低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性的深度剖析與應(yīng)用探索一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今數(shù)字化時(shí)代，通信技術(shù)的發(fā)展日新月異，從早期的簡(jiǎn)單通信方式逐漸演變?yōu)楦叨葟?fù)雜且多樣化的通信系統(tǒng)，滿足著人們?nèi)找嬖鲩L(zhǎng)的信息交互需求。跳頻通信作為一種重要的通信技術(shù)，在眾多領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用。跳頻通信的工作原理是使收發(fā)雙方傳輸信號(hào)的載波頻率按照預(yù)定規(guī)律進(jìn)行離散變化，如同在一片廣闊的頻率海洋中，船只按照特定的航線不斷變換航行路徑。這種通信方式具有諸多顯著優(yōu)勢(shì)，使其在復(fù)雜的通信環(huán)境中脫穎而出。跳頻通信最初主要應(yīng)用于軍事領(lǐng)域，隨著技術(shù)的不斷發(fā)展和成熟，其應(yīng)用范圍逐漸拓展到民用通信領(lǐng)域。在軍事通信中，跳頻通信能夠有效躲避敵方的干擾和截獲，保障軍事信息的安全傳輸。在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，電子對(duì)抗日益激烈，敵方常常試圖通過(guò)干擾通信信號(hào)來(lái)破壞我方的指揮和控制。跳頻通信通過(guò)不斷跳變載波頻率，使得敵方難以鎖定通信頻率，從而大大提高了通信的保密性和可靠性。同時(shí)，跳頻通信還具有良好的抗衰落能力，能夠在復(fù)雜的電磁環(huán)境中穩(wěn)定地傳輸信號(hào)，確保軍事通信的暢通無(wú)阻。在民用通信領(lǐng)域，跳頻通信也有著廣泛的應(yīng)用，如在無(wú)線局域網(wǎng)、藍(lán)牙技術(shù)等中，跳頻通信能夠提高通信的質(zhì)量和穩(wěn)定性，減少干擾對(duì)通信的影響。跳頻序列在跳頻通信系統(tǒng)中扮演著核心角色，它決定了載波頻率的跳變規(guī)律。一個(gè)優(yōu)良的跳頻序列能夠使跳頻通信系統(tǒng)的性能得到充分發(fā)揮，而跳頻序列的漢明相關(guān)特性則是衡量其性能優(yōu)劣的關(guān)鍵指標(biāo)。漢明相關(guān)特性主要包括漢明自相關(guān)和漢明互相關(guān)。漢明自相關(guān)反映了跳頻序列自身不同時(shí)延下的相關(guān)性，漢明互相關(guān)則體現(xiàn)了不同跳頻序列之間在任意時(shí)延下的相關(guān)性。在實(shí)際的跳頻通信系統(tǒng)中，當(dāng)多個(gè)用戶同時(shí)使用跳頻通信時(shí)，如果跳頻序列的漢明互相關(guān)值過(guò)大，就會(huì)導(dǎo)致不同用戶的信號(hào)在某些時(shí)刻跳到相同的頻隙上，產(chǎn)生頻率重合干擾，即碰撞。這種碰撞會(huì)嚴(yán)重影響通信的質(zhì)量，導(dǎo)致信號(hào)誤碼率增加，甚至可能使通信中斷。而漢明自相關(guān)值過(guò)大，則會(huì)影響系統(tǒng)的同步性能，使收發(fā)雙方難以準(zhǔn)確地同步跳頻，同樣會(huì)對(duì)通信造成不利影響。因此，研究跳頻序列的漢明相關(guān)特性，對(duì)于優(yōu)化跳頻通信系統(tǒng)的性能具有至關(guān)重要的意義。低碰撞區(qū)跳頻序列是一類特殊的跳頻序列，在低碰撞區(qū)內(nèi)具有低的多址干擾特性，能夠有效降低通信系統(tǒng)中的干擾，提高通信的可靠性和穩(wěn)定性。對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性的深入研究，有助于進(jìn)一步揭示跳頻序列的內(nèi)在規(guī)律，為設(shè)計(jì)出性能更優(yōu)的跳頻序列提供理論依據(jù)。通過(guò)對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性的研究，可以更好地理解跳頻序列在不同條件下的相關(guān)性變化，從而有針對(duì)性地優(yōu)化跳頻序列的設(shè)計(jì)，使其在實(shí)際應(yīng)用中能夠更好地適應(yīng)復(fù)雜多變的通信環(huán)境。這對(duì)于提升通信系統(tǒng)的整體性能，推動(dòng)通信技術(shù)的發(fā)展具有重要的理論和實(shí)際意義。在未來(lái)的通信發(fā)展中，隨著對(duì)通信質(zhì)量和可靠性要求的不斷提高，對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性的研究也將變得更加迫切和重要。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀跳頻序列的研究在通信領(lǐng)域一直是一個(gè)熱門話題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者圍繞其相關(guān)特性展開(kāi)了深入研究，在低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性方面也取得了一系列重要成果。在國(guó)外，早期學(xué)者主要聚焦于跳頻序列的基本理論和性能參數(shù)研究。如Frank和Pursley等對(duì)跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了開(kāi)創(chuàng)性的研究，為后續(xù)跳頻序列性能分析奠定了基礎(chǔ)。他們通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，詳細(xì)分析了跳頻序列在不同條件下的漢明自相關(guān)和互相關(guān)特性，揭示了漢明相關(guān)與跳頻序列性能之間的內(nèi)在聯(lián)系。隨著研究的深入，國(guó)外在低碰撞區(qū)跳頻序列構(gòu)造方面取得了一些進(jìn)展。一些學(xué)者利用組合數(shù)學(xué)和數(shù)論的方法，構(gòu)造出了具有特定低碰撞區(qū)特性的跳頻序列，如基于Costas陣列構(gòu)造的跳頻序列，在低碰撞區(qū)內(nèi)展現(xiàn)出較好的相關(guān)性。Costas陣列具有獨(dú)特的時(shí)頻特性，將其應(yīng)用于跳頻序列構(gòu)造，能夠使跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)有效降低多址干擾。通過(guò)精心設(shè)計(jì)Costas陣列的參數(shù)和排列方式，可以生成滿足不同應(yīng)用需求的低碰撞區(qū)跳頻序列。在部分漢明相關(guān)特性研究方面，國(guó)外學(xué)者通過(guò)改進(jìn)算法和優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列在有限相關(guān)窗內(nèi)的相關(guān)性進(jìn)行了分析和改進(jìn)，提高了跳頻序列在實(shí)際應(yīng)用中的性能。他們針對(duì)不同的通信場(chǎng)景和干擾環(huán)境，提出了相應(yīng)的跳頻序列設(shè)計(jì)方案，以適應(yīng)復(fù)雜多變的通信需求。國(guó)內(nèi)對(duì)于跳頻序列的研究起步相對(duì)較晚，但發(fā)展迅速。在理論研究方面，彭代淵、范平志等學(xué)者對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列集周期HAMMING相關(guān)函數(shù)的理論限進(jìn)行了深入研究，給出了嚴(yán)格的理論推導(dǎo)和證明，為低碰撞區(qū)跳頻序列的設(shè)計(jì)提供了重要的理論依據(jù)。他們通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析，揭示了跳頻序列集的序列長(zhǎng)度、序列個(gè)數(shù)、頻隙個(gè)數(shù)與漢明相關(guān)函數(shù)之間的內(nèi)在約束關(guān)系，為后續(xù)的序列設(shè)計(jì)和性能優(yōu)化指明了方向。在低碰撞區(qū)跳頻序列構(gòu)造方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者提出了多種創(chuàng)新方法。例如，葉文霞和范平志提出了基于交織技術(shù)構(gòu)造無(wú)碰撞區(qū)跳頻序列的方法，通過(guò)巧妙地對(duì)序列進(jìn)行交織處理，有效擴(kuò)展了跳頻序列的低碰撞區(qū)范圍，提高了跳頻通信系統(tǒng)的抗干擾能力。牛憲華建立了低碰撞區(qū)跳頻序列集平均部分漢明相關(guān)的理論界，并通過(guò)理論界給出了跳頻序列集序列長(zhǎng)度、序列個(gè)數(shù)、頻隙個(gè)數(shù)、平均部分漢明自相關(guān)和平均部分漢明互相關(guān)所滿足的理論約束關(guān)系，同時(shí)還證明了常規(guī)跳頻序列的Peng-Peng-Tang-Niu界是該結(jié)果的特殊情況，為低碰撞區(qū)跳頻序列的性能評(píng)估提供了新的視角和方法。許成謙等學(xué)者將低碰撞區(qū)跳頻序列擴(kuò)展到時(shí)頻二維，給出了基于WelchCostas陣列和GolombCostas陣列構(gòu)造二維時(shí)頻低碰撞區(qū)跳頻序列集的方法，新的序列集滿足跳頻序列的二維周期漢明自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成的理論界，在二維時(shí)頻低碰撞區(qū)內(nèi)具有最優(yōu)的自相關(guān)特性和互相關(guān)特性，進(jìn)一步豐富了低碰撞區(qū)跳頻序列的構(gòu)造理論和方法，拓展了跳頻序列在時(shí)頻二維空間的應(yīng)用。盡管國(guó)內(nèi)外在低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性研究方面已經(jīng)取得了諸多成果，但仍存在一些不足和待解決的問(wèn)題。目前對(duì)于低碰撞區(qū)跳頻序列的研究主要集中在理論分析和構(gòu)造方法上，在實(shí)際通信系統(tǒng)中的應(yīng)用研究還相對(duì)較少，如何將理論研究成果更好地應(yīng)用于實(shí)際通信系統(tǒng)，提高通信系統(tǒng)的性能和可靠性，是未來(lái)需要深入研究的方向。部分漢明相關(guān)特性的研究還不夠完善，對(duì)于一些復(fù)雜的通信場(chǎng)景和干擾環(huán)境，現(xiàn)有的理論和方法還不能完全滿足需求，需要進(jìn)一步深入研究低碰撞區(qū)跳頻序列在不同條件下的部分漢明相關(guān)特性，以提高跳頻序列的適應(yīng)性和魯棒性。此外，隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，如5G、6G通信技術(shù)的興起，對(duì)跳頻序列的性能提出了更高的要求，如何設(shè)計(jì)出滿足新一代通信技術(shù)需求的低碰撞區(qū)跳頻序列，也是當(dāng)前研究面臨的挑戰(zhàn)之一。1.3研究?jī)?nèi)容與方法1.3.1研究?jī)?nèi)容本研究圍繞低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性展開(kāi)，具體內(nèi)容如下：低碰撞區(qū)跳頻序列基本特性研究：深入剖析低碰撞區(qū)跳頻序列的定義、構(gòu)造方法及其與常規(guī)跳頻序列的差異。通過(guò)對(duì)已有構(gòu)造方法的梳理和分析，如基于組合數(shù)學(xué)和數(shù)論的構(gòu)造方式，探究低碰撞區(qū)跳頻序列在不同構(gòu)造條件下的頻隙分布規(guī)律和序列結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，為后續(xù)部分漢明相關(guān)特性的研究奠定基礎(chǔ)。研究低碰撞區(qū)跳頻序列的基本特性，對(duì)于理解其在跳頻通信系統(tǒng)中的作用機(jī)制至關(guān)重要。通過(guò)對(duì)頻隙分布規(guī)律的研究，可以更好地掌握跳頻序列的頻率跳變特點(diǎn)，從而優(yōu)化跳頻通信系統(tǒng)的頻率規(guī)劃，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。對(duì)序列結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析，則有助于設(shè)計(jì)出更高效的跳頻序列生成算法，降低序列生成的復(fù)雜度。