用AD是
的角平分線,構(gòu)造角平分線的性質(zhì)定理的基本圖形,然后通過(guò)全等三角形的相關(guān)知識(shí)獲證.想法2：利用AD是
的角平分線,構(gòu)造
的全等三角形,然后通過(guò)等腰三角形的相關(guān)知識(shí)獲證.請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小明證明
一種方法即可

小聰在小明的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行思考,發(fā)現(xiàn)：四邊形AEDF的面積與AD長(zhǎng)存在很好的關(guān)系
若用S表示四邊形AEDF的面積,x表示AD的長(zhǎng),請(qǐng)你直接寫(xiě)出S與x之間的關(guān)系式．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記,請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、解答題1.(1)詳見(jiàn)解析;(2)①線段
的長(zhǎng)度是方程
的一個(gè)根,理由詳見(jiàn)解析;②
【分析】(1)根據(jù)題意,利用尺規(guī)作圖畫(huà)出圖形即可;(2)①根據(jù)勾股定理求出AD,然后把AD的值代入方程,即可得到答案;②先得到出邊長(zhǎng)的關(guān)系,然后根據(jù)勾股定理,列出方程,解方程后得到答案.【詳解】(1)解:作圖,如圖所示:(2)解:①線段
的長(zhǎng)度是方程
的一個(gè)根.理由如下:依題意得,
在
中,
；線段的長(zhǎng)度是方程的一個(gè)根②依題意得:
在
中,
【點(diǎn)睛】本題考查的是基本作圖,勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解題的關(guān)鍵.2．（1）證明見(jiàn)解析；（2）AF＝5cm；（3）①有可能是矩形,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是8,Q的速度是0.5cm/s；②t＝
．【解析】【分析】(1)證△AEO≌△CFO,推出OE=OF,根據(jù)平行四邊形和菱形的判定推出即可;(2)設(shè)AF=CF=a,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a的方程,求出即可;（3）①只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,求出時(shí)間t,即可求出答案；②分為三種情況,P在AF上,P在BF上,P在AB上,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可．【詳解】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEO＝∠CFO,∵AC的垂直平分線EF,∴AO＝OC,AC⊥EF,在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE＝OF,∵OA＝OC,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵AC⊥EF,∴平行四邊形AECF是菱形;(2)解:設(shè)AF＝acm,∵四邊形AECF是菱形,∴AF＝CF＝acm,∵BC＝8cm,∴BF＝(8﹣a)cm,在Rt△ABF中,由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2,a＝5，即AF＝5cm;(3)解:①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以A.P、C.Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A.P、C.Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是:（5+3）÷1＝8,Q的速度是：4÷8＝0.5,即Q的速度是0.5cm/s;②分為三種情況:第一、P在AF上,∵P的速度是1cm/s,而Q的速度是0.8cm/s,∴Q只能再CD上,此時(shí)當(dāng)A.P、C.Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;第二、當(dāng)P在BF上時(shí),Q在CD或DE上,只有當(dāng)Q在DE上時(shí),當(dāng)A.P、C.Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形才有可能是平行四邊形,如圖,∵AQ＝8﹣(0.8t﹣4）,CP＝5+(t﹣5）,∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5）,t＝，第三情況:當(dāng)P在AB上時(shí),Q在DE或CE上,此時(shí)當(dāng)A.P、C.Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;即t＝
.【點(diǎn)睛】考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的判定和性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,用了方程思想,分類討論思想.3.（1）AB＝4
；（2）見(jiàn)解析；（3）CD+CF的最小值為4
