吉林高三一調(diào)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-∞,3]∪[3,+∞)

D.R

2.若向量a=(2,k)與向量b=(-1,3)垂直，則k的值為（）

A.-6

B.6

C.-3

D.3

3.拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是（）

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(-1,0)

D.(0,-1)

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的大小為（）

A.75°

B.105°

C.65°

D.45°

5.某校高三年級有1000名學(xué)生，隨機抽取200名學(xué)生進行調(diào)查，其中男生120名，女生80名，則該校高三年級男生人數(shù)的估計值是（）

A.480

B.520

C.600

D.400

6.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

7.設(shè)集合A={x|x2-3x+2>0}，B={x|x-1<0}，則集合A∩B是（）

A.(-∞,1)

B.(2,+∞)

C.(1,2)

D.(-1,2)

8.若等差數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，且a?=3，d=2，則a?的值為（）

A.9

B.11

C.13

D.15

9.在直角坐標(biāo)系中，點P(a,b)到直線x-y=1的距離是（）

A.√2

B.|a-b-1|

C.√(a2+b2)

D.√(a2+b2-2a+2b-1)

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在x=1處的切線方程是（）

A.y=e-1

B.y=e(x-1)+e

C.y=e(x-1)-1

D.y=e^x-1

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=|x|

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的通項公式a?可能為（）

A.2?3^(n-1)

B.3?2^(n-1)

C.6?3^(n-2)

D.54?2^(n-4)

3.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實數(shù)a的取值集合為（）

A.{-3}

B.{3}

C.{-2}

D.{2}

4.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a2>b2，則a>b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b>0，則√a>√b

5.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0互相平行，則實數(shù)a,b的取值有（）

A.a=1,b=1

B.a=-9,b=1

C.a=3,b=9

D.a=-3,b=3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|log?(x-1)≥0}，B={x|x2-3x+2≤0}，則集合A∩B=_______。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=2，cosC=1/3，則c=_______。

3.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，若a?=10，S?=99，則該數(shù)列的公差d=_______。

4.函數(shù)f(x)=x-sin(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值是_______。

5.若復(fù)數(shù)z=1+i與復(fù)數(shù)w=a-bi(a,b∈R)的乘積z?w為純虛數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.解方程：2^(x+1)+2^x-6=0。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，sinA=3/5，求cosB的值。

4.計算極限：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。

5.已知直線l?:y=kx+1與直線l?:x+y=4相交于點P，且點P的橫坐標(biāo)為2。求實數(shù)k的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域要求x2-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。

2.B

解析：向量a與向量b垂直，則a·b=0，即2×(-1)+k×3=0，解得k=6/3=2。注意選項有誤，應(yīng)為2。

3.A

解析：拋物線y2=4x的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4px，其中p=1，焦點坐標(biāo)為(1/4,0)，即(1,0)。

4.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°，角C=180°-60°-45°=75°。

5.A

解析：樣本中男生比例為120/200=0.6，估計全校男生人數(shù)為1000×0.6=600人。注意題目選項與計算結(jié)果不符，實際應(yīng)為600。

6.A

解析：正弦函數(shù)sin(ωx+φ)的最小正周期為T=2π/|ω|，此處ω=2，T=2π/2=π。

7.C

解析：A={x|(x-1)(x-2)>0}=(-∞,1)∪(2,+∞)，B=(-∞,1)，A∩B=(2,+∞)∩(-∞,1)=(1,2)。

8.D

解析：等差數(shù)列通項公式a?=a?+(n-1)d，a?=3+(5-1)×2=3+8=11。

9.B

解析：點到直線ax+by+c=0的距離公式為d=|ax?+by?+c|/√(a2+b2)，此處x?=a,y?=b，直線為x-y-1=0，距離為|a-b-1|/√(12+(-1)2)=|a-b-1|/√2。

10.B

解析：f'(x)=e^x-1，f'(1)=e-1，f(1)=e-1，切線方程為y-(e-1)=(e-1)(x-1)，即y=(e-1)x。注意選項B與計算結(jié)果不符，應(yīng)為y=(e-1)x。

二、多項選擇題答案及解析

1.AB

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)(滿足f(-x)=-f(x))；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)；f(x)=x2+1是偶函數(shù)；f(x)=|x|是偶函數(shù)。

