13.1三角形中的邊角關(guān)系一、主要知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1三角形的認(rèn)識(shí)三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．備注：（1）三角形的基本元素：三邊（線段AB、線段BC、線段AC）、三內(nèi)角（、、）、三個(gè)頂點(diǎn)（點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C）。（2）三角形定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.(3)三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義．【例1】如圖中都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形是由三條首尾相連的線段組成的圖形．故選：C．【例2】如圖，三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】解：由所給圖形可知，圖中三角形的個(gè)數(shù)為：1+2＝3．故選：B．【例3】如圖，在△ABD中，∠A的對(duì)邊是（）A．BF B．BE C．BD D．BC【解答】解：∠A的對(duì)邊是BD．故選：C．知識(shí)點(diǎn)2三角形的分類(1)按角分類：(2)按邊分類：【例4】下列說法正確的是（）①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；③等腰三角形至少有兩邊相等；④三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形，故①錯(cuò)誤；②三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形和等邊三角形，故②錯(cuò)誤；③等腰三角形至少有兩邊相等，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，故③正確；④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，故④正確．綜上，正確的有③④．故選：B．【例5】已知在△ABC中，∠A＝50°，則△ABC是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．以上都有可能【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∴△ABC的形狀不確定，故選：D．【例6】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB，BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△PAC可能成為的特殊三角形依次是（）A．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形【解答】解：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△PAC可能成為的特殊三角形依次是直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，故選：C．知識(shí)點(diǎn)3三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.備注：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系.【例7】下列長(zhǎng)度的三條線段首尾順次連接能組成三角形的是（）A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11【解答】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷如下：A、∵2+2＞3，∴2，2，3能組成三角形．故此選項(xiàng)符合題意；B、∵2+3＝5，∴2，3，5不能組成三角形．故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵3+4＝7，∴3，4，7不能組成三角形．故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵4+5＜11，∴4，5，11不能組成三角形．故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【例8】定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫作“倍長(zhǎng)三角形”．若△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，有兩條邊的長(zhǎng)分別為2和3，則第三條邊的長(zhǎng)為．【解答】解：設(shè)三角形ABC中，第三條邊AB＝x，AC＝2，BC＝3，等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，①當(dāng)AB＝2AC，即x＝4，∴△ABC三邊分別是2，3，4，符合題意，②當(dāng)AC＝2BC，即x＝6，∴△ABC三邊分別是2，3，6，∵2+3＜6，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；③當(dāng)AC＝2AB＝2，即x＝1，∴1+2＝3，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；④當(dāng)BC＝2AB＝3，即x＝1.5，∴△ABC三邊分別是1.5，2，3，符合題意，綜上所述，第三條邊的長(zhǎng)為是4或1.5，故答案為：1.5或4．【例9】若a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，則化簡(jiǎn)|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的結(jié)果為（）A．a(chǎn)+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c【解答】解：由條件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c．故選：A．知識(shí)點(diǎn)4三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．備注：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．【例10】一張三角形紙片如圖所示，已知∠B+∠C＝α，若沿著虛線剪掉陰影部分紙片，記∠1+∠2＝β，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．α＝βB．α＞βC．α＜βD．無法比較α和β的大小【解答】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，即α＝β，綜上所述，只有選項(xiàng)A正確，符合題意，故選：A．【例11】如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠CAE和∠ACF的平分線交于點(diǎn)D，則∠ADC的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．65° D．70°【解答】解：由外角性質(zhì)可知：∠CAE＝∠B+∠ACB，∠ACF＝∠B+∠BAC，∵AD平分∠CAE，CD平分∠ACF，∴∠CAD=12∠CAE∴∠CAD+∠ACD==1在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠B＝180°，∠B＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠CAD+∠ACD=1在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∴∠ADC＝180°﹣115°＝65°．故選：C．【例12】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角為度．【解答】解：由題意可設(shè)∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，則3x+4x+5x＝180°，整理得，12x＝180°，解得x＝15°，∴∠A＝3x＝3×15°＝45°，∠B＝4x＝4×15°＝60°，∠C＝5x＝5×15°＝75°，∴△ABC中最大角的度數(shù)為75°，故答案為：75．