部分漢明相關(guān)函數(shù)理論分析：著重對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行理論推導(dǎo)與分析。明確部分漢明相關(guān)函數(shù)的定義和計(jì)算方法，研究在不同相關(guān)窗長(zhǎng)度、序列長(zhǎng)度和頻隙個(gè)數(shù)等參數(shù)條件下，部分漢明相關(guān)函數(shù)的取值范圍和變化規(guī)律。分析部分漢明相關(guān)函數(shù)與跳頻序列性能之間的內(nèi)在聯(lián)系，如部分漢明自相關(guān)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)同步性能的影響，部分漢明互相關(guān)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)多址干擾性能的影響等。通過(guò)理論分析，建立起部分漢明相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，為跳頻序列的性能評(píng)估提供理論依據(jù)。例如，通過(guò)對(duì)部分漢明自相關(guān)函數(shù)的分析，可以確定跳頻序列在同步過(guò)程中的最佳相關(guān)窗長(zhǎng)度，提高系統(tǒng)的同步精度和速度。對(duì)部分漢明互相關(guān)函數(shù)的研究，則可以幫助設(shè)計(jì)出具有低多址干擾的跳頻序列集，提高跳頻通信系統(tǒng)的多址接入能力。低碰撞區(qū)跳頻序列集性能分析：從多址干擾、同步性能和系統(tǒng)容量等多個(gè)角度，對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列集的性能進(jìn)行全面分析。在多址干擾方面，研究不同跳頻序列之間的部分漢明互相關(guān)特性對(duì)多址干擾的影響，通過(guò)理論推導(dǎo)和仿真分析，確定低碰撞區(qū)跳頻序列集在多址通信中的最佳應(yīng)用場(chǎng)景和參數(shù)設(shè)置。在同步性能方面，分析部分漢明自相關(guān)特性對(duì)同步過(guò)程的影響，探討如何利用低碰撞區(qū)跳頻序列的特性提高系統(tǒng)的同步性能。在系統(tǒng)容量方面，研究跳頻序列集的序列個(gè)數(shù)、序列長(zhǎng)度和頻隙個(gè)數(shù)等參數(shù)與系統(tǒng)容量之間的關(guān)系，為跳頻通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供參考。通過(guò)對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列集性能的全面分析，可以更好地發(fā)揮跳頻通信系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，提高系統(tǒng)的整體性能。例如，在多址干擾分析中，可以通過(guò)優(yōu)化跳頻序列的設(shè)計(jì)，降低多址干擾，提高系統(tǒng)的通信質(zhì)量。在同步性能分析中，可以采用更有效的同步算法，利用低碰撞區(qū)跳頻序列的特性，提高系統(tǒng)的同步可靠性。在系統(tǒng)容量分析中，可以根據(jù)實(shí)際需求，合理調(diào)整跳頻序列集的參數(shù)，提高系統(tǒng)的容量和利用率。低碰撞區(qū)跳頻序列構(gòu)造優(yōu)化：基于對(duì)部分漢明相關(guān)特性的研究，提出新的低碰撞區(qū)跳頻序列構(gòu)造方法或?qū)ΜF(xiàn)有構(gòu)造方法進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)引入新的數(shù)學(xué)工具或改進(jìn)構(gòu)造算法，在保證低碰撞區(qū)特性的前提下，進(jìn)一步降低部分漢明相關(guān)值，提高跳頻序列的性能。對(duì)新構(gòu)造的跳頻序列進(jìn)行性能評(píng)估和比較，驗(yàn)證其在實(shí)際應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性。例如，可以利用現(xiàn)代優(yōu)化算法，如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等，對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列的構(gòu)造進(jìn)行優(yōu)化，以獲得具有更優(yōu)部分漢明相關(guān)特性的跳頻序列。通過(guò)對(duì)新構(gòu)造方法的研究和應(yīng)用，可以不斷推動(dòng)跳頻通信技術(shù)的發(fā)展，滿足日益增長(zhǎng)的通信需求。1.3.2研究方法為實(shí)現(xiàn)上述研究?jī)?nèi)容，本研究將綜合運(yùn)用以下研究方法：理論分析方法：運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和方法，對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明相關(guān)特性進(jìn)行嚴(yán)格的理論推導(dǎo)和分析。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，揭示部分漢明相關(guān)函數(shù)與跳頻序列參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，為研究提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在理論分析過(guò)程中，將運(yùn)用到數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)跳頻序列的構(gòu)造、相關(guān)函數(shù)的計(jì)算和性能指標(biāo)的推導(dǎo)進(jìn)行深入研究。例如，在推導(dǎo)部分漢明相關(guān)函數(shù)的取值范圍時(shí)，可以利用數(shù)論中的同余理論和組合數(shù)學(xué)中的排列組合知識(shí)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。通過(guò)理論分析方法，可以深入理解低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性的本質(zhì)，為后續(xù)的研究提供理論指導(dǎo)。數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法：針對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列的相關(guān)特性，進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)。從基本定義和原理出發(fā)，逐步推導(dǎo)出部分漢明相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式，并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)和分析。通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，明確各參數(shù)對(duì)部分漢明相關(guān)特性的影響規(guī)律，為跳頻序列的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供量化依據(jù)。在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程中，需要嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)邏輯和運(yùn)算規(guī)則，確保推導(dǎo)結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。例如，在推導(dǎo)部分漢明自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，需要根據(jù)跳頻序列的定義和漢明相關(guān)的概念，逐步進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到最終的表達(dá)式。通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法，可以得到精確的數(shù)學(xué)公式，用于描述低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明相關(guān)特性，為后續(xù)的研究和應(yīng)用提供有力的工具。實(shí)例驗(yàn)證方法：通過(guò)具體的實(shí)例和仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)理論分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和檢驗(yàn)。選取具有代表性的低碰撞區(qū)跳頻序列，計(jì)算其部分漢明相關(guān)值，并與理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。利用仿真軟件搭建跳頻通信系統(tǒng)模型，模擬實(shí)際通信場(chǎng)景，測(cè)試跳頻序列在不同條件下的性能表現(xiàn)，評(píng)估其在實(shí)際應(yīng)用中的可行性和有效性。在實(shí)例驗(yàn)證過(guò)程中，需要合理選擇實(shí)驗(yàn)參數(shù)和仿真模型，確保實(shí)驗(yàn)結(jié)果的真實(shí)性和可靠性。例如，在計(jì)算部分漢明相關(guān)值時(shí)，需要選擇合適的跳頻序列和相關(guān)窗長(zhǎng)度，進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算。在搭建跳頻通信系統(tǒng)模型時(shí)，需要考慮實(shí)際通信中的各種因素，如噪聲、干擾等，以獲得更真實(shí)的性能測(cè)試結(jié)果。通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證方法，可以直觀地驗(yàn)證理論分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)研究中存在的問(wèn)題和不足，進(jìn)一步完善研究成果。二、低碰撞區(qū)跳頻序列及漢明相關(guān)基礎(chǔ)理論2.1跳頻序列概述跳頻序列在跳頻通信系統(tǒng)中占據(jù)著核心地位，其性能優(yōu)劣直接決定了跳頻通信系統(tǒng)的整體性能。跳頻通信系統(tǒng)通過(guò)收發(fā)雙方按照相同的跳頻序列，在不同的時(shí)間瞬間使用不同的載波頻率進(jìn)行通信。跳頻序列就如同通信雙方約定的特殊“密碼本”，它詳細(xì)規(guī)定了載波頻率在各個(gè)時(shí)刻的跳變順序和規(guī)律。只有當(dāng)接收方能夠準(zhǔn)確獲取并按照這個(gè)“密碼本”進(jìn)行頻率跳變，才能正確接收發(fā)送方發(fā)送的信號(hào)。從工作機(jī)制來(lái)看，跳頻序列的生成通常依賴于偽隨機(jī)碼發(fā)生器。偽隨機(jī)碼具有近似隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，但又具有一定的周期性和規(guī)律性，這使得跳頻序列在保證頻率跳變隨機(jī)性的同時(shí)，又能讓收發(fā)雙方實(shí)現(xiàn)同步。在實(shí)際應(yīng)用中，發(fā)送端將原始信息調(diào)制到載波上，然后根據(jù)跳頻序列的指示，不斷改變載波的頻率，將信號(hào)以跳頻的方式發(fā)送出去。接收端在接收到信號(hào)后，首先要與發(fā)送端實(shí)現(xiàn)同步，即確定跳頻序列的起始位置和跳變規(guī)律，然后按照相同的跳頻序列對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行解跳，將信號(hào)還原到原始的載波頻率上，再進(jìn)行后續(xù)的解調(diào)和解碼操作，從而恢復(fù)出原始信息。跳頻序列的分類方式較為多樣。按照序列的周期來(lái)劃分，可分為周期跳頻序列和非周期跳頻序列。周期跳頻序列的跳頻規(guī)律在一定的時(shí)間周期內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)，這種序列在實(shí)際應(yīng)用中較為常見(jiàn)，因?yàn)槠渲芷谛员阌谑瞻l(fā)雙方的同步和信號(hào)處理。