§8-1應(yīng)力狀態(tài)概述§8-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例§8-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§8-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§8-5三向應(yīng)力狀態(tài)§8-8廣義胡克定律第八章應(yīng)力分析及廣義胡克定律§8-1應(yīng)力狀態(tài)概述問題的提出:鑄鐵材料拉伸時(shí)沿橫截面斷開，扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45o螺旋面斷開？一點(diǎn)的應(yīng)力與過該點(diǎn)的截面的方位有關(guān)純剪切應(yīng)力狀態(tài)2、受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征：（1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；（2）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的；（3）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力一般是不同的。3、應(yīng)力狀態(tài)單元體在受力構(gòu)件中圍繞一點(diǎn)截取的鄰邊長(zhǎng)度均為無窮小的正六面體，六面體每個(gè)面上的應(yīng)力都是均勻的，相互平行的一對(duì)面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)相等。應(yīng)力狀態(tài)單元體可以完全描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀況1、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài):

受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合,稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。

過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力哪一個(gè)截面上？

哪一點(diǎn)？指明應(yīng)力分析的工具——單元體：①dx、dy、dz（微小的正六面體）②單元體某斜截面上的應(yīng)力就代表了構(gòu)件內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)同方位截面上的應(yīng)力。單元體的尺寸無限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等PABCDB、C——單向受力，τ＝0A——純剪切，σ＝0D——既有σ，又有τyxz

單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，分別用表示，并且該單元體稱為主應(yīng)力單元。一般情況下，通過結(jié)構(gòu)內(nèi)任一點(diǎn)總可找到三個(gè)相互垂直的截面皆為主平面。空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：只有兩個(gè)主應(yīng)力不為零單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零§8-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例§8-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的一般形式：在常見的受力構(gòu)件中，在兩對(duì)平面上既有正應(yīng)力σ又有切應(yīng)力τ?？蓪⒃搯卧w用平面圖形來表示。

x

xy

yσ、τ正負(fù)號(hào)規(guī)定：σ——拉為正，壓為負(fù)；τ——以對(duì)微單元體內(nèi)任意一點(diǎn)取矩為順時(shí)針者為正，反之為負(fù)；單元體各面上的已知應(yīng)力分量、和、，可以計(jì)算任一斜截面上的應(yīng)力分量，也可確定該點(diǎn)處的主應(yīng)力和主平面。

x

xy

y規(guī)定：

截面外法線同向?yàn)檎?/p>

a繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

逆時(shí)針為正。一、任意斜截面上的應(yīng)力xyO

x

xy

yn

y

xy

x

設(shè)：斜截面面積為A，由分離體平衡得：xyO

x

xy

yn

y

xy

x

同理：tn

表明互相垂直截面上的正應(yīng)力之和是常數(shù)。二、極值應(yīng)力222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（xysxtxysyO例8-3-1分析受扭構(gòu)件的主應(yīng)力。解：

確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原始單元體

求極值應(yīng)力

xyC

yxMCxyO

xy

yx

破壞分析低碳鋼鑄鐵試求（1）

斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題8-3-2：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。

已知解：（1）

斜面上的應(yīng)力

（2）主應(yīng)力、主平面

主平面的方位：

代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主應(yīng)力單元體：

例8-3-3

簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知m-n截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為

=-70MPa，=50MPa

。

確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位。。mnaA

A

l解：A

x62.50}{26-96MPa{26-96MPa=A

x62.50§8-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對(duì)上述方程消去參數(shù)（2

），得：xyO

x

xy

yn

y

xy

x

tn

建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(

x，

xy)和B(

y，

yx)

AB與

a

軸的交點(diǎn)C便是圓心。

以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；

x

xy

yxyOn

a

O

a

aCA(

x,

xy)B(

y,

yx)D(

a,

a)三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系

面上的應(yīng)力(

，

)

應(yīng)力圓上一點(diǎn)(

，

)

