函數(shù)極值題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2$的極值點(diǎn)是（）A.$x=1$B.$x=0$C.$x=-1$D.無(wú)極值點(diǎn)2.函數(shù)$y=x^3$的極值情況是（）A.有極大值B.有極小值C.既有極大值又有極小值D.無(wú)極值3.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)且取得極值，則$f^\prime(x_0)$（）A.大于0B.小于0C.等于0D.不確定4.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的極大值點(diǎn)是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=0$D.$x=2$5.函數(shù)$f(x)=e^x-x$的極小值為（）A.1B.0C.-1D.26.函數(shù)$y=\sinx$在區(qū)間$[0,2\pi]$上的極大值是（）A.1B.-1C.0D.27.函數(shù)$f(x)=x^4-2x^2+3$的極小值是（）A.2B.3C.1D.48.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)（）A.有極大值B.有極小值C.既有極大值又有極小值D.無(wú)極值9.函數(shù)$f(x)=x\lnx$的極小值點(diǎn)是（）A.$x=\frac{1}{e}$B.$x=e$C.$x=1$D.$x=0$10.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下函數(shù)中，存在極值的有（）A.$y=x^2+1$B.$y=x^3-3x$C.$y=\frac{1}{x^2}$D.$y=\cosx$2.函數(shù)$f(x)$在某點(diǎn)$x_0$取得極值的必要條件可能有（）A.$f^\prime(x_0)=0$B.$f^\prime(x_0)$不存在C.$f^{\prime\prime}(x_0)=0$D.$f^{\prime\prime}(x_0)\gt0$3.函數(shù)$y=x^3-3x^2+2$的極值點(diǎn)有（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$4.對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^4-4x^3$，下列說法正確的是（）A.有極大值B.有極小值C.極大值為0D.極小值為-275.函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在$[0,2\pi]$上的極值情況是（）A.有極大值B.有極小值C.極大值為$\sqrt{2}$D.極小值為$-\sqrt{2}$6.函數(shù)$f(x)=x^2e^{-x}$的極值點(diǎn)可能是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$7.函數(shù)$y=\frac{x}{x^2+1}$的極值情況是（）A.有極大值B.有極小值C.極大值為$\frac{1}{2}$D.極小值為$-\frac{1}{2}$8.函數(shù)$f(x)=\lnx-x$的極值情況是（）A.有極大值B.有極小值C.極大值為-1D.無(wú)極小值9.函數(shù)$f(x)=x^3-ax$（$a\gt0$）的極值點(diǎn)是（）A.$x=\sqrt{\frac{a}{3}}$B.$x=-\sqrt{\frac{a}{3}}$C.$x=0$D.無(wú)10.函數(shù)$f(x)=(x-1)^2(x+1)$的極值點(diǎn)有（）A.$x=-1$B.$x=1$C.$x=\frac{1}{3}$D.$x=0$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，則該點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。（）2.函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)一定為0。（）3.函數(shù)$y=x^3$在$x=0$處取得極值。（）4.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)必為極值點(diǎn)。（）5.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=0$處取得極小值。（）6.函數(shù)的極大值一定大于極小值。（）7.函數(shù)$f(x)=\sinx$在定義域內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)極值點(diǎn)。（）8.函數(shù)$f(x)=x+\frac{1}{x}$（$x\gt0$）有極小值2。（）9.函數(shù)$f(x)$在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)大于0，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)。（）10.函數(shù)$y=x^4$只有一個(gè)極值點(diǎn)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述求函數(shù)極值的一般步驟。答案：先求函數(shù)定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出駐點(diǎn)，分析駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù)，導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)為極大值點(diǎn)，左負(fù)右正為極小值點(diǎn)，最后求出極值。2.如何判斷函數(shù)在某點(diǎn)是極大值還是極小值？答案：通過該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷。若導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，則是極大值；若左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，則是極小值。3.舉例說明函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。答案：如$f(x)=x^3$，$f^\prime(x)=3x^2$，$x=0$時(shí)$f^\prime(0)=0$，但$x=0$不是極值點(diǎn)；$f(x)=x^2$，$f^\prime(x)=2x$，$x=0$時(shí)$f^\prime(0)=0$且是極小值點(diǎn)，說明導(dǎo)數(shù)為0不一定是極值點(diǎn)，但極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可能為0或不存在。4.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的極值情況如何？答案：求導(dǎo)得$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$和$x=2$。$x\lt0$時(shí)$f^\prime(x)\gt0$，$0\ltx\lt2$時(shí)$f^\prime(x)\lt0$，$x\gt2$時(shí)$f^\prime(x)\gt0$，所以$x=0$是極大值點(diǎn)，極大值為2；$x=2$是極小值點(diǎn)，極小值為-2。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,b,c$為常數(shù)）的極值情況與$a,b$的關(guān)系。答案：求導(dǎo)得$f^\prime(x)=3x^2+2ax+b$，其判別式$\Delta=4a^2-12b$。當(dāng)$\Delta\gt0$，有兩個(gè)不同駐點(diǎn)，可能有極大值和極小值；當(dāng)$\Delta=0$，有一個(gè)駐點(diǎn)，可能無(wú)極值；當(dāng)$\Delta\lt0$，無(wú)駐點(diǎn)，無(wú)極值。2.函數(shù)極值在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？舉例說明。答案：在實(shí)際中可用于優(yōu)化問題。如用料最省、利潤(rùn)最大等。比如制作一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子，給定材料面積，求盒子最大體積。通過建立函數(shù)關(guān)系，利用求極值方法確定長(zhǎng)、寬、高尺寸，使體積最大。3.討論函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的極值情況，并說明其圖像特點(diǎn)。答案：求導(dǎo)$f^\prime(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$。$x\lt0$時(shí)$f^\prime(x)\gt0$，$x\gt0$時(shí)$f^\prime(x)\lt0$，所以$x=0$是極大值點(diǎn)，極大值為1。圖像關(guān)于$y$軸對(duì)稱，在$x=0$處最高，向兩側(cè)逐漸降低且無(wú)限趨近于0。4.對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^n$（$n$為正整數(shù)），討論其極值情況隨$n$的變化。答案：當(dāng)$n$為偶數(shù)，$f(x)=x^n$，$f^\prime(x)=nx^{n-1}$，令$f^\prime(x)=0$得$x=0$，$x\lt0$時(shí)$f^\prime(x)\lt0$，$x\gt0$時(shí)$f^\prime(x)\gt0$，$x=0$是極小值點(diǎn)，極小值為0；當(dāng)$n$為奇數(shù)，$f^\prime(x)=nx^{n-1}$，$x=0$時(shí)$f^\prime(0)=0$，但$x\lt0$和$x\gt0$時(shí)$f^\prime(x)$同號(hào)，無(wú)極值。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.D3.C4.B