矩陣方程題目及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A\)、\(B\)滿足\(AX=B\)，若\(A\)可逆，則\(X=\)（）A.\(AB\)B.\(BA\)C.\(A^{-1}B\)D.\(BA^{-1}\)答案：C2.若矩陣方程\(XA=B\)，\(A\)可逆，則\(X\)等于（）A.\(BA^{-1}\)B.\(A^{-1}B\)C.\(AB^{-1}\)D.\(B^{-1}A\)答案：A3.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，矩陣方程\(AXA^{-1}=B\)，則\(X=\)（）A.\(A^{-1}BA\)B.\(ABA^{-1}\)C.\(A^{-1}B^{-1}A\)D.\(AB^{-1}A^{-1}\)答案：A4.已知\(A\)、\(B\)為同階可逆矩陣，方程\(AXB=C\)的解\(X=\)（）A.\(A^{-1}CB^{-1}\)B.\(A^{-1}B^{-1}C\)C.\(CA^{-1}B^{-1}\)D.\(B^{-1}CA^{-1}\)答案：A5.矩陣方程\(AX+B=C\)（\(A\)可逆），則\(X=\)（）A.\(A^{-1}(C-B)\)B.\((C-B)A^{-1}\)C.\(A^{-1}(B-C)\)D.\((B-C)A^{-1}\)答案：A6.設(shè)\(A\)是\(3\)階可逆矩陣，\(X\)是\(3\times1\)矩陣，方程\(AX=0\)，則\(X\)（）A.必為零矩陣B.不一定是零矩陣C.只有唯一解D.有無窮多解答案：A7.若矩陣\(A\)不可逆，矩陣方程\(AX=B\)（）A.無解B.有唯一解C.有無窮多解D.可能無解也可能有無窮多解答案：D8.設(shè)\(A\)、\(B\)為矩陣，方程\(AX=B\)有解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=r(A|B)\)B.\(r(A)>r(A|B)\)C.\(r(A)<r(A|B)\)D.\(r(A)=n\)答案：A9.矩陣方程\(X^2=A\)（\(A\)為已知矩陣），這種方程（）A.一定有解B.一定無解C.不一定有解D.有唯一解答案：C10.已知\(A\)為\(n\)階對稱矩陣，矩陣方程\(AX=XA\)的解\(X\)（）A.一定是對稱矩陣B.一定是反對稱矩陣C.不一定是對稱矩陣D.一定是零矩陣答案：C多項選擇題（每題2分，共10題）1.對于矩陣方程\(AX=B\)，以下說法正確的是（）A.當(dāng)\(A\)可逆時，方程有唯一解B.若\(r(A)<r(A|B)\)，方程無解C.若\(A\)為方陣且\(\vertA\vert=0\)，方程可能無解D.方程有解則\(r(A)=r(A|B)\)答案：ABCD2.設(shè)\(A\)、\(B\)、\(C\)為矩陣，方程\(AXB=C\)有解的條件可能是（）A.\(r(AB)=r(AB|C)\)B.\(r(A)=r(A|C)\)且\(r(B)=r(B|C)\)C.\(A\)、\(B\)可逆D.\(r(A)=r(B)\)答案：AC3.若矩陣方程\(AX+BX=C\)（\(A\)、\(B\)、\(C\)已知），可化為（）A.\((A+B)X=C\)（當(dāng)\(A+B\)可逆時可求\(X\)）B.\(X(A+B)=C\)C.先求\((A+B)^{-1}\)再求\(X=(A+B)^{-1}C\)D.無解情況不存在答案：AC4.關(guān)于矩陣方程\(XA=B\)，以下正確的是（）A.當(dāng)\(A\)可逆時，\(X=BA^{-1}\)B.若\(r(A)<r(A|B)\)，無解C.若\(A\)不可逆，也可能有解D.有解則\(r(A)=r(B)\)答案：ABC5.矩陣方程\(A^2X=B\)（\(A\)為方陣），下列說法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(X=A^{-2}B\)B.當(dāng)\(\vertA\vert=0\)時，方程可能無解C.若\(r(A^2)=r(A^2|B)\)方程有解D.方程一定有解答案：ABC6.對于矩陣方程\(AX-X=B\)，可變形為（）A.\((A-E)X=B\)（\(E\)為單位矩陣）B.\(X(A-E)=B\)C.當(dāng)\(A-E\)可逆時，\(X=(A-E)^{-1}B\)D.無解情況不存在答案：AC7.已知矩陣方程\(AX=B\)與\(CY=D\)，以下說法正確的是（）A.兩個方程都有解時，解的形式都與系數(shù)矩陣的可逆性有關(guān)B.若\(A\)、\(C\)不可逆，兩個方程都一定無解C.