2018屆高三年級(jí)第一次模擬考試(四)數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)參考公式：柱體的體積公式：V柱體＝Sh，其中S為柱體的底面積，h為高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．1.已知集合A＝{－1，0，a}，B＝{0，eq\r(,a)}．若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．2.已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋4i,1－i)，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為_(kāi)_______．3.已知某校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別為400，400，500.為了解該校學(xué)生的身高情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為65的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取________名學(xué)生．4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為_(kāi)_______．5.若某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)建模、航模制作、程序設(shè)計(jì)和機(jī)器人制作4個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇2個(gè)，則數(shù)學(xué)建模社團(tuán)被選中的概率為_(kāi)_______．6.若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤3，,x－y－1≤0，))則2x—y的最大值為_(kāi)_______．7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的漸近線的距離為_(kāi)_______．8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，則a3的值為_(kāi)_______．9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))個(gè)單位長(zhǎng)度，若平移后得到的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則φ的值為_(kāi)_______．10.若曲線y＝xlnx在x＝1與x＝t處的切線互相垂直，則正數(shù)t的值為_(kāi)_______．11.如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為4cm，圓柱的底面積為9eq\r(,3)cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為6cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.(不計(jì)損耗)(第11題)(第12題)12.如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，AD＝1.點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ＝45°，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))的最小值為_(kāi)_______．13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點(diǎn)P向圓x2＋y2＝4引兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D.設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，則線段AM的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_______．14.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2ax－a＋1，x≥0，,ln（－x），x<0，))g(x)＝x2＋1－2a.若函數(shù)y＝f(g(x))有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)．點(diǎn)N在棱PC上，D是BN的中點(diǎn)．求證：(1)MD∥平面PAC；(2)平面ABN⊥平面PMC.16.(本小題滿分14分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，a＝eq\f(\r(,15),2)b.(1)求sinB的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,12)))的值．

17.(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(,2),2)，兩條準(zhǔn)線之間的距離為4eq\r(,2).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M在圓x2＋y2＝eq\f(8,9)上，直線AM與橢圓相交于另一點(diǎn)B，且△AOB的面積是△AOM的面積的2倍，求直線AB的方程．

18.(本小題滿分16分)如圖，某小區(qū)中央廣場(chǎng)由兩部分組成，一部分是邊長(zhǎng)為80m的正方形ABCD，另一部分是以AD為直徑的半圓，其圓心為O.規(guī)劃修建的3條直道AD，PB，PC將廣場(chǎng)分割為6個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域(圖中陰影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)P在半圓弧上，AD分別與PB，PC相交于點(diǎn)E，F(xiàn).(道路寬度忽略不計(jì))(1)若PB經(jīng)過(guò)圓心，求點(diǎn)P到AD的距離：(2)設(shè)∠POD＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).①試用θ表示EF的長(zhǎng)度；②當(dāng)sinθ為何值時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大．

19.(本小題滿分16分)已知函數(shù)g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有極值，且函數(shù)f(x)＝(x＋a)ex的極值點(diǎn)是g(x)的極值點(diǎn)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的最小值為M(a)，證明：M(a)<－eq\f(7,3).

20.(本小題滿分16分)若數(shù)列{an}同時(shí)滿足：①對(duì)于任意的正整數(shù)n，an＋1≥an恒成立；②若對(duì)于給定的正整數(shù)k，an－k＋an＋k＝2an對(duì)于任意的正整數(shù)n(n>k)恒成立，則稱數(shù)列{an}是“R(k)數(shù)列”．(1)已知an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1，n為奇數(shù)，,2n，n為偶數(shù)，))判斷數(shù)列{an}是否為“R(2)數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)已知數(shù)列{bn}是“R(3)數(shù)列”，且存在整數(shù)p(p>1)，使得b3p－3，b3p－1，b3p＋1，b3p＋3成等差數(shù)列，證明：{bn}是等差數(shù)列．

2018屆高三年級(jí)第一次模擬考試(四)數(shù)學(xué)附加題(本部分滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)A.[選修41：幾何證明選講](本小題滿分10分)如圖，已知⊙O1的半徑為2，⊙O2的半徑為1，兩圓外切于點(diǎn)T.點(diǎn)P為⊙O1上一點(diǎn)，PM與⊙O2切于點(diǎn)M.若PM＝eq\r(,3)，求PT的長(zhǎng)．B.[選修42：矩陣與變換](本小題滿分10分)已知x∈R，向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,1)))是矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,x,0,2)))的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，求λ與A－1.C.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x與曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t－1，,y＝t2－1))(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

D.[選修45：不等式選講](本小題滿分10分)已知a>1，b>1，求eq\f(b2,a－1)＋eq\f(a2,b－1)的最小值．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．22.(本小題滿分10分)如圖，在四棱錐PABCD中，AP，AB，AD兩兩垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.(1)求二面角PCDA的余弦值；23.(本小題滿分10分)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝eq\f(sin\b\lc\