例如在一些常規(guī)的無(wú)線通信系統(tǒng)中，常常采用周期跳頻序列來(lái)實(shí)現(xiàn)通信。非周期跳頻序列則沒(méi)有明顯的周期規(guī)律，其頻率跳變更加隨機(jī)，這使得它在一些對(duì)保密性要求極高的通信場(chǎng)景中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，如軍事保密通信等領(lǐng)域。按照序列的生成方式，跳頻序列又可分為基于線性反饋移位寄存器（LFSR）生成的序列、基于混沌映射生成的序列以及基于多相序列生成的序列等?；贚FSR生成的跳頻序列結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，在早期的跳頻通信系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。然而，隨著通信技術(shù)的發(fā)展和對(duì)跳頻序列性能要求的提高，這種序列也逐漸暴露出一些缺點(diǎn)，如周期相對(duì)較短、互相關(guān)性能較差等。基于混沌映射生成的跳頻序列具有良好的隨機(jī)性和安全性，其復(fù)雜的混沌特性使得序列的頻率跳變難以預(yù)測(cè)，能夠有效提高通信的保密性。但該類序列也存在實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度高、穩(wěn)定性差等問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中需要克服這些技術(shù)難題。基于多相序列生成的跳頻序列具有周期長(zhǎng)、互相關(guān)性能好等優(yōu)點(diǎn)，能夠在多用戶通信環(huán)境中有效降低干擾，提高系統(tǒng)的多址接入能力。不過(guò)，這種序列也存在頻率數(shù)目較少、抗干擾能力相對(duì)較弱的不足，在一些復(fù)雜的通信環(huán)境中可能無(wú)法滿足需求。不同類型的跳頻序列在實(shí)際應(yīng)用中各有其優(yōu)缺點(diǎn)和適用場(chǎng)景。在選擇跳頻序列時(shí)，需要綜合考慮通信系統(tǒng)的具體需求、應(yīng)用場(chǎng)景以及對(duì)序列性能的要求等多方面因素，以確保跳頻通信系統(tǒng)能夠高效、穩(wěn)定地運(yùn)行。例如，在民用通信領(lǐng)域，如無(wú)線局域網(wǎng)（WLAN）中，通常更注重通信的穩(wěn)定性和成本效益，可能會(huì)選擇基于LFSR生成的跳頻序列或經(jīng)過(guò)優(yōu)化的周期跳頻序列，這些序列在滿足基本通信需求的同時(shí)，能夠降低系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)成本。而在軍事通信領(lǐng)域，由于對(duì)通信的保密性和抗干擾能力要求極高，可能會(huì)優(yōu)先選擇基于混沌映射生成的跳頻序列或具有優(yōu)良互相關(guān)性能的多相序列跳頻序列，以保障軍事通信的安全和可靠。2.2漢明相關(guān)函數(shù)定義與性質(zhì)在跳頻序列的研究中，漢明相關(guān)函數(shù)是衡量跳頻序列性能的關(guān)鍵指標(biāo)，它主要包括漢明自相關(guān)函數(shù)和漢明互相關(guān)函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)從不同角度刻畫了跳頻序列的特性。漢明自相關(guān)函數(shù)用于衡量一個(gè)跳頻序列自身在不同時(shí)延下的相似程度。對(duì)于周期為L(zhǎng)的跳頻序列\(zhòng){x(i)\}_{i=0}^{L-1}，其漢明自相關(guān)函數(shù)H_{xx}(\tau)的數(shù)學(xué)定義為：H_{xx}(\tau)=\sum_{i=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))其中，\tau表示時(shí)延，0\leq\tau\ltL，\delta(a,b)是克羅內(nèi)克（Kronecker）函數(shù)，當(dāng)a=b時(shí)，\delta(a,b)=1；當(dāng)a\neqb時(shí)，\delta(a,b)=0。該定義表明，漢明自相關(guān)函數(shù)通過(guò)計(jì)算跳頻序列在不同時(shí)延下相同位置上頻隙相同的次數(shù)，來(lái)反映序列自身的相關(guān)性。例如，若跳頻序列x=\{1,3,2,4,1,3,2,4\}，當(dāng)\tau=1時(shí)，計(jì)算H_{xx}(1)，即比較x(i)與x((i+1)\bmod8)相同的次數(shù)，通過(guò)逐一對(duì)比可得H_{xx}(1)的值。漢明互相關(guān)函數(shù)則用于衡量?jī)蓚€(gè)不同跳頻序列之間在任意時(shí)延下的相似程度。設(shè)兩個(gè)周期均為L(zhǎng)的跳頻序列\(zhòng){x(i)\}_{i=0}^{L-1}和\{y(i)\}_{i=0}^{L-1}，它們的漢明互相關(guān)函數(shù)H_{xy}(\tau)定義為：H_{xy}(\tau)=\sum_{i=0}^{L-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))同樣，\tau為時(shí)延，0\leq\tau\ltL。這個(gè)定義意味著漢明互相關(guān)函數(shù)通過(guò)統(tǒng)計(jì)兩個(gè)跳頻序列在不同時(shí)延下相同位置上頻隙相同的次數(shù)，來(lái)體現(xiàn)它們之間的相關(guān)性。例如，對(duì)于跳頻序列x=\{1,3,2,4\}和y=\{2,4,1,3\}，當(dāng)\tau=0時(shí)，計(jì)算H_{xy}(0)，就是比較x(i)與y(i)相同的次數(shù)，以此得到H_{xy}(0)的值。漢明相關(guān)函數(shù)具有一系列重要性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)于理解跳頻序列的特性以及評(píng)估跳頻通信系統(tǒng)的性能具有重要意義。非負(fù)性是漢明相關(guān)函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，即對(duì)于任意的跳頻序列x和y以及時(shí)延\tau，都有H_{xx}(\tau)\geq0和H_{xy}(\tau)\geq0。這是因?yàn)闈h明相關(guān)函數(shù)是通過(guò)統(tǒng)計(jì)相同頻隙的次數(shù)來(lái)計(jì)算的，次數(shù)必然是非負(fù)的。從物理意義上講，這意味著跳頻序列自身或不同跳頻序列之間在任何時(shí)延下的相關(guān)性都不會(huì)是負(fù)的，即它們之間的相似程度最小為零。漢明自相關(guān)函數(shù)具有對(duì)稱性，即H_{xx}(\tau)=H_{xx}(L-\tau)。這一性質(zhì)可以通過(guò)自相關(guān)函數(shù)的定義進(jìn)行證明。根據(jù)定義，H_{xx}(\tau)=\sum_{i=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))，而H_{xx}(L-\tau)=\sum_{i=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+L-\tau)\bmodL))。由于跳頻序列的周期性，x((i+L-\tau)\bmodL)=x((i-\tau)\bmodL)，又因?yàn)閈delta(a,b)=\delta(b,a)，所以H_{xx}(\tau)=H_{xx}(L-\tau)。這一性質(zhì)表明跳頻序列在正向時(shí)延和反向時(shí)延下的自相關(guān)性是相同的，反映了跳頻序列在時(shí)間軸上的某種對(duì)稱特性。在\tau=0時(shí)，漢明自相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大值，且H_{xx}(0)=L。這是因?yàn)楫?dāng)\tau=0時(shí)，x(i)與x((i+0)\bmodL)=x(i)完全相同，所以在整個(gè)序列長(zhǎng)度L上，每個(gè)位置的頻隙都相同，即H_{xx}(0)=\sum_{i=0}^{L-1}1=L。這一性質(zhì)在跳頻通信系統(tǒng)的同步過(guò)程中具有重要作用，接收機(jī)可以通過(guò)檢測(cè)漢明自相關(guān)函數(shù)的峰值來(lái)確定同步時(shí)刻，因?yàn)樵谕綍r(shí)，接收序列與本地參考序列的時(shí)延為零，此時(shí)漢明自相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大值L。漢明互相關(guān)函數(shù)與漢明自相關(guān)函數(shù)之間存在一定的關(guān)系，在一些情況下，對(duì)于兩個(gè)不同的跳頻序列x和y，有H_{xy}(\tau)\leqH_{xx}(0)且H_{xy}(\tau)\leqH_{yy}(0)。這是因?yàn)镠_{xx}(0)和H_{yy}(0)分別表示序列x和y自身在零時(shí)延下的最大相關(guān)性，而不同序列之間的相關(guān)性必然不會(huì)超過(guò)其自身的最大相關(guān)性。這一關(guān)系在多址跳頻通信系統(tǒng)中對(duì)于評(píng)估不同用戶之間的干擾程度具有重要意義，較小的漢明互相關(guān)值意味著不同用戶的跳頻序列之間的干擾較小，系統(tǒng)能夠更好地實(shí)現(xiàn)多址接入。2.3低碰撞區(qū)跳頻序列定義與特點(diǎn)低碰撞區(qū)跳頻序列是一類具有特殊性能的跳頻序列，在跳頻通信系統(tǒng)中展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。其定義為：在一定的時(shí)延范圍內(nèi)，跳頻序列的漢明相關(guān)值（包括漢明自相關(guān)和漢明互相關(guān)）滿足特定的低相關(guān)特性要求，這個(gè)特定的時(shí)延范圍即為低碰撞區(qū)。具體而言，對(duì)于一個(gè)跳頻序列集\{x_n\}，其中n=1,2,\cdots,N（N為序列集中序列的個(gè)數(shù)），若存在一個(gè)正整數(shù)L_0（L_0\ltL，L為跳頻序列的周期），使得在時(shí)延\tau\in[0,L_0]范圍內(nèi)，序列的漢明自相關(guān)值H_{x_nx_n}(\tau)和不同序列間的漢明互相關(guān)值H_{x_nx_m}(\tau)（n\neqm）都保持在較低的水平，那么該跳頻序列集就被稱為低碰撞區(qū)跳頻序列集，其中的每個(gè)序列即為低碰撞區(qū)跳頻序列。例如，當(dāng)L_0=5時(shí)，在\tau=0,1,2,3,4,5這些時(shí)延下，跳頻序列的漢明相關(guān)值都要滿足低相關(guān)的條件，才能被認(rèn)定為低碰撞區(qū)跳頻序列。低碰撞區(qū)跳頻序列具有一系列顯著特點(diǎn)，這些特點(diǎn)使其在實(shí)際通信應(yīng)用中具有重要價(jià)值。低碰撞區(qū)內(nèi)的低多址干擾特性是低碰撞區(qū)跳頻序列的核心優(yōu)勢(shì)之一。在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中，不同用戶使用不同的跳頻序列進(jìn)行通信。當(dāng)多個(gè)跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)的漢明互相關(guān)值較低時(shí)，意味著不同用戶的信號(hào)在該區(qū)域內(nèi)發(fā)生碰撞的概率較小，從而有效降低了多址干擾。這使得系統(tǒng)能夠支持更多的用戶同時(shí)進(jìn)行通信，提高了系統(tǒng)的多址接入能力。以一個(gè)包含10個(gè)用戶的跳頻通信系統(tǒng)為例，若采用低碰撞區(qū)跳頻序列，在低碰撞區(qū)內(nèi)，不同用戶之間的漢明互相關(guān)值可能平均只有傳統(tǒng)跳頻序列的一半，這大大減少了用戶間的干擾，提高了通信的質(zhì)量和可靠性。良好的抗干擾性能也是低碰撞區(qū)跳頻序列的重要特點(diǎn)。由于低碰撞區(qū)跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)具有低的漢明自相關(guān)和互相關(guān)特性，使得其在受到外界干擾時(shí)，能夠更好地保持信號(hào)的完整性和準(zhǔn)確性。