2.AC

解析：設(shè)首項為a?，公比為q。a?=a?q=6，a?=a?q3=54，則a?q3/a?q=54/6，得q2=9，q=±3。若q=3，a?=a?(3)^(n-1)，a?=6=a?(3)^(2-1)?a?=2，a?=2×3^(n-1)。若q=-3，a?=a?(-3)^(n-1)，a?=6=a?(-3)^(2-1)?a?=-2，a?=-2×(-3)^(n-1)=-2×(-1)^(n-1)×3^(n-1)，即a?=2×3^(n-1)當(dāng)n為偶數(shù)時，a?=-2×3^(n-1)當(dāng)n為奇數(shù)時。兩種情況均可表示為a?=2×3^(n-1)（若允許n從0開始或?qū)奇偶性不要求嚴格）。選項A:2×3^(n-1)符合。選項C:6×3^(n-2)=2×3^(n-1)符合。選項B:3×2^(n-1)不符合。選項D:54×2^(n-4)=27×2^(n-2)不符合。

3.AD

解析：f'(x)=3x2-a。在x=1處取得極值，則f'(1)=3(1)2-a=3-a=0，解得a=3。需檢驗此極值點是極大值還是極小值。f''(x)=6x。f''(1)=6(1)=6>0，故x=1處為極小值點。因此a=3時取極小值。選項A正確。選項Ba=3不正確。選項Ca=-2時，f''(1)=-12<0，x=1為極大值點，但題目要求極值點，不區(qū)分極大/小，a=-2也符合條件。選項Da=2時，f''(1)=12>0，x=1為極小值點，a=2也符合條件。所以a=3和a=-2都可能導(dǎo)致在x=1處取得極值。注意題目選項與多選題形式矛盾，應(yīng)為A和C或A和D。按多選題形式，若必須選兩個，則答案為A和D。若理解為單選題，則答案為3。

4.D

解析：A.a=2,b=-1時，2>-1但22=4<-12=1，錯誤。B.a=-2,b=1時，(-2)2=4>12=1但-2<1，錯誤。C.a=2,b=1時，2>1但1/2<1，錯誤。D.若a>b>0，則a2>b2>0，兩邊開平方得√a>√b>0，正確。

5.AD

解析：l?:ax+3y-6=0，l?:3x+by+9=0。兩直線平行，斜率相等，即-a/3=3/b，得ab=-9。選項A:a=1,b=1，1×1=-1≠-9，不平行。選項B:a=-9,b=1，(-9)×1=-9=-9，平行。選項C:a=3,b=9，3×9=27≠-9，不平行。選項D:a=-3,b=3，(-3)×3=-9=-9，平行。所以a=-9,b=1和a=-3,b=3是可能取值。

三、填空題答案及解析

1.[2,3]

解析：A={x|log?(x-1)≥0}={x|x-1≥1}={x|x≥2}。B={x|x2-3x+2≤0}={x|(x-1)(x-2)≤0}={x|1≤x≤2}。A∩B={x|x≥2}∩{x|1≤x≤2}={x|2≤x≤2}={2}。注意集合表示法，singleton{2}或區(qū)間[2,2]均可，但題目選項中無{2}，可能有誤，最簡形式為{2}。

2.√10

解析：cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(32+22-c2)/(2×3×2)=(9+4-c2)/12=13/12-c2/12=1/3。解得c2/12=13/12-1/3=13/12-4/12=9/12=3/4，c2=9，c=±3。由cosC=1/3>0，角C為銳角，c為邊長，故c>0，得c=√10。

3.2

解析：a?=a?+(n-1)d。a?=a?+4d=10。S?=9/2×(a?+a?)=9/2×(a?+a?+8d)=9/2×(2a?+8d)=9×(a?+4d)=9×10=90。由9a?+36d=90。聯(lián)立a?+4d=10和9a?+36d=90，解得a?=10-4d。代入第二個方程：(9)(10-4d)+36d=90。90-36d+36d=90。方程恒成立，不提供新信息。需重新審視。S?=9/2×(a?+a?)=9/2×(a?+a?+8d)=9/2×(2a?+8d)=9(a?+4d)。所以9×10=90，方程成立，無矛盾。說明S?=99與a?=10矛盾，題目可能設(shè)置錯誤。若按a?=10，S?=90，則9(a?+4d)=90，a?+4d=10。a?=a?+4d=10。此時公差d任意。但題目要求公差，可能需假設(shè)S?=90。若S?=90，則a?+4d=10。公差d=2。

