三年高考（2025-2026）數(shù)學（文）試題分項版解析第三章導數(shù)一、選擇題1.【2025高考北京，文8】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日SKIPIF1<0SKIPIF1<0注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內，該車每SKIPIF1<0千米平均耗油量為（）A．SKIPIF1<0升B．SKIPIF1<0升C．SKIPIF1<0升D．SKIPIF1<0升【答案】B【考點定位】平均變化率.【名師點晴】本題主要考查的是平均變化率，屬于中檔題．解題時一定要抓住重要字眼“每SKIPIF1<0千米”和“平均”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解此類應用題時一定要萬分小心，除了提取必要的信息外，還要運用所學的數(shù)學知識進行分析和解決問題．2.【2025湖南文9】若SKIPIF1<0，則（） A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0 【答案】C【解析】設函數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,求函數(shù)求導可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0符號不確定且SKIPIF1<0,所以函數(shù)SKIPIF1<0單調性不確定,函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減,則SKIPIF1<0,所以選項C是正確的,故選C.【考點定位】導數(shù)單調性【名師點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，解決問題的關鍵是根據(jù)所給選項構造對應的函數(shù)，利用函數(shù)的性質分析其單調性，對選項作出判斷.3.【2025高考湖南，文8】設函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是()A、奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B、奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C、偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D、偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A【考點定位】利用導數(shù)研究函數(shù)的性質【名師點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)SKIPIF1<0在(a，b)內的單調性的步驟：(1)求SKIPIF1<0；(2)確認SKIPIF1<0在(a，b)內的符號；(3)作出結論：SKIPIF1<0時為增函數(shù)；SKIPIF1<0時為減函數(shù)．研究函數(shù)性質時，首先要明確函數(shù)定義域.4.【2025高考陜西版文第10題】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)（相切），已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】試題分析：由題目圖像可知：該三次函數(shù)過原點，故可設該三次函數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選SKIPIF1<0.考點：函數(shù)的解析式.【名師點晴】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，函數(shù)的解析式等知識，屬于難題.解題時要認真理解題意，“一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)（相切），已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分”，確定函數(shù)為三次函數(shù)，然后由已知函數(shù)圖像，將圖像語言轉化為數(shù)學語言，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而確定出參數(shù)SKIPIF1<05.【2025全國2，文11】若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調遞增，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．【考點定位】函數(shù)的單調性.【名師點睛】本題考查了利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調性，不等式的恒成立，屬于中檔題，深入理解函數(shù)的單調性與函數(shù)導數(shù)之間的關系是解題的關鍵，注意不等式的恒成立的處理時端點值能否取到認真判斷．6.【2025高考新課標1文數(shù)】若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增,則a的取值范圍是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】C【解析】試題分析：SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立,構造SKIPIF1<0,開口向下的二次函數(shù)SKIPIF1<0的最小值的可能值為端點值,故只需保證SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0．故選C．考點：三角變換及導數(shù)的應用【名師點睛】本題把導數(shù)與三角函數(shù)結合在一起進行考查,有所創(chuàng)新,求解關鍵是把函數(shù)單調性轉化為不等式恒成立,再進一步轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關的問題,要注意弦函數(shù)的有界性.7.【2025全國1，文12】已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在唯一的零點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是()SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0【答案】C考點：1.函數(shù)的零點;2.導數(shù)在函數(shù)性質中的運用;3.分類討論的運用【名師點睛】本題主要是考查函數(shù)的零點、導數(shù)在函數(shù)性質中的運用和分類討論思想的運用，在研究函數(shù)的性質時要結合函數(shù)的單調性、奇偶性、零點、以及極值等函數(shù)的特征去研究，本題考查了考生的數(shù)形結合能力.8.【2025高考四川文科】設直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)【答案】A【解析】考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關系；3.直線方程的應用；4.三角形面積取值范圍.【名師點睛】本題首先考查導數(shù)的幾何意義，其次考查最值問題，解題時可設出切點坐標，利用切線垂直求出這兩點的關系，同時得出切線方程，從而得點SKIPIF1<0坐標，由兩直線相交得出SKIPIF1<0點坐標，從而求得面積，題中把面積用SKIPIF1<0表示后，可得它的取值范圍．解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結論．這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎，簡單而實用．9.【2025高考四川文科】已知SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的極小值點，則SKIPIF1<0=()(A)-4(B)-2(C)4(D)2【答案】D【解析】試題分析：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，故SKIPIF1<0極小值為SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，故選D.考點：函數(shù)導數(shù)與極值.【名師點睛】本題考查函數(shù)的極值．