PAGE1專題01一元二次方程（8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練+2大易錯(cuò)點(diǎn)+過關(guān)檢測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的概念1.定義等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程2.一元二次方程的“三要素”一是整式方程，二是只含一個(gè)未知數(shù)，三是整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是23.對“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”的理解(1)該項(xiàng)系數(shù)不為0:(2)該項(xiàng)未知數(shù)指數(shù)為2;(3)當(dāng)方程中的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí),字母取值不確定,這個(gè)方程不一定是一元二次方程.如,當(dāng)m=0時(shí),屬于一元一次方程.知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式1.一般形式一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).2.一元二次方程的一般形式的特點(diǎn):方程右邊是0,左邊是關(guān)于x的二次整式,且二次項(xiàng)系數(shù)不為0.3.特殊形式二次項(xiàng)系數(shù)不為0,當(dāng)b取0或c取0時(shí),一元二次方程的一般形式呈現(xiàn)如下情況:4.注意事項(xiàng)確定一元二次方程的各項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要丟掉前面的符號(hào).一般情況下,將一元二次方程整理為一般形式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),要乘“-1”把它轉(zhuǎn)化為正數(shù),若有的項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù),要把它轉(zhuǎn)化為整數(shù).知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解(根)1.概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).2.一元二次方程的解(根)滿足的條件(1)未知數(shù)的值;(2)使方程左右兩邊相等3.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解(根)的方法4.方法技巧利用一元二次方程的根求字母的值或代數(shù)式的值的方法（1）求字母的值：可根據(jù)一元二次方程的根的定義，把這個(gè)根代入原方程，得到一個(gè)含字母的方程，直接解這個(gè)方程求出字母的值，（2）求代數(shù)式的值：把待求式靈活變形，運(yùn)用代入法求值【題型1】一元二次方程的定義1．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．B．C．D．2．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．3．（2024八年級(jí)上·上?！ｎ}練習(xí)）判斷下列方程是否為一元二次方程：①；②；③；④；⑤；⑥．【方法點(diǎn)睛】一元二次方程的概念可利用口訣記憶：等號(hào)兩邊是整式，化簡整理右邊0，只含1個(gè)未知數(shù)，最高次數(shù)是2次【題型2】一元二次方程的一般形式4．（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）已知一元二次方程，則它的一次項(xiàng)系數(shù)為（

）A．1 B． C．2 D．5．（24-25九年級(jí)上·廣西賀州·期中）方程化為一元二次方程的一般形式是（

）A． B．C． D．6．（2023九年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；；(4)【方法點(diǎn)睛】確足一元一次萬程的各貝及具系數(shù)，三點(diǎn)注意莫忽視(1)先把方程化為一般形式，如果二次項(xiàng)系數(shù)小于0，一般把方程兩邊同乘一1，將其二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為大于0的數(shù)(2)指出一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，注意帶上前面的符號(hào)，不要漏掉.(3)特例：若沒有出現(xiàn)一次項(xiàng)bx,則b=0:若沒有出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則c=0.【題型3】由一元二次方程的定義求字母的值7．（2025·黑龍江佳木斯·二模）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25九年級(jí)上·甘肅武威·階段練習(xí)）若方程是關(guān)于的一元二次方程，則．9．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期中）已知關(guān)于的方程(1)為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？(2)為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．【方法點(diǎn)睛】確定一元二次方程待定字母的值（或取值范圍）的步驟(1)列：根據(jù)一元二次方程的定義，未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，二次項(xiàng)系數(shù)不為零，列出關(guān)于某個(gè)字母的方程或不等式組；(2)解：解方程或不等式組：(3)定：確定字母的值（或取值范圍）.【題型4】一元二次方程的解10．（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列各數(shù)中，哪個(gè)是方程的解（

）A． B．1 C．0 D．211．（23-24九年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）下列哪些數(shù)是一元二次方程的根？．12．（20-21九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）在下列各方程后面的括號(hào)內(nèi)分別給出了一組數(shù)，從中找出方程的解：（1）；（2）．【方法點(diǎn)睛】能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的解，只需要代入原方程看是否左右相等.【題型5】一元二次方程的解的估算13．（24-25九年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期末）在估算一元二次方程的解時(shí)，小明列表如下：x請判斷其中一個(gè)解x的大致范圍是（）A． B． C． D．14．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期中）觀察下面的表格：判斷方程的其中一個(gè)解的范圍是（