4.2

解析：f(x)=x-sin(x)。f'(x)=1-cos(x)。令f'(x)=0，得cos(x)=1，x=2kπ,k∈Z。在(0,2π)內(nèi)，駐點為x=0和x=2π。f(0)=0-sin(0)=0。f(2π)=2π-sin(2π)=2π。f'(x)=1-cos(x)在(0,2π)內(nèi)，cos(x)在(0,π)內(nèi)從1減到-1，在(π,2π)內(nèi)從-1增到1。所以f'(x)在(0,π)內(nèi)為正，在(π,2π)內(nèi)為負。函數(shù)在(0,π)內(nèi)單調(diào)遞增，在(π,2π)內(nèi)單調(diào)遞減。因此x=π處為極大值點。f(π)=π-sin(π)=π。比較f(0)=0,f(π)=π,f(2π)=2π。最大值為max{0,π,2π}=2π。

5.(-∞,1)∪(1,+∞)

解析：直線l?:y=kx+1與直線l?:x+y=4相交于點P(2,y?)。將x=2代入l?:2+y?=4，得y?=2。點P(2,2)。將P(2,2)代入l?:2=k×2+1，解得k=1/2。注意題目條件“點P的橫坐標(biāo)為2”，若理解為該點為(2,k*2+1)，則k=1/2。若理解為該點為(2,2)，則k=1/2。若理解為l?與l?交點橫坐標(biāo)為2，則k=1/2。若理解為l?與l?交點縱坐標(biāo)為2，則k=1/2。所有條件均指向k=1/2。題目選項中無1/2，可能設(shè)置錯誤。若理解為k≠1/2，則兩直線平行，無交點，橫坐標(biāo)不為2。所以k=1/2。取值范圍是全體實數(shù)，即(-∞,+∞)。

四、計算題答案及解析

1.最大值f(3)=8，最小值f(-2)=-3。

解析：f(x)=(x-1)2+2是頂點為(1,2)，開口向上的拋物線。頂點處取得最小值f(1)=(1-1)2+2=2。區(qū)間端點處f(-2)=(-2-1)2+2=(-3)2+2=9+2=11。f(3)=(3-1)2+2=22+2=4+2=6。比較f(1)=2,f(-2)=11,f(3)=6。最小值為min{2,11,6}=2。最大值為max{2,11,6}=11。

2.x=1。

解析：2^(x+1)+2^x-6=0。2^(x+1)=2×2^x。方程變?yōu)?×2^x+2^x-6=0。2^x(2+1)-6=0。2^x×3-6=0。3×2^x=6。2^x=2。x=log?(2)=1。

3.cosB=5/7或cosB=-5/7。

解析：已知a=5,b=7,sinA=3/5。cosA=√(1-sin2A)=√(1-(3/5)2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5。使用余弦定理求cosB：(b2+c2-a2)/(2bc)。需要求c。使用正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC。sinB=b*sinA/a=7*(3/5)/5=21/25。cosB=±√(1-sin2B)=±√(1-(21/25)2)=±√(1-441/625)=±√(-416/625)。計算sin2B=441/625，1-441/625=184/625。√(184/625)=√184/25?！?84=√(4×46)=2√46。cosB=±(2√46)/25。注意題目選項中無此結(jié)果，cosB=±√(184)/25。或者使用余弦定理求cosB：(52+72-c2)/(2*5*7)=(25+49-c2)/70=(74-c2)/70。sin2C=1-cos2A=1-(4/5)2=9/25。sinC=3/5。sinC=c*sinA/a=c*(3/5)/5=3c/25。c=25*sinC/3=25*(3/5)/3=5。代入余弦定理：(74-52)/70=(74-25)/70=49/70=7/10。cosB=7/10。檢查計算：(52+72-52)/(2*5*7)=49/70=7/10。sin2C=1-(4/5)2=9/25。sinC=3/5。使用正弦定理求c：a/sinA=c/sinC=>5/(3/5)=c/(3/5)=>25/3=c/3=>c=25。cosB=(49-25)/(2*5*7)=24/70=12/35。計算錯誤。重新計算余弦定理：(52+72-c2)/(2*5*7)=(25+49-c2)/70=(74-c2)/70。sin2C=1-sin2A=1-(3/5)2=16/25。sinC=4/5。c=b*sinC/sinA=7*(4/5)/(3/5)=7*4/3=28/3。代入余弦定理：(74-(28/3)2)/(70)=(74-784/9)/70=(666/9-784/9)/70=(-118/9)/70=-1180/630=-118/63。cosB=-118/63。計算錯誤。使用正弦定理a/sinA=b/sinB=>5/(3/5)=7/sinB=>sinB=7*(3/5)/5=21/25。cosB=±√(1-sin2B)=±√(1-(21/25)2)=±√(1-441/625)=±√(184/625)=±(2√46)/25。cosB=5/7或cosB=-5/7。選擇cosB=5/7（若角B為銳角）。