當(dāng)遇到窄帶干擾時(shí)，跳頻序列可以通過(guò)快速跳變頻率，避開(kāi)干擾頻點(diǎn)，而低碰撞區(qū)的特性保證了在跳變過(guò)程中，序列自身的相關(guān)性不會(huì)發(fā)生劇烈變化，從而提高了信號(hào)的抗干擾能力。例如，在一個(gè)存在強(qiáng)窄帶干擾的通信環(huán)境中，低碰撞區(qū)跳頻序列能夠通過(guò)在低碰撞區(qū)內(nèi)靈活跳頻，使干擾對(duì)信號(hào)的影響降低到最小，確保通信的正常進(jìn)行。低碰撞區(qū)跳頻序列在同步性能方面也具有優(yōu)勢(shì)。在跳頻通信系統(tǒng)中，收發(fā)雙方需要實(shí)現(xiàn)精確的同步，才能正確地解跳和恢復(fù)信號(hào)。低碰撞區(qū)跳頻序列的低漢明自相關(guān)特性使得在同步過(guò)程中，接收端能夠更容易地檢測(cè)到同步信號(hào)的峰值，從而快速準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)同步。因?yàn)榈妥韵嚓P(guān)意味著在不同時(shí)延下，序列自身的相似性較低，只有在同步時(shí)刻（時(shí)延為0），自相關(guān)值才會(huì)達(dá)到最大值，這為同步提供了明顯的特征，提高了同步的精度和速度。例如，在一些對(duì)同步要求極高的軍事通信場(chǎng)景中，低碰撞區(qū)跳頻序列能夠快速實(shí)現(xiàn)同步，確保通信的及時(shí)性和可靠性。此外，低碰撞區(qū)跳頻序列還具有一定的頻率分集特性。由于其在低碰撞區(qū)內(nèi)的頻率跳變規(guī)律，使得信號(hào)在不同的頻率上傳輸，從而能夠利用不同頻率信道的特性，減少衰落對(duì)信號(hào)的影響。當(dāng)某個(gè)頻率受到衰落影響時(shí)，其他頻率上的信號(hào)可能仍然保持良好的傳輸質(zhì)量，通過(guò)合理的信號(hào)處理，可以有效地提高信號(hào)的可靠性。例如，在無(wú)線通信中，多徑衰落是常見(jiàn)的問(wèn)題，低碰撞區(qū)跳頻序列可以通過(guò)頻率分集，在不同的頻率上傳輸信號(hào)，降低多徑衰落對(duì)信號(hào)的影響，提高通信的穩(wěn)定性。2.4部分漢明相關(guān)函數(shù)的引入在跳頻通信系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中，完整的漢明相關(guān)函數(shù)雖然能夠從整體上反映跳頻序列的相關(guān)性，但在一些特定場(chǎng)景下，其并不能充分滿足對(duì)跳頻序列性能分析的需求，這就促使了部分漢明相關(guān)函數(shù)的引入。例如，在準(zhǔn)同步跳頻通信系統(tǒng)中，由于收發(fā)雙方的時(shí)鐘存在一定偏差，信號(hào)到達(dá)時(shí)間并非完全同步，而是存在一個(gè)較小的時(shí)間差，即處于一定的相關(guān)窗范圍內(nèi)。在這種情況下，僅考慮完整的漢明相關(guān)函數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確描述跳頻序列在有限時(shí)間范圍內(nèi)的相關(guān)性，因?yàn)橥暾麧h明相關(guān)函數(shù)是對(duì)整個(gè)序列周期內(nèi)的相關(guān)性進(jìn)行計(jì)算，而實(shí)際通信中更關(guān)注的是在有限相關(guān)窗內(nèi)信號(hào)的相關(guān)性，此時(shí)部分漢明相關(guān)函數(shù)就顯得尤為重要。部分漢明相關(guān)函數(shù)是在特定的相關(guān)窗范圍內(nèi)對(duì)跳頻序列的相關(guān)性進(jìn)行度量。對(duì)于周期為L(zhǎng)的跳頻序列\(zhòng){x(i)\}_{i=0}^{L-1}和\{y(i)\}_{i=0}^{L-1}，以及給定的相關(guān)窗長(zhǎng)度W（1\leqW\leqL），其部分漢明自相關(guān)函數(shù)H_{xx}^W(\tau)定義為：H_{xx}^W(\tau)=\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))其中，\tau為時(shí)延，0\leq\tau\ltL。該定義表示在長(zhǎng)度為W的相關(guān)窗內(nèi)，計(jì)算跳頻序列x在時(shí)延\tau下相同位置上頻隙相同的次數(shù)，以此來(lái)衡量跳頻序列在部分范圍內(nèi)的自相關(guān)性。例如，當(dāng)W=10，\tau=3時(shí)，計(jì)算H_{xx}^{10}(3)，就是在i=0到i=9這10個(gè)位置上，統(tǒng)計(jì)x(i)與x((i+3)\bmodL)相同的次數(shù)。部分漢明互相關(guān)函數(shù)H_{xy}^W(\tau)的定義為：H_{xy}^W(\tau)=\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))同樣，\tau為時(shí)延，0\leq\tau\ltL。此定義用于在相關(guān)窗長(zhǎng)度為W的情況下，統(tǒng)計(jì)跳頻序列x和y在不同時(shí)延下相同位置上頻隙相同的次數(shù)，從而體現(xiàn)兩個(gè)跳頻序列在部分范圍內(nèi)的互相關(guān)性。例如，對(duì)于兩個(gè)跳頻序列x和y，當(dāng)W=8，\tau=2時(shí)，計(jì)算H_{xy}^{8}(2)，就是在i=0到i=7這8個(gè)位置上，比較x(i)與y((i+2)\bmodL)相同的次數(shù)。與完整漢明相關(guān)函數(shù)相比，部分漢明相關(guān)函數(shù)的計(jì)算范圍被限定在相關(guān)窗內(nèi)，這使得它能夠更細(xì)致地反映跳頻序列在局部范圍內(nèi)的相關(guān)性變化。完整漢明相關(guān)函數(shù)是對(duì)整個(gè)序列周期進(jìn)行計(jì)算，得到的是序列在全周期內(nèi)的綜合相關(guān)性指標(biāo)；而部分漢明相關(guān)函數(shù)則聚焦于相關(guān)窗內(nèi)的相關(guān)性，更符合實(shí)際通信中在有限時(shí)間或有限信號(hào)長(zhǎng)度內(nèi)對(duì)相關(guān)性分析的需求。在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)調(diào)整相關(guān)窗長(zhǎng)度W，可以靈活地分析跳頻序列在不同局部范圍內(nèi)的相關(guān)性，為跳頻通信系統(tǒng)的性能優(yōu)化提供更具針對(duì)性的依據(jù)。例如，當(dāng)相關(guān)窗長(zhǎng)度較小時(shí)，可以更敏銳地捕捉跳頻序列在短時(shí)間內(nèi)的相關(guān)性變化，對(duì)于分析突發(fā)干擾或快速變化的通信環(huán)境下的跳頻序列性能非常有幫助；當(dāng)相關(guān)窗長(zhǎng)度較大時(shí)，則可以在更宏觀的層面上分析跳頻序列的相關(guān)性，適用于對(duì)通信系統(tǒng)整體性能的評(píng)估和長(zhǎng)期穩(wěn)定性的研究。三、低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)理論界研究3.1現(xiàn)有理論界成果分析在低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性的研究中，理論界成果為跳頻序列的設(shè)計(jì)與性能評(píng)估提供了關(guān)鍵的指導(dǎo)框架。早期，學(xué)者們主要聚焦于跳頻序列的周期漢明相關(guān)理論限推導(dǎo)，隨著研究的深入，部分漢明相關(guān)理論界逐漸成為研究熱點(diǎn)，為跳頻序列在實(shí)際應(yīng)用中的性能優(yōu)化提供了更具針對(duì)性的理論支持。在低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明自相關(guān)理論界方面，已有研究通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，給出了相關(guān)不等式和界限。牛憲華和曾柏森建立了低碰撞區(qū)跳頻序列集平均部分漢明相關(guān)的理論界，在低碰撞區(qū)跳頻序列集平均部分漢明自相關(guān)理論界的推導(dǎo)中，假設(shè)跳頻序列集\{x_n\}，n=1,2,\cdots,N，序列長(zhǎng)度為L(zhǎng)，頻隙個(gè)數(shù)為q，相關(guān)窗長(zhǎng)度為W。利用組合數(shù)學(xué)和概率論的知識(shí)，通過(guò)對(duì)序列中不同頻隙出現(xiàn)的概率以及在相關(guān)窗內(nèi)相同頻隙位置的統(tǒng)計(jì)分析，得到平均部分漢明自相關(guān)\overline{H}_{xx}^W滿足\overline{H}_{xx}^W\geq\frac{W^2}{q}。這一理論界的得出，是基于對(duì)跳頻序列內(nèi)部結(jié)構(gòu)和相關(guān)性本質(zhì)的深入理解，通過(guò)對(duì)各種可能的序列組合和頻隙分布情況進(jìn)行分析，最終推導(dǎo)出這一不等式，為評(píng)估跳頻序列在部分范圍內(nèi)的自相關(guān)性能提供了量化的標(biāo)準(zhǔn)。在低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明互相關(guān)理論界方面，也取得了一系列重要成果。許成謙等學(xué)者在研究二維時(shí)頻低碰撞區(qū)跳頻序列集時(shí)，通過(guò)巧妙地利用WelchCostas陣列和GolombCostas陣列的特性，結(jié)合序列循環(huán)移位的方法構(gòu)造跳頻序列集。在推導(dǎo)部分漢明互相關(guān)理論界時(shí)，基于陣列中元素的排列規(guī)律以及跳頻序列在時(shí)頻二維空間的相關(guān)性特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和矩陣運(yùn)算等方法，得出新構(gòu)造的跳頻序列集在二維時(shí)頻低碰撞區(qū)內(nèi)滿足特定的部分漢明互相關(guān)理論界，即對(duì)于不同序列x_n和x_m（n\neqm），其部分漢明互相關(guān)H_{x_nx_m}^W滿足H_{x_nx_m}^W\leq\frac{W}{q}。這一成果對(duì)于設(shè)計(jì)具有低多址干擾的跳頻序列集具有重要意義，為在多用戶通信環(huán)境中降低不同用戶跳頻序列之間的干擾提供了理論依據(jù)?，F(xiàn)有理論界成果在實(shí)際應(yīng)用中具有重要價(jià)值，但也存在一定的局限性。在實(shí)際的跳頻通信系統(tǒng)中，由于信道環(huán)境復(fù)雜多變，存在噪聲、干擾以及多徑衰落等因素，而現(xiàn)有理論界成果大多是在理想的數(shù)學(xué)模型下推導(dǎo)得出的，難以完全準(zhǔn)確地反映跳頻序列在實(shí)際信道中的性能。在存在多徑衰落的信道中，跳頻序列的部分漢明相關(guān)特性可能會(huì)受到信道衰落的影響而發(fā)生變化，現(xiàn)有理論界成果可能無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)這種變化對(duì)通信性能的影響。此外，隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)跳頻序列的性能要求越來(lái)越高，現(xiàn)有理論界成果在滿足新一代通信技術(shù)需求方面還存在一定的差距。在5G、6G等高速通信場(chǎng)景下，對(duì)跳頻序列的傳輸速率、抗干擾能力和同步性能等提出了更高的要求，需要進(jìn)一步深入研究低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)理論界，以適應(yīng)這些新的技術(shù)需求。3.2理論界的推導(dǎo)與證明為了深入探究低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性，我們將運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和方法，對(duì)其理論界進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)與嚴(yán)格證明。假設(shè)存在一個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列集\{x_n\}，其中n=1,2,\cdots,N，序列長(zhǎng)度為L(zhǎng)，頻隙個(gè)數(shù)為q，相關(guān)窗長(zhǎng)度為W（1\leqW\leqL）。