[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解兩個變量的相關(guān)關(guān)系的概念.2.會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系.3.會求線性回歸方程．知識點一變量間的相關(guān)關(guān)系1．變量之間常見的關(guān)系函數(shù)關(guān)系變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示相關(guān)關(guān)系變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)表示2.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系類別區(qū)別聯(lián)系函數(shù)關(guān)系①函數(shù)關(guān)系中兩個變量間是一種確定性關(guān)系；②函數(shù)是一種因果關(guān)系，有這樣的因，必有這樣的果．例如，圓的半徑由1增大為2，其面積必然由π增大到4π①在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，對于具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量來說，當(dāng)求得其線性回歸方程后，可以用一種確定性的關(guān)系對這兩個變量間的取值進行評估；②相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況相關(guān)關(guān)系①相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．例如，吸煙與患肺癌之間的關(guān)系，兩者之間雖然沒有確定的函數(shù)關(guān)系，但吸煙多的人患肺癌的風(fēng)險會大幅增加，兩者之間即是一種非確定性的關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系 知識點二求線性回歸方程1．回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．2．線性回歸方程與最小二乘法我們用yi－eq\o(y,\s\up6(^))i來刻畫實際觀察值yi(i＝1,2，…，n)與eq\o(y,\s\up6(^))i的偏離程度，yi－eq\o(y,\s\up6(^))i越小，偏離越小，直線就越貼近已知點．我們希望yi－eq\o(y,\s\up6(^))i的n個差構(gòu)成的總的差量越小越好，這才說明所找的直線是最貼近已知點的．由于把yi－eq\o(y,\s\up6(^))i這個差量作和會使差量中的正負值相互抵消，因此我們用這些差量的平方和即Q＝eq\i\su(i＝1,n,)(yi－a－bxi)2作為總差量，回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條．因為平方又叫二乘方，所以這種使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．用最小二乘法求線性回歸方程中的a，b有下面的公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,a＝\x\to(y)－b\x\to(x)，))其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.這樣，線性回歸方程的斜率為b，截距為a，即線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.[思考]任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出線性回歸方程嗎？答用最小二乘法求線性回歸方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點圖來判斷)，否則求出的線性回歸方程是無意義的．題型一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？①正方形邊長與面積之間的關(guān)系；②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．解兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系．①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．綜上，②④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系．反思與感悟函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1下列兩個變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是________．①正方體的棱長與體積；②角的度數(shù)與它的正弦值；③單產(chǎn)為常數(shù)時，土地面積與糧食總產(chǎn)量；④日照時間與水稻的單位產(chǎn)量．答案④解析函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系都是指兩個變量之間的關(guān)系，但是這兩種關(guān)系是不同的，函數(shù)關(guān)系是指當(dāng)自變量一定時，函數(shù)值是確定的，是一種確定性的關(guān)系．因為①V＝a3，②y＝sinα，③y＝ax(a＞0，且a為常數(shù))，所以這三項均是函數(shù)關(guān)系．④是相關(guān)關(guān)系．題型二散點圖例25名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(單位：分)如下：學(xué)生成績ABCDE數(shù)學(xué)成績8075706560物理成績7066686462判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，得相應(yīng)的散點圖如圖所示．由散點圖可知，各點分布在一條直線附近，故兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系．反思與感悟1.判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果圖上發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響．2．畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2某公司利潤y(單位：千萬元)與銷售總額x(單位：千萬元)之間有如表對應(yīng)數(shù)據(jù)：x10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)畫出散點圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解(1)散點圖如下：(2)由圖知，所有數(shù)據(jù)點接近直線排列，因此，認為y與x有線性相關(guān)關(guān)系．題型三求線性回歸方程例3某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)求線性回歸方程．解(1)散點圖如圖所示．(2)列出下表，并用科學(xué)計算器進行有關(guān)計算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2,i)416253664eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380于是可得，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.反思與感悟1.求線性回歸方程的步驟(1)列表xi，yi，xiyi.(2)計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代入公式計算b，a的值．(4)寫出線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx.2．求線性回歸方程的適用條件跟蹤訓(xùn)練3如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖：注：年份代碼分別對應(yīng)年份2008～2014(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－)).解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))tiyi－eq\o(t,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例4以下是在某地搜集到的不同樓盤房屋的銷售價格y(單位：萬元)和房屋面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)：房屋面積x11511080135105銷售價格y49.643.238.858.444判斷房屋的銷售價格和房屋面積之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．如果有線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)？分析作出散點圖，利用散點圖進行判斷．解數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示．通過以上數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖可以判斷，房屋的銷售價格和房屋面積之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)．解后反思判斷兩個變量x和y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖．如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就具有線性相關(guān)關(guān)系．注意不要受個別點的位置的影響．1．有下列關(guān)系：①人的年齡與其擁有的財富之間的關(guān)系；②曲線上點與該點的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一樹木，其橫截面直徑與高度之間的關(guān)系；⑤學(xué)生與其學(xué)號之間的關(guān)系．其中具有相關(guān)關(guān)系的是________．答案①③④解析②⑤為確定關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系．2．下面四個散點圖中點的分布狀態(tài)，直觀上判斷兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是________．答案③解析散點圖①中的點無規(guī)律的分布，范圍很廣，表明兩個變量之間的相關(guān)程度很?。虎谥兴械狞c都在同一條直線上，是函數(shù)關(guān)系；③中點的分布在一條帶狀區(qū)域上，即點分布在一條直線的附近，是線性相關(guān)關(guān)系；④中的點也分布在一條帶狀區(qū)域內(nèi)，但不是線性的，而是一條曲線附近，所以不是線性相關(guān)關(guān)系，故填③.3．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則下列判斷正確的是________．①a>0，b>0；②a>0，b<0；③a<0，b>0；④a<0，b<0.答案②解析作出散點圖如下：由圖可以判斷b＜0，a＞0.4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是________．①y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；②回歸直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；③若該大學(xué)某女生身高