金融專碩考研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于（）

A.(f(b)-f(a))/b-a

B.(f(b)+f(a))/2

C.0

D.f(a)+f(b)

2.極限lim(x→0)(sinx)/x的值為（）

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)等于（）

A.3x^2-3

B.3x^2+3

C.x^2-3

D.x^2+3

4.不定積分∫(x^2+1)dx的值為（）

A.x^3/3+x+C

B.x^2/2+x+C

C.x^3/3+C

D.x^2/2+C

5.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T等于（）

A.[[1,3],[2,4]]

B.[[2,4],[1,3]]

C.[[1,2],[3,4]]

D.[[4,3],[2,1]]

6.行列式|[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]|的值為（）

A.0

B.1

C.-1

D.3

7.設(shè)向量a=[1,2,3]，向量b=[4,5,6]，則向量a和向量b的點(diǎn)積a·b等于（）

A.32

B.36

C.42

D.48

8.線性方程組[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]][[x],[y],[z]]=[[1],[2],[3]]的解為（）

A.x=1,y=1,z=1

B.x=-1,y=-1,z=-1

C.x=0,y=0,z=0

D.無(wú)解

9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則積分∫[a,b]f(x)dx的幾何意義為（）

A.曲邊梯形的面積

B.梯形的面積

C.三角形的面積

D.矩形的面積

10.設(shè)事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則事件A或事件B發(fā)生的概率P(A∪B)等于（）

A.0.7

B.0.8

C.0.1

D.0.6

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo)的有（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sinx

E.f(x)=log|x|

2.下列不等式成立的有（）

A.e^x>1+x(x>0)

B.x^2>x(x>1)

C.log(a)(a>1)<a-1(a>1)

D.1-x<e^(-x)(x>0)

E.sinx<x(x>0)

3.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，下列說(shuō)法正確的有（）

A.lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h=f'(x0)

B.lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)

C.lim(h→0)f(x0+h)-f(x0)=f'(x0)

D.lim(x→x0)f(x)=f'(x0)

E.f(x)在x0處連續(xù)

4.下列矩陣中，可逆矩陣的有（）

A.[[1,0],[0,1]]

B.[[1,2],[2,4]]

C.[[3,0],[0,3]]

D.[[0,1],[1,0]]

E.[[1,1],[1,2]]

5.關(guān)于線性方程組，下列說(shuō)法正確的有（）

A.線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩

B.齊次線性方程組總有解

C.非齊次線性方程組可能無(wú)解

D.線性方程組的解集是線性空間

E.線性方程組的解唯一當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣可逆

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)滿足lim(x→2)[f(x)-5]/(x-2)=3，則f(2)=______。

2.曲線y=x^3-3x^2+2在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為______。

3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)微積分基本定理，定積分∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的______。

4.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的特征值為λ1=5,λ2=-1，則矩陣A的行列式|A|=______。

5.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)[(1+x)^5-1]/x。

2.求函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f''(x)。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2-3x+2)dx。

4.計(jì)算定積分∫[0,1](x^3-x)dx。

5.解線性方程組[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]][[x],[y],[z]]=[[1],[2],[3]]。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/b-a。

2.B

解析：這是基本的極限結(jié)論，lim(x→0)(sinx)/x=1。

3.A

解析：f'(x)=d/dx(x^3-3x+2)=3x^2-3。

4.A

解析：∫(x^2+1)dx=∫x^2dx+∫1dx=x^3/3+x+C。

5.A

解析：矩陣轉(zhuǎn)置的定義，A^T=[[1,3],[2,4]]。

6.A

解析：計(jì)算行列式，|[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]|=1(5*9-6*8)-2(4*9-6*7)+3(4*8-5*7)=45-36+12-84+42-35=0。

7.B

解析：a·b=1*4+2*5+3*6=4+10+18=32。

8.B

解析：計(jì)算增廣矩陣的秩，發(fā)現(xiàn)系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，故無(wú)解。

9.A

解析：根據(jù)定積分的幾何意義，∫[a,b]f(x)dx表示曲線y=f(x)與x軸及x=a,x=b所圍成的曲邊梯形的面積。

10.A

解析：事件A和B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C,D,E

解析：|x|在x=0處不可導(dǎo)，x^2,e^x,sinx,log|x|在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)均可導(dǎo)。

2.A,B,C,D

解析：對(duì)于A，使用泰勒展開e^x=1+x+x^2/2!+...>1+x。對(duì)于B，x>1時(shí)，x^2-x=x(x-1)>0。對(duì)于C，log(a)<a-1對(duì)于a>1成立。對(duì)于D，1-x<e^(-x)對(duì)于x>0成立。對(duì)于E，sinx<x對(duì)于x>0成立，這是由于sinx的麥克勞林展開為x-x^3/3!+...。

3.A,B,E

解析：C錯(cuò)誤，因?yàn)闃O限表達(dá)式中缺少分母。D錯(cuò)誤，因?yàn)闃O限表達(dá)式需要包含x趨向于x0。E正確，因?yàn)榭蓪?dǎo)函數(shù)一定連續(xù)。

4.A,C,D

解析：B的行列式為0，不可逆。A,C,D的行列式分別為1,9,1，均不為0，可逆。

5.A,B,C,E

解析：A是線性方程組有解的判定定理。B正確，齊次線性方程組至少有零解。C正確，非齊次線性方程組可能無(wú)解。D錯(cuò)誤，線性方程組的解集是解空間，不一定是線性空間。E正確，系數(shù)矩陣可逆時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解。

三、填空題答案及解析

1.8

解析：根據(jù)極限定義，lim(x→2)[f(x)-5]/(x-2)=3，即f(x)-5=3(x-2)，所以f(2)=5+3(2-2)=8。

2.y=-2x+2

解析：首先計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x，在x=1處，f'(1)=-3，所以切線斜率為-3。切點(diǎn)為(1,0)，所以切線方程為y-0=-3(x-1)，即y=-3x+3，化簡(jiǎn)得y=-2x+2。

3.原函數(shù)

解析：根據(jù)微積分基本定理，定積分∫[a,b]f(x)dx的值等于f(x)的原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量。

4.-5

解析：矩陣A的特征值之積等于其行列式，|A|=λ1*λ2=5*(-1)=-5。

5.1/4

解析：一副標(biāo)準(zhǔn)撲克牌有52張，紅桃有13張，所以抽到紅桃的概率是13/52=1/4。

四、計(jì)算題答案及解析

1.5

解析：使用洛必達(dá)法則，lim(x→0)[(1+x)^5-1]/x=lim(x→0)[5(1+x)^4]/1=5(1+0)^4=5。

2.f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，f''(x)=12x^2-24x+12

解析：f'(x)=d/dx(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)=4x^3-12x^2+12x-4。f''(x)=d/dx(4x^3-12x^2+12x-4)=12x^2-24x+12。

3.x^3/3-3x^2/2+2x+C

解析：∫(x^2-3x+2)dx=∫x^2dx-∫3xdx+∫2dx=x^3/3-3x^2/2+2x+C。

4.-1/12

解析：∫[0,1](x^3-x)dx=[x^4/4-x^2/2][0,1]=(1/4-1/2)-(0-0)=-1/4+1/2=-1/12。

5.x=1,y=-1,z=1

解析：使用高斯消元法，將增廣矩陣轉(zhuǎn)換為行最簡(jiǎn)形，得到解為x=1,y=-1,z=1。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

微積分：極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、微分中值定理、微積分基本定理。

線性代數(shù)：矩陣運(yùn)算、行列式、特征值與特征向量、線性方程組求解。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

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