3.3.2均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生1．能用模擬方法估計事件的概率．(重點)2．設計科學的試驗來估計概率．(難點)[基礎·初探]教材整理均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生閱讀教材P137～P139的內容，完成下列問題．1．[0,1]上均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生利用計算器的RAND函數(shù)可以產(chǎn)生[0,1]上的均勻隨機數(shù)，試驗的結果是區(qū)間[0,1]內的任何一個實數(shù)，而且出現(xiàn)任何一個實數(shù)是等可能的，因此，可以用計算器產(chǎn)生的0到1之間的均勻隨機數(shù)進行隨機模擬．2．隨機模擬方法的基本思想是估計概率．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機數(shù)只能用計算器或計算機產(chǎn)生．()(2)計算機或計算器只能產(chǎn)生[0,1]的均勻隨機數(shù)，對于試驗結果在[2,5]上的試驗，無法用均勻隨機數(shù)進行模擬估計試驗．()(3)x是[0,1]上的均勻隨機數(shù)，則利用變量代換y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均勻隨機數(shù)．()【答案】(1)×(2)×(3)√2．用隨機模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實際概率的大小為n，則()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值【解析】隨機模擬法求其概率，只是對概率的估計．【答案】D3．在區(qū)間(10,20]內的所有實數(shù)中，隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)a<13的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,7)C.eq\f(3,10) D.eq\f(7,10)【解析】∵a∈(10,13)，∴P(a<13)＝eq\f(13－10,20－10)＝eq\f(3,10).【答案】C4．在邊長為2的正方形當中，有一個封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，向該正方形中隨機撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入陰影區(qū)域內，那么陰影區(qū)域的面積近似為____________.圖3-3-8【解析】設陰影區(qū)域的面積為S，則eq\f(S,4)≈eq\f(60,100)，S≈eq\f(12,5).【答案】eq\f(12,5)[小組合作型]用隨機模擬法估計長度型幾何概率取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？【精彩點撥】用模擬方法并進行相應轉化求概率．【嘗試解答】法一：(1)利用計算器或計算機產(chǎn)生一組(共N個)0到1區(qū)間的均勻隨機數(shù)，a1＝RAND；(2)經(jīng)過伸縮變換，a＝a1*3；(3)統(tǒng)計出[1，2]內隨機數(shù)的個數(shù)N1；(4)計算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即為概率P(A)的近似值．法二：做一個帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標上刻度[0,3](這里3和0重合)．轉動圓盤記下指針指在[1,2](表示剪斷繩子位置在[1,2]范圍內)的次數(shù)N1及試驗總次數(shù)，則fn(A)＝eq\f(N1,N)即為概率P(A)的近似值．1．用隨機數(shù)模擬的關鍵是把實際問題中事件A及基本事件總體對應的區(qū)域轉化為隨機數(shù)的范圍．法二用轉盤產(chǎn)生隨機數(shù)，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數(shù)不可能很大；法一用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，又可以自動統(tǒng)計試驗的結果，同時可以在短時間內多次重復試驗，可以對試驗結果的隨機性和規(guī)律性有更深刻的認識．2．用隨機模擬方法估計幾何概型的步驟：①確定需要產(chǎn)生隨機數(shù)的組數(shù)，如長度、角度型只用一組，面積型需要兩組；②由基本事件空間對應的區(qū)域確定產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍；③由事件A發(fā)生的條件確定隨機數(shù)應滿足的關系式；④統(tǒng)計事件A對應的隨機數(shù)并計算A的頻率來估計A的概率．