知識(shí)點(diǎn)5與三角形有關(guān)的線段（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.備注：三角形的高是線段；三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心；（2）三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.備注：三角形的中線是線段；三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.（3）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點(diǎn)D在BC上.備注：三角形的角平分線是線段；三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.【例13】在△ABC中，作BC邊上的高，以下選項(xiàng)中正確的是（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，作BC邊上的高，作法正確的是：故選：C．【例14】如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE中點(diǎn)，且△ABC的面積等于4cm2，則陰影部分圖形面積等于（）A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AD中點(diǎn)，∴S△ABD∴S△BED∵F是EC的中點(diǎn)，S△BEF∴S△BEF∵△ABC的面積等于4cm2，∴S△BEF＝1cm2，即陰影部分的面積為1cm2，故選：A．【例15】如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD是△ABC的高，BE是∠ABC的平分線，則∠BEC的度數(shù)是（）A．75° B．80° C．85° D．90°【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°．∵BE是∠ABC的平分線，∴∠CBE=12∠∴∠BEC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．故選：C．二、鞏固練習(xí)1.下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）①三角形的角平分線、中線和高都在三角形內(nèi)；②直角三角形只有一條高；③三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)；④三角形的高是直線，角平分線是射線，中線是線段．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①鈍角三角形的三條高兩條在三角形外，故錯(cuò)誤；②直角三角形有三條高，故錯(cuò)誤；③三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)，故正確；④三角形的高，角平分線及中線都是線段，故錯(cuò)誤；故選：A．2.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放（兩條直角邊在同一條直線上），連接另外兩個(gè)銳角頂點(diǎn)，并測(cè)得∠1＝40°．則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．65° D．75°【解答】解：如圖，∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣40°﹣75°＝65°，故選：C．3.如圖，將四根長(zhǎng)度分別為3cm，5cm，7cm，8cm的木條釘成一個(gè)四邊形木架，扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)發(fā)生改變，在變化過程中，點(diǎn)B和點(diǎn)D之間的距離可能是（）A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm【解答】解：如圖，連接BD，在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm，在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm，所以5cm＜BD＜11cm．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)C符合題意．故選：C．4.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，x，7，化簡(jiǎn)|x﹣5|﹣2|x﹣12|的結(jié)果是（）A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29【解答】解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，x，7，∴5＜x＜9，∴|x﹣5|﹣2|x﹣12|＝x﹣5+2x﹣24＝3x﹣29，綜上所述，只有選項(xiàng)B正確，符合題意，故選：B．5.下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A．B．C． D．【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項(xiàng)C．故選：C．6.如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中線，則△ABD與△ADC的周長(zhǎng)之差為（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由題意可得：BD＝CD，∴周長(zhǎng)之差是AB+AD+BD﹣（AD+AC+CD）＝AB﹣AC＝7﹣5＝2．故選：C．7.如圖，已知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AE，AF分別是△ABC的角平分線、高線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．S△ABC＝2S△ABEB．BD＝CDC．∠AFC＝90°D．∠BAE＝∠CAE【解答】解：根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的定義判斷如下：A、AE不是中線，∴BE≠1∵S△ABC=1∴S△ABC≠2S△ABE，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵AF是△ABC的高線，∴∠AFC＝90°，該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE＝∠CAE，該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．8.如圖所示，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝48cm2，則△DEF的面積等于（）A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2【解答】解：由題知，∵S△ABC＝48cm2，且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴S△ACD=12∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴S△CDE=12∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，∴S△DEF=12故選：B．9.如圖，共有個(gè)三角形．【解答】解：圖中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6個(gè)．故答案為：6．10.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角為度．【解答】解：由題意可設(shè)∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，則3x+4x+5x＝180°，整理得，12x＝180°，解得x＝15°，∴∠A＝3x＝3×15°＝45°，∠B＝4x＝4×15°＝60°，∠C＝5x＝5×15°＝75°，∴△ABC中最大角的度數(shù)為75°，故答案為：75．11.