.【分析】(1)根據(jù)勾股定理可求AB的長(zhǎng);(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OF＝EF,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF＝DF,設(shè)OF＝EF＝x,AE＝4﹣2x,根據(jù)勾股定理用參數(shù)x表示DE,CE的長(zhǎng),即可證CE＝
DE;（3）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OB,在BM上截取BM＝AO,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BM,交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,根據(jù)銳角三角函數(shù)可得∠ABO＝30°,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AC＝AO＝4,BO＝BC＝4
,∠ABO＝∠ABC＝30°,∠OAB＝∠CAB＝60°,根據(jù)“SAS”可證△ACF≌△BMD,可得CF＝DM,則當(dāng)點(diǎn)D在CM上時(shí),CF+CD的值最小,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求CN,BN的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理可求CM的長(zhǎng),即可得CF+CD的最小值．【詳解】(1)∵點(diǎn)A(0,4),B(m,0),且m＝8,∴AO＝4,BO＝8,在Rt△ABO中,AB＝
（2）如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO,∵DE＝DO,DF⊥AO,∴EF＝FO,∵m＝4,∴AO＝BO＝4,∴∠ABO＝∠OAB＝45°,∵點(diǎn)C,O關(guān)于直線AB對(duì)稱,∴∠CAB＝∠CBA＝45°,AO＝AC＝OB＝BC＝4,∴∠CAO＝∠CBO＝90°,∵DF⊥AO,∠BAO＝45°,∴∠DAF＝∠ADF＝45°,∴AF＝DF,設(shè)OF＝EF＝x,AE＝4﹣2x,∴AF＝DF＝4﹣x,在Rt△DEF中,DE＝
在Rt△ACE中,CE＝
∴CE＝
DE,（3）如圖,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OB,在BM上截取BM＝AO,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BM,交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,∵m＝4
,∴OB＝4
,∴tan∠ABO＝
,∴∠ABO＝30°∵點(diǎn)C,O關(guān)于直線AB對(duì)稱,∴AC＝AO＝4,BO＝BC＝4
,∠ABO＝∠ABC＝30°,∠OAB＝∠CAB＝60°,∴∠CAF＝120°,∠CBO＝60°∵BM⊥OB,∠ABO＝30°,∴∠ABM＝120°,∴∠CAF＝∠ABM,且DB＝AF,BM＝AO＝AC＝4,∴△ACF≌△BMD(SAS)∴CF＝DM,∵CF+CD＝CD+DM,∴當(dāng)點(diǎn)D在CM上時(shí),CF+CD的值最小,即CF+CD的最小值為CM的長(zhǎng),∵∠CBO＝60°,BM⊥OB,∴∠CBN＝30°,且BM⊥OB,BC＝4
,∴CN＝2
,BN＝
CN＝6,∴MN＝BM+BN＝4+6＝10,在Rt△CMN中,CM＝
,∴CD+CF的最小值為.【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題,考查了等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,軸對(duì)稱的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),最短路徑問(wèn)題等知識(shí),靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.4．（1）詳見(jiàn)解析；（2）ⅰ）四邊形AGBE是平行四邊形,證明詳見(jiàn)解析；ⅱ）
.【解析】【分析】(1)只要證明△BAE≌△ACD;(2)ⅰ)四邊形AGBE是平行四邊形,只要證明BG=AE,BG∥AE即可;ⅱ）求出四邊形BGAE的周長(zhǎng),△ABC的周長(zhǎng)即可；【詳解】(1)證明:如圖1中,∵△ABC是等邊三角形,∴AB＝AC,∠BAE＝∠C＝60°,∵AE＝CD,∴△BAE≌△ACD,∴∠ABE＝∠CAD.（2）?。┤鐖D2中,結(jié)論：四邊形AGBE是平行四邊形．理由:∵△ADG,△ABC都是等邊三角形,∴AG＝AD,AB＝AC,∴∠GAD＝∠BAC＝60°,∴△GAB≌△DAC,∴BG＝CD,∠ABG＝∠C,∵CD＝AE,∠C＝∠BAE,∴BG＝AE,∠ABG＝∠BAE,∴BG∥AE,∴四邊形AGBE是平行四邊形,ⅱ）如圖2中,作AH⊥BC于H．∵BH＝CH＝∴∴∴四邊形BGAE的周長(zhǎng)＝
,△ABC的周長(zhǎng)＝3(k+1),∴四邊形AGBE與△ABC的周長(zhǎng)比＝【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?？碱}型.5.（1）
；（2）見(jiàn)解析；（3）
.【解析】【分析】(1)證明ΔFME≌ΔAMH,得到HM=EM,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)A.E.C在同一條直線上,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知.(3)如圖3中,連接EC,EM,由(1)(2)可知,△CME是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.【詳解】解:(1)結(jié)論:CM＝ME,CM⊥EM.理由:∵AD∥EF,AD∥BC,∴BC∥EF,∴∠EFM＝∠HBM,在△FME和△BMH中,∴△FME≌△BMH(ASA),∴HM＝EM,EF＝BH,∵CD＝BC,∴CE＝CH,∵∠HCE＝90°,HM＝EM,∴CM＝ME,CM⊥EM.（2）如圖2,連接