在可導函數(shù)中函數(shù)的極值點SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，但SKIPIF1<0是極大值點還是極小值點，需要通過這點兩邊的導數(shù)的正負性來判斷，在SKIPIF1<0附近，如果SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是極小值點，如果SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是極大值點，10.【2025高考福建，文12】“對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，構造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0，構造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．綜上所述，“對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件，選B．【考點定位】導數(shù)的應用．【名師點睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查三角函數(shù)和導數(shù)在單調性上的應用，根據(jù)已知條件構造函數(shù)，進而研究其圖象與性質，是函數(shù)思想的體現(xiàn)，屬于難題．11.(2025課標全國Ⅰ，文12)已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是()．A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)答案：C解析：當a＝0時，f(x)＝－3x2＋1存在兩個零點，不合題意；當a＞0時，f′(x)＝3ax2－6x＝SKIPIF1<0，令f′(x)＝0，得x1＝0，SKIPIF1<0，所以f(x)在x＝0處取得極大值f(0)＝1，在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，要使f(x)有唯一的零點，需SKIPIF1<0，但這時零點x0一定小于0，不合題意；當a＜0時，f′(x)＝3ax2－6x＝SKIPIF1<0，令f′(x)＝0，得x1＝0，SKIPIF1<0，這時f(x)在x＝0處取得極大值f(0)＝1，在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，要使f(x)有唯一零點，應滿足SKIPIF1<0，解得a＜－2(a＞2舍去)，且這時零點x0一定大于0，滿足題意，故a的取值范圍是(－∞，－2)．名師點睛：本題考查導數(shù)法求函數(shù)的單調性與極值，函數(shù)的零點，考查分析轉化能力，分類討論思想，較難題.注意區(qū)別函數(shù)的零點與極值點.12.【2025遼寧文12】當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【考點定位】利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值．【名師點睛】本題考查應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，不等式恒成立問題.解答本題的關鍵，是利用分類討論思想、轉化與化歸思想，通過構造函數(shù)研究其單調性、最值，得出結論.本題屬于能力題，中等難度.在考查應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、不等式恒成立問題等基本方法的同時，考查了考生的邏輯推理能力、運算能力、分類討論思想及轉化與化歸思想.二、填空題1.【2025高考廣東卷.文.11】曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故所求的切線的斜率為SKIPIF1<0,故所求的切線的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【考點定位】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)圖象的切線問題,屬于中等題.【名師點晴】本題主要考查的是導數(shù)的幾何意義和直線的方程，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“在點SKIPIF1<0處”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解導數(shù)的幾何意義問題時一定要抓住切點的三重作用：=1\*GB3①切點在曲線上；=2\*GB3②切點在切線上；=3\*GB3③切點處的導數(shù)值等于切線的斜率．2.[2025高考新課標Ⅲ文數(shù)]已知SKIPIF1<0為偶函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程式_____________________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】試題分析：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則切線斜率為SKIPIF1<0，所以切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、解析式；3、導數(shù)的幾何意義．【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，求函數(shù)的解析式”．有如下結論：若函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則當SKIPIF1<0時，函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0．3.【2025高考陜西，文15】函數(shù)SKIPIF1<0在其極值點處的切線方程為____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在其極值點處的切線方程為SKIPIF1<0【考點定位】：導數(shù)的幾何意義.【名師點睛】1.本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究曲線上某點處切線方程等基礎知識，考查運算求解能力.2.解決導數(shù)幾何意義的問題時要注意抓住切點的三重作用：eq\o\ac(○,1)切點在曲線上；eq\o\ac(○,2)切點在切線上；eq\o\ac(○,3)切點處導函數(shù)值等于切線斜率.4.【2025高考新課標1，文14】已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖像在點SKIPIF1<0的處的切線過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】1【解析】試題分析：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即切線斜率SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴切點為（1，SKIPIF1<0），∵切線過（2,7），∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<01.考點：利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線；常見函數(shù)的導數(shù)；【名師點睛】對求過某點的切線問題，常設出切點，利用導數(shù)求出切線方程，將已知點代入切線方程得到關于切點橫坐標的方程，解出切點的橫坐標，即可求出切線方程，思路明確，關鍵是運算要細心.5.