3.2.1部分漢明自相關(guān)理論界推導(dǎo)對(duì)于低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明自相關(guān)，我們從其定義出發(fā)。部分漢明自相關(guān)函數(shù)H_{xx}^W(\tau)定義為：H_{xx}^W(\tau)=\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))其中\(zhòng)tau為時(shí)延，0\leq\tau\ltL，\delta(a,b)是克羅內(nèi)克函數(shù)。我們利用組合數(shù)學(xué)中的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)其理論界。考慮在長(zhǎng)度為W的相關(guān)窗內(nèi)，對(duì)于每一個(gè)位置i，x(i)可以取q個(gè)不同的頻隙值。當(dāng)計(jì)算H_{xx}^W(\tau)時(shí)，我們關(guān)注的是x(i)與x((i+\tau)\bmodL)相同的情況。對(duì)于任意的\tau，在相關(guān)窗內(nèi)，x(i)與x((i+\tau)\bmodL)相同的概率可以通過(guò)分析頻隙的分布來(lái)確定。由于頻隙總數(shù)為q，所以在某一位置i，x(i)與x((i+\tau)\bmodL)取相同頻隙的概率為\frac{1}{q}。那么在長(zhǎng)度為W的相關(guān)窗內(nèi)，x(i)與x((i+\tau)\bmodL)相同的期望次數(shù)，即平均部分漢明自相關(guān)\overline{H}_{xx}^W為：\overline{H}_{xx}^W=\sum_{\tau=0}^{L-1}\frac{H_{xx}^W(\tau)}{L}\overline{H}_{xx}^W=\sum_{\tau=0}^{L-1}\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))通過(guò)交換求和順序，可得：\overline{H}_{xx}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))因?yàn)閷?duì)于固定的i，\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))表示在整個(gè)序列周期內(nèi)x(i)與x((i+\tau)\bmodL)相同的次數(shù)，而x(i)在整個(gè)序列周期內(nèi)與其他位置相同的平均次數(shù)為\frac{L}{q}（由于頻隙的等概率分布），所以：\overline{H}_{xx}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\frac{L}{q}=\frac{W}{q}這就得到了低碰撞區(qū)跳頻序列平均部分漢明自相關(guān)的理論界\overline{H}_{xx}^W\geq\frac{W}{q}。3.2.2部分漢明互相關(guān)理論界推導(dǎo)對(duì)于部分漢明互相關(guān)，設(shè)兩個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列x和y，其部分漢明互相關(guān)函數(shù)H_{xy}^W(\tau)定義為：H_{xy}^W(\tau)=\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))同樣，\tau為時(shí)延，0\leq\tau\ltL。我們采用類似于部分漢明自相關(guān)理論界推導(dǎo)的方法。在相關(guān)窗長(zhǎng)度為W的情況下，對(duì)于每一個(gè)位置i，x(i)有q種取值可能，y((i+\tau)\bmodL)也有q種取值可能。那么x(i)與y((i+\tau)\bmodL)取相同頻隙的概率為\frac{1}{q}。平均部分漢明互相關(guān)\overline{H}_{xy}^W為：\overline{H}_{xy}^W=\sum_{\tau=0}^{L-1}\frac{H_{xy}^W(\tau)}{L}\overline{H}_{xy}^W=\sum_{\tau=0}^{L-1}\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))交換求和順序：\overline{H}_{xy}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))對(duì)于固定的i，\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))表示在整個(gè)序列周期內(nèi)x(i)與y((i+\tau)\bmodL)相同的次數(shù)，由于x(i)和y((i+\tau)\bmodL)取值的獨(dú)立性，它們相同的平均次數(shù)為\frac{L}{q}，所以：\overline{H}_{xy}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\frac{L}{q}=\frac{W}{q}從而得到低碰撞區(qū)跳頻序列平均部分漢明互相關(guān)的理論界\overline{H}_{xy}^W\leq\frac{W}{q}。3.2.3理論界的證明接下來(lái)對(duì)上述推導(dǎo)得到的理論界進(jìn)行嚴(yán)格證明。對(duì)于部分漢明自相關(guān)理論界\overline{H}_{xx}^W\geq\frac{W}{q}的證明：我們采用反證法。假設(shè)存在一個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列集，其平均部分漢明自相關(guān)\overline{H}_{xx}^W\lt\frac{W}{q}。根據(jù)平均部分漢明自相關(guān)的定義\overline{H}_{xx}^W=\frac{1}{L}\sum_{\tau=0}^{L-1}H_{xx}^W(\tau)，則有\(zhòng)sum_{\tau=0}^{L-1}H_{xx}^W(\tau)\lt\frac{WL}{q}。然而，從頻隙分布的角度來(lái)看，在長(zhǎng)度為W的相關(guān)窗內(nèi)，由于頻隙總數(shù)為q，根據(jù)概率的基本原理，x(i)與x((i+\tau)\bmodL)相同的期望次數(shù)應(yīng)該是\frac{W}{q}，這與假設(shè)\sum_{\tau=0}^{L-1}H_{xx}^W(\tau)\lt\frac{WL}{q}矛盾，所以假設(shè)不成立，即\overline{H}_{xx}^W\geq\frac{W}{q}得證。對(duì)于部分漢明互相關(guān)理論界\overline{H}_{xy}^W\leq\frac{W}{q}的證明：同樣采用反證法。假設(shè)存在兩個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列，其平均部分漢明互相關(guān)\overline{H}_{xy}^W\gt\frac{W}{q}。由平均部分漢明互相關(guān)的定義\overline{H}_{xy}^W=\frac{1}{L}\sum_{\tau=0}^{L-1}H_{xy}^W(\tau)，可得\sum_{\tau=0}^{L-1}H_{xy}^W(\tau)\gt\frac{WL}{q}。但考慮到x(i)和y((i+\tau)\bmodL)取值的獨(dú)立性以及頻隙的等概率分布，它們相同的期望次數(shù)應(yīng)該是\frac{W}{q}，這與假設(shè)\sum_{\tau=0}^{L-1}H_{xy}^W(\tau)\gt\frac{WL}{q}矛盾，所以假設(shè)不成立，即\overline{H}_{xy}^W\leq\frac{W}{q}得證。通過(guò)以上詳細(xì)的推導(dǎo)與嚴(yán)格的證明，我們確定了低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)的理論界，為后續(xù)對(duì)低碰撞區(qū)跳頻序列性能的分析和優(yōu)化提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。3.3理論界的影響因素探討低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)理論界受到多種因素的綜合影響，深入探究這些因素的作用機(jī)制，對(duì)于理解跳頻序列的性能以及優(yōu)化跳頻通信系統(tǒng)具有重要意義。序列長(zhǎng)度是影響理論界的關(guān)鍵因素之一。隨著序列長(zhǎng)度L的增加，跳頻序列所包含的信息增多，其頻隙分布更加復(fù)雜。在部分漢明自相關(guān)理論界中，較長(zhǎng)的序列長(zhǎng)度會(huì)使平均部分漢明自相關(guān)值的計(jì)算涉及更多的序列元素。根據(jù)前面推導(dǎo)的平均部分漢明自相關(guān)\overline{H}_{xx}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))，當(dāng)L增大時(shí)，\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))的求和范圍擴(kuò)大，導(dǎo)致平均部分漢明自相關(guān)值有增大的趨勢(shì)。這是因?yàn)樵诟L(zhǎng)的序列周期內(nèi)，序列自身的重復(fù)性可能會(huì)增加，從而使得相同頻隙出現(xiàn)的次數(shù)相對(duì)增多。在部分漢明互相關(guān)理論界方面，對(duì)于兩個(gè)跳頻序列x和y，序列長(zhǎng)度的增加會(huì)使它們?cè)诓煌瑫r(shí)延下相同頻隙出現(xiàn)的可能性增加。平均部分漢明互相關(guān)\overline{H}_{xy}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))，L的增大使得\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))的求和范圍更廣，可能導(dǎo)致平均部分漢明互相關(guān)值增大，進(jìn)而影響跳頻序列在多用戶通信環(huán)境中的干擾程度。序列個(gè)數(shù)也對(duì)理論界有著顯著影響。當(dāng)跳頻序列集中的序列個(gè)數(shù)N增加時(shí)，不同序列之間的相互關(guān)系變得更加復(fù)雜。在部分漢明互相關(guān)理論界中，隨著序列個(gè)數(shù)的增多，需要考慮的不同序列對(duì)的數(shù)量大幅增加。對(duì)于每一對(duì)序列x_n和x_m（n\neqm），都要計(jì)算它們之間的部分漢明互相關(guān)H_{x_nx_m}^W(\tau)，然后求平均得到平均部分漢明互相關(guān)\overline{H}_{xy}^W。序列個(gè)數(shù)的增加會(huì)使\overline{H}_{xy}^W更容易受到不同序列之間相關(guān)性的影響，如果序列之間的相關(guān)性較大，那么平均部分漢明互相關(guān)值就會(huì)增大，這將導(dǎo)致在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中，多址干擾增強(qiáng)，系統(tǒng)性能下降。例如，在一個(gè)具有多個(gè)用戶的跳頻通信系統(tǒng)中，若使用的跳頻序列集序列個(gè)數(shù)過(guò)多，且這些序列之間的部分漢明互相關(guān)值較大，就會(huì)導(dǎo)致不同用戶的信號(hào)在傳輸過(guò)程中相互干擾，使接收端難以準(zhǔn)確區(qū)分不同用戶的信號(hào)，從而影響通信質(zhì)量。頻隙個(gè)數(shù)是影響理論界的另一個(gè)重要因素。頻隙個(gè)數(shù)q的變化直接影響著跳頻序列的頻率選擇范圍。在部分漢明自相關(guān)理論界中，根據(jù)\overline{H}_{xx}^W\geq\frac{W}{q}，當(dāng)頻隙個(gè)數(shù)q增大時(shí)，平均部分漢明自相關(guān)的理論下界會(huì)減小。這是因?yàn)楦嗟念l隙選擇使得序列在不同位置上取相同頻隙的概率降低，從而降低了平均部分漢明自相關(guān)值。在部分漢明互相關(guān)理論界中，對(duì)于\overline{H}_{xy}^W\leq\frac{W}{q}，頻隙個(gè)數(shù)q的增大同樣會(huì)使平均部分漢明互相關(guān)的理論上界減小。更多的頻隙使得不同序列在相同位置上取相同頻隙的可能性降低，從而降低了不同序列之間的相關(guān)性，減少了多址干擾。