,∵四邊形
和四邊形
是正方形,∴∴點(diǎn)
在同一條直線上,∵
,
為
的中點(diǎn),∴
,
,∴
,∵
,∴
,∵，∴∴，∴，∴．(3)如圖3中,連接EC,EM.由(1)(2)可知,△CME是等腰直角三角形,∵∴CM＝EM＝【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.6．（1）S=
（2）
（3）存在,(6,6)或
,
【解析】【分析】(1)當(dāng)P在AC段時(shí),△BPD的底BD與高為固定值,求出此時(shí)面積;當(dāng)P在BC段時(shí),底邊BD為固定值,用t表示出高,即可列出S與t的關(guān)系式;(2)當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上時(shí),設(shè)P(m,10),則PB=PB′=m,由勾股定理得m2=22+(6-m)2,即可求出此時(shí)P坐標(biāo);（3）存在,分別以BD,DP,BP為底邊三種情況考慮,利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可．【詳解】解:(1)∵A,B的坐標(biāo)分別是(6,0)、(0,10),∴OA=6,OB=10,當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí),OD=2,BD=OB-OD=10-2=8,高為6,∴S=
×8×6=24;當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),BD=8,高為6+10-t=16-t,∴S=
×8×(16-t)=-4t+64;∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:
;（2）設(shè)P（m,10）,則PB=PB′=m,如圖1,∵OB′=OB=10,OA=6,∴AB′=
=8,∴B′C=10-8=2,∵PC=6-m,∴m2=22+（6-m）2,解得m=則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(
,10);(3)存在,理由為:若△BDP為等腰三角形,分三種情況考慮：如圖2,①當(dāng)BD=BP1=OB-OD=10-2=8,在Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,根據(jù)勾股定理得:CP1=
,∴AP1＝10?
,即P1(6,10-
),②當(dāng)BP2=DP2時(shí),此時(shí)P2（6,6）;③當(dāng)DB=DP3=8時(shí),在Rt△DEP3中,DE=6,根據(jù)勾股定理得:P3E=
,∴AP3=AE+EP3=
+2,即P3(6,
+2),綜上,滿足題意的P坐標(biāo)為（6,6）或（6,10-
）,（6,
+2）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了矩形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),注意分類討論思想和方程思想的運(yùn)用.7．(1)45°；(2)GF=AG+CF,證明見(jiàn)解析；(3)①6；②
,理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)如圖1中,連接BE.利用全等三角形的性質(zhì)證明EB=ED,再利用等角對(duì)等邊證明EB=EF即可解決問(wèn)題.(2)猜想:GF=AG+CF.如圖2中,將△CDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°,得△ADH,證明△GDH≌△GDF(SAS)即可解決問(wèn)題.（3）①設(shè)CF=x,則AH=x,BF=6-x,GF=3+x,利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可.②設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,利用勾股定理構(gòu)建關(guān)系式,利用整體代入的思想解決問(wèn)題即可．【詳解】解:(1)如圖1中,連接BE.∵四邊形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠ECD=∠ECB=45°,∵EC=EC,∴△ECB≌△ECD(SAS),∴EB=ED,∠EBC=∠EDC,∵∠DEF=∠DCF=90°,∴∠EFC+∠EDC=180°,∵∠EFB+∠EFC=180°,∴∠EFB=∠EDC,∴∠EBF=∠EFB,∴EB=EF,∴DE=EF,∵∠DEF=90°,∴∠EDF=45°故答案為45°.(2)猜想:GF=AG+CF.如圖2中,將△CDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°,得△ADH,∴∠CDF=∠ADH,DF=DH,CF=AH,∠DAH=∠DCF=90°,∵∠DAC=90°,∴∠DAC+∠DAH=180°,∴H、A.G三點(diǎn)共線,∴GH=AG+AH=AG+CF,∵∠EDF=45°,∴∠CDF+∠ADG=45°,∴∠ADH+∠ADG=45°∴∠GDH=∠EDF=45°又∵DG=DG∴△GDH≌△GDF(SAS)∴GH=GF,∴GF=AG+CF.(3)①設(shè)CF=x,則AH=x,BF=6-x,GF=3+x,則有（3+x）2=（6-x）2+32,解得x=2∴S△BFG=