[再練一題]1．在區(qū)間[0,3]內任取一個實數(shù)，求該實數(shù)大于2的概率.【解】(1)利用計算器或計算機產(chǎn)生n個0～1之間的均勻隨機數(shù)，x＝RAND；(2)作伸縮變換：y＝x*(3－0)，轉化為[0,3]上的均勻隨機數(shù)；(3)統(tǒng)計出[2,3]內均勻隨機數(shù)的個數(shù)m；(4)則概率P(A)的近似值為eq\f(m,n).用隨機模擬法估計面積型幾何概率如圖3-3-9，在一個邊長為3cm的正方形內部畫一個邊長為2cm的正方形，向大正方形內隨機投點，求所投的點落入小正方形內的概率．圖3-3-9【精彩點撥】把二維型的圖形放在一個確定的坐標平面或者平面上，用均勻隨機數(shù)產(chǎn)生兩組隨機數(shù)作為點的坐標，或者用實物(如黃豆)計算其頻率，從而可估計概率．【嘗試解答】記事件A＝{所投點落入小正方形內}．(1)用計算機產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)經(jīng)過伸縮平移變換，a＝a1*3－1.5,b=b1*3－1.5,得［－1.5，1.5］上的均勻隨機數(shù).(3)統(tǒng)計落入大正方形內點數(shù)N(即上述所有隨機數(shù)構成的點(a，b)數(shù))及落入小正方形內的點數(shù)N1(即滿足－1<a<1且－1<b<1的點(a，b)數(shù))．(4)計算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即為概率P(A)的近似值．一般地，若一個隨機事件需要用兩個連續(xù)變量如本例中的x，y來描述，用這兩個變量的有序實數(shù)對來表示它的基本事件，利用坐標平面能順利地建立與面積有關的幾何概型.[再練一題]2.如圖3-3-10，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm，4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設投鏢擊中線上或沒有投中木板時不算，可重投，問：投中大圓內的概率是多少？投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內的概率是多少？投中大圓之外的概率是多少？圖3-3-10【解】記事件A＝{投中大圓內}，事件B＝{投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內}，事件C＝{投中大圓之外}．(1)用計算機產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND；(2)經(jīng)過伸縮平移變換，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到兩組[－8,8](3)統(tǒng)計投中大圓內的次數(shù)N1(即滿足a2＋b2＜36的點(a，b)的個數(shù))，投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的次數(shù)N2(即滿足4＜a2＋b2＜16的點(a，b)的個數(shù))，投中木板的總次數(shù)N(即滿足－8＜a＜8，－8＜b＜8的點(a，b)的個數(shù))；(4)計算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，fn(B)＝eq\f(N2,N)，fn(C)＝eq\f(N－N1,N)，即分別為概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值．利用隨機模擬試驗估計不規(guī)則圖形的面積利用隨機模擬方法計算圖3-3-11中陰影部分(曲線y＝2x與x軸、x＝±1圍成的部分)的面積．圖3-3-11【精彩點撥】在坐標系中畫出正方形，用隨機模擬的方法可以求出陰影部分面積與正方形面積之比，從而求得陰影部分的近似值．【嘗試解答】(1)利用計算機產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)進行平移和伸縮變換，a＝a1[N1，N)，即為點落在陰影部分的概率的近似值．(3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和落在陰影內的次數(shù)N1(滿足條件b<2a的點(a，b(4)計算頻率eq\f(N1,N)，即為點落在陰影部分的概率的近似值．(5)用幾何概率公式求得點落在陰影部分的概率為P＝eq\f(S,4).∴eq\f(N1,N)≈eq\f(S,4).∴S＝eq\f(4N1,N)即為陰影部分面積的近似值．1．解決本題的關鍵是利用隨機模擬法和幾何概率公式分別求得幾何概率，然后通過方程求得陰影部分面積的近似值．2.eq\f(S不規(guī)則圖形,S規(guī)則圖形)＝eq\f(N1,N)，應當作公式記住，當然應理解其來歷，其中N為總的試驗次數(shù)，N1為落在不規(guī)則圖形內的試驗次數(shù)．