兩個方程有解的充要條件都是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩D.方程的解都唯一答案：AC8.矩陣方程\(X^2-X=0\)（\(X\)為方陣），則\(X\)可能（）A.是零矩陣B.是單位矩陣C.是任意矩陣D.不存在答案：AB9.對于矩陣方程\(AXA=B\)（\(A\)可逆），正確的是（）A.\(X=A^{-1}BA^{-1}\)B.若\(B\)不可逆，方程可能無解C.方程有唯一解D.若\(A\)不可逆，方程一定無解答案：AC10.矩陣方程\(A^TX=B\)（\(A^T\)為\(A\)的轉(zhuǎn)置），以下說法正確的是（）A.當(dāng)\(A^T\)可逆時，\(X=(A^T)^{-1}B\)B.若\(r(A^T)<r(A^T|B)\)，方程無解C.方程有解則\(r(A^T)=r(A^T|B)\)D.一定有解答案：ABC判斷題（每題2分，共10題）1.矩陣方程\(AX=B\)，只要\(A\)和\(B\)行數(shù)相同就一定有解。（×）2.若\(A\)可逆，矩陣方程\(XA=B\)的解為\(X=BA^{-1}\)。（√）3.矩陣方程\(AX+B=0\)（\(A\)可逆），則\(X=-A^{-1}B\)。（√）4.對于矩陣方程\(AXB=C\)，當(dāng)\(A\)、\(B\)可逆時，方程有唯一解。（√）5.若矩陣方程\(AX=B\)中\(zhòng)(r(A)<r(A|B)\)，則方程有無窮多解。（×）6.矩陣方程\(X^2=E\)（\(E\)為單位矩陣）只有\(zhòng)(X=E\)和\(X=-E\)兩個解。（×）7.當(dāng)\(A\)不可逆時，矩陣方程\(AX=B\)一定無解。（×）8.矩陣方程\(AX=0\)（\(A\)為方陣），若\(A\)不可逆，則方程有非零解。（√）9.方程\(AX=B\)有解的充要條件是\(A\)的列向量組能由\((A|B)\)的列向量組線性表示。（√）10.矩陣方程\(XA-XB=C\)可化為\(X(A-B)=C\)。（√）簡答題（每題5分，共4題）1.求解矩陣方程\(AX=B\)（\(A\)可逆）的步驟。答案：因為\(A\)可逆，在方程兩邊同時左乘\(A^{-1}\)，得到\(A^{-1}AX=A^{-1}B\)，由于\(A^{-1}A=E\)（單位矩陣），所以\(X=A^{-1}B\)。2.簡述判斷矩陣方程\(AX=B\)是否有解的方法。答案：通過比較系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)和增廣矩陣\((A|B)\)的秩\(r(A|B)\)來判斷。若\(r(A)=r(A|B)\)，方程有解；若\(r(A)<r(A|B)\)，方程無解。3.對于矩陣方程\(AXB=C\)（\(A\)、\(B\)可逆），求\(X\)的過程。答案：因為\(A\)、\(B\)可逆，在方程兩邊先左乘\(A^{-1}\)得\(A^{-1}AXB=A^{-1}C\)，即\(XB=A^{-1}C\)，再右乘\(B^{-1}\)，得\(X=A^{-1}CB^{-1}\)。4.當(dāng)矩陣方程\(AX+BX=C\)（\(A+B\)可逆）時，求解\(X\)。答案：先將方程變形為\((A+B)X=C\)，因為\(A+B\)可逆，在方程兩邊同時左乘\((A+B)^{-1}\)，得到\(X=(A+B)^{-1}C\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣方程\(AX=B\)在\(A\)不可逆時解的情況。答案：當(dāng)\(A\)不可逆時，若\(r(A)<r(A|B)\)，方程無解；若\(r(A)=r(A|B)\)，方程有無窮多解。因為不可逆意味著\(A\)的列向量組線性相關(guān)，對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換后會出現(xiàn)特殊情況導(dǎo)致解的不同。2.探討矩陣方程\(XA=B\)與\(AX=B\)在求解過程和結(jié)果上的差異。答案：求解過程上，\(AX=B\)（\(A\)可逆）是在方程兩邊左乘\(A^{-1}\)得\(X=A^{-1}B\)；\(XA=B\)（\(A\)可逆）是在方程兩邊右乘\(A^{-1}\)得\(X=BA^{-1}\)。結(jié)果上，由于矩陣乘法一般不滿足交換律，\(A^{-1}B\)和\(BA^{-1}\)通常不同。3.分析矩陣方程\(AXA^{-1}=B\)有解的條件及解的唯一性。答案：有解條件是\(r(A)=r(A|B)\)（可通過增廣矩陣判斷）。當(dāng)\(A\)可逆時，解是唯一的，在方程兩邊左乘\(A^{-1}\)，右乘\(A\)得\(X