?BF?BG=6.②設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,∵AG=a,CF=b,∴BF=x-b,BG=x-a,GF=a+b,則有(x-a)2+(x-b)2=(a+b)2,化簡(jiǎn)得到:x2-ax-bx=ab,∴S=
（x-a）（x-b）=
（x2-ax-bx+ab）=
×2ab=ab.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題,屬于中考?？碱}型.8．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能,理由見(jiàn)解析,②見(jiàn)解析【分析】(1)先由直角三角形是類勾股三角形得出ab+a2=c2,再由勾股定理得a2+b2=c2,即可判斷出此直角三角形是等腰直角三角形;(2)由類勾股三角形的定義判斷出此三角形是等腰直角三角形,即可得出結(jié)論;（3）①分三種情況,利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;②先求出CD=CB=a,AD=CD=a,DB=AB-AD=c-a,DG=BG=
（c-a）,AG=
（a+c）,兩個(gè)直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出結(jié)論．【詳解】解:(1)如圖1,假設(shè)Rt△ABC是類勾股三角形,∴ab+a2＝c2,在Rt△ABC中,∠C＝90°,根據(jù)勾股定理得,a2+b2＝c2,∴ab+b2＝a2+b2,∴ab＝a2,∴a＝b,∴△ABC是等腰直角三角形,∴等腰直角三角形是類勾股三角形,即：原命題是假命題,故答案為:假;(2）∵AB＝BC,AC＞AB,∴a＝c,b＞c,∵△ABC是類勾股三角形,∴ac+a2＝b2,∴c2+a2＝b2,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠A＝45°,(3)①在△ABC中,∠ABC＝2∠BAC,∠BAC＝32°,∴∠ABC＝64°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得,∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°,∵把這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形,∴(Ⅰ)、當(dāng)∠BCD＝∠BDC時(shí),∵∠ABC＝64°,∴∠BCD＝∠BDC＝58°,∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°,∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形,此種情況不成立;(Ⅱ）、當(dāng)∠BCD＝∠ABC＝64°時(shí),∴∠BDC＝52°,∴∠ACD＝20°,∠ADC＝128°,∴△ACD是等腰三角形,此種情況不成立;(Ⅲ）、當(dāng)∠BDC＝∠ABC＝64°時(shí),∴∠BCD＝52°,∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC,∴△ACD是等腰三角形,即：分割線和頂角標(biāo)注如圖2所示,Ⅱ、分∠ABC,同(Ⅰ)的方法,判斷此種情況不成立;Ⅲ、分∠BAC,同(Ⅱ)的方法,判斷此種情況不成立;②如圖3,在AB邊上取點(diǎn)D,連接CD,使∠ACD＝∠A圖3作CG⊥AB于G,∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A,∵∠B＝2∠A,∴∠CDB＝∠B,∴CD＝CB＝a,∵∠ACD＝∠A,∴AD＝CD＝a,∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a,∵CG⊥AB,∴DG＝BG＝
(c﹣a),∴AG＝AD+DG＝a+
(c﹣a)＝
(a+c),在Rt△ACG中,CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[
(c+a)]2,在Rt△BCG中,CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[
(c﹣a)]2,∴b2﹣[
(a+c）]2＝a2﹣[
(c﹣a）]2,∴b2＝ac+a2,∴△ABC是“類勾股三角形”.【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題,主要考查了等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,新定義"類勾股三角形",分類討論的數(shù)學(xué)思想,解本題的關(guān)鍵是理解新定義.9.（1）見(jiàn)解析；（2）
.【分析】(1)由等邊三角形的判定定理可得△ABD為等邊三角形,又由平行進(jìn)行角度間的轉(zhuǎn)化可得出結(jié)論.（2）連接AC交BD于點(diǎn)O,由題意可證AC垂直平分BD,△ABD是等邊三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4,通過(guò)證明△EDF是等邊三角形,可得DE=EF=DF=2,由勾股定理可求OC,BC的長(zhǎng)．【詳解】(1)證明:∵
,
,∴△是等邊三角形.∴.∵
∥
,∴.∴.(2)解:連接
交
于點(diǎn)
,∵
,
,∴垂直平分.∴.∵△
是等邊三角形,
∴，∴.∵
∥
,∴.∴,.∵.∴.∴△是等邊三角形.∴,∴,.在Rt△
中,∴.在Rt△