[再練一題]3．如圖3-3-12所示，在一個長為4，寬為2的矩形中有一個半圓，試用隨機模擬的方法近似計算半圓面積，并估計π的值．圖3-3-12【解】記事件A為“點落在半圓內”．(1)利用計算機產(chǎn)生兩組[0,1]上的均勻隨機數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND；(2)進行平移和伸縮變換，a＝(a1－0.5)*4，b＝b1]4－x2)的點(a，b)的個數(shù))；(4)計算頻率eq\f(N1,N)就是點落在陰影部分的概率的近似值；(5)用幾何概型公式求概率，P(A)＝eq\f(S半圓,8)，所以eq\f(S半圓,8)≈eq\f(N1,N)，即S半圓＝eq\f(8N1,N)，為半圓面積的近似值．又2π＝eq\f(8N1,N)，所以π≈eq\f(4N1,N).[探究共研型][a，b]內的均勻隨機數(shù)探究1如何產(chǎn)生[a，b]內的均勻隨機數(shù)？【提示】利用計算機(或計算器)產(chǎn)生[0,1]上的均勻隨機數(shù)x1＝RAND，然后利用伸縮和平移變換，令x＝x1]探究2產(chǎn)生[a，b]內的均勻隨機數(shù)時，[a，b]上的任何一個實數(shù)，都是等可能的嗎？【提示】產(chǎn)生[a，b]內的均勻隨機數(shù)時，試驗的結果是[a，b]上的任何一個實數(shù)，并且任何一個實數(shù)都是等可能的．將[0,1]內的均勻隨機數(shù)a1轉化為[－2,6]內的均勻隨機數(shù)a，需實施的變換為()A．a(chǎn)＝a1*18 B.a＝a1*8+2C．a(chǎn)＝a1*82 D.a＝a1*6【精彩點撥】結合兩個區(qū)間長度及對應的端點值對a1實施變換．【嘗試解答】因為隨機數(shù)x∈[0,1]，而基本事件都在[－2,6]上，其區(qū)間長度為8，所以首先把a1變?yōu)?a1，又因區(qū)間左端值為－2，所以8a1再變?yōu)?a1－2，故變換公式為a＝【答案】C[再練一題]4．b1是[0,1]上的均勻隨機數(shù)，b＝3(b1－2)，則b是區(qū)間________上的均勻隨機數(shù)．【解析】0≤b1≤1，則函數(shù)b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是區(qū)間[－6，－3]上的均勻隨機數(shù)．【答案】[－6，－3]1．用均勻隨機數(shù)進行隨機模擬，可以解決()A．只能求幾何概型的概率，不能解決其他問題B．不僅能求幾何概型的概率，還能計算圖形的面積C．不但能估計幾何概型的概率，還能估計圖形的面積D．最適合估計古典概型的概率【解析】很明顯用均勻隨機數(shù)進行隨機模擬，不但能估計幾何概型的概率，還能估計圖形的面積，但得到的是近似值，不是精確值，用均勻隨機數(shù)進行隨機模擬，不適合估計古典概型的概率．【答案】C2．利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1<0A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)【解析】因為0<a<1，所以事件3a－1<0，即a<eq\f(1,3)的概率是eq\f(1,3)，故選C.【答案】C3．設x是[0,1]內的一個均勻隨機數(shù)，經(jīng)過變換y＝2x＋3，則x＝eq\f(1,2)對應變換成的均勻隨機數(shù)是()A．0 B．2C．4 D．5【解析】當x＝eq\f(1,2)時，y＝2×eq\f(1,2)＋3＝4.【答案】C4．如圖3-3-13，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________．圖3-3-13【解析】由題意知，這是個幾何概型問題，eq\f(S陰,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18.∵S正＝1，∴S陰＝0.18.【答案】0.185．設有一個正方形網(wǎng)格，其中每個最小正方形的邊長都等于6cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到網(wǎng)格上，用隨機模擬方法求硬幣落下后與格線有公共點的概率.【解】記事件A＝{硬幣與格線有公共點}，設硬幣中心為B(x，y)．步驟：(1)利用計算機或計算器產(chǎn)生兩組0到1之間的均勻隨機數(shù)，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，則x＝(x1－0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到兩組[－3,3]內的均勻隨機數(shù)．(3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N及硬幣與格線有公共點的次數(shù)N1(滿足條件|x|≥2或|y|≥2的點(x，y)的個數(shù))．(4)計算頻率eq\f(N1,N)，即為硬幣落下后與格線有公共點的概率．