第17講動態(tài)平衡問題共點力平衡的臨界與極值問題

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點強(qiáng)知識：2大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

01析教析學(xué)知識

知識點1動態(tài)平衡問題

緩慢變化中的每一個瞬間，物體常常可視為處于平衡狀態(tài)，但物體的受力情況可能發(fā)生變化，這時物體處

于動態(tài)平衡。

一、用解析法解決動態(tài)平衡問題

(1)對研究對象進(jìn)行受力分析；

(2)建立平衡方程，寫出各個力之間關(guān)系的解析式；

(3)根據(jù)題目中已知力或夾角的變化，應(yīng)用數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識判斷未知力的變化。

【典例1】如圖所示，某小鳥“倒掛金鉤”，雙爪抓住一傾斜的樹枝處于倒立靜止?fàn)顟B(tài)。若受微風(fēng)影響，小鳥

隨樹枝緩慢上下抖動，下列說法正確的是（）

A．小鳥緩慢抖動的過程中，所受的合力不為零

B．小鳥所受的重力與所受的彈力二力平衡

C．若樹枝向下移動時鳥抓處傾角變大，則其對鳥的彈力增大

D．若樹枝向下移動時鳥抓處傾角變大，則其對鳥的摩擦力增大

【鞏固1】（多選）如圖所示，清洗高樓玻璃的工人用一根輕繩將自己懸在空中。認(rèn)為玻璃墻光滑，在輕繩

的長度增大（輕繩與玻璃墻的夾角減?。┑倪^程中，下列說法正確的是（）

1

A．輕繩對工人的彈力增大

B．輕繩對工人的彈力減小

C．玻璃墻對工人的彈力增大

D．玻璃墻對工人的彈力減小

二、用圖解法解決動態(tài)平衡問題

1．適用情境：物體受三個力作用，一個力大小、方向均不變(通常是重力)，另兩個力中有一個力的方向不

變。

2．應(yīng)用步驟

(1)平行四邊形法

①畫出與恒力F平衡的等大反向的力F0；

②根據(jù)平行四邊形定則將F0分解為另外兩個力，畫出平行四邊形邊、角的變化，確定未知力大小、方向的

變化。

(2)矢量三角形法

①首先對物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)物體處于平衡狀態(tài)時合力為0，依據(jù)題圖構(gòu)建初始狀態(tài)的力的矢量三角形。

1)先畫出大小、方向都不變的恒力；

2)再畫出方向不變、大小可變的力，可用虛線表示其方向；

3)明確方向變化的力的方向如何變化，并依次畫出2～3條矢量線段表示變化趨勢。

提醒：當(dāng)方向變化的力垂直已知方向的力時，方向變化的力有最小值。

②根據(jù)動態(tài)變化過程中，三角形中邊的長度、方向的變化情況判斷力的大小、方向的變化情況。

【典例2】用繩AO、BO懸掛一個重物，BO水平，O為半圓形支架的圓心，懸點A和B在支架上。懸點A

固定不動，將懸點B從如圖所示位置逐漸移動到C點的過程中，繩OA和繩OB上的拉力的大小變化情況

是（）

A．OA繩上的拉力逐漸減小

2

B．OA繩上的拉力先減小后增大

C．OB繩上的拉力逐漸增大

D．OB繩上的拉力先增大后減小

【鞏固2】如圖，光滑斜面上有一個小球被輕繩拴住，懸掛在天花板上，已知輕繩與豎直方向的夾角為45，

斜面傾角37，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)保持懸點不變，將斜面向左緩慢推動平移一小段距離后，下列說