中,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,熟練運(yùn)用等邊三角形的判定是本題的關(guān)鍵.10．（1）出發(fā)2秒后,線段PQ的長(zhǎng)為
；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)
秒后,△PQB是等腰三角形；（3）當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí),△BCQ為等腰三角形.【分析】(1)由題意可以求出出發(fā)2秒后,BQ和PB的長(zhǎng)度,再由勾股定理可以求得PQ的長(zhǎng)度;(2)設(shè)所求時(shí)間為t,則可由題意得到關(guān)于t的方程,解方程可以得到解答;（3）點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),ΔBCQ為等腰三角形有三種情況存在,對(duì)每種情況進(jìn)行討論可以得到解答．【詳解】(1)BQ=2×2=4cm,BP=AB?AP=8?2×1=6cm,∵∠B=90°,由勾股定理得:PQ=
∴出發(fā)2秒后,線段PQ的長(zhǎng)為
;(2)BQ=2t,BP=8?t由題意得:2t=8?t解得:t=
∴當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)
秒后,△PQB是等腰三角形;(3)∵∠ABC=90°,BC=6,AB=8,∴AC=
=10.①當(dāng)CQ=BQ時(shí)(圖1),則∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=5,∴BC+CQ=11,∴t=11÷2=5.5秒；②當(dāng)CQ=BC時(shí)(如圖2),則BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③當(dāng)BC=BQ時(shí)(如圖3),過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E,∴BE=
,所以CE=
=
=3.6,故CQ=2CE=7.2,所以BC+CQ=13.2,∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知,當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí),△BCQ為等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,利用分類討論思想和方程方法、綜合力學(xué)的運(yùn)動(dòng)知識(shí)和三角形邊角的有關(guān)知識(shí)求解是解題關(guān)鍵.11.②③⑤【分析】①先證得
,利用鄰補(bǔ)角和等腰直角三角形的性質(zhì)求得
,利用勾股定理求出
,即可求得點(diǎn)
到直線
的距離;②根據(jù)①的結(jié)論,利用

即可求得結(jié)論;③在
中,利用勾股定理求得
,再利用三角形面積公式即可求得
;④當(dāng)
共線時(shí),
最小,利用對(duì)稱的性質(zhì),
的長(zhǎng),再求得
的長(zhǎng),即可求得結(jié)論;⑤先證得
,得到
,根據(jù)條件得到
,利用互余的關(guān)系即可證得結(jié)論．【詳解】①∵
與
都是等腰直角三角形,∴
,
,
,
,
,∴，∴，∴，∴，∴，∵
,
,∴，∴，解得:
,作BH⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,∵
,
,∴，∴，∴點(diǎn)
到直線
的距離為
,故①錯(cuò)誤;②由①知：
,
,
,∴
,故②正確;③在
中,由①知：
,∴，，
,故③正確;④因?yàn)?是定值,所以當(dāng)
共線時(shí),
最小,如圖,連接BC,∵
關(guān)于
的對(duì)稱,∴，∴，∴，
,故④錯(cuò)誤;⑤∵
與
都是等腰直角三角形,∴
,
,
,
,在
和
中,
,∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴
,故⑤正確;綜上,②③⑤正確,故答案為：②③⑤.【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題,主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,綜合性強(qiáng),全等三角形的判定和性質(zhì)的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.12．（1）12；（2）t=12.5s時(shí),13cm；（3）11s或12s或13.2s【分析】(1)由勾股定理即可得出結(jié)論;(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)得到PC=PA=t,則PB=16-t.在Rt△BPC中,由勾股定理可求得t的值,判斷出此時(shí),點(diǎn)Q在邊AC上,根據(jù)CQ=2t-BC計(jì)算即可;（3）用t分別表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況,分別得到關(guān)于t的方程,可求得t的值．【詳解】(1)在Rt△ABC中,BC
(cm).故答案為:12;(2)如圖,點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上時(shí),連接PC,∴PC=PA=t,PB=16-t.在Rt△BPC中,
,即
,解得:t=
.∵Q從B到C所需的時(shí)間為12÷2=6(s),
＞6,∴此時(shí),點(diǎn)Q在邊AC上,CQ=