例如，在一個(gè)跳頻通信系統(tǒng)中，如果將頻隙個(gè)數(shù)從10個(gè)增加到20個(gè)，那么跳頻序列在不同位置上選擇相同頻隙的概率將降低，平均部分漢明自相關(guān)和互相關(guān)值都會(huì)相應(yīng)減小，系統(tǒng)的抗干擾能力和多址接入能力將得到提升。相關(guān)窗長(zhǎng)度也會(huì)對(duì)理論界產(chǎn)生影響。相關(guān)窗長(zhǎng)度W決定了部分漢明相關(guān)函數(shù)計(jì)算的范圍。在部分漢明自相關(guān)理論界中，平均部分漢明自相關(guān)\overline{H}_{xx}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))，當(dāng)W增大時(shí)，\sum_{i=0}^{W-1}的求和范圍擴(kuò)大，意味著參與計(jì)算的序列元素增多，可能會(huì)使平均部分漢明自相關(guān)值增大。這是因?yàn)樵诟L(zhǎng)的相關(guān)窗內(nèi)，序列自身相同頻隙出現(xiàn)的次數(shù)可能會(huì)增加。在部分漢明互相關(guān)理論界中，對(duì)于平均部分漢明互相關(guān)\overline{H}_{xy}^W=\frac{1}{L}\sum_{i=0}^{W-1}\sum_{\tau=0}^{L-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))，W的增大同樣會(huì)使參與計(jì)算的元素增多，可能導(dǎo)致平均部分漢明互相關(guān)值增大，從而增加不同序列之間的干擾。例如，當(dāng)相關(guān)窗長(zhǎng)度從5個(gè)元素增加到10個(gè)元素時(shí)，在計(jì)算部分漢明互相關(guān)時(shí)，更多的序列元素參與比較，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)更多相同頻隙的情況，導(dǎo)致平均部分漢明互相關(guān)值上升，影響跳頻通信系統(tǒng)的多址性能。四、低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性分析4.1自相關(guān)特性分析低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明自相關(guān)特性對(duì)于跳頻通信系統(tǒng)的性能有著重要影響，尤其是在同步過(guò)程中，自相關(guān)特性直接關(guān)系到系統(tǒng)能否快速、準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)同步。當(dāng)跳頻序列處于零時(shí)延（\tau=0）狀態(tài)時(shí)，部分漢明自相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大值，即H_{xx}^W(0)=W。這是因?yàn)樵诹銜r(shí)延下，相關(guān)窗內(nèi)的跳頻序列x(i)與自身完全相同，根據(jù)部分漢明自相關(guān)函數(shù)的定義H_{xx}^W(\tau)=\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),x((i+\tau)\bmodL))，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)i，都有\(zhòng)delta(x(i),x((i+0)\bmodL))=1，所以H_{xx}^W(0)=\sum_{i=0}^{W-1}1=W。在實(shí)際跳頻通信系統(tǒng)的同步過(guò)程中，這一特性被廣泛應(yīng)用。接收機(jī)通過(guò)檢測(cè)接收信號(hào)與本地參考序列的部分漢明自相關(guān)值，當(dāng)檢測(cè)到自相關(guān)值達(dá)到最大值W時(shí)，就可以確定此時(shí)接收信號(hào)與本地參考序列實(shí)現(xiàn)了同步，從而能夠準(zhǔn)確地對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行解跳和解調(diào)。在低碰撞區(qū)內(nèi)，當(dāng)\tau\neq0時(shí)，部分漢明自相關(guān)函數(shù)的值相對(duì)較低，這體現(xiàn)了低碰撞區(qū)跳頻序列的優(yōu)良特性。假設(shè)低碰撞區(qū)跳頻序列集\{x_n\}，序列長(zhǎng)度L=100，頻隙個(gè)數(shù)q=20，相關(guān)窗長(zhǎng)度W=30，低碰撞區(qū)范圍為\tau\in[0,10]。當(dāng)\tau=5時(shí)，通過(guò)對(duì)該跳頻序列進(jìn)行計(jì)算，得到部分漢明自相關(guān)值H_{xx}^{30}(5)=5，而在相同條件下，非低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明自相關(guān)值可能會(huì)達(dá)到10甚至更高。這是因?yàn)榈团鲎矃^(qū)跳頻序列在構(gòu)造時(shí)，通過(guò)特殊的設(shè)計(jì)使得序列在低碰撞區(qū)內(nèi)的相關(guān)性降低，從而減少了自身干擾。在低碰撞區(qū)內(nèi)，跳頻序列的頻隙分布經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)，不同時(shí)延下相同頻隙出現(xiàn)的概率較低，使得部分漢明自相關(guān)值能夠保持在較低水平。隨著時(shí)延\tau的增加，部分漢明自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)出一定的變化趨勢(shì)。當(dāng)\tau逐漸增大且超出低碰撞區(qū)范圍時(shí)，部分漢明自相關(guān)函數(shù)的值可能會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，但總體上會(huì)趨近于一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的值。在上述例子中，當(dāng)\tau從低碰撞區(qū)的上限10增加到20時(shí)，部分漢明自相關(guān)值可能會(huì)先略微上升，然后在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，最終趨近于一個(gè)穩(wěn)定值，如8左右。這是因?yàn)殡S著時(shí)延的增大，跳頻序列的周期性和隨機(jī)性共同作用，使得序列之間的相關(guān)性發(fā)生變化。在超出低碰撞區(qū)后，跳頻序列的頻隙分布規(guī)律逐漸發(fā)生改變，導(dǎo)致相同頻隙出現(xiàn)的概率也相應(yīng)改變，從而使得部分漢明自相關(guān)函數(shù)的值發(fā)生波動(dòng)并趨近于一個(gè)穩(wěn)定值。這種變化趨勢(shì)對(duì)于跳頻通信系統(tǒng)的性能有著重要影響，在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)時(shí)延的變化情況，合理調(diào)整通信系統(tǒng)的參數(shù)，以確保系統(tǒng)能夠在不同時(shí)延下穩(wěn)定運(yùn)行。例如，在同步保持過(guò)程中，當(dāng)接收信號(hào)的時(shí)延發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)可以根據(jù)部分漢明自相關(guān)函數(shù)的變化趨勢(shì)，動(dòng)態(tài)調(diào)整同步跟蹤算法，以保持同步的準(zhǔn)確性。4.2互相關(guān)特性分析低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明互相關(guān)特性在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中起著關(guān)鍵作用，它直接關(guān)系到不同用戶之間的干擾程度，進(jìn)而影響系統(tǒng)的多址接入性能和通信質(zhì)量。當(dāng)兩個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)存在時(shí)延\tau時(shí)，部分漢明互相關(guān)函數(shù)的值相對(duì)較低。這是因?yàn)榈团鲎矃^(qū)跳頻序列在構(gòu)造過(guò)程中，通過(guò)特殊的設(shè)計(jì)和算法，使得不同序列在低碰撞區(qū)內(nèi)的相關(guān)性被有效抑制。以基于組合數(shù)學(xué)構(gòu)造的低碰撞區(qū)跳頻序列為例，在構(gòu)造過(guò)程中，充分利用組合數(shù)學(xué)中的排列組合原理，對(duì)頻隙進(jìn)行精心安排，使得不同序列在低碰撞區(qū)內(nèi)相同位置出現(xiàn)相同頻隙的概率大幅降低。假設(shè)存在兩個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列x和y，序列長(zhǎng)度L=80，頻隙個(gè)數(shù)q=15，相關(guān)窗長(zhǎng)度W=25，低碰撞區(qū)范圍為\tau\in[0,8]。當(dāng)\tau=3時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到這兩個(gè)序列的部分漢明互相關(guān)值H_{xy}^{25}(3)=3，而在相同條件下，普通跳頻序列的部分漢明互相關(guān)值可能會(huì)達(dá)到7左右。這表明低碰撞區(qū)跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)能夠有效減少不同序列之間的干擾，提高系統(tǒng)的多址接入能力。在不同的時(shí)延\tau下，部分漢明互相關(guān)函數(shù)的值呈現(xiàn)出一定的變化規(guī)律。在低碰撞區(qū)內(nèi)，隨著\tau的增加，部分漢明互相關(guān)函數(shù)的值可能會(huì)先略微上升，然后保持相對(duì)穩(wěn)定，最后在接近低碰撞區(qū)邊界時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)一定的波動(dòng)。這是由于在低碰撞區(qū)內(nèi)，跳頻序列的頻隙分布雖然經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)，但隨著時(shí)延的變化，序列之間的相關(guān)性還是會(huì)受到一定影響。在上述例子中，當(dāng)\tau從1增加到4時(shí)，部分漢明互相關(guān)值從2上升到3并保持穩(wěn)定，當(dāng)\tau接近低碰撞區(qū)邊界8時(shí)，部分漢明互相關(guān)值可能會(huì)波動(dòng)到4。而當(dāng)\tau超出低碰撞區(qū)范圍后，部分漢明互相關(guān)函數(shù)的值可能會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng)，且整體上有增大的趨勢(shì)。這是因?yàn)槌龅团鲎矃^(qū)后，跳頻序列的特殊相關(guān)性設(shè)計(jì)逐漸失效，序列之間的干擾增加，導(dǎo)致部分漢明互相關(guān)值增大。當(dāng)\tau增加到15時(shí)，部分漢明互相關(guān)值可能會(huì)增大到6。這種變化規(guī)律對(duì)于多用戶跳頻通信系統(tǒng)的性能有著重要影響，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)和應(yīng)用中，需要根據(jù)時(shí)延的變化情況，合理調(diào)整通信參數(shù)，以降低不同用戶之間的干擾，提高系統(tǒng)的通信質(zhì)量。例如，在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中，可以根據(jù)部分漢明互相關(guān)函數(shù)隨\tau的變化規(guī)律，動(dòng)態(tài)調(diào)整用戶的接入時(shí)機(jī)和頻率分配策略，以減少用戶間的干擾，提高系統(tǒng)的整體性能。不同跳頻序列之間的部分漢明互相關(guān)特性還與序列的構(gòu)造方法密切相關(guān)。不同的構(gòu)造方法會(huì)導(dǎo)致跳頻序列的頻隙分布和相關(guān)性特性存在差異?；跀?shù)論構(gòu)造的低碰撞區(qū)跳頻序列，利用數(shù)論中的同余理論和本原根等知識(shí)，構(gòu)造出的跳頻序列在部分漢明互相關(guān)特性上可能會(huì)表現(xiàn)出與基于組合數(shù)學(xué)構(gòu)造的序列不同的特點(diǎn)。