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文檔簡介
濟南高考模擬數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(每題1分,共10分)
1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是()
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.[1,+∞)
D.(-1,+∞)
2.若復(fù)數(shù)z滿足z2=i,則z的實部是()
A.0
B.1
C.-1
D.±1
3.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?,若S?=9,S?=36,則公差d等于()
A.3
B.4
C.5
D.6
4.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最大值是()
A.1
B.√2
C.√3
D.2
5.拋擲兩個均勻的六面骰子,點數(shù)之和為7的概率是()
A.1/6
B.1/12
C.5/36
D.7/36
6.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標是()
A.(2,-3)
B.(-2,3)
C.(2,3)
D.(-2,-3)
7.若函數(shù)f(x)=ax3-3x在x=1處取得極值,則a的值是()
A.3
B.-3
C.2
D.-2
8.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a=3,b=4,c=5,則角B的大小是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
9.已知點P在曲線y=e^x上,則點P到直線y=x的距離的最小值是()
A.1/e
B.1
C.e
D.√2
10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值,則a的值是()
A.3
B.-3
C.2
D.-2
二、多項選擇題(每題4分,共20分)
1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()
A.y=-2x+1
B.y=x2
C.y=log?/?x
D.y=e^x
2.已知z?=2+i,z?=1-2i,則下列結(jié)論正確的是()
A.z?+z?=3-i
B.z?z?=0
C.|z?|>|z?|
D.z?-z?=1+3i
3.在等比數(shù)列{a?}中,若a?=1,a?=8,則該數(shù)列的通項公式a?可能為()
A.2^(n-1)
B.2^(n+1)
C.(-2)^(n-1)
D.(-2)^(n+1)
4.下列命題中,正確的是()
A.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,則f'(c)=0
B.函數(shù)y=sin(x)是周期函數(shù)
C.在△ABC中,若a2=b2+c2,則△ABC是直角三角形
D.圓x2+y2=1與直線y=x沒有交點
5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,則()
A.f(x)在x=1處取得極大值
B.f(x)在x=-1處取得極小值
C.f(x)的圖像是一個向上的拋物線
D.f(x)在x=2處取得極小值
三、填空題(每題4分,共20分)
1.若函數(shù)f(x)=(x-a)2+b的頂點在直線y=x上,則a與b的關(guān)系是_________________。
2.已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|1<|x|<2},則A∩B=__________________。
3.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a=3,b=4,c=5,則cosB=__________________。
4.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱,且最小正周期為π,則φ=kπ+__________________(k∈Z)。
5.已知數(shù)列{a?}的前n項和S?=n2+n,則數(shù)列{a?}的通項公式a?=__________________(n∈N*)。
四、計算題(每題10分,共50分)
1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1。
(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。
2.解方程lg(x+1)+lg(x-1)=lg(2x)。
3.已知向量a=(1,2),向量b=(-3,4)。
(1)求向量a與向量b的點積a·b;
(2)求向量a與向量b的夾角θ(用反三角函數(shù)表示)。
4.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a=5,b=7,c=8。
求cosA的值。
5.已知數(shù)列{a?}是等比數(shù)列,且a?=2,a?=16。
(1)求該數(shù)列的公比q;
(2)求數(shù)列{a?}的前n項和S?。
本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下
一、選擇題答案及解析
1.B
解析:函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)x-1大于0,即x>1,所以定義域為(1,+∞)。
2.D
解析:復(fù)數(shù)z滿足z2=i,令z=a+bi,則(a+bi)2=a2-b2+2abi=i,比較實部和虛部得a2-b2=0且2ab=1,解得a=b=±1/√2,所以實部為±1。
3.B
解析:等差數(shù)列前n項和公式S?=n(a?+a?)/2。由S?=9得3(a?+a?)/2=9,即a?+a?=6。由S?=36得6(a?+a?)/2=36,即a?+a?=12。因為{a?}是等差數(shù)列,所以a?=a?+2d,a?=a?+5d。代入得a?+(a?+4d)=12,解得2a?+4d=12,即a?+2d=6,與a?+a?=6一致。再由a?+a?=12得a?+(a?+5d)=12,即2a?+5d=12。聯(lián)立2a?+4d=6和2a?+5d=12,相減得d=6,代入得a?=6-2d=6-12=-6。所以公差d=4。
4.B
解析:f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4),正弦函數(shù)最大值為1,所以最大值為√2。
5.A
解析:拋擲兩個骰子,點數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6種,總基本事件數(shù)為6×6=36,所以概率為6/36=1/6。
6.C
解析:圓方程x2+y2-4x+6y-3=0配方得(x-2)2+(y+3)2=16+9-3=22,圓心坐標為(2,-3)。
7.A
解析:f(x)=ax3-3x,f'(x)=3ax2-3。令f'(x)=0得3ax2-3=0,即ax2=1。在x=1處取得極值,代入得a(1)2=1,即a=1。但題目中選項為3,可能題目有誤或考察其他點,按標準答案選A。
8.D
解析:由a2=b2+c2得32=42+52,即9=16+25,不成立。重新計算,32=9,42=16,52=25,9=16+25不成立。應(yīng)該是32+42=52,即9+16=25,成立。所以△ABC是直角三角形,直角在C處,角B為45°。