(cm)；(3)分三種情況討論:①當(dāng)CQ=BQ時(shí),如圖1所示,則∠C=∠CBQ.∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=10,∴BC+CQ=22,∴t=22÷2=11(s).②當(dāng)CQ=BC時(shí),如圖2所示,則BC+CQ=24,∴t=24÷2=12(s).③當(dāng)BC=BQ時(shí),如圖3所示,過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E,則BE
,∴CE
=7.2.∵BC=BQ,BE⊥CQ,∴CQ=2CE=14.4,∴BC+CQ=26.4,∴t=26.4÷2=13.2(s).綜上所述：當(dāng)t為11s或12s或13.2s時(shí),△BCQ為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí).用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng),化"動(dòng)"為"靜"是解決這類問(wèn)題的一般思路,注意方程思想的應(yīng)用.13.（1）見(jiàn)解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2
+4.【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD即可得到結(jié)論;(2)利用全等三角形的性質(zhì)及勾股定理即可證得結(jié)論;（3）連接EF,設(shè)BD＝x,利用（1）、（2）求出EF=3x,再利用勾股定理求出x,即可得到答案.【詳解】(1)證明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC,EC＝DC,∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE＝BD.(2)解:由(1)得△ACE≌△BCD,∴∠CAE＝∠CBD,又∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°,∴∠EAD＝90°,在Rt△ADE中,AE2+AD2＝ED2,且AE＝BD,∴BD2+AD2＝ED2,∵ED＝
CD,∴BD2+AD2＝2CD2,（3）解：連接EF,設(shè)BD＝x,∵BD:AF＝1:2
,則AF＝2
x,∵△ECD都是等腰直角三角形,CF⊥DE,∴DF＝EF,由(1)、(2)可得,在Rt△FAE中,EF＝
＝
＝3x,∵AE2+AD2＝2CD2,∴，解得x＝1,∴AB＝2
+4.【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定及性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理.14.（1）BC?AC＝AD；理由詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；②AB=14【分析】(1)在CB上截取CE＝CA,連接DE,證△ACD≌△ECD得DE＝DA,∠A＝∠CED＝60°,據(jù)此∠CED＝2∠CBA,結(jié)合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE,即可得DE＝BE,進(jìn)而得出答案;(2)①在AB上截取AM＝AD,連接CM,先證△ADC≌△AMC,得到∠D＝∠AMC,CD＝CM,結(jié)合CD＝BC知CM＝CB,據(jù)此得∠B＝∠CMB,根據(jù)∠CMB＋∠CMA＝180°可得;②設(shè)BN＝a,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N,由CB＝CM知BN＝MN＝a,CN2＝BC2?BN2＝AC2?AN2,可得關(guān)于a的方程,解之可得答案．【詳解】解:(1)BC?AC＝AD.理由如下:如圖(a),在CB上截取CE＝CA,連接DE,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD＝∠ECD,又CD＝CD,∴△ACD≌△ECD(SAS),∴DE＝DA,∠A＝∠CED＝60°,∴∠CED＝2∠CBA,∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE,∴∠CBA＝∠BDE,∴DE＝BE,∴AD＝BE,∵BE＝BC?CE＝BC?AC,∴BC?AC＝AD.(2)①如圖(b),在AB上截取AM＝AD,連接CM,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC＝∠MAC,∵AC＝AC,∴△ADC≌△AMC(SAS),∴∠D＝∠AMC,CD＝CM＝12,∵CD＝BC＝12,∴CM＝CB,∴∠B＝∠CMB,∵∠CMB＋∠CMA＝180°,∴∠B＋∠D＝180°;②設(shè)BN＝a,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N,∵CB＝CM＝12,∴BN＝MN＝a,在Rt△BCN中,
,在Rt△ACN中,
