專題06一元二次方程的應(yīng)用（8大類型精準(zhǔn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題

審→設(shè)→列→解→驗(yàn)→答.即：

(1)審：審清題目的各量之間的關(guān)系：

(2)設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，可直接設(shè)也可間接設(shè)：

(3)列：根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出方程；

(4)解：求出未知數(shù)的值：

(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解的正確性及是否符合實(shí)際情況；

(6)答：寫出應(yīng)用題的答案

知識(shí)點(diǎn)2：常見(jiàn)相關(guān)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示方法

1.傳播問(wèn)題

比賽問(wèn)題：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)．

傳播問(wèn)題：a(1x)nA，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A

表示最終的人數(shù)．

2.增長(zhǎng)率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的

次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：

平均增長(zhǎng)率公式為a(1x)nb(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問(wèn)題：

平均降低率公式為a(1x)nb(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

1

3.面積問(wèn)題

此類問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的

面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

4.數(shù)字問(wèn)題

(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，

它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、

9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單

位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上

數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

題型5：利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題

利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題

利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

【課前熱身】

1．保障國(guó)家糧食安全是一個(gè)永恒的話題，任何時(shí)候這根弦都不能松，某農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地，大力開(kāi)展種子實(shí)驗(yàn)，

讓農(nóng)民得到高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，該農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地兩年前有81種農(nóng)作物，經(jīng)過(guò)兩年不斷的努力培育新品種，

現(xiàn)在有100種農(nóng)作物種子，若這兩年培育新品種數(shù)量平均年增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意列出符合題意的方程是

()

A．100(1x)81B．100(12x)81C．81(1x)2100D．81(1x)2100

【答案】D

【分析】根據(jù)“該農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地兩年前有81種農(nóng)作物，經(jīng)過(guò)兩年不斷的努力培育新品種，現(xiàn)在有100種農(nóng)

作物種子”列出一元二次方程即可．

【解答】解：這兩年培育新品種數(shù)量的平均年增長(zhǎng)率為x，

根據(jù)經(jīng)過(guò)兩年不斷的努力培育新品種，現(xiàn)在有100種農(nóng)作物種子得：

81(1x)2100，

故選：D．

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查從實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．

2．有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則

下列結(jié)論不正確的是()

A．第一輪后共有(x1)個(gè)人患了流感

B．第二輪后又增加x(x1)個(gè)人患流感

C．依題意可以列方程1xx(1x)121

D．按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有1000人患流感

【答案】D

【分析】由每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，可得出第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有

x(1x)人被傳染，結(jié)合“有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感”，可列出關(guān)于x的一

元二次方程，解之可得出x的值，再將其符合題意的值，代入121(1x)中，可求出“按照這樣的傳染速度，

經(jīng)過(guò)三輪傳染后患流感的人數(shù)”，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．

【解答】解：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，

第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x(1x)人被傳染．

根據(jù)題意得：1xx(1x)121，

解得：，，

x110x212

121(1x)121(110)1331，

第一輪后共有(x1)個(gè)人患了流感，選項(xiàng)A不符合題意；

第二輪后又增加x(x1)個(gè)人患流感，選項(xiàng)B不符合題意；

所列方程為1xx(1x)121，選項(xiàng)C不符合題意；

按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有1331人患流感，選項(xiàng)D不符合題意．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

3．如圖是一張長(zhǎng)8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的正方形，可制成底面積是18cm2

的一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，那么x滿足的方程是()

A．404x218B．(82x)(52x)18

C．402(8x5x)18D．(82x)(52x)9

【答案】B

【分析】由于剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，那么長(zhǎng)方體紙盒的底面的長(zhǎng)為(82x)，寬為(52x)，然后根據(jù)

3

底面積是18cm2即可列出方程．

【解答】解：設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，

依題意得(82x)(52x)18，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，首先要注意讀懂題意，正確理解題意，然后才能利用題目

的數(shù)量關(guān)系列出方程．

4．參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽定了一份合同，所有公司共簽定了45份合同，共有多少家

公司參加商品交易會(huì)？

【分析】每家公司都與其他公司鑒定了一份合同，設(shè)有x家公司參加，則每個(gè)公司要簽(x1)份合同，簽訂

1

合同共有x(x1)份．

2

【解答】解：設(shè)有x家公司參加，依題意，得

1

x(x1)45．

2

整理得：x2x900．

解得：，（舍去）

x110x29

答：共有10公司參加商品交易會(huì)．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，甲乙之間互簽合同，只能算一份，本題屬于不重復(fù)記數(shù)問(wèn)題，

類似于若干個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)人之間都握手，握手總次數(shù)；或者平面內(nèi)，n個(gè)點(diǎn)（沒(méi)有三點(diǎn)共線）之間連線，所

有線段的條數(shù)．解答中注意舍去不符合題意的解．

5．兩個(gè)正方形，小正方形的邊長(zhǎng)比大正方形邊長(zhǎng)的一半多4cm，大正方形的面積比小正方形面積的2倍少

32cm2，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．

【答案】大正方形的邊長(zhǎng)為16cm，小正方形的邊長(zhǎng)為12cm．

x

【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則小正方形的邊長(zhǎng)為(4)cm，接下來(lái)結(jié)根據(jù)題目信息可得

2

x

2(4)2x232，然后解方程求出x的值，進(jìn)而求出小正方形的邊長(zhǎng)，據(jù)此進(jìn)行解答即可．

2

x

【解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則小正方形的邊長(zhǎng)為(4)cm．

2

x

2(4)2x232，

2

得x216x0，即x(x16)0，

解得或（舍去），

x116x20

16

小正方形的邊長(zhǎng)為412(cm)．

2

4

故大正方形的邊長(zhǎng)為16cm，小正方形的邊長(zhǎng)為12cm．

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于一元二次方程應(yīng)用的題目，解答本題的關(guān)鍵是找出題目中的數(shù)量關(guān)系．

6．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是多少？

【分析】先設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是(x3)，這個(gè)兩位數(shù)是[10(x3)x]，然后根據(jù)個(gè)位數(shù)字的平

方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)即可列出方程求解即可．

【解答】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是(x3)，這個(gè)兩位數(shù)是10(x3)x，

依題意得：x210(x3)x，

x211x300，

，，

x15x26

x32或3．

答：這個(gè)兩位數(shù)是25或36．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵．

7．某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．若每件商品的售價(jià)為x元，則可賣出(35010x)件，

但物價(jià)局限定每件商品的售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的120%．若該商店計(jì)劃從這批商品中獲取400元利潤(rùn)（不

計(jì)其他成本），問(wèn)需要賣出多少件商品，此時(shí)的售價(jià)是多少？

【分析】由銷售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系總利潤(rùn)單件利潤(rùn)數(shù)量建立方程求出其解即可．

【解答】解：根據(jù)題意，得(x21)(35010x)400

整理，得x256x7750

解得，

x125x231

因?yàn)?1120%25.2，即售價(jià)不能超過(guò)25.2元，所以x31不合題意，應(yīng)舍去．

故x25，從而賣出3501025100件，

答：需要賣出100件商品，每件售價(jià)是25元．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銷售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系總利潤(rùn)單件利潤(rùn)數(shù)量的運(yùn)用，列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)

用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)由銷售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．

【題型1】傳播問(wèn)題

1．（23-24九年級(jí)上·福建廈門·階段練習(xí)）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感，那么每

輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為（）

5

A．8人B．9人C．10人D．11人

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，根據(jù)“有

一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感”列出方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x人，

1xx1x81，

整理得：x22x800，

解得：x18，x210（舍），

∴每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為8人，

故選：A．

2．（23-24九年級(jí)上·湖北黃石·期中）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的分

支，主干，分支和小分支的總數(shù)是57，則每個(gè)支干長(zhǎng)出（）根小分支

A．5B．6C．7D．8

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，根據(jù)“每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小

分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57”得出一元二次方程，解方程可得答案．

【詳解】解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，由題意得：1xx257，

解得：x17,x28（不合題意，舍去），

故每個(gè)支干長(zhǎng)出7個(gè)小分支，

故選：C．

3．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳

染病毒，傳染性極強(qiáng)．一個(gè)美國(guó)人在非洲旅游時(shí)不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有64人受

到感染．

(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？

【答案】(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人

(2)第三輪將又有448人被傳染

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人受到感染，即可得出關(guān)于x

的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

（2）第三輪被傳染人數(shù)就是用第二輪感染的64人乘以每人每輪的傳染人數(shù)7即可．

【詳解】（1）解∶設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)題意得

1xxx164，

6

解得x7或x9(舍)．

答∶每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人．

（2）由（1）可知每輪傳染中平均一個(gè)人傳染7個(gè)人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后有64人感染．

那么第三輪被傳染的人數(shù)為647448人．

答：第三輪將又有448人被傳染．

4．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）化學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，小華在化學(xué)老師的幫助下，學(xué)會(huì)了

用高錳酸鉀制取氧氣的實(shí)驗(yàn)，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的x名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，第

二節(jié)課小華因家中有事請(qǐng)假了，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了x名同學(xué)，這樣全班43名

同學(xué)恰好都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了．求x的值．

【答案】x的值為6

【分析】本題主要考查一元二次方程的運(yùn)用，理解題目中數(shù)量關(guān)系，掌握一元二次方程的運(yùn)用是解題的關(guān)

鍵．

小華第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的x名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手

教會(huì)了x名同學(xué)，全班43名同學(xué)恰好都會(huì)做，由此數(shù)量關(guān)系列式即可求解．

【詳解】解：由題意得1xx243，

解得x16,x27（不符合題意，舍去），

答：x的值為6．

【題型2】握手、循環(huán)比賽問(wèn)題

5．（21-22九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）學(xué)校要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)．根

據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)

x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）

11

A．xx128B．xx128C．xx128D．xx128

22

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找

到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，

1

根據(jù)題意得，xx147，

2

1

即xx128，

2

故選：A．

6．（24-25九年級(jí)上·貴州遵義·期中）一次會(huì)議上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都相互握一次手，有人統(tǒng)計(jì)一共握

手45次，則這次會(huì)議參加的人數(shù)是（）

A．7B．10C．12D．20

7

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．設(shè)這次會(huì)議參加的人數(shù)

是x人，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)這次會(huì)議參加的人數(shù)是x人，

1

根據(jù)題意，得xx145，

2

解得x10，

故這次會(huì)議參加的人數(shù)是10人，

故選：B．

7．（24-25九年級(jí)上·廣東江門·期中）某航空公司有若干個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，每?jī)蓚€(gè)飛機(jī)場(chǎng)之間都開(kāi)辟一條航線，一

共開(kāi)辟了10條航線，求航空公司共有多少個(gè)飛機(jī)場(chǎng)？

【答案】5個(gè)

【分析】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)這個(gè)航空公司共有x個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解．

【詳解】解：設(shè)這航空公司共有x個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，根據(jù)題意，得：

1

xx110

2

整理，得：x2x200

解得x15，x24（不符合題意，舍去），

答：航空公司共有5個(gè)飛機(jī)場(chǎng)．

8．（24-25九年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期中）以下是我市熱點(diǎn)新聞，請(qǐng)你從中挖掘數(shù)學(xué)信息，解決相關(guān)問(wèn)題：

(1)熱點(diǎn)新聞1：2024年國(guó)慶期間，我市某景區(qū)接待游客約64.8萬(wàn)人次，接待游客量再創(chuàng)新高，繼續(xù)推動(dòng)我

市旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展．

數(shù)據(jù)顯示，2022年該景區(qū)接待游客約45萬(wàn)人次，若該景區(qū)每年接待游客人數(shù)的增長(zhǎng)率相同，則年平均增長(zhǎng)

率為多少？

(2)熱點(diǎn)新聞2：2024“望陶杯”江西省首屆“NBA”籃球選拔賽在景德鎮(zhèn)市成功舉辦，經(jīng)歷小組賽、淘汰賽的多

輪角逐，黑貓集團(tuán)代表隊(duì)奪得了本次比賽的冠軍．

小組賽賽制為單循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），已知小組賽共進(jìn)行比賽28場(chǎng)，則此次參賽一共有多少個(gè)球

隊(duì)？

【答案】(1)平均增長(zhǎng)率為20%

(2)此次參賽一共有8個(gè)球隊(duì)

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．

2

（1）設(shè)每年接待游客人數(shù)的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得451x64.8，求解得到合適的x值；

1

（2）設(shè)此次參賽一共有x個(gè)球隊(duì)，根據(jù)題意可得xx128，求解得到合適的x值即可．

2

8

【詳解】（1）解：設(shè)每年接待游客人數(shù)的增長(zhǎng)率為x，

2

可列方程：451x64.8，解得x120%,x22.2（舍去）

答：平均增長(zhǎng)率為20%．

（2）解：設(shè)此次參賽一共有x個(gè)球隊(duì)，

1

可列方程：xx128，解得x8，x7（舍去）

212

答：此次參賽一共有8個(gè)球隊(duì)．

【題型3】增長(zhǎng)率問(wèn)題

9．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）11月28日起江蘇省正式上線購(gòu)買手機(jī)最高補(bǔ)貼15%的優(yōu)惠活動(dòng)，

某品牌手機(jī)店為響應(yīng)政府優(yōu)惠政策，進(jìn)行了兩次降價(jià)，由3999元降為3399元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)

平均每次降價(jià)的百分率為x，可列方程得（）

A．3999(12x)3399B．3999(12x)3399

C．3999(1x)23399D．3999(1x)23399

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；根據(jù)：原來(lái)的價(jià)格(1降價(jià)的百分比)2現(xiàn)在的價(jià)格，列出方

程即可．

【詳解】解：由題意得：3999(1x)23399；

故選：D．

10．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）目前，新能源汽車在中國(guó)市場(chǎng)已進(jìn)入快速普及階段，某企業(yè)2024年

的電動(dòng)汽車銷量是20萬(wàn)輛，計(jì)劃在兩年內(nèi)使電動(dòng)汽車的年銷量達(dá)到40萬(wàn)輛，設(shè)在這兩年中銷量的年平均

增長(zhǎng)率為x，則可列方程．

2

【答案】201x40

【分析】本題考查了一元二次方程在增長(zhǎng)率問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解年平均增長(zhǎng)率的含義，并根

據(jù)其列出相應(yīng)的方程．

根據(jù)初始銷量，年平均增長(zhǎng)率與增長(zhǎng)后的銷量之間的關(guān)系，結(jié)合題目中給定的2024年銷量和計(jì)劃達(dá)成的銷

量列出方程．

【詳解】根據(jù)題意得：20(1x)240．

故答案為：20(1x)240．

11．（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）某種商品原價(jià)為100元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，發(fā)現(xiàn)第二次降價(jià)后

的價(jià)格為81元．若兩次降價(jià)的百分率相同，求降價(jià)的百分率．

【答案】10%

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．設(shè)降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題

意列出一元二次方程求解即可．

9

【詳解】解：設(shè)降價(jià)的百分率為x，

由題意得：100(1x)281，

解得：x10.110%，x21.9（舍去），

答：降價(jià)百分率為10%．

12．（24-25九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）為豐富學(xué)生課后活動(dòng)，學(xué)校成立了“課外閱讀社團(tuán)”，并且不斷

完善藏書數(shù)量，今年3月份課外閱讀社團(tuán)有藏書500冊(cè)，到今年5月份藏書數(shù)量增長(zhǎng)到720冊(cè)．

(1)求課外閱讀社團(tuán)這兩個(gè)月藏書的平均增長(zhǎng)率．

(2)按照這樣的增長(zhǎng)方式，今年6月份課外閱讀社團(tuán)的藏書量是多少冊(cè)？

【答案】(1)閱讀公園這兩個(gè)月藏書的平均增長(zhǎng)率20％

(2)估算出今月6月份閱讀公園的藏書量是864冊(cè)

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)這兩個(gè)月藏書的月平均增長(zhǎng)率為x，利用該?！伴喿x公園”5月底的藏書量=該校“閱讀公園”3月的藏

書量×（1藏書的月平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出結(jié)論；

（2）利用該?！伴喿x公園”6月的藏書量=該?！伴喿x公園”5月的藏書量×（1+藏書的月平均增長(zhǎng)率），即可

求出該?！伴喿x公園”6月的藏書量．

【詳解】（1）解：設(shè)該校這兩個(gè)月藏書的月均增長(zhǎng)率為x，

2

根據(jù)題意，得5001x720

解得x120%，x22.2（不合題意，舍去）

該校這兩個(gè)月藏書的月均增長(zhǎng)率為20%；

（2）解；720120%864（冊(cè)），

所以，預(yù)測(cè)到6月該?！伴喿x公園”的藏書量是864冊(cè)．

【題型4】面積問(wèn)題

13．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)70m，寬40m的長(zhǎng)方形花園中，欲修寬度相等的觀

賞路（如陰影部分所示），要使空白部分面積是2450m2，若設(shè)路寬為xm，則x應(yīng)滿足的方程是（）

A．40x70x350B．402x703x2450

C．402x703x350D．40x70x2150

【答案】B

【分析】本題考查理解題意的能力，解題的關(guān)鍵是表示出剩下的長(zhǎng)和寬，根據(jù)面積列方程．

10

設(shè)路寬為xm，所剩下的觀賞面積的寬為402xm，長(zhǎng)為703xm，根據(jù)要使觀賞路面積是2450m2，可

列方程求解．

【詳解】解：設(shè)路寬為xm，則所剩下的觀賞面積的寬為402xm，長(zhǎng)為703xm，根據(jù)題意得，

402x703x2450，

故選：B．

14．（24-25九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)用28米長(zhǎng)的籬笆圍成的矩形菜園ABCD，一邊靠墻

（墻長(zhǎng)15米），并在BC邊上開(kāi)一道2米寬的門（門不使用籬笆），若設(shè)AB為x米．

(1)BC的長(zhǎng)為米（用含x的代數(shù)式表示）

(2)當(dāng)菜園的面積為112m2時(shí)，求AB的長(zhǎng)

(3)菜園的面積能為120m2嗎？若能，求出AB的長(zhǎng)，若不能，說(shuō)明理由．

【答案】(1)302x

(2)8米

(3)不能，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程：與圖形有關(guān)的問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)，正確的理解題

意是解題的關(guān)鍵．

（1）因?yàn)樵O(shè)AB的長(zhǎng)為x米，則BC2822x302x米，即可解答．

（2）根據(jù)題意得到x302x112，解方程即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)題意得到函數(shù)關(guān)系x302x120，根據(jù)判別式的情況，即可得到結(jié)論．

【詳解】（1）解：設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，

∵要建一個(gè)矩形倉(cāng)庫(kù)ABCD，一邊靠墻（墻長(zhǎng)15m)，并在BC邊上開(kāi)一道2m寬的門，現(xiàn)在可用的材料為28

米長(zhǎng)的木板(全部使用完），

∴BCAD2822x302x米，

故答案為：302x；

（2）解：根據(jù)題意得，x302x112，

解得：x17，x28，

當(dāng)x17時(shí)，AD160（不合題意舍去），

當(dāng)x28時(shí)，AD14，

∴AB8米；

11

（3）解：根據(jù)題意得，x302x120，

∴2x230x1200

∴x215x600

則b24ac1524160150

該方程無(wú)實(shí)數(shù)解

∴倉(cāng)庫(kù)的面積不能為120m2．

15．（24-25九年級(jí)上·貴州黔東南·期中）現(xiàn)有可建造60m圍墻的材料，準(zhǔn)備依靠原有舊墻圍成如圖所示的

倉(cāng)庫(kù)，墻長(zhǎng)為am．

(1)若a50，能否圍成總面積為225m2的倉(cāng)庫(kù)？若能，AD和AB的長(zhǎng)分別為多少米？

(2)能否圍成總面積為400m2的倉(cāng)庫(kù)？說(shuō)說(shuō)你的理由．

【答案】(1)能，AB的長(zhǎng)為15m，AD的長(zhǎng)為15m；或AB的長(zhǎng)為45m，AD的長(zhǎng)為5m；

(2)不能圍成面積為400m2的倉(cāng)庫(kù)，理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了一元二次方程與幾何圖形的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的

關(guān)鍵．

60x

（1）設(shè)ABxm，則ADm，根據(jù)矩形面積公式列出方程求解即可；

3

60x

（2）設(shè)ABxm，則ADm，根據(jù)矩形面積公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案．

3

60x

【詳解】（1）解：設(shè)ABxm，則ADm，

3

60x

根據(jù)題意得：x225，

3

解得：x15或x45，

∵154550，

∴x15和x45都滿足題意，

6015

∴當(dāng)AB15m時(shí)，AD15m；

3

6045

當(dāng)AB45m時(shí)，AD5m；

3

∴當(dāng)a50，能圍成總面積為225m的倉(cāng)庫(kù)，AB的長(zhǎng)為15m，AD的長(zhǎng)為15m；或AB的長(zhǎng)為45m，AD的

長(zhǎng)為5m；

（2）解：不能圍成面積為400m2的倉(cāng)庫(kù)，理由如下：

12

60x

設(shè)ABxm，則ADm，

3

60x

根據(jù)題意得：x400，

3

整理得：x260x12000，

2

∵b24ac6041120012000，

∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即不能圍成面積為400m2的倉(cāng)庫(kù)．

16．（24-25九年級(jí)上·吉林·期中）如圖，在矩形空地ABCD上，修建兩條平行于AB邊、一條平行于BC邊

的小路，3條路等寬，其余部分鋪草坪．已知AB的長(zhǎng)為20m，AD的長(zhǎng)為32m，鋪草坪的單價(jià)是100元/m2，

鋪草坪的總價(jià)為57000元，求每條小路的寬度.

【答案】1m

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)每條小路的寬度為xm，由平移的性質(zhì)可得

20x322x10057000，解方程即可求解，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：設(shè)每條小路的寬度為xm，

由題意可得，20x322x10057000，

整理得，x236x350，

解得x11，x23520（不合，舍去），

答：每條小路的寬度為1m．

【題型5】銷售問(wèn)題

17．（2025·山西呂梁·二模）太原的名優(yōu)特產(chǎn)老陳醋醋香四溢，具有軟化血管等功效．一位經(jīng)銷商在直播平

臺(tái)經(jīng)營(yíng)某種老陳醋禮盒，其進(jìn)價(jià)為每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20盒．若該經(jīng)銷商想要平均每天獲利2240元，每盒老

陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)多少元？若設(shè)每盒老陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

xx

A．70x50100202240B．70x50100202240

22

xx

C．70x50100202240D．70x50100202240

22

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意設(shè)每盒應(yīng)降價(jià)x元，再根據(jù)利潤(rùn)（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）銷

量即可列出方程．

13

【詳解】解：設(shè)每盒應(yīng)降價(jià)x元，

∵商場(chǎng)平均每天可銷售老陳醋禮盒100盒，如果降價(jià)2元，則每天可多售出20盒，

x

∴銷量為：10020盒，

2

∵平均每天盈利2240元，

x

∴70x50100202240，

2

故選：B．

18．（23-24九年級(jí)上·甘肅武威·階段練習(xí)）商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元/個(gè)的臺(tái)燈以40元/個(gè)的價(jià)格銷售，每月能

售出600個(gè)，調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的銷售單價(jià)每上漲1元，其月銷售量就會(huì)減少10個(gè)．規(guī)定該臺(tái)燈的銷售

單價(jià)不得低于40元且不得超過(guò)60元．為了實(shí)現(xiàn)這種臺(tái)燈的月銷售利潤(rùn)為10000元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多

少元？

【答案】銷售單價(jià)應(yīng)定為50元

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)這種臺(tái)燈的銷售單價(jià)上漲x元，則每件的利潤(rùn)為

40x30元，銷售量為60010x件，再根據(jù)總利潤(rùn)為單價(jià)利潤(rùn)乘以銷售量建立方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)這種臺(tái)燈的銷售單價(jià)上漲x元，

由題意得，40x3060010x10000，

整理得x250x4000，

解得x10或x40（由于銷售單價(jià)不得低于40元且不得超過(guò)60元，故舍去），

401050，

答：銷售單價(jià)應(yīng)定為50元．

19．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開(kāi)售，就深受大家的喜愛(ài)．某商店

以每件25元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件40元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，

6月份的銷售量為400件．

(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；

(2)從7月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該件吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量

就會(huì)在6月的銷量基礎(chǔ)上增加5件．當(dāng)該件吉祥物降價(jià)多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)4250元．

【答案】(1)25%

(2)5

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

2

（1）設(shè)吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，列方程2561x400即可；

（2）設(shè)該件吉祥物降價(jià)y元，則售價(jià)為40y元，每件的利潤(rùn)為40y25元，銷售量為4005y件，

列方程40y254005y4250即可．

【詳解】（1）解：設(shè)吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，

14

2

2561x400

=-2.25

解得，x10.2525%，x1（舍去）

∴該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為25%；

（2）解：設(shè)該件吉祥物降價(jià)y元，則售價(jià)為40y元，每件的利潤(rùn)為40y25元，銷售量為4005y

件，

根據(jù)題意得，40y254005y4250，

=-70

解得，y15，y2（舍去），

所以，當(dāng)該件吉祥物降價(jià)5元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)4250元．

20．（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）重慶2023年馬拉松于3月19日在南濱路開(kāi)賽，為了重慶馬拉松的

順利進(jìn)行，組委會(huì)委托甲乙兩個(gè)廠家共同生產(chǎn)紀(jì)念T恤．根據(jù)調(diào)研統(tǒng)計(jì)，甲廠每小時(shí)生產(chǎn)T恤80件，乙廠

每小時(shí)生產(chǎn)T恤100件．

(1)若甲、乙兩廠一天一共工作20個(gè)小時(shí)，且共生產(chǎn)1820件T恤，則乙廠生產(chǎn)T恤多少小時(shí)？

(2)在（1）的條件下，為了滿足組委會(huì)的需求，甲廠生產(chǎn)時(shí)間每減少1小時(shí)，該廠每小時(shí)的產(chǎn)量將增加10

件，乙廠生產(chǎn)時(shí)間不變，產(chǎn)量也不變，這樣一天兩廠的總產(chǎn)量仍為1820件，求甲廠減少的生產(chǎn)時(shí)間．

【答案】(1)乙廠生產(chǎn)T恤11小時(shí)

(2)甲廠減少1小時(shí)

【分析】本題考查一元一次方程，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．

（1）設(shè)乙廠生產(chǎn)T恤x小時(shí)，根據(jù)共生產(chǎn)1820件T恤得80(20x)100x1820，即可解得答案；

（2）設(shè)甲廠減少m小時(shí)，求出乙廠生產(chǎn)T恤11小時(shí)，產(chǎn)量為1100件，故(8010m)(2011m)18201100，

即可解得答案．

【詳解】（1）解：設(shè)乙廠生產(chǎn)T恤x小時(shí)，則甲廠生產(chǎn)T恤20x小時(shí)，

根據(jù)題意得：80(20x)100x1820，

解得：x11，

∴乙廠生產(chǎn)T恤11小時(shí)；

（2）解：設(shè)甲廠減少m小時(shí)，則每小時(shí)產(chǎn)量為(8010m)件，

由（1）知，乙廠生產(chǎn)T恤11小時(shí)，產(chǎn)量為1100件，

(8010m)(2011m)18201100，

解得：m1或m0（舍去），

∴甲廠減少1小時(shí)．

【題型6】數(shù)字問(wèn)題

21．（24-25九年級(jí)上·福建莆田·期中）第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME14）在中國(guó)上海舉行，會(huì)徽（如

圖）的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)

數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有07共8個(gè)基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)

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3745換算成十進(jìn)制是3837824815802021，表示ICME14的舉辦年份．小婷設(shè)計(jì)了一個(gè)m進(jìn)

制數(shù)165，換算成十進(jìn)制數(shù)是96，則m的值為（）

A．12B．7C．6D．5

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意列出一元二次方程，解之取合適的值即可．

【詳解】解：根據(jù)題意得：1m26m15m096，

解得：m17，m213（舍去），

故m的值為7，

故選：B．

22．（24-25九年級(jí)上·湖南懷化·期末）已知一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上的數(shù)字的2倍，十位上的

數(shù)字的平方與個(gè)位上的數(shù)字的9倍之和正好是這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是．

【答案】63

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．首先設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為2x，

用含x的代數(shù)式把這個(gè)兩位數(shù)表示出來(lái)為21x，根據(jù)十位上的數(shù)字的平方與個(gè)位上的數(shù)字的9倍之和正好是

2

這個(gè)兩位數(shù)，可列方程2x9x21x，解方程求出x的值，再把這個(gè)兩位數(shù)表示出來(lái)即可．

【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為2x，

這個(gè)兩位數(shù)為20xx21x，

又十位上的數(shù)字的平方與個(gè)位上的數(shù)字的9倍之和正好是這個(gè)兩位數(shù)，

2

2x9x21x，

解得x3或x0（舍去），

21x21363．

故答案為：63．

23．（24-25九年級(jí)上·吉林松原·期中）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風(fēng)流，雄

姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩(shī)歌，“大江東去浪淘盡，千古

風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”請(qǐng)你求周瑜去

世的年齡．（友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲．）

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【答案】周瑜去世時(shí)年齡為36歲

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，根據(jù)“十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符”以及10十

位數(shù)字個(gè)位數(shù)字個(gè)位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題

的關(guān)鍵．

【詳解】解：設(shè)周瑜去世的年齡十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為x3，

2

則根據(jù)題意：10xx3x3，

2

整理得：x5x60，解得x12，x23，

由題意，而立之年督東吳，則x2舍去，

∴周瑜去世的年齡為36歲，

24．（24-25九年級(jí)上·黑龍江雙鴨山·期末）如圖所示的是2025年1月的日歷表，用虛線方框按如圖所示的

方法任意圈出四個(gè)數(shù)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題．

(1)若虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)．

(2)虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為80嗎？若能，請(qǐng)求出最小數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理

由．

【答案】(1)最小數(shù)為10

(2)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為80，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)最小數(shù)是x，則最大數(shù)是(x8)，根據(jù)“最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180”，列出一元二次方程，解之取

其符合題意的值即可；

（2）設(shè)最小數(shù)為y，則另外三個(gè)數(shù)分別是y1，y7，y8，根據(jù)最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的

和為80，列出一元二次方程，解之可得出y的值，即可解決問(wèn)題．

【詳解】（1）解：設(shè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為x8，

由題意得：(x8)x180，

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整理得：x28x1800，

解得：x118（不符合題意，舍去），x210，

從日歷表中可以看出10是第二行第6個(gè)數(shù)，符合要求，

答：最小數(shù)為10；

（2）解：方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為80，理由如下：

設(shè)最小數(shù)為y，則另外三個(gè)數(shù)分別是y1，y7，y8，

由題意得：y(y8)y(y1)(y7)(y8)80，

整理得：y212y640，

解得：y116（不符合題意，舍去），y24，

y4在最后一列，

假設(shè)不成立，

即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為80．

【題型7】幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

25．（24-25九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，Rt△ABC中，C90，AC8，BC6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)

向終點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出

發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止，則（）秒后，CPQ的面積等于5．

A．1B．5C．1或5D．2或4

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列方程是解題的關(guān)鍵．

1

設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，因?yàn)?24秒，所以0t4，列方程得2t6t5，解方程即可得到答案．

2

【詳解】解：設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，

824秒，

0t4，

1

根據(jù)題意得2t6t5，

2

解得t1或t5（不符合題意，舍去），

1秒后，CPQ的面積等于5，

18

故選：A．

26．（23-24九年級(jí)下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖，VABC中，DB=90°，AB6cm，BC8cm，點(diǎn)P從A

點(diǎn)開(kāi)始沿AB向B點(diǎn)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，那么秒

后，線段PQ將VABC分成面積2:1的兩部分．

【答案】2或4

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系正確列方程是解題關(guān)鍵．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t，根據(jù)題意可得BQ2tcm，BP6tcm，再根據(jù)三角形面積公式分兩種情況求解即可．

【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

根據(jù)題意得：APtcm，BQ2tcm，

DB=90°，AB6cm，BC8cm，

11

BPABAP6tcm，SAB·BC6824cm2，

ABC22

11

SBP·BQ·2t·6t6tt2，

BPQ22

線段PQ將VABC分成面積2:1的兩部分，

21

SS或SS，

BPQ3ABCBPQ3ABC

21

即6tt224或6tt224，

33

整理得：t26t80或t26t160（無(wú)實(shí)數(shù)解），

解得：t12，t24，

即線段PQ將VABC分成面積2:1的兩部分，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2或4秒．

故答案為：2或4．

27．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，VABC中，DB=90°，AB12mm，BC24mm，動(dòng)點(diǎn)

P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿邊BC向C以4mm/s

的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合），如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，問(wèn)四邊形APQC的面積能否等于172m2，

若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，說(shuō)明理由．

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【答案】不能，理由見(jiàn)詳解

【分析】本題主要考查了利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系并判斷自

變量的取值范圍．

根據(jù)題目要求假設(shè)出時(shí)間來(lái)，根據(jù)面積的間接求法列出等量關(guān)系，求解并進(jìn)行判斷取值即可．

【詳解】解：不能，理由如下：

假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，根據(jù)題意得，

S四邊形APQCSABCSPBQ

11

即1224122x4x172

22

整理得，x26x70

解得，x7或x1

1226，2446，所以自變量的取值范圍為0x6，

當(dāng)x7時(shí)，不符合題意；

∴不存在這樣的Q點(diǎn)，

∴四邊形APQC的面積不能等于172m2．

28．（24-25九年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始

以1cm/s的速度沿AB邊向B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)．如果P、Q分別從