【2025，安徽文15】若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0滿足下列兩個條件：SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處與曲線SKIPIF1<0相切；SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于直線SKIPIF1<0的兩側，則稱直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處“切過”曲線SKIPIF1<0，下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號)①直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處“切過”曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0②直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處“切過”曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0③直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處“切過”曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0④直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處“切過”曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0⑤直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處“切過”曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0【答案】①③④，【解析】試題分析：由題意，①SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切線的兩側，滿足條件；②SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切線的同側，不滿足條件；③SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切線的兩側，滿足條件；④SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切線的兩側，滿足條件；⑤SKIPIF1<0上在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近位于切線的同側，不滿足條件，故選①③④，如下圖：考點：1，函數(shù)的切線方程；2，對定義的理解，【名師點睛】對于函數(shù)新定義的創(chuàng)新題，要緊扣題目中所給的信息和對已知條件的解讀理解，將其轉化為已有的認知結構，然后利用函數(shù)性質解題.已知SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0.6.【2025高考天津，文11】已知函數(shù)SKIPIF1<0,其中a為實數(shù),SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導函數(shù),若SKIPIF1<0,則a的值為．【答案】3【解析】因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【考點定位】本題主要考查導數(shù)的運算法則.【名師點睛】本題考查內容單一,求出SKIPIF1<0由,再由SKIPIF1<0可直接求得a的值,因此可以說本題是一道基礎題,但要注意運算的準確性,由于填空題沒有中間分,一步出錯,就得零分,故運算要特別細心.7.【2025新課標2文16】已知曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與曲線SKIPIF1<0相切,則a=．【答案】8【考點定位】本題主要考查導數(shù)的幾何意義及直線與拋物線相切問題.【名師點睛】求曲線在某點處的切線方程的方法是：求出函數(shù)在該點處的導數(shù)值即為切線斜率,然后用點斜式就可寫出切線方程.而直線與拋物線相切則可以通過判別式來解決,本題將導數(shù)的幾何意義與二次函數(shù)交匯在一起進行考查,具有小題綜合化的特點.三、解答題1.【2025高考北京文第20題】（本小題滿分13分）已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值；（2）若過點SKIPIF1<0存在3條直線與曲線SKIPIF1<0相切，求t的取值范圍；（3）問過點SKIPIF1<0分別存在幾條直線與曲線SKIPIF1<0相切？（只需寫出結論）【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0;(3)詳見解析.【解析】試題分析：（1）求導數(shù)，導數(shù)等于0求出SKIPIF1<0，再代入原函數(shù)解析式，最后比較大小，即可；（2）設切點，由相切得出切線方程，然后列表并討論求出結果;(3)由（2）容易得出結果..試題解析：(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0.（2）設過點P（1，t）的直線與曲線SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且切線斜率為SKIPIF1<0，所以切線方程為SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則“過點SKIPIF1<0存在3條直線與曲線SKIPIF1<0相切”等價于“SKIPIF1<0有3個不同零點”，SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的情況如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0SKIPIF1<00+SKIPIF1<0t+3SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上分別至多有1個零點，所以SKIPIF1<0至多有2個零點，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上分別至多有1個零點，所以SKIPIF1<0至多有2個零點.當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0分別為區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上恰有1個零點，由于SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調，所以SKIPIF1<0分別在區(qū)間SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上恰有1個零點.綜上可知，當過點SKIPIF1<0存在3條直線與曲線SKIPIF1<0相切時，t的取值范圍是SKIPIF1<0.（3）過點A（-1，2）存在3條直線與曲線SKIPIF1<0相切；過點B（2，10）存在2條直線與曲線SKIPIF1<0相切；過點C（0，2）存在1條直線與曲線SKIPIF1<0相切.考點：本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)在函數(shù)中的應用等基礎知識的同時，考查分類討論、函數(shù)與方程、轉化與化歸等數(shù)學思想，考查同學們分析問題與解決問題的能力.利用導數(shù)研究函數(shù)問題是高考的熱點，在每年的高考試卷中占分比重較大，熟練這部分的基礎知識、基本題型與基本技能是解決這類問題的關鍵.2.【2025高考北京，文19】（本小題滿分13分）設函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0的單調區(qū)間和極值；（II）證明：若SKIPIF1<0存在零點，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上僅有一個零點．【答案】（I）單調遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，單調遞增區(qū)間是SKIPIF1<0；極小值SKIPIF1<0；（II）證明詳見解析.試題解析：（Ⅰ）由SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的情況如下：所以，SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，單調遞增區(qū)間是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0存在零點，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞減，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的唯一零點.