）A． B． C． D．15．（24-25九年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）根據(jù)下面表格中的信息，判斷關(guān)于的方程的一個(gè)解的范圍是（）A． B．C． D．【題型6】由一元二次方程的解求字母的值16．（24-25九年級(jí)上·遼寧大連·期中）若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則m的值是（）A．3 B．2 C． D．17．（2025·江西·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為．18．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則．【方法點(diǎn)睛】已知方程的一個(gè)根，求代數(shù)式或待定系數(shù)的值時(shí)，可根據(jù)一元二次方程的根的定義，把根代入原方程，得到一個(gè)關(guān)于某個(gè)字母的方程，通過方程巧求代數(shù)式的值或解方程求字母的值【題型7】由一元二次方程的解求代數(shù)式的值19．（2025·吉林·模擬預(yù)測）已知a是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為．20．（2025·山東威?！ざ＃┮阎P(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值為．21．（24-25九年級(jí)上·北京·期中）已知是方程的根，求代數(shù)式的值．【題型8】由實(shí)際問題列一元二次方程22．（2025·四川綿陽·一模）臨近6月，九年級(jí)的同學(xué)就要畢業(yè)了，在畢業(yè)典禮中某班每一位同學(xué)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，該班共送了2652張照片．設(shè)該班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程應(yīng)為（

）A． B． C． D．23．（24-25九年級(jí)下·重慶江津·期中）在研究物體的放射性衰變時(shí)，我們常常關(guān)注放射性物質(zhì)質(zhì)量隨時(shí)間的變化．假設(shè)在年初，有一塊質(zhì)量為克的某種放射性同位素．由于放射性衰變，其質(zhì)量會(huì)逐年減少．到年初，經(jīng)過精確測量，該放射性同位素的質(zhì)量降至克．設(shè)這種放射性同位素質(zhì)量的年平均減少率為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．24．（2025·云南·模擬預(yù)測）如圖，矩形草坪的長和寬分別為，，若將該草坪的長和寬各增加，擴(kuò)建后增加的面積是原來矩形草坪面積的．根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽略一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)或未知數(shù)的最高次數(shù)含字母時(shí)，必須保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且未知數(shù)的最高次數(shù)為21．方程．（1）當(dāng)取何值時(shí)是一元二次方程？（2）當(dāng)取何值時(shí)是一元一次方程？2．已知關(guān)于的方程．（1）當(dāng)為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）當(dāng)為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？【易錯(cuò)點(diǎn)2】未整理成一般形式就確定方程的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)而出錯(cuò)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)是針對一元二次方程的一般形式定義的，因此確定一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)時(shí)，若方程不是一般形式，需將這個(gè)一元二次方程化為一般形式.同時(shí)要注意，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)包括它們前面的符號(hào).不含一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)為01．關(guān)于的一元二次方程化為一般形式后為，試求，的值．2．設(shè)，，分別是一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)下列條件，寫出該一元二次方程．（1），且；（2）．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期中）關(guān)于的方程是一元二次方程，則滿足（）A． B． C． D．為任意實(shí)數(shù)3．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期中）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為（）A．2021 B．2022 C．2023 D．20244．（24-25九年級(jí)上·甘肅酒泉·期中）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為1，則k的值為（

）A． B．2 C． D．5．（24-25九年級(jí)上·甘肅酒泉·期中）根據(jù)表格，判斷關(guān)于的方程的一個(gè)解的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2025·山西呂梁·二模）太原的名優(yōu)特產(chǎn)老陳醋醋香四溢，具有軟化血管等功效．一位經(jīng)銷商在直播平臺(tái)經(jīng)營某種老陳醋禮盒，其進(jìn)價(jià)為每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20盒．若該經(jīng)銷商想要平均每天獲利2240元，每盒老陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)多少元？若設(shè)每盒老陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)元，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A． B．C． D．二、填空題7．（24-25九年級(jí)上·江西宜春·階段練習(xí)）已知一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為3，則一次項(xiàng)系數(shù)為．8．（24-25九年級(jí)上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）若是關(guān)于的一元二次方程，則的值是．9．（23-24九年級(jí)上·廣西河池·期中）若m是方程的一個(gè)根，則的值．10．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）一次會(huì)議上，每兩個(gè)參加會(huì)議的人都相互握一次手，有人統(tǒng)計(jì)一共握手次，設(shè)這次參加會(huì)議有人，那么可以列方程為．11．（24-25九年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中記錄了這樣一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步？”其大意是：矩形面積是864平步，其中寬與長的和為60步，問寬和長各幾步？若設(shè)矩形的長為步，根據(jù)題意可列方程．三、解答題12．（22-23八年級(jí)下·浙江·課后作業(yè)）判斷下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．13．（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項(xiàng)