吉林省吉林二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+1=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（）

A.{1,2}

B.{0,1,2}

C.{0,2}

D.{1,2,3}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(1,2)

3.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z^2+z+1=0，則z的值為（）

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，則前n項(xiàng)和S_n的最小值為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，且周期為π，則φ的值為（）

A.kπ

B.kπ+π/2

C.kπ+π/4

D.kπ+π/3

6.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，則直線l:ax+by+c=0與圓C相切的條件是（）

A.a^2+b^2=5

B.a^2+b^2=10

C.a^2+b^2=20

D.a^2+b^2=25

7.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.4

B.5

C.6

D.7

8.已知三角形ABC的三邊長分別為a,b,c，且滿足a^2+b^2=c^2，則角C的度數(shù)可能是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，則向量a+b的模長為（）

A.√10

B.√13

C.√15

D.√17

10.已知事件A的概率為P(A)=1/3，事件B的概率為P(B)=1/4，且A與B互斥，則P(A∪B)的值為（）

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+3在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.{a|a≥1}

B.{a|a≤1}

C.{a|a≥2}

D.{a|a≤2}

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{1,2,3}

B.{1,2,6}

C.{2,3}

D.{1,6}

3.已知復(fù)數(shù)z=m+mi，其中m為實(shí)數(shù)，且|z|=1，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.1

B.-1

C.√2

D.-√2

4.已知等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為2，公比為1/2，則前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式為（）

A.S_n=4(1-(1/2)^n)

B.S_n=4(1-(1/2)^(n-1))

C.S_n=4(1-(1/2)^(n+1))

D.S_n=4(1-(1/2)^(n+2))

5.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，則直線l:ax+by+c=0與圓C相交的條件是（）

A.a^2+b^2>9

B.a^2+b^2=9

C.a^2+b^2<9

D.a^2+b^2≤9

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+1，則f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)的表達(dá)式為____________。

2.已知圓C的方程為(x+2)^2+(y-3)^2=16，則圓心C的坐標(biāo)為____________，半徑r為____________。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為3，公差為2，則第10項(xiàng)a_{10}的值為____________。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)，則f(x)的最小正周期T為____________。

5.已知向量a=(2,3)，b=(-1,4)，則向量a與向量b的點(diǎn)積a·b的值為____________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程x^2-5x+6=0。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)dx。

3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，求向量a與向量b的夾角θ的余弦值cosθ。

4.求極限lim(x→0)(sinx/x)。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.D

解析：集合A={1,2}，B?A，所以B只能是{1}，{2}，或{1,2}。若B={1}，則x^2-mx+1=1，即x^2-mx=0，得m=x（x≠0），此時(shí)m可以取任意非零實(shí)數(shù)。若B={2}，則x^2-mx+1=4，即x^2-mx-3=0，解得m=x±√(x^2+3)，此時(shí)m可以取任意實(shí)數(shù)。若B={1,2}，則x^2-mx+1=0的根為1和2，由韋達(dá)定理得m=1+2=3。綜上，m可以取任意實(shí)數(shù)，即m∈R。但題目要求B?A，所以只有當(dāng)B={1,2}時(shí)才滿足條件，此時(shí)m=3。故選D。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)的單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)。當(dāng)a>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減。由于f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，所以a>1。故選B。

3.D

解析：由|z|=1得z=±√3/2+(?√3/2)i。代入z^2+z+1=0得(±√3/2+(?√3/2)i)^2+(±√3/2+(?√3/2)i)+1=0，化簡得-1/2±√3/2i+√3/2i±3/2i^2+√3/2+√3/2i+1=0，即-1/2±√3i+√3i-3/2+√3/2+√3/2i+1=0，即-1/2-3/2+√3/2+1+(±√3+√3)i=0，即0+(2√3)i=0，矛盾。故z必須為-i。故選D。

4.B

解析：S_n=na_1+n(n-1)/2d=n+n(n-1)=n^2-n+n=n^2。當(dāng)n=1時(shí)，S_n=1。對于n≥2，S_n隨n增大而增大。故最小值為1。故選B。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則f(-x)=f(x)，即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ)，得-ωx+φ=ωx+φ+2kπ或-ωx+φ=π-ωx-φ+2kπ，k∈Z?；喌忙豿=0或2φ=π+2kπ，k∈Z。由于x≠0，所以φ=kπ+π/2，k∈Z。由于周期為π，所以ω=2π/π=2。故選B。

6.A

解析：圓心(1,2)，半徑r=2。直線l與圓C相切，則圓心到直線的距離d=r=2。即|a*1+b*2+c|/√(a^2+b^2)=2，化簡得a^2+4b^2+4ac=4(a^2+b^2)。故a^2+b^2=5。故選A。

7.C

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=0，f(-2)=-10。故最大值為max{2,0,-10}=2。但f(2)=0，f(-2)=-10，f(0)=2，f(1)=0，f(3)=2。故最大值為max{f(-2),f(0),f(2)}=max{-10,2,0}=2。但f(2)=0，f(1)=0，f(0)=2，f(3)=2。故最大值為max{f(0),f(3)}=max{2,2}=2。但f(3)=2，f(4)=6。故最大值為6。故選C。

8.D

解析：a^2+b^2=c^2是勾股定理的逆定理，所以角C是直角。故選D。

9.B

解析：|a+b|=√((1+3)^2+(2-1)^2)=√(16+1)=√17。故選B。

10.5/12

解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/3+1/4=4/12+3/12=7/12。但A與B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1/3+1/4=4/12+3/12=7/12。故選7/12。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AD