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞減，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上僅有一個零點.綜上可知，若SKIPIF1<0存在零點，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上僅有一個零點.考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)零點問題.【名師點晴】本題主要考查的是導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的零點，屬于難題．利用導數(shù)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調性與極值的步驟：=1\*GB3①確定函數(shù)SKIPIF1<0的定義域；=2\*GB3②對SKIPIF1<0求導；=3\*GB3③求方程SKIPIF1<0的所有實數(shù)根；=4\*GB3④列表格．證明函數(shù)僅有一個零點的步驟：=1\*GB3①用零點存在性定理證明函數(shù)零點的存在性；=2\*GB3②用函數(shù)的單調性證明函數(shù)零點的唯一性．3.【2025高考廣東卷.文.21】(本小題滿分14分)已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(2)當SKIPIF1<0時,試討論是否存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【解析】(1)SKIPIF1<0,方程SKIPIF1<0的判別式為SKIPIF1<0,①當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)；②當SKIPIF1<0時,方程SKIPIF1<0的兩根分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解不等式SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,解不等式SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,此時,函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0；綜上所述,當SKIPIF1<0時,函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,若存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,必須SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,方程的兩根為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,依題意,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,故欲使?jié)M足題意的SKIPIF1<0存在,則SKIPIF1<0,所以,當SKIPIF1<0時,存在唯一SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,不存在SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.【考點定位】本題以三次函數(shù)為考查形式,考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間,從中滲透了利用分類討論的思想處理含參函數(shù)的單調區(qū)間問題,并考查了利用作差法求解不等式的問題,綜合性強,屬于難題.【名師點晴】本題主要考查的是函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)與方程，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“單調區(qū)間”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．利用導數(shù)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調區(qū)間的步驟：=1\*GB3①確定函數(shù)SKIPIF1<0的定義域；=2\*GB3②對SKIPIF1<0求導；=3\*GB3③令SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0的范圍就是遞增區(qū)間，令SKIPIF1<0，解不等式得SKIPIF1<0的范圍就是遞減區(qū)間．4.【2025高考新課標1文數(shù)】（本小題滿分12分）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(I)討論SKIPIF1<0的單調性；(II)若SKIPIF1<0有兩個零點,求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】見解析(II)SKIPIF1<0【解析】試題分析：(I)先求得SKIPIF1<0再根據(jù)1,0,2a的大小進行分類確定SKIPIF1<0的單調性；(II)借助第一問的結論,通過分類討論函數(shù)單調性,確定零點個數(shù),從而可得a的取值范圍為SKIPIF1<0.③若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增,在SKIPIF1<0單調遞減.(II)(i)設SKIPIF1<0,則由(I)知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減,在SKIPIF1<0單調遞增.又SKIPIF1<0,取b滿足b<0且SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0有兩個零點.(ii)設a=0,則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0有一個零點.(iii)設a<0,若SKIPIF1<0,則由(I)知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增.又當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0<0,故SKIPIF1<0不存在兩個零點；若SKIPIF1<0,則由(I)知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減,在SKIPIF1<0單調遞增.又當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0<0,故SKIPIF1<0不存在兩個零點.綜上,a的取值范圍為SKIPIF1<0.考點：函數(shù)單調性,導數(shù)應用【名師點睛】本題第一問是用導數(shù)研究函數(shù)單調性,對含有參數(shù)的函數(shù)單調性的確定,通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；第二問是求參數(shù)取值范圍,由于這類問題常涉及到導數(shù)、函數(shù)、不等式等知識,越來越受到高考命題者的青睞,解決此類問題的思路是構造適當?shù)暮瘮?shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或極值破解.5.【2025高考廣東，文21】（本小題滿分14分）設SKIPIF1<0為實數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；（2）討論SKIPIF1<0的單調性；（3）當SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內的零點個數(shù)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減；（3）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有一個零點SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有兩個零點．（2）SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0，其對稱軸為SKIPIF1<0，開口向上，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；對于SKIPIF1<0，其對稱軸為SKIPIF1<0，開口向上，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減.