法正確的是（）

A．小球?qū)π泵娴膲毫ψ冃．斜面對小球支持力變大

C．輕繩拉小球的拉力變小D．斜面受到地面的摩擦力變大

三、用相似三角形法解決動態(tài)平衡問題

1．適用情境：物體受三個力作用，一個力大小、方向均不變(通常是重力)，另外兩個力的方向均發(fā)生變化，

且三個力中沒有兩個力保持垂直關(guān)系，但在題目中可以找到與力構(gòu)成的矢量三角形相似的幾何三角形。

2．應(yīng)用步驟

(1)將表示三個力的有向線段首尾相連構(gòu)成力的矢量三角形；

(2)尋找與力的矢量三角形相似的幾何三角形；

(3)利用相似三角形的特點，建立比例關(guān)系，把力的變化問題轉(zhuǎn)化為幾何三角形邊長的變化問題；

(4)結(jié)合幾何三角形中邊長的變化，得出未知力大小的變化情況。

【典例3】（多選）如圖所示，輕桿一端固定一質(zhì)量為m的小球A，另一端與放置在粗糙水平地面上的木板

B上的鉸鏈O連接。將小球A用輕繩繞過光滑的定滑輪O′由力F牽引，且定滑輪O′位于鉸鏈O的正上方，

整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)改變力F的大小，使小球A繞O點遠(yuǎn)離O′緩慢運(yùn)動，木板B始終保持靜止，

則在整個過程中（）

A．力F逐漸增大

3

B．輕桿對小球A的作用力增大

C．地面對木板B的摩擦力逐漸增大

D．地面對木板B的作用力減小

【鞏固3】（多選）固定在水平面上的光滑半球的半徑為R，在球心O的正上方C點固定一個光滑小定滑

輪，細(xì)線的一端拴接一小球，另一端繞過定滑輪，現(xiàn)用力FT將小球從如圖所示位置的點緩慢地拉至B點，

在小球到達(dá)B點前的過程中，小球?qū)Π肭虻膲毫N，細(xì)線的拉力FT大小變化情況是（）

A．FN不變B．FN變小C．FT變小D．FT變大

四、用動態(tài)圓法解決動態(tài)平衡問題

1．適用情境：物體受三個力作用，一個力大小、方向均不變(通常是重力)，另兩個力方向、大小都在變，

但它們的夾角不變。

2．應(yīng)用步驟

(1)構(gòu)造力的矢量三角形；

(2)畫矢量三角形的外接圓，恒力對應(yīng)弦長不變，其對應(yīng)圓周角也不變；

(3)分析變力的變化情況。

注：當(dāng)兩個變力的夾角是90°時，恒力對應(yīng)外接圓的直徑。

【典例4】圖甲為某人發(fā)明的自動叉秸稈工具，捆成圓柱形的秸稈從地上被叉起后，處于長、短直桿之間被

短直桿擋住，短直桿焊接在長直桿上，且二者之間夾角小于90°，簡化圖如圖乙所示，不計一切摩擦。若長

直桿由水平逆時針緩慢轉(zhuǎn)至豎直，則下列說法正確的是（）

A．長直桿對秸稈的彈力一直增大

B．長直桿對秸稈的彈力先減小后增大

C．短直桿對秸稈的彈力一直增大

D．短直桿對秸稈的彈力先減小后增大

4

【鞏固4】如圖所示，某自卸式貨車車廂上放有一箱貨物，貨箱內(nèi)有一光滑的傾斜隔板AB，其與貨箱底

部的夾角為30，隔板與貨箱右壁之間放有一圓柱狀工件，貨車在卸貨過程中，車廂傾角緩慢增大到37，

貨箱一直相對車廂底板靜止，下列說法正確的是（）

A．車廂對貨箱的支持力逐漸增大

B．車廂對貨箱的摩擦力逐漸減小

C．工件對隔板的壓力不斷減小

D．工件對貨箱右壁的壓力一直減小

知識點2共點力平衡的臨界與極值問題

1．臨界問題

物體所處平衡狀態(tài)將要發(fā)生變化的狀態(tài)為臨界狀態(tài)，涉及臨界狀態(tài)的問題為臨界問題。

分析方法：類似于動態(tài)平衡問題的分析，采用動態(tài)變化的思維，把變化的物理量(一般是某幾個力)推向極

端，找出臨界狀態(tài)(如繩子中張力達(dá)到最大、物體所受靜摩擦力達(dá)到最大等)，然后根據(jù)平衡條件及有關(guān)知

識進(jìn)行論證、求解。

2．極值問題

物體平衡狀態(tài)的極值問題，一般指在力的變化過程中涉及力的最大值和最小值的問題。

分析方法

(1)解析法：根據(jù)物體的平衡條件列出方程，在解方程時，采用數(shù)學(xué)知識求極值或者根據(jù)物理臨界條件求極

值。

(2)圖解法：根據(jù)物體的平衡條件作出力的矢量圖，畫出平行四邊形或者矢量三角形進(jìn)行動態(tài)分析，確定最

大值或最小值。

【典例5】．某同學(xué)利用所學(xué)物理知識，測量一段長為16cm的頭發(fā)能承受的最大拉力。如圖所示，刻度尺水

平放置，頭發(fā)穿過鉤碼的光滑掛鉤，一端固定在P點，另一端從P點開始緩慢向右移動，當(dāng)移動到如圖所

示的Q點時，頭發(fā)恰好被拉斷。已知鉤碼和掛鉤的總質(zhì)量為0.3kg，取重力加速度g10m/s2，則頭發(fā)能承

受的最大拉力為（）

5

33

A．NB．NC．3ND．3N

22

【鞏固5】三段不可伸長的細(xì)繩OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它們共同懸掛一物體P，如圖所示。

其中OB是水平的，A端、B端固定。若逐漸增加物體P的質(zhì)量，最先被拉斷的繩是（）

A．一定是OAB．一定是OB

C．一定是OCD．可能是OA，也可能是OC

02過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1．如圖所示，密繞在軸上的卷紙用兩條輕繩栓著懸掛在豎直墻壁的A、A點。隨著卷紙的使用，卷紙靜止

時受到墻壁的支持力和輕繩對卷紙軸的拉力大小變化情況是（不計墻壁和紙間的摩擦）（）

A．支持力減小

B．拉力增大

C．支持力和拉力的合力方向豎直向下

D．支持力和拉力的合力大小始終不變

2．如圖所示，小物塊在水平推力F的作用下，沿著光滑固定的圓弧面緩慢向上移動，圓弧面對小物塊的

支持力為FN，則（）

6

A．F逐漸減小B．FN逐漸增大

3．一根細(xì)線系著質(zhì)量為m的小球，細(xì)線上端固定在橫梁上，給小球施加外力F，小球平衡后，細(xì)線跟豎直

方向的夾角為θ，現(xiàn)改變外力F的方向，但仍然要使小球在原位置保持平衡，重力加速度為g，下列說法正

確的是（）

A．外力F和細(xì)線拉力的合力大小一定等于mg

B．外力F與細(xì)線拉力的合力方向可能水平向右

C．當(dāng)外力F水平向右時，F(xiàn)最小為mgtanθ

D．因為細(xì)線長度不變，所以改變外力F的方向時，細(xì)線拉力不變

4．如圖所示，重型自卸車?yán)靡簤貉b置使車廂緩慢傾斜到一定角度，車廂上的石塊就會自動滑下，以下

說法正確的是（）

A．在石塊下滑前后自卸車與石塊整體的重心位置改變

B．自卸車車廂傾角越大，石塊與車廂的動摩擦因數(shù)越小

C．自卸車車廂傾角越大，車廂與石塊間的正壓力越大

D．石塊開始下滑時，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力

5．如圖所示，用一根輕質(zhì)細(xì)繩將一重力大小為10N的相框?qū)ΨQ地懸掛在墻壁上，畫框上兩個掛釘間的距

離為0.5m。已知繩能承受的最大張力為10N，為使繩不斷裂，繩子的最短長度為（）

7

133

A．0.5mB．1.0mC．mD．m

33

6．如圖甲所示，空竹是中國民間傳統(tǒng)玩具，兩頭為較大的空心輪，中間為細(xì)軸?，F(xiàn)將空竹中間細(xì)軸放細(xì)

繩AB上，手持兩側(cè)A、B端拉動細(xì)繩，簡化為圖乙模型。不計空竹與細(xì)繩間的摩擦，細(xì)繩不可伸長，下列

說法正確的是（）

A．保持空竹靜止，左側(cè)細(xì)繩長度大于右側(cè)長度，則左側(cè)拉力大于右側(cè)拉力

B．保持空竹靜止，緩慢將細(xì)繩向兩側(cè)分開，細(xì)繩對空竹作用力也增大

C．保持A端靜止