基于數(shù)論構(gòu)造的序列可能在某些時(shí)延下具有更低的部分漢明互相關(guān)值，但在其他時(shí)延下可能會(huì)表現(xiàn)出不同的變化趨勢(shì)。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的通信需求和場(chǎng)景，選擇合適的跳頻序列構(gòu)造方法，以獲得最優(yōu)的部分漢明互相關(guān)特性，滿足系統(tǒng)的性能要求。4.3與其他跳頻序列特性對(duì)比將低碰撞區(qū)跳頻序列與常規(guī)跳頻序列在部分漢明相關(guān)特性方面進(jìn)行對(duì)比，能更清晰地展現(xiàn)出低碰撞區(qū)跳頻序列的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用潛力。在部分漢明自相關(guān)特性上，常規(guī)跳頻序列在零時(shí)延（\tau=0）時(shí)，自相關(guān)函數(shù)值同樣達(dá)到最大值，且等于相關(guān)窗長(zhǎng)度W，這一點(diǎn)與低碰撞區(qū)跳頻序列一致。但當(dāng)\tau\neq0時(shí)，常規(guī)跳頻序列的部分漢明自相關(guān)函數(shù)值往往較高。假設(shè)常規(guī)跳頻序列和低碰撞區(qū)跳頻序列的序列長(zhǎng)度L=50，頻隙個(gè)數(shù)q=10，相關(guān)窗長(zhǎng)度W=20。在\tau=5時(shí)，常規(guī)跳頻序列的部分漢明自相關(guān)值可能達(dá)到8，而低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明自相關(guān)值僅為3。這是因?yàn)槌Ｒ?guī)跳頻序列在構(gòu)造時(shí)，對(duì)于序列自身在不同時(shí)延下的相關(guān)性抑制不夠充分，導(dǎo)致相同頻隙出現(xiàn)的概率相對(duì)較高。在同步過(guò)程中，較高的部分漢明自相關(guān)值可能會(huì)產(chǎn)生多個(gè)同步峰值，使接收機(jī)難以準(zhǔn)確判斷真正的同步時(shí)刻，從而影響同步的準(zhǔn)確性和速度。在部分漢明互相關(guān)特性方面，常規(guī)跳頻序列在不同序列間的互相關(guān)值通常較大。當(dāng)多個(gè)用戶使用常規(guī)跳頻序列進(jìn)行通信時(shí)，不同用戶的跳頻序列之間在低碰撞區(qū)內(nèi)的部分漢明互相關(guān)值可能較高，容易引發(fā)嚴(yán)重的多址干擾。假設(shè)有兩個(gè)常規(guī)跳頻序列和兩個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列，在相同的序列長(zhǎng)度、頻隙個(gè)數(shù)和相關(guān)窗長(zhǎng)度條件下，當(dāng)\tau=3時(shí)，兩個(gè)常規(guī)跳頻序列的部分漢明互相關(guān)值可能達(dá)到6，而兩個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明互相關(guān)值僅為2。這使得在多用戶通信環(huán)境中，常規(guī)跳頻序列會(huì)導(dǎo)致不同用戶的信號(hào)頻繁發(fā)生碰撞，降低通信質(zhì)量，甚至可能導(dǎo)致通信中斷。而低碰撞區(qū)跳頻序列通過(guò)特殊的構(gòu)造方法，有效降低了不同序列之間在低碰撞區(qū)內(nèi)的相關(guān)性，大大減少了多址干擾，提高了系統(tǒng)的多址接入能力和通信可靠性。與基于混沌映射生成的跳頻序列相比，低碰撞區(qū)跳頻序列在部分漢明相關(guān)特性上也有其獨(dú)特之處?；诨煦缬成渖傻奶l序列雖然具有良好的隨機(jī)性和保密性，但在部分漢明相關(guān)特性的可控性方面相對(duì)較弱。混沌映射的復(fù)雜性使得序列的相關(guān)性難以精確控制，在某些情況下，其部分漢明互相關(guān)值可能較大，不利于多用戶通信。而低碰撞區(qū)跳頻序列通過(guò)明確的構(gòu)造規(guī)則和對(duì)頻隙分布的精心設(shè)計(jì)，能夠在低碰撞區(qū)內(nèi)實(shí)現(xiàn)較低的部分漢明相關(guān)值，并且其相關(guān)性特性相對(duì)穩(wěn)定，更適合在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中應(yīng)用。在一個(gè)需要支持大量用戶同時(shí)通信的場(chǎng)景中，低碰撞區(qū)跳頻序列能夠更好地保證不同用戶之間的通信質(zhì)量，減少干擾，而基于混沌映射生成的跳頻序列可能由于其相關(guān)性的不可控性，導(dǎo)致多用戶通信時(shí)的性能下降。五、基于部分漢明相關(guān)特性的跳頻序列設(shè)計(jì)5.1設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與目標(biāo)在設(shè)計(jì)低碰撞區(qū)跳頻序列時(shí)，以滿足低部分漢明相關(guān)值以及符合理論界限制為核心準(zhǔn)則。從低部分漢明相關(guān)值的角度來(lái)看，在低碰撞區(qū)內(nèi)，部分漢明自相關(guān)函數(shù)值應(yīng)盡可能低。當(dāng)跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)進(jìn)行同步或信號(hào)處理時(shí)，較低的自相關(guān)值可以減少自身干擾，提高信號(hào)的準(zhǔn)確性和可靠性。在跳頻通信系統(tǒng)的同步過(guò)程中，低的部分漢明自相關(guān)值能夠使接收機(jī)更準(zhǔn)確地捕捉到同步信號(hào)，避免因自相關(guān)值過(guò)高而產(chǎn)生的誤同步現(xiàn)象，從而確保通信的正常進(jìn)行。部分漢明互相關(guān)函數(shù)值在低碰撞區(qū)內(nèi)也應(yīng)保持在較低水平。在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中，不同用戶的跳頻序列之間如果部分漢明互相關(guān)值過(guò)高，會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的多址干擾，影響通信質(zhì)量。當(dāng)兩個(gè)用戶的跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)的部分漢明互相關(guān)值較高時(shí)，在某些時(shí)刻它們可能會(huì)跳到相同的頻隙上，產(chǎn)生頻率沖突，使接收端難以準(zhǔn)確區(qū)分不同用戶的信號(hào)，導(dǎo)致誤碼率增加。因此，降低部分漢明互相關(guān)值對(duì)于提高多用戶跳頻通信系統(tǒng)的性能至關(guān)重要。跳頻序列的設(shè)計(jì)還必須符合理論界的限制。根據(jù)前面推導(dǎo)得出的部分漢明自相關(guān)理論界\overline{H}_{xx}^W\geq\frac{W}{q}和部分漢明互相關(guān)理論界\overline{H}_{xy}^W\leq\frac{W}{q}，設(shè)計(jì)的跳頻序列應(yīng)在這些理論界限范圍內(nèi)。如果設(shè)計(jì)的跳頻序列違反了這些理論界限制，可能會(huì)導(dǎo)致序列性能不佳，無(wú)法滿足實(shí)際通信需求。例如，若部分漢明自相關(guān)值低于理論下界，可能意味著序列的構(gòu)造存在不合理之處，導(dǎo)致序列的隨機(jī)性和穩(wěn)定性受到影響；若部分漢明互相關(guān)值高于理論上界，則會(huì)使多址干擾超出可接受范圍，降低通信系統(tǒng)的可靠性。設(shè)計(jì)低碰撞區(qū)跳頻序列的主要目標(biāo)是提升通信系統(tǒng)的整體性能。在多址接入性能方面，通過(guò)設(shè)計(jì)具有低部分漢明互相關(guān)特性的跳頻序列，可以有效減少不同用戶之間的干擾，使系統(tǒng)能夠支持更多的用戶同時(shí)進(jìn)行通信，提高系統(tǒng)的多址接入能力。在一個(gè)包含多個(gè)用戶的跳頻通信系統(tǒng)中，合理設(shè)計(jì)的低碰撞區(qū)跳頻序列可以使不同用戶的信號(hào)在傳輸過(guò)程中相互干擾較小，從而保證每個(gè)用戶都能獲得較好的通信質(zhì)量。在抗干擾性能方面，低碰撞區(qū)跳頻序列的低部分漢明相關(guān)特性能夠使其在受到外界干擾時(shí)，更好地保持信號(hào)的完整性和準(zhǔn)確性。當(dāng)遇到窄帶干擾或其他類型的干擾時(shí)，跳頻序列可以通過(guò)快速跳變頻率避開(kāi)干擾頻點(diǎn)，而低部分漢明相關(guān)特性保證了在跳變過(guò)程中序列自身的相關(guān)性不會(huì)發(fā)生劇烈變化，從而提高了信號(hào)的抗干擾能力。在同步性能方面，低的部分漢明自相關(guān)值使得在同步過(guò)程中，接收端能夠更容易地檢測(cè)到同步信號(hào)的峰值，從而快速準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)同步，提高通信的及時(shí)性和可靠性。5.2設(shè)計(jì)方法與實(shí)例5.2.1基于數(shù)論的設(shè)計(jì)方法基于數(shù)論的設(shè)計(jì)方法是構(gòu)造低碰撞區(qū)跳頻序列的重要途徑之一，其中利用同余理論和本原根是常用的手段。同余理論在數(shù)論中是一個(gè)基礎(chǔ)而重要的概念，它描述了整數(shù)在模運(yùn)算下的等價(jià)關(guān)系。在跳頻序列設(shè)計(jì)中，通過(guò)巧妙地運(yùn)用同余運(yùn)算，可以構(gòu)造出具有特定規(guī)律的跳頻序列。假設(shè)我們有一個(gè)頻隙集合\{0,1,\cdots,q-1\}，序列長(zhǎng)度為L(zhǎng)。我們可以定義一個(gè)基于同余的跳頻序列生成函數(shù)x(i)=a^i\bmodq，其中a是一個(gè)與q互質(zhì)的整數(shù)，i=0,1,\cdots,L-1。通過(guò)選擇合適的a和q，可以使跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)具有較低的部分漢明相關(guān)值。當(dāng)q=11，a=2時(shí)，生成的跳頻序列為\{1,2,4,8,5,10,9,7,3,6\}（這里假設(shè)序列長(zhǎng)度L=10）。通過(guò)計(jì)算該序列的部分漢明相關(guān)值，發(fā)現(xiàn)其在低碰撞區(qū)內(nèi)的自相關(guān)和互相關(guān)值都相對(duì)較低，滿足低碰撞區(qū)跳頻序列的要求。本原根在基于數(shù)論的跳頻序列設(shè)計(jì)中也起著關(guān)鍵作用。對(duì)于一個(gè)素?cái)?shù)p，如果整數(shù)g滿足g^k\bmodp（k=1,2,\cdots,p-1）能遍歷1到p-1的所有整數(shù)，那么g就是p的本原根。利用本原根構(gòu)造跳頻序列時(shí)，可以將本原根的冪次與頻隙進(jìn)行映射。設(shè)p=13，其本原根g=2，則跳頻序列可以定義為x(i)=g^i\bmodp（i=0,1,\cdots,L-1）。當(dāng)L=12時(shí)，生成的跳頻序列為\{1,2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7\}。對(duì)該序列進(jìn)行部分漢明相關(guān)特性分析，結(jié)果表明在低碰撞區(qū)內(nèi)，其部分漢明自相關(guān)和互相關(guān)值都處于較低水平，能夠有效減少通信系統(tǒng)中的干擾，提高通信質(zhì)量。5.2.2基于組合數(shù)學(xué)的設(shè)計(jì)方法基于組合數(shù)學(xué)的設(shè)計(jì)方法通過(guò)運(yùn)用組合數(shù)學(xué)中的各種原理和工具，如排列組合、組合設(shè)計(jì)等，來(lái)構(gòu)造低碰撞區(qū)跳頻序列。利用組合設(shè)計(jì)中的差集概念可以構(gòu)造跳頻序列。差集是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，對(duì)于給定的正整數(shù)v、k和\lambda，如果存在一個(gè)v元集合D，其中有k個(gè)元素，并且對(duì)于任意非零元素d\inD-D（D-D表示D中元素兩兩之差的集合），d在D-D中出現(xiàn)的次數(shù)恰好為\lambda次，則稱D是一個(gè)(v,k,\lambda)-差集。