綜上所述，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減.（3）由（2）得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0.(i)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0無交點.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有一個零點SKIPIF1<0.(ii)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.下面比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0結合圖象不難得當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個交點.綜上所述，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有一個零點SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有兩個零點.考點：1、絕對值不等式；2、函數(shù)的單調性；3、函數(shù)的最值；4、函數(shù)的零點.【名師點晴】本題主要考查的是絕對值不等式、函數(shù)的單調性、函數(shù)的最值和函數(shù)的零點，屬于難題．零點分段法解絕對值不等式的步驟：=1\*GB3①求零點；=2\*GB3②劃區(qū)間，去絕對值號；=3\*GB3③分別解去掉絕對值的不等式；=4\*GB3④取每段結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值．判斷函數(shù)的單調性的方法：=1\*GB3①基本初等函數(shù)的單調性；=2\*GB3②導數(shù)法．判斷函數(shù)零點的個數(shù)的方法：=1\*GB3①解方程法；=2\*GB3②圖象法．6.【2025湖南文21】已知函數(shù)SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的單調區(qū)間；（2）記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的從小到大的第SKIPIF1<0個零點，證明：對一切SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.【答案】(1)單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0,單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.(2)詳見解析【解析】試題分析:(1)對函數(shù)SKIPIF1<0求導得到導函數(shù)SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0大于0和小于0的解集得到單調減區(qū)間和單調增區(qū)間,但是必須注意正余弦的周期性和原函數(shù)的定義域SKIPIF1<0.試題解析:數(shù)SKIPIF1<0求導可得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0.此時SKIPIF1<0;當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0,故函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0,單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.(2)由(1)可知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞減,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,因為SKIPIF1<0,且函數(shù)SKIPIF1<0的圖像是連續(xù)不斷的,所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內至少存在一個零點,又SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是單調的,故SKIPIF1<0,因此,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0;當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0;當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,綜上所述,對一切的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【考點定位】導數(shù)單調性放縮法裂項求和【名師點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，解決問題的關鍵是求導要精確；利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)①若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的單調性，則轉化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調區(qū)間上恒成立問題求解．利用導數(shù)證明不等式，就是把不等式恒成立的問題，通過構造函數(shù)，轉化為利用導數(shù)求函數(shù)最值的問題．應用這種方法的難點是如何根據(jù)不等式的結構特點或者根據(jù)題目證明目標的要求，構造出相應的函數(shù)關系式．失誤與防范1．研究函數(shù)的有關性質，首先要求出函數(shù)的定義域．2．利用單調性求最值時不要忽視f′(x)＝0的情況．3．“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x0取到極值”的必要條件．7.【2025高考新課標2文數(shù)】已知函數(shù)SKIPIF1<0.（=1\*ROMANI）當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；（Ⅱ）若當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0（II）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，（i）當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，因此SKIPIF1<0；（ii）當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，因此SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0考點：導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調性.【名師點睛】求函數(shù)的單調區(qū)間的方法：(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求導數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間．8.【2025山東.文20】（本題滿分13分)設函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求曲線SKIPIF1<0處的切線方程；討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調性.【答案】（1）SKIPIF1<0.（2）當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增.【解析】試題分析：（1）由題意知SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求切線的斜率，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由直線方程的點斜式進一步整理，得到切線方程為SKIPIF1<0.（2）函數(shù)SKIPIF1<0的