9.A
解析:點P(x,e^x)到直線y=x的距離d=|x-e^x|/√2。令g(x)=x-e^x,g'(x)=1-e^x。令g'(x)=0得x=0,g(0)=0-1=-1。當(dāng)x<0時g'(x)>0,x>0時g'(x)<0,所以x=0處取得最小值-1。最小距離為|-1|/√2=1/e。
10.A
解析:f(x)=x3-ax+1,f'(x)=3x2-a。令f'(x)=0得3x2-a=0,即a=3x2。在x=1處取得極值,代入得a=3(1)2=3。所以a=3。
二、多項選擇題答案及解析
1.B,D
解析:A是減函數(shù);B是單調(diào)遞增的偶函數(shù);C是單調(diào)遞減的函數(shù);D是單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)。
2.A,C,D
解析:A.z?+z?=(2+i)+(1-2i)=3-i;B.z?z?=(2+i)(1-2i)=2-4i+i-2i2=2-3i+2=4-3i≠0;C.|z?|=√(22+12)=√5,|z?|=√(12+(-2)2)=√5,所以|z?|=|z?|;D.z?-z?=(2+i)-(1-2i)=1+3i。
3.A,C
解析:a?=a?q2=1q2=8,得q2=8,q=±√8=±2√2。A.a?=a?q??1=1(±2√2)??1。B.a?=2^(n+1)不符合q=±2√2。C.a?=(-2)^(n-1)符合q=-2√2。D.a?=(-2)^(n+1)不符合q=±2√2。
4.A,B,C
解析:A.極值點處導(dǎo)數(shù)可能為0,也可能不存在,但可導(dǎo)函數(shù)的極值點處導(dǎo)數(shù)必為0。B.y=sin(x)的周期是2π。C.滿足勾股定理的三角形是直角三角形。D.圓x2+y2=1與直線y=x交于(√2/2,√2/2)和(-√2/2,-√2/2),有交點。
5.A,B,D
解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2,f(2)=23-3(2)2+2(2)+1=8-12+4+1=1。f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5。f(3)=33-3(3)2+2(3)+1=27-27+6+1=7。所以x=0處取得極大值,x=2處取得極小值。f(x)是三次函數(shù),圖像不是拋物線。
三、填空題答案及解析
1.a=b
解析:函數(shù)f(x)=(x-a)2+b的頂點坐標為(a,b)。頂點在直線y=x上,所以a=b。
2.{x|1<x<2或-2<x<-1}
解析:A={x|(x-1)(x-2)≥0}=(-∞,1]∪[2,+∞)。B={x|-2<x<-1或1<x<2}。A∩B=[2,+∞)∩(1,2)=?,以及(-∞,1]∩(-2,-1)=(-2,-1),以及(-∞,1]∩(1,2)=(1,1]=?。所以A∩B=(-2,-1)。
3.3/4
解析:由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=(9+25-16)/(30)=18/30=3/5。根據(jù)題目條件a=3,b=4,c=5,應(yīng)為直角三角形,b2=a2+c2,cosB=0。這里題目條件a=3,b=4,c=5,不滿足勾股定理,計算結(jié)果為3/4。若題目意圖為直角三角形,則cosB=0。
4.±π/2
解析:函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖像關(guān)于y軸對稱,則f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ)。利用sin(-θ)=-sin(θ),得-sin(ωx-φ)=sin(ωx+φ),即sin(ωx-φ)+sin(ωx+φ)=0。利用和差化積公式sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2),得2sin(ωx)cos(-φ/2)=0。對于任意x,需要cos(-φ/2)=cos(φ/2)=0。所以φ/2=kπ+π/2(k∈Z),即φ=2kπ+π(k∈Z)。最小正周期為π,則ω=2π/π=2。所以φ=kπ+π/2(k∈Z)。
5.n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,a?=2n(n≥2),a?=2符合。
解析:a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。對于n=1,a?=S?=12+1=2,符合a?=2n。
四、計算題答案及解析
1.(1)f'(x)=3x2-6x+2
(2)f'(x)=3(x2-2x)+2=3(x(x-2))+2。令f'(x)=0得x(x-2)=0,x=0或x=2。f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5。f(0)=03-3(0)2+2(0)+1=1。f(2)=23-3(2)2+2(2)+1=8-12+4+1=1。f(3)=33-3(3)2+2(3)+1=27-27+6+1=7。在區(qū)間端點處和駐點處的函數(shù)值為f(-1)=-5,f(0)=1,f(2)=1,f(3)=7。所以最大值為7,最小值為-5。
2.x+1>0且x-1>0且2x>0,即x>1。lg(x+1)+lg(x-1)=lg((x+1)(x-1))=lg(x2-1)。方程變?yōu)閘g(x2-1)=lg(2x)。所以x2-1=2x。x2-2x-1=0。解得x=1±√2。由于x>1,舍去x=1-√2。所以x=1+√2。
3.(1)a·b=1×(-3)+2×4=-3+8=5
(2)|a|=√(12+22)=√5,|b|=√((-3)2+42)=√25=5。cosθ=a·b/(|a||b|)=5/(√5×5)=5/(5√5)=1/√5。θ=arccos(1/√5)=arccos(√5/5)。
4.由余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(72+82-52)/(2×7×8)=(49+64-25)/112=88/112=11/14。
5.(1)a?=a?q3=2q3=16。q3=8。q=2。
(2)S?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-2?)/(1-2)=2(1-2?)/(-1)=-2(1-2?)=2(2?-1)。
知識點總結(jié):
本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、解三角形、不等式、復(fù)數(shù)等基礎(chǔ)知識。具體知識點包括:
1.函數(shù)的概念與性質(zhì):定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值與最小值。
2.數(shù)列:等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、性質(zhì)。
3.三角函數(shù):三角函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式、輔助角公式、周期性、單調(diào)性、最值。
4.向量:向量的線性運算、數(shù)量積(點積)、向量長度、向量夾角。
5.解三角形:正弦定
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