4.極限值為1/2。

解析：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。使用洛必達法則，因為極限為0/0型。f(x)=e^x-1-x,g(x)=x2。f'(x)=e^x-1,g'(x)=2x。lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)(e^x-1)/(2x)。仍為0/0型，再次使用洛必達法則。f''(x)=e^x,g''(x)=2。lim(x→0)(e^x-1)/(2x)=lim(x→0)e^x/2=e^0/2=1/2。

5.k=1/2。

解析：直線l?:y=kx+1與直線l?:x+y=4相交于點P(2,y?)。將x=2代入l?:2+y?=4，得y?=2。點P(2,2)。將P(2,2)代入l?:2=k×2+1，解得2k+1=2，2k=1，k=1/2。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識點分類和總結(jié)如下：

一、集合與函數(shù)

1.集合概念與運算：集合的表示法（列舉法、描述法），集合間的基本關(guān)系（包含、相等），集合的運算（并集、交集、補集）。掌握集合運算的性質(zhì)和規(guī)則。

2.函數(shù)概念與性質(zhì)：函數(shù)的定義域、值域、定義法（解析法、列表法、圖像法），函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性），反函數(shù)概念。

3.函數(shù)圖像變換：函數(shù)圖像的平移、伸縮、對稱變換。

4.基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

二、數(shù)列

1.數(shù)列概念：數(shù)列的定義，通項公式，前n項和。

2.等差數(shù)列：等差數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式，性質(zhì)（等差中項、對稱性）。

3.等比數(shù)列：等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式，性質(zhì)（等比中項、對稱性）。

4.數(shù)列求和：公式法（等差、等比），裂項相消法，錯位相減法。

三、不等式

1.不等式性質(zhì)：不等式的運算性質(zhì)，絕對值不等式。

2.一元二次不等式：解法，與對應(yīng)函數(shù)圖像、方程根的關(guān)系。

3.含參不等式：分類討論思想，解含參不等式。

4.不等式證明：比較法，分析法，綜合法，放縮法。

四、解析幾何

1.直線與圓：直線的方程（點斜式、斜截式、兩點式、一般式），直線的斜率，兩條直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交），點到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程（標(biāo)準(zhǔn)式、一般式）。

2.圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、焦點、準(zhǔn)線、離心率），直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（弦長、面積、中點弦）。

3.參數(shù)方程與極坐標(biāo)：參數(shù)方程的概念與化簡，常見曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)的概念與化簡，常見曲線的極坐標(biāo)方程。

五、三角函數(shù)與解三角形

1.三角函數(shù)：任意角的概念，弧度制，三角函數(shù)的定義（定義域、值域、符號），同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系），誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）。

2.和差角公式、倍角公式、半角公式：掌握公式，能夠進行恒等變形和化簡。

3.解三角形：正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，解三角形的應(yīng)用。

六、極限與導(dǎo)數(shù)

1.極限：數(shù)列極限的概念，函數(shù)極限的概念（左極限、右極限），極限的四則運算法則，無窮小量的比較，兩個重要極限。

2.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率），基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運算法則（和、差、積、商、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用。