兩面夾角

兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。

x

xy

yxyOn

a

O

a

aCA(

x,

xy)B(

y,

yx)2aD(

a,

a)證明：

OCMKA(

x,

xy)

xyFB(

y,

yx)D(

a,

a)證畢。

OCMKA(

x,

xy)

xyFB(

y,

yx)D(

a,

a)四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力OC

a

aA(

x

,

xy)B(

y,

yx)2a12a0

1

2

3例7-4-1已知

求此單元體在

＝30°和

＝-40°兩斜截面上的應(yīng)力。例8-4-2

：討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵件受扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞現(xiàn)象。解：1．取單元體ABCD，其中，，這是純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2．作應(yīng)力圓主應(yīng)力為，并可確定主平面的法線。3．分析純剪切應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)主應(yīng)力絕對(duì)值相等，但一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，圓截面鑄鐵構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)件將沿傾角為45o的螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。例8-4-3

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)

3AB

1

2解：

主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖

AB的垂直平分線與

a

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓。

0

1

2BAC2

0

(MPa)(MPa)O20MPa

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)

主應(yīng)力及主平面如圖

3AB

1

2

0

1

2BAC2

0

(MPa)(MPa)O20MPa解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°xyO例8-4-4：?jiǎn)卧w應(yīng)力狀態(tài)如圖。用解析法和圖解法求主應(yīng)力，并在單元體中畫出主應(yīng)力方向。5020(1)解析法=57-75020因?yàn)?/p>

x

y，所以0

5020(2)圖解法D1D2CA1A22

0(3)畫主應(yīng)力方向主單元體：六個(gè)平面都是主平面若三個(gè)主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力:§8-5三向應(yīng)力狀態(tài)

這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個(gè)斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，可由三個(gè)應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。

至于與三個(gè)主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力σn和τn可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：τmax

作用在與σ2平行且與σ1和σ3的方向成45°角的平面上.例8-5-1：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（應(yīng)力單位為MPa）。解：§8-5-2

求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。解：§8-5-3試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位。(a)解:1.

圖a所示單元體上正應(yīng)力

z=20MPa的作用面(z截面)上無切應(yīng)力，因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力。2.與主平面z截面垂直的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力

z無關(guān)，故可畫出顯示與z截面垂直各截面上應(yīng)力隨截面方位角變化的應(yīng)力圓。(a)從圓上得出兩個(gè)主應(yīng)力46MPa和-26MPa。這樣就得到了包括

z=20MPa在內(nèi)的三個(gè)主應(yīng)力。他們按代數(shù)值大小排序?yàn)?/p>

1＝46MPa，

2＝20MPa，

3＝-26MPa。(b)(a)3.依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值作出的三個(gè)應(yīng)力圓如圖b所示。2a0＝34?可知為a0＝17?且由x截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖c中所示。(c)(b)4.最大切應(yīng)力

max由應(yīng)力圓上點(diǎn)B的縱座標(biāo)知為

max＝36MPa，作用在由

1作用面繞

2逆時(shí)針45?

的面上(圖c)。(c)(b)§8-8廣義胡克定律一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzxyz

xy三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx當(dāng)單元體三個(gè)平面皆為主平面時(shí)，

分別為x,y,z方向的主應(yīng)變，與主應(yīng)力的方向一致，，三主平面內(nèi)的切應(yīng)變等于零。對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)

2.各向同性材料的體積應(yīng)變體積應(yīng)變：每單位體積的體積變化，用θ表示設(shè)單元體的三對(duì)平面均為主平面，其三個(gè)邊長(zhǎng)分別為dx,dy,dz

,變形前體積：變形后體積：則體積應(yīng)變?yōu)椋?代入廣義胡克定律得：即：任一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與該點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力之和成正比。同理，可得：例8-8-1

已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。構(gòu)件材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力數(shù)值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變?chǔ)?的數(shù)值和方向。解：由題意可知，點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)且由廣義胡克定律可得：

是縮短的主應(yīng)變。其方向沿構(gòu)件表面的法線方向。例8-8-2

邊長(zhǎng)為0.1m的銅方塊，無間隙地放入變形可略去不計(jì)地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比ν＝0.34。當(dāng)銅塊受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，試求銅塊的三個(gè)主應(yīng)力的大小。解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為由題意：按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，得該銅塊的主應(yīng)力為：例8-8-3

已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：

1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為

=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)me3342.-=§7-9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度dzdxdy1.空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度可得：將廣義胡克定律代入上式：2.體積改變能密度和畸變能密度應(yīng)變能密度＝體積改變能密度（υV）+