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中線，若△ABD周長(zhǎng)與△ADC的周長(zhǎng)相差2cm，則BA＝cm．【解答】解：如圖，∵AD是△ABC中線，∴BD＝CD，∴△ABD周長(zhǎng)﹣△ADC的周長(zhǎng)＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC，∵△ABD周長(zhǎng)與△ADC的周長(zhǎng)相差2cm，∴|BA﹣5|＝2，∴解得BA＝7或3．故答案為：3或7．12.若三邊均不相等的三角形三邊a，b，c滿足a﹣b＞b﹣c（a為最長(zhǎng)邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”，例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)?﹣5＞5﹣4，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．（1）以下兩組長(zhǎng)度的小木棚能組成“不均衡三角形”的為（填序號(hào)）．①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x﹣6，直接寫出x的整數(shù)值為．【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4，∴18﹣13＞13﹣9，∴這個(gè)三角形為“不均衡三角形”；∵9﹣8＝1，8﹣6＝2，∴9﹣8＜8﹣6，∴這個(gè)三角形不是“不均衡三角形”，故答案為：①；（2）共分3種情況討論：①2x+2＞16＞2x﹣6，解得：7＜x＜11，2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），解得：x＞9，∴9＜x＜11，∵x為整數(shù)，∴x＝10，當(dāng)x＝10時(shí)，2x+2＝22，2x﹣6＝14，∵16+14＞22，∴能構(gòu)成三角形；②由題意得：16＞2x+2＞2x﹣6，且（2x+2）+（2x﹣6）＞1616＞2x+2＞2x﹣6，即：2x+2＜16①2x+2+2x-6＞16②由①得：x＜7，由②得：x＞5，∴5＜x＜7∵三角形是“不均衡三角形”，∴16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），解得：x＜3，∴不存在這樣的數(shù)；③2x﹣6＞16時(shí)，解得：x＞11，2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，解得：x＜15，∴11＜x＜15，∵x為整數(shù)，∴x＝12或13或14，當(dāng)x＝12時(shí)，2x+2＝26，2x﹣6＝18，∵18+16＞26，∴能構(gòu)成三角形；當(dāng)x＝13時(shí)，2x+2＝28，2x﹣6＝20，∵20+16＞28，∴能構(gòu)成三角形；當(dāng)x＝14時(shí)，2x+2＝30，2x﹣6＝22，∵22+16＞30，∴能構(gòu)成三角形，綜上可知：x的整數(shù)值為10或12或13或14，故答案為：10或12或13或14．13.過A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)畫三角形；（1）其中以AB為一邊可以畫出個(gè)三角形；（2）其中以C為頂點(diǎn)可以畫出個(gè)三角形．【解答】解：（1）如圖，以AB為一邊的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3個(gè)；（2）如圖，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6個(gè)．故答案為：（1）3，（2）6．14.在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，請(qǐng)通過計(jì)算判斷△ABC的形狀．【解答】解：∵∠A＝2∠B＝2∠C（已知），又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴2∠C+∠C+∠C＝180°（等量代換），即4∠C＝180°，解得∠C＝45°，∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝2∠C＝2×45°＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．15.如果一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為5cm，另一邊長(zhǎng)為2cm，若第三邊長(zhǎng)為xcm．（1）第三邊x的范圍為．（2）當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)為奇數(shù)時(shí)，求出這個(gè)三角形的周長(zhǎng)，并指出它是什么三角形（按邊分類）．【解答】解：（1）根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊，則x＜5+2．即x＜7．根據(jù)三角形兩邊的差小于第三邊，則5﹣2＜x．即3＜x．綜上所述3＜x＜7．故答案為：3＜x＜7．（2）∵第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，∴第三邊的長(zhǎng)為5cm．∴三角形的周長(zhǎng)＝5+5+2＝12（cm）．∵兩條邊的長(zhǎng)為5cm，另外一條邊的長(zhǎng)為2cm，∴這個(gè)三角形是底邊和腰不相等的等腰三角形．16.分別在第（1）、（2）、（3）圖中，畫出△ABC的一條中線，一條角平分線和一條高，并用文字指出你所畫的中線、角平分線和高．【解答】解：如圖AD為中線，AE為角平分線，AF為高17.如圖，在△ABC中，AD是中線，AB＝10cm，AC＝6cm．（1）△ABD與△ACD的周長(zhǎng)差為cm．（2）點(diǎn)E在邊AB上，連接ED，若三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AD是中線，∴BD＝CD，∵△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AD+BD，△ACD的周長(zhǎng)＝AC+CD+AD，∴△ABD的周長(zhǎng)△ACD的周長(zhǎng)的差即AB與AC的差，∵AB﹣AC＝4（cm），∴△ABD的周長(zhǎng)△ACD的周長(zhǎng)的差為4cm，故答案為：4；（2）①折線BE+BD比折線AE+AC+CD大2cm時(shí)，即BE﹣（AE+AC）＝2cm，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴AE＝1cm，②折線AE+AC+CD比折線BE+BD大2cm時(shí)，即AE+AC﹣BE＝2cm，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴AE＝3cm，綜上，線段AE的長(zhǎng)為1cm或3cm．18.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝8，CD＝6，點(diǎn)E為AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE，隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，△DCE的面積也發(fā)生變化．（1）寫出△DCE的面積y與AE的長(zhǎng)x（0＜x＜8）之間的關(guān)系式；（2）當(dāng)x＝2時(shí)，求y的值．【解答】解：（1）∵AD＝8，AE＝x，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣x，∵CE＝6，∴S△DCE=12CD?DE=12×∴y與x之間的關(guān)系式為y＝24﹣3x（0＜x＜8）．（2）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝24﹣3×2＝18．19.如圖，已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)AP，PB，PC，是說明：12（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC【解答】解：延長(zhǎng)AP交BC于D，由三角形三邊關(guān)系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB