簡(jiǎn)樸的線性規(guī)劃問(wèn)題7/30/2025新知探究：

1、二元一次不等式和二元一次不等式組的定義

（1）二元一次不等式：

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式；（2）二元一次不等式組：

由幾個(gè)二元一次不等式構(gòu)成的不等式組；（3）二元一次不等式的解集：

滿足二元一次不等式的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)構(gòu)成的集合；7/30/2025問(wèn)題1：在平面直坐標(biāo)系中，x+y=0表達(dá)的點(diǎn)的集合表達(dá)什么圖形？x-y+1>0呢？x+y>0

呢?x+y＜0

呢?7/30/20253、在直線的右上方的平面區(qū)域內(nèi)。2、在直線的左下方的平面區(qū)域內(nèi)。在平面直角坐標(biāo)系中，全部的點(diǎn)都被直線x+y=0（如圖所示）分成三類：YOX1、在直線上。7/30/2025例1：畫出不等式x+4y<4表達(dá)的平面區(qū)域(2)（直線定界）:先畫直線x+4y–4=0（畫成虛線）(3)（特殊點(diǎn)定域）:取原點(diǎn)（0，0），代入x+4y-4，得0+4×0–4=-4<0(4)（取舍）因此原點(diǎn)在x+4y–4<0表達(dá)的平面區(qū)域內(nèi)，不等式x+4y–4<0表達(dá)的區(qū)域如圖所示。xyx+4y―4=0

解：(1)（化成原則式）x+4y–4<07/30/2025x+4y>4x-y-4>0x-y-4<0例1、畫出x+4y<4表達(dá)的平面區(qū)域x+4y=4x+4y<4oxy變式：（1）x+4y>4（2）x-y-4<0（3）x-y-4>0oxyx-y-4=0y<－3x+12x<2y

的解集.例2、用平面區(qū)域表達(dá)不等式組0xy3x+y-12=0x-2y=0484812分析：不等式組表達(dá)的平面區(qū)域是各不等式所示的平面點(diǎn)集的交集，即為各個(gè)不等式所示的平面區(qū)域的公共部分。練習(xí)1、將下圖中的平面區(qū)域（陰影部分）用不等式出來(lái)（圖（1）中的區(qū)域不包含y軸）xyox+y=02)yxo(1)解(1)x>0(2)x+y≥0yxo2x+y=4(3)(3)2x+y<42025/7/30注意：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表達(dá)直線Ax+By+C=0某一側(cè)全部點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域。由于對(duì)直線同一側(cè)的全部點(diǎn)(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得實(shí)數(shù)的符號(hào)都相似，因此只需在此直線的某一側(cè)取一種特殊點(diǎn)(x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)能夠判斷出Ax+By+C>0表達(dá)哪一側(cè)的區(qū)域。普通在C≠0時(shí)，取原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)。7/30/2025應(yīng)當(dāng)注意的幾個(gè)問(wèn)題：1、若不等式中不含0，則邊界應(yīng)畫成虛線，2、二元一次不等式表達(dá)平面區(qū)域的判斷辦法：“直線定界、特殊點(diǎn)定域”否則應(yīng)畫成實(shí)線。擬定環(huán)節(jié)：__________、____________若C≠0，則_________、_________.直線定界特殊點(diǎn)定域直線定界原點(diǎn)定域7/30/2025課堂練習(xí)2：1、不等式x–2y+6>0表達(dá)的區(qū)域在直線x–2y+6=0的（）（A）右上方（B）右下方（C）左上方（D）左下方2、不等式3x+2y–6≤0表達(dá)的平面區(qū)域是（）BD7/30/2025課堂練習(xí)2：3、不等式組B表達(dá)的平面區(qū)域是（）7/30/2025x+y=0x+y>0xyox+y<07/30/2025x-y+1<0xyo1-1x-y+1=0x－y+1＞07/30/2025xyo362x+y-6<02x+y-6=07/30/2025xyo35-5x-y+5=0x+y=0x=37/30/2025x+y+2=0x+2y+1=02x+y+1=0xyo－1－2－2－1x+y+2≥0x+2y+1≤02x+y+1≤07/30/2025由圖知：平面區(qū)域是邊長(zhǎng)為的正方形。xyo11－1－1x+y－1=0x+y+1=0x－y－1=0x－y+1=0∴S=27/30/2025簡(jiǎn)樸的線性規(guī)劃問(wèn)題2025/7/30練習(xí)題.1.在同一坐標(biāo)系上作出下列直線:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo7/30/20252.作出下列不等式組的所示的平面區(qū)域7/30/202555x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy7/30/2025一、提出問(wèn)題設(shè)z=2x+y,求滿足時(shí),z的最大值和最小值.7/30/202555x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy直線L越往右平移,t隨之增大.以通過(guò)點(diǎn)A(5,2)的直線所對(duì)應(yīng)的t值最大;通過(guò)點(diǎn)B(1,1)的直線所對(duì)應(yīng)的t值最小.7/30/2025線性規(guī)劃問(wèn)題：設(shè)z=2x+y，式中變量滿足下列條件：求z的最大值與最小值。目的函數(shù)（線性目的函數(shù)）線性約束條件任何一種滿足不等式組的（x,y）可行解可行域全部的最優(yōu)解線性規(guī)劃問(wèn)題講授新課1.上述問(wèn)題中，不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，這組約束條件都是有關(guān)x、y的一次不等式，因此又叫線性約束條件.線性約束條件除了用一次不等式表達(dá)外，有時(shí)也用一次方程表達(dá).7/30/2025講授新課2.欲求最大值或最小值的函數(shù)z=2x+y叫做目的函數(shù).由于z=2x+y又是x、y的一次解析式，因此又叫線性目的函數(shù).3.普通地，求線性目的函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.7/30/2025講授新課4.滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解.5.由全部可行解構(gòu)成的集合叫做可行域.6.使目的函數(shù)獲得最大值或最小值的可行解，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解.7/30/2025線性規(guī)劃練習(xí)1:解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：當(dāng)x=-1,y=-1時(shí)，z=2x+y有最小值－3.當(dāng)x=2,y=-1時(shí)，z=2x+y有最大值3.作出直線l0:2x+y=0，再將直線平移，當(dāng)l0平行線l1過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可使z=2x+y達(dá)成最小值，當(dāng)l0平行線l2過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可使z=2x+y達(dá)成最大值.講授新課解：先作出可行域，見(jiàn)圖中△ABC表達(dá)的區(qū)域,且求得zmin=2×(1)+(

1)=

3，zmax=2×2+(

1)=3.7/30/2025線性規(guī)劃例2解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：x+3y=0300x+900y=0300x+900y=112500答案：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，z=300x+900y有最小值0.當(dāng)x=0,y=125時(shí)，z=300x+900y有最大值112500.講授新課解答線性規(guī)劃問(wèn)題的環(huán)節(jié)：第一步：根據(jù)約束條件畫出可行域；第二步：令z＝0，畫直線l0；第三步：觀察，分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解；第四步：求出目的函數(shù)的最大值或最小值.7/30/2025例3.要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格,每張鋼板能夠同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)以下表所示：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要A、B、C三種成品分別是15、18、27塊，問(wèn)各截這兩種鋼板多少塊可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少.規(guī)格類型鋼板類型2.用量最省問(wèn)題講授新課7/30/2025講授新課解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則作出可行域：目的函數(shù)為z＝x＋y7/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025講授新課yxO224881828167/30/2025在可行域內(nèi)找出最優(yōu)整數(shù)解問(wèn)題的普通辦法是：3.在可行域內(nèi)找整數(shù)解，普通采用平移找解法，即打網(wǎng)絡(luò)、找整點(diǎn)、平移直線、找出整數(shù)最優(yōu)解。調(diào)節(jié)優(yōu)值法打網(wǎng)格線法1.若區(qū)域“頂點(diǎn)”處正好為整點(diǎn)，那么它就是最優(yōu)解；（在涉及邊界的狀況下）2.若區(qū)域“頂點(diǎn)”不是整點(diǎn)或不涉及邊界時(shí)，應(yīng)先求出該點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算目的函數(shù)值Z，然后在可行域內(nèi)適宜放縮目的函數(shù)值，使它為整數(shù)，且與Z最靠近，在這條對(duì)應(yīng)的直線中，取可行域內(nèi)整點(diǎn)，如果沒(méi)有整點(diǎn)，繼續(xù)放縮，直至取到整點(diǎn)為止7/30/2025【例1】畫出不等式組表達(dá)的平面區(qū)域,并回答下列問(wèn)題:(1)指出x,y的取值范疇;(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)?思維啟迪(1)不等式組表達(dá)的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所示的平面區(qū)域的公共部分,但要注意與否包含邊界.(2)整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).解(1)不等式x-y+5≥0表達(dá)直線x-y+5=0上及右下方的點(diǎn)的集合.x+y≥0表達(dá)直線x+y=0上及右上方的點(diǎn)的集合,x≤3表達(dá)直線x=3上及左方的點(diǎn)的集合.7/30/2025因此,不等式組表達(dá)的平面區(qū)域如圖所示.結(jié)合圖中可行域得(2)由圖形及不等式組知當(dāng)x=3時(shí),-3≤y≤8,有12個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=2時(shí),-2≤y≤7,有10個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=1時(shí),-1≤y≤6,有8個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=0時(shí)，0≤y≤5，有6個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)x=-1時(shí),1≤y≤4,有4個(gè)整點(diǎn);當(dāng)x=-2時(shí),2≤y≤3,有2個(gè)整點(diǎn);∴平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2+4+6+8+10+12=42個(gè).