,則，解得:a＝3,即BN＝MN＝3,則AB＝8+3+3=14,∴AB=14.【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題,以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì);本題有一定難度,需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果.15．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°,理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝140°,可得∠CAE＝50°,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC＝∠ACE＝65°,即可求解;(2)由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝180°﹣2α,可得∠CAE＝90°﹣2α,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α,可得結(jié)論;（3）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AH于G,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得EH＝
EF,CH＝
CG,由“AAS”可證△AFB≌△CGA,可得AF＝CG,由勾股定理可得結(jié)論．【詳解】解:(1)∵AB＝AC,AE＝AB,∴AB＝AC＝AE,∴∠ABE＝∠AEB,∠ACE＝∠AEC,∵∠AED＝20°,∴∠ABE＝∠AED＝20°,∴∠BAE＝140°,且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°,∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°,且∠ACE＝∠AEC,∴∠AEC＝∠ACE＝65°,∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°,故答案為:45;(2)猜想:∠AEC﹣∠AED＝45°,理由如下:∵∠AED＝∠ABE＝α,∴∠BAE＝180°﹣2α,∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α,∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°,且∠ACE＝∠AEC,∴∠AEC＝45°+α,∴∠AEC﹣∠AED＝45°;（3）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AH于G,∵∠AEC﹣∠AED＝45°,∴∠FEH＝45°,∵AH⊥BE,∴∠FHE＝∠FEH＝45°,∴EF＝FH,且∠EFH＝90°,∴EH＝
EF,∵∠FHE＝45°,CG⊥FH,∴∠GCH＝∠FHE＝45°,∴GC＝GH,∴CH＝
CG,∵∠BAC＝∠CGA＝90°,∴∠BAF+∠CAG＝90°,∠CAG+∠ACG＝90°,∴∠BAF＝∠ACG,且AB＝AC,∠AFB＝∠AGC,∴△AFB≌△CGA(AAS)∴AF＝CG,∴CH＝
AF,∵在Rt△AEF中,AE2＝AF2+EF2,∴(
AF)2+(
EF)2＝2AE2,∴EH2+CH2＝2AE2.【點(diǎn)睛】本題是綜合了等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,三個(gè)問(wèn)題由易到難,在熟練掌握各個(gè)相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上找到問(wèn)題之間的內(nèi)部聯(lián)系,層層推進(jìn)去解答是關(guān)鍵.16．（1）
,
；（2）成立,理由見(jiàn)解析；（3）14或2．【分析】(1)先根據(jù)等腰三角形的定義可得
,
,再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得
,
,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余、等量代換即可得
,由此即可得;(2)先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得
,
,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得
,然后根據(jù)對(duì)頂角相等、等量代換可得
,從而可得
,由此即可得;（3）先利用勾股定理求出
,再分①點(diǎn)
在直線上,且點(diǎn)E位于中間,②點(diǎn)
在直線上,且點(diǎn)D位于中間兩種情況,結(jié)合（1）（2）的結(jié)論,利用勾股定理求解即可得．【詳解】(1)
,
,理由如下:如圖1,延長(zhǎng)AE交BD于H,由題意得：
,
,
,∴，∴
,
,∵，∴，∴，即，故答案為:
,
;(2)成立,理由如下:如圖2,延長(zhǎng)AE交BD于H,交BC于O,∵，∴
,即
,在
和
中,
,∴，∴
,
,∵，∴，∵，∴
,即
,∴，即；(3)設(shè)
,，，由題意,分以下兩種情況:①如圖3-1,點(diǎn)
在直線上,且點(diǎn)E位于中間,同理可證：
,
,，，在
中,
,即
,解得
或
（不符題意,舍去）,即，②如圖3-2,點(diǎn)
在直線上,且點(diǎn)D位于中間,同理可證：
,
,，，在
中,
,即
,解得
或
（不符題意,舍去）,即，綜上,AD的長(zhǎng)為14或2.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),較難的是題(3),正確分兩種情況討論,并畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵.17．(1)出發(fā)10s后,△BMN為等邊三角形；(2)出發(fā)6s或15s后,△BMN為直角三角形．【分析】(1)設(shè)時(shí)間為x,表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x,根據(jù)等邊三角形的判定列出方程,解之可得;（2）分兩種情況：①∠BNM=90°時(shí),即可知∠BMN=30°,依據(jù)BN=
BM列方程求解可得；②∠B