學業(yè)分層測評(二十一)均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．與均勻隨機數(shù)特點不符的是()A．它是[0,1]內的任何一個實數(shù)B．它是一個隨機數(shù)C．出現(xiàn)的每一個實數(shù)都是等可能的D．是隨機數(shù)的平均數(shù)【解析】A、B、C是均勻隨機數(shù)的定義，均勻隨機數(shù)的均勻是“等可能”的意思，并不是“隨機數(shù)的平均數(shù)”．【答案】D2．要產(chǎn)生[－3,3]上的均勻隨機數(shù)y，現(xiàn)有[0,1]上的均勻隨機數(shù)x，則y可取為()A．－3x B．3xC．6x－3 D．－6x－3【解析】法一：利用伸縮和平移變換進行判斷；法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.【答案】C3．歐陽修《賣油翁》中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為1.5cm的圓，中間有邊長為0.5cm的正方形孔，若你隨機向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率為()A.eq\f(4,9π) B.eq\f(9,4π)C.eq\f(4π,9) D.eq\f(9π,4)【解析】由題意知所求的概率為P＝eq\f(0.5×0.5,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.5,2)))2)＝eq\f(4,9π).【答案】A4．一次試驗：向如圖3-3-14所示的正方形中隨機撒一大把豆子，經(jīng)查數(shù)，落在正方形的豆子的總數(shù)為N粒，其中有m(m<N)粒豆子落在該正方形的內切圓內，以此估計圓周率π的值為()圖3-3-14A.eq\f(m,N) B.eq\f(2m,N)C.eq\f(3m,N) D.eq\f(4m,N)【解析】設正方形的邊長為2a，依題意，P＝eq\f(πa2,4a2)＝eq\f(m,N)，得π＝eq\f(4m,N)，故選D.【答案】D5．若將一個質點隨機投入如圖3-3-15所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是()圖3-3-15A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,8)【解析】設質點落在以AB為直徑的半圓內為事件A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).【答案】B二、填空題6．如圖3-3-16，矩形的長為6，寬為3，在矩形內隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆為125顆，則我們可以估計出陰影部分的面積約為________．圖3-3-16【解析】∵矩形的長為6，寬為3，則S矩形＝18，∴eq\f(S陰,S矩)＝eq\f(S陰,18)＝eq\f(125,300)，∴S陰＝eq\f(15,2).【答案】eq\f(15,2)7．利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則使關于x的一元二次方程x2－x＋a＝0無實根的概率為________.【解析】∵方程無實根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>eq\f(1,4)，即所求概率為eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)8．如圖3-3-17，在一個兩邊長分別為a，b(a＞b＞0)的矩形內畫一個梯形，梯形的上、下底分別為eq\f(1,4)a與eq\f(1,2)a，高為b，向該矩形內隨機投一點，那么所投點落在梯形內部的概率為________．圖3-3-17【解析】∵圖中梯形的面積為s＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋\f(1,2)a))×b＝eq\f(3,8)ab，矩形的面積為S＝ab，∴落在梯形內部的概率為：P＝eq\f(s,S)＝eq\f(\f(3,8)ab,ab)＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)三、解答題9．對某人某兩項指標進行考核，每項指標滿分100分，設此人每項得分在[0,100]上是等可能出現(xiàn)的．單項80分以上，且總分170分以上才合格，求他合格的概率．【解】設某人兩項的分數(shù)分別為x分、y分，則0≤x≤100,0≤y≤100，某人合格的條件是80＜x≤100，80＜y≤100，x＋y＞170，在同一平面直角坐標系中，作出上述區(qū)域(如圖陰影部分所示)．由圖可知：0≤x≤100,0≤y≤100構成的區(qū)域面積為100×100＝10000，合格條件構成的區(qū)域面積為S五邊形BCDEF＝S矩形AB