解析：f'(x)=2x-2a。令f'(x)=0得x=a。由于f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0對x∈(-∞,1]恒成立。即2x-2a≤0對x∈(-∞,1]恒成立，即x≤a對x∈(-∞,1]恒成立，所以a≥1。故選AD。

2.CD

解析：A={1,3}。若B=?，則x^2-ax+1=0無實(shí)根，Δ=a^2-4<0，即-2<a<2。但a=1時(shí)，Δ=1-4=-3<0，B=??A。a=2時(shí)，Δ=4-4=0，B={1}?A。a=6時(shí)，Δ=36-4=32>0，B={1,5}?A。故B?A時(shí)，a可以取1或2。故選CD。

3.AC

解析：|z|=√(m^2+m^2)=√(2m^2)=1，即2m^2=1，m^2=1/2，m=±√2/2。故選AC。

4.AB

解析：S_n=2[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=4[1-(1/2)^n]。故選AB。

5.AC

解析：圓心(1,2)，半徑r=3。圓心到直線的距離d=|a*1+b*2+c|/√(a^2+b^2)。若d>r，則相離；若d=r，則相切；若d<r，則相交。即a^2+b^2>9時(shí)相離；a^2+b^2=9時(shí)相切；a^2+b^2<9時(shí)相交。故選AC。

三、填空題答案及解析

1.y=log_2(x-1)+1

解析：令y=f(x)，則x=2^y+1。交換x,y得y=2^x+1。故f^(-1)(x)=log_2(x-1)+1。

2.(-2,3),4

解析：圓心坐標(biāo)為(-2,3)，半徑r=√16=4。

3.21

解析：a_{10}=a_1+9d=3+9*2=21。

4.π

解析：T=2π/ω=2π/(1)=2π。

5.5

解析：a·b=2*(-1)+3*4=-2+12=10。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=2或x=3

解析：因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

2.x^3/3+x^2/2+3x+C

解析：∫(x^2+2x+3)dx=∫x^2dx+∫2xdx+∫3dx=x^3/3+x^2/2+3x+C。

3.-11/14

解析：cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)=((1)(2)+(2)(-1)+(3)(1))/(√(1^2+2^2+3^2)·√(2^2+(-1)^2+1^2))=(2-2+3)/(√14·√6)=3/(√84)=3/(2√21)=√21/14。但計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為-11/14。

4.1

解析：lim(x→0)(sinx/x)=1。

5.最大值=2，最小值=-10

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=0，f(-2)=-10，f(2)=0。故最大值為max{f(0),f(2)}=max{2,0}=2。最小值為min{f(-2),f(0),f(2)}=min{-10,2,0}=-10。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷主要考察了函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、向量、極限等知識(shí)點(diǎn)。

一、選擇題考察了集合、函數(shù)性質(zhì)、復(fù)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)圖像性質(zhì)、圓與直線位置關(guān)系、函數(shù)最值、解三角形、向量模長、概率等知識(shí)點(diǎn)。

二、多項(xiàng)選擇題考察了函數(shù)單調(diào)性、集合包含關(guān)系、復(fù)數(shù)模長、等比數(shù)列求和、圓與直線位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)。

三、填空題考察了反函數(shù)、圓的方程、等差數(shù)列通項(xiàng)公式、三角函數(shù)周期、向量數(shù)量積等知識(shí)點(diǎn)。

四、計(jì)算題考察了解方程、不定積分、向量夾角余弦值、極限計(jì)算、函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題：考察學(xué)生對基本概念的掌握和運(yùn)用能力。例如，函數(shù)性質(zhì)考察學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的理解和運(yùn)用；復(fù)數(shù)考察學(xué)生對復(fù)數(shù)基本運(yùn)算、模長、輻角等概念的理解和運(yùn)用。

二、多項(xiàng)選擇題：考察學(xué)生對知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和邏輯推理能力。例如，集合包含關(guān)系考察學(xué)生對集合運(yùn)算、子集、交集、并集等概念的理解和運(yùn)用；等比數(shù)列求和考察學(xué)生對等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用。

三、填空題：考察學(xué)生對知識(shí)的記憶和基本運(yùn)算能力。例如，反函數(shù)考察學(xué)生對反函數(shù)定義、求解方法等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用；向量數(shù)量積考察學(xué)生對向量基本運(yùn)算、數(shù)量積定義、幾何意義等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用。

四、計(jì)算題：考察學(xué)生對知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力。例如，解方程考察學(xué)生對一元二次方程、分式方程等求解方法的理解和運(yùn)用；不定積分考察學(xué)生對基本積分公式、積分方法等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用；向量夾角余弦值考察學(xué)生對向量基本運(yùn)算、數(shù)量積、余弦定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用；極限計(jì)算考察學(xué)生對極限定義、計(jì)算方法等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用；函數(shù)最值考察學(xué)生對導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用。

示例：

1.選擇題第1題考察了集合包含關(guān)系。示例：已知集合A={x|x^2-4x+3=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（）

A.{1,3}

B.{1,2,3}

C.{2,3}

D.{1,3,6}

解析：A={1,3}。若B=?，則Δ=m^2-8<0，即-2√2<m<2√2。若B={1}，則x^2-mx+2=1，即x^2-mx+1=0，Δ=m^2-4=0，得m=±2。但m=2時(shí)，B={1,1}，不符合題意。m=-2時(shí)，B={1,-1}，不符合題意。若B={3}，則x^2-mx+2=9，即x^2-