函數(shù)題目專升本及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\leq1\)D.\(x\lt1\)2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=x^2+1\)D.\(y=e^x\)3.函數(shù)\(y=3^x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\log_3x\)B.\(y=\log_x3\)C.\(y=3^{-x}\)D.\(y=-3^x\)4.已知\(f(x+1)=x^2\)，則\(f(x)\)等于（）A.\((x-1)^2\)B.\((x+1)^2\)C.\(x^2-1\)D.\(x^2+1\)5.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-2}\)的間斷點(diǎn)是（）A.\(x=0\)B.\(x=2\)C.\(x=-2\)D.無(wú)間斷點(diǎn)6.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)7.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)8.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(2x\)B.\(x\)C.\(4x\)D.\(2\)9.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^2+C\)C.\(x^3+C\)D.\(3x^3+C\)10.函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)在區(qū)間\([0,1]\)上的最大值是（）A.0B.\(\ln2\)C.\(\ln3\)D.\(1\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\cosx\)2.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列極限值為\(1\)的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)C.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)5.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.\(\int1dx=x+C\)B.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)D.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)6.函數(shù)\(y=x^4-2x^2+3\)的極值點(diǎn)可能是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=2\)7.以下關(guān)于函數(shù)奇偶性說(shuō)法正確的是（）A.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.偶函數(shù)的圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱C.\(f(x)+f(-x)=0\)則\(f(x)\)是奇函數(shù)D.\(f(x)=f(-x)\)則\(f(x)\)是偶函數(shù)8.下列函數(shù)中，與\(y=x\)是同一函數(shù)的有（）A.\(y=\sqrt{x^2}\)B.\(y=\frac{x^2}{x}\)C.\(y=\sqrt[3]{x^3}\)D.\(y=\frac{x|x|}{|x|}(x\neq0)\)9.函數(shù)\(y=f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(a)\neqf(b)\)10.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的有（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\cos2x\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=e^x\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{-x^2-1}\)的定義域?yàn)榭占＃ǎ?.若\(f(x)\)在\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減。（）4.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）5.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx=F(x)\)。（）6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）7.奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。（）8.函數(shù)\(y=\lnx\)的圖像在\((0,+\infty)\)上是凹的。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上的定積分值為\(0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)。（）10.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\frac{x+1}{x-1}\)的定義域與值域。答：定義域?yàn)閈(x\neq1\)。\(y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\)，因?yàn)閈(\frac{2}{x-1}\neq0\)，所以值域是\(y\neq1\)。2.求\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答：對(duì)分子因式分解，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則原式\(=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)。3.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答：求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，為增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，得\(0\ltx\lt2\)，為減區(qū)間。4.計(jì)算\(\intxe^xdx\)。答：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性與凹凸性。答：求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{2}{x^3}\)，在\((0,+\infty)\)上\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。再求二階導(dǎo)\(y^{\prime\prime}=\frac{6}{x^4}\gt0\)，在\((0,+\infty)\)上函數(shù)圖像是凹的。2.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\0,&x=0\\x-1,&x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答：左極限\(\lim_{x\to0^-}(x+1)=1\)，右極限\(\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1\)，\(f(0)=0\)，左右極限不相等，不連續(xù)。不連續(xù)則不可導(dǎo)。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：定積分計(jì)算常通過(guò)求不定積分找到原函數(shù)再用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算。區(qū)別：不定積分是所有原函數(shù)集合，結(jié)果帶常數(shù)\(C\)；定積分是一個(gè)數(shù)值，有積分上下限。4.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)與最值點(diǎn)。答：先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為\(0\)得駐點(diǎn)，再用導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)判斷極值點(diǎn)，左正右負(fù)為極大值點(diǎn)，左負(fù)右正為極小值點(diǎn)。在閉區(qū)間上，比較極值點(diǎn)與端點(diǎn)函數(shù)值大小確定最值點(diǎn)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A