7/30/2025

【例4】實(shí)數(shù)x,y滿足（1）若求z的最大值和最小值，并求z的取值范疇；（2）若z=x2+y2，求z的最大值與最小值,并求z的取值范疇.(1)表達(dá)的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.故的最值問(wèn)題即為直線的斜率的最大值與最小值.（2）z=x2+y2的最值表達(dá)的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的兩點(diǎn)距離的平方的最大值、最小值.解題思路7/30/2025

解作出可行域如圖陰影部分所示.表達(dá)可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，4分因此的范疇為直線OB的斜率到直線OA的斜率(OA斜率不存在）.∴zmax不存在，zmin=2,∴z的取值范疇是［2，+∞）.7分7/30/2025(2)z=x2+y2表達(dá)可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)間距離的平方.9分因此x2+y2的范疇最小為|OA|2（取不到），最大為|OB|2.由得A(0，1)，∴|OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5.∴zmax=5，z無(wú)最小值.故z的取值范疇是（1，5］.12分7/30/20255.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝2x＋y的最小值

是1.解：由約束條件畫出x，y滿足的可行域，得三個(gè)點(diǎn)A(2,0)，B(5,3)，C(－1,3)，當(dāng)目的函數(shù)過(guò)點(diǎn)C(－1,3)時(shí)z獲得最小值.2025/7/30已知實(shí)數(shù)x，y滿足(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值.(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；(3)若z＝，求z的最大值和最小值.2025/7/30解：不等式組表達(dá)的平面區(qū)域如圖所示.圖中陰影部分即為可行域.由得∴A(1,2)；由得∴B(2,1)；2025/7/30由得∴M(2,3).(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，當(dāng)直線y＝－2x＋z通過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)M(2,3)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z也最大，此時(shí)zmax＝2×2＋3＝7.當(dāng)直線y＝－2x＋z通過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z也最小，此時(shí)zmin＝2×1＋2＝4.因此z的最大值為7，最小值為4.2025/7/30(2)過(guò)原點(diǎn)(0,0)作直線l垂直于直線x＋y－3＝0，垂足為N，則直線l的方程為y＝x，由得∴N()，點(diǎn)N()在線段AB上，也在可行域內(nèi).此時(shí)可行域內(nèi)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離最小.2025/7/30又|OM|＝，|ON|＝，即≤≤，∴≤x2＋y2≤13，因此，z的最大值為13，z的最小值為.(3)∵kOA＝2，kOB＝，∴≤≤2，因此z的最大值為2，z的最小值為.2025/7/30解：不等式組表達(dá)的平面區(qū)域如圖所示.A(0，)，B(1,1)，C(0,4).∴S△ABC＝|AC|·h答案：C1.(2009·安徽高考)不等式組所示的平面區(qū)域的面積等于()A.B.C.D.2025/7/302.(2009·寧夏、海南高考)設(shè)x、y滿足則z＝x＋y(

)A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最大值3，無(wú)最小值D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值2025/7/30解析：不等式組的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D的陰影區(qū)域.x＋y在點(diǎn)A(2,0)處取最小值為2，無(wú)最大值.答案：B2025/7/303.若實(shí)數(shù)x，y滿足且x2＋y2的最大值等于34，

則正實(shí)數(shù)a的值等于(

)A.B.C.D.2025/7/30解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出已知不等式組所示的平面區(qū)域MPA(如圖所示)，其中直線ax－y－a＝0的位置不擬定，但它通過(guò)定點(diǎn)A(1,0)，斜率為a.2025/7/30又由于x2＋y2＝()2，且x2＋y2的最大值等于34，因此平面區(qū)域MPA中的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離等于，又M(－，3)，OM＝＜，因此點(diǎn)P(＋1,3)到原點(diǎn)的距離最大，故有(＋1)2＋9＝34，解得a＝.答案：B2025/7/30解析：由兩點(diǎn)式得直線AB、BC、CA的方程并化簡(jiǎn)為：直線AB：x＋2y－2＝0，直線BC：x－y＋4＝0，直線CA：5x－2y＋2＝0.∴原點(diǎn)(0,0)不在各直線上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號(hào)可得不等式組為4.如圖，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，則△ABC區(qū)域所示的二元一次不等式組為.2025/7/30答案：A7/30/2025解析：作出可行域?yàn)槿鐖D所示的三角形．由t＝2y－x知過(guò)A(1,1)時(shí)t獲得最大值為1.答案：B7/30/20254．寫出能表達(dá)圖中陰影部分的二元一次不等式組是__________．7/30/2025解析：點(diǎn)(x，y)在如圖所示的陰影三角形中，將z視為直線z＝5x＋y在y軸上的截距，顯然直線z＝5x＋y過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí)，z最大，zmax＝5×1＋0＝5.答案：57/30/2025[答案]

B[自主解答]畫出可行域如圖陰影部分表達(dá)．∵直線2x＋y－10＝0過(guò)(5,0)點(diǎn)，故只有1個(gè)公共點(diǎn)(5,0)．7/30/2025答案：D解析：如圖，作出不等式組表達(dá)的可行域，顯然當(dāng)