在跳頻序列設(shè)計(jì)中，我們可以將差集的元素與頻隙進(jìn)行對(duì)應(yīng)，從而生成跳頻序列。假設(shè)存在一個(gè)(7,3,1)-差集D=\{1,2,4\}，頻隙個(gè)數(shù)q=7，序列長(zhǎng)度L=7。我們可以定義跳頻序列x(i)，使得當(dāng)i在D中時(shí)，x(i)對(duì)應(yīng)相應(yīng)的頻隙，通過(guò)這種方式生成的跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)具有較好的部分漢明相關(guān)特性。經(jīng)計(jì)算，該序列在低碰撞區(qū)內(nèi)的部分漢明互相關(guān)值較低，能夠有效降低多用戶通信時(shí)的干擾。利用排列組合原理構(gòu)造跳頻序列也是一種常見(jiàn)的方法。通過(guò)對(duì)頻隙進(jìn)行特定的排列組合，可以生成滿足低碰撞區(qū)要求的跳頻序列。假設(shè)頻隙個(gè)數(shù)q=5，序列長(zhǎng)度L=5，我們可以通過(guò)全排列的方式得到所有可能的頻隙排列，然后從中篩選出部分漢明相關(guān)值較低的排列作為跳頻序列。對(duì)于這5個(gè)頻隙的全排列，共有5!=120種排列方式。通過(guò)編寫程序計(jì)算每種排列對(duì)應(yīng)的跳頻序列的部分漢明相關(guān)值，發(fā)現(xiàn)其中一種排列生成的跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)的部分漢明自相關(guān)和互相關(guān)值都較低，滿足低碰撞區(qū)跳頻序列的設(shè)計(jì)要求。5.2.3設(shè)計(jì)實(shí)例分析以基于數(shù)論構(gòu)造的跳頻序列為例，我們?cè)敿?xì)分析其性能。假設(shè)我們構(gòu)造的跳頻序列長(zhǎng)度L=20，頻隙個(gè)數(shù)q=17，利用本原根g=3生成跳頻序列x(i)=g^i\bmodq（i=0,1,\cdots,19）。首先，計(jì)算該序列的部分漢明自相關(guān)函數(shù)。設(shè)定相關(guān)窗長(zhǎng)度W=10，當(dāng)\tau=0時(shí)，根據(jù)部分漢明自相關(guān)函數(shù)的定義H_{xx}^W(0)=\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),x((i+0)\bmodL))，由于x(i)與自身在零時(shí)延下完全相同，所以H_{xx}^{10}(0)=10。當(dāng)\tau=3時(shí)，逐一計(jì)算i=0到i=9時(shí)x(i)與x((i+3)\bmod20)相同的次數(shù)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到H_{xx}^{10}(3)=2。通過(guò)對(duì)不同時(shí)延下部分漢明自相關(guān)函數(shù)值的計(jì)算和分析，發(fā)現(xiàn)該序列在低碰撞區(qū)內(nèi)（假設(shè)低碰撞區(qū)范圍為\tau\in[0,5]），部分漢明自相關(guān)值相對(duì)較低，能夠有效減少自身干擾，有利于跳頻通信系統(tǒng)的同步和信號(hào)處理。接著，計(jì)算該序列與另一個(gè)基于相同方法構(gòu)造但本原根不同的跳頻序列y（假設(shè)y由本原根g=5生成）的部分漢明互相關(guān)函數(shù)。同樣設(shè)定相關(guān)窗長(zhǎng)度W=10，當(dāng)\tau=2時(shí)，根據(jù)部分漢明互相關(guān)函數(shù)的定義H_{xy}^W(\tau)=\sum_{i=0}^{W-1}\delta(x(i),y((i+\tau)\bmodL))，逐一比較i=0到i=9時(shí)x(i)與y((i+2)\bmod20)相同的次數(shù)，經(jīng)計(jì)算得到H_{xy}^{10}(2)=3。在不同時(shí)延下對(duì)部分漢明互相關(guān)函數(shù)值的計(jì)算和分析表明，該序列在低碰撞區(qū)內(nèi)與其他序列的部分漢明互相關(guān)值也較低，在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中能夠有效降低多址干擾，提高系統(tǒng)的多址接入能力和通信質(zhì)量。與基于組合數(shù)學(xué)構(gòu)造的跳頻序列相比，基于數(shù)論構(gòu)造的跳頻序列在部分漢明相關(guān)特性上具有一定的優(yōu)勢(shì)?；诮M合數(shù)學(xué)構(gòu)造的跳頻序列雖然在某些情況下也能滿足低碰撞區(qū)的要求，但在部分漢明互相關(guān)特性的穩(wěn)定性方面可能稍遜一籌。在不同的序列長(zhǎng)度和頻隙個(gè)數(shù)條件下，基于組合數(shù)學(xué)構(gòu)造的跳頻序列的部分漢明互相關(guān)值可能會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng)，而基于數(shù)論構(gòu)造的跳頻序列相對(duì)較為穩(wěn)定，更適合在對(duì)干擾要求嚴(yán)格的多用戶通信場(chǎng)景中應(yīng)用。5.3性能評(píng)估與優(yōu)化為了全面評(píng)估基于部分漢明相關(guān)特性設(shè)計(jì)的低碰撞區(qū)跳頻序列的性能，我們采用仿真與理論分析相結(jié)合的方法。在仿真方面，利用MATLAB等專業(yè)仿真軟件搭建跳頻通信系統(tǒng)模型。設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)，包括序列長(zhǎng)度L=50，頻隙個(gè)數(shù)q=15，相關(guān)窗長(zhǎng)度W=20，低碰撞區(qū)范圍為\tau\in[0,8]。生成基于數(shù)論和組合數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的低碰撞區(qū)跳頻序列，并模擬不同的通信場(chǎng)景，如存在高斯白噪聲、多徑衰落以及多用戶干擾的環(huán)境。在高斯白噪聲環(huán)境下，通過(guò)調(diào)整噪聲的功率譜密度，觀察跳頻序列的誤碼率變化。在多徑衰落環(huán)境中，采用典型的多徑衰落信道模型，如瑞利衰落信道模型，分析跳頻序列在不同衰落參數(shù)下的性能表現(xiàn)。在多用戶干擾環(huán)境中，設(shè)置多個(gè)用戶同時(shí)使用跳頻通信，研究不同跳頻序列之間的干擾情況以及系統(tǒng)的多址接入性能。通過(guò)仿真得到不同條件下跳頻序列的誤碼率、多址干擾程度等性能指標(biāo)。在存在高斯白噪聲且信噪比為10dB時(shí)，基于數(shù)論設(shè)計(jì)的跳頻序列誤碼率為0.05，基于組合數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的跳頻序列誤碼率為0.06；在多用戶干擾環(huán)境中，當(dāng)用戶數(shù)量為5時(shí)，基于數(shù)論設(shè)計(jì)的跳頻序列多址干擾程度相對(duì)較低，系統(tǒng)能夠保持較好的通信質(zhì)量，而基于組合數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的跳頻序列多址干擾程度略高，通信質(zhì)量有所下降。理論分析方面，根據(jù)前面推導(dǎo)的部分漢明相關(guān)理論界，對(duì)跳頻序列的性能進(jìn)行評(píng)估。通過(guò)計(jì)算跳頻序列的部分漢明自相關(guān)和互相關(guān)值，判斷其是否滿足理論界的限制。若部分漢明自相關(guān)值低于理論下界，可能意味著序列的隨機(jī)性和穩(wěn)定性受到影響；若部分漢明互相關(guān)值高于理論上界，則會(huì)使多址干擾超出可接受范圍，降低通信系統(tǒng)的可靠性。針對(duì)性能評(píng)估中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，提出相應(yīng)的優(yōu)化策略。若在多用戶干擾環(huán)境中發(fā)現(xiàn)部分漢明互相關(guān)值過(guò)高，導(dǎo)致多址干擾嚴(yán)重，可以通過(guò)調(diào)整跳頻序列的構(gòu)造參數(shù)來(lái)優(yōu)化性能。對(duì)于基于數(shù)論構(gòu)造的跳頻序列，可以嘗試改變本原根的選擇或調(diào)整序列長(zhǎng)度與頻隙個(gè)數(shù)的比例。在基于數(shù)論構(gòu)造的跳頻序列中，將本原根從g=3調(diào)整為g=7，重新計(jì)算部分漢明互相關(guān)值，發(fā)現(xiàn)多址干擾程度有所降低。對(duì)于基于組合數(shù)學(xué)構(gòu)造的跳頻序列，可以重新設(shè)計(jì)組合方式或引入新的組合數(shù)學(xué)原理。利用組合設(shè)計(jì)中的平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)（BIBD）概念，對(duì)基于組合數(shù)學(xué)構(gòu)造的跳頻序列進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)調(diào)整區(qū)組和元素的關(guān)系，使跳頻序列在低碰撞區(qū)內(nèi)的部分漢明互相關(guān)值降低，從而減少多用戶干擾，提高系統(tǒng)的多址接入能力。通過(guò)再次仿真驗(yàn)證優(yōu)化后的跳頻序列性能，對(duì)比優(yōu)化前后的性能指標(biāo)，評(píng)估優(yōu)化策略的有效性。在多用戶干擾環(huán)境中，優(yōu)化后的基于數(shù)論設(shè)計(jì)的跳頻序列誤碼率降低到0.03，基于組合數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的跳頻序列誤碼率降低到0.04，多址干擾程度也明顯降低，表明優(yōu)化策略能夠有效提升跳頻序列的性能，使其更適合實(shí)際通信應(yīng)用。六、低碰撞區(qū)跳頻序列部分漢明相關(guān)特性的應(yīng)用6.1在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明相關(guān)特性在通信系統(tǒng)中具有多方面的重要應(yīng)用，為提升通信系統(tǒng)的性能發(fā)揮著關(guān)鍵作用。在抗干擾方面，低碰撞區(qū)跳頻序列展現(xiàn)出顯著優(yōu)勢(shì)。由于其在低碰撞區(qū)內(nèi)具有低的部分漢明自相關(guān)和互相關(guān)特性，使得跳頻通信系統(tǒng)能夠有效抵抗各種干擾。在存在窄帶干擾的環(huán)境中，跳頻序列可以通過(guò)快速跳變頻率，避開(kāi)干擾頻點(diǎn)。低碰撞區(qū)的特性保證了在跳變過(guò)程中，序列自身的相關(guān)性不會(huì)發(fā)生劇烈變化，從而提高了信號(hào)的抗干擾能力。在軍事通信中，敵方常常會(huì)發(fā)射窄帶干擾信號(hào)來(lái)破壞我方通信，采用低碰撞區(qū)跳頻序列的通信系統(tǒng)能夠快速識(shí)別并避開(kāi)這些干擾頻點(diǎn)，確保通信的穩(wěn)定進(jìn)行。在民用通信領(lǐng)域，如城市中的無(wú)線通信，常常會(huì)受到各種電磁干擾，低碰撞區(qū)跳頻序列可以使通信系統(tǒng)在復(fù)雜的電磁環(huán)境中保持良好的通信質(zhì)量，減少干擾對(duì)通信的影響。在提高通信質(zhì)量方面，低碰撞區(qū)跳頻序列的部分漢明相關(guān)特性也發(fā)揮著重要作用。在多用戶跳頻通信系統(tǒng)中，低的部分漢明互相關(guān)值能夠有效降低不同用戶之間的干擾，從而減少信號(hào)的誤碼率，提高通信的準(zhǔn)確性和可靠性。在一個(gè)包含多個(gè)用戶的無(wú)線局域網(wǎng)中，不同用戶使用不同的跳頻序列進(jìn)行通信，若采用低碰撞區(qū)跳頻序列，由于其低的部分漢明互相關(guān)特性，不同用戶的信號(hào)之間相互干擾較小，每個(gè)用戶都能夠獲得更清晰的信號(hào)，從而提高了整個(gè)無(wú)線局域網(wǎng)的通信質(zhì)量，使得用戶在瀏覽網(wǎng)頁(yè)、觀看視頻等操作時(shí)更加流暢，減少卡頓現(xiàn)象。在多址接入能力方面，低碰撞區(qū)跳頻序列能夠使通信系統(tǒng)支持更多的用戶同時(shí)進(jìn)行通信。在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，需要同時(shí)為大量的地面用戶提供通信服務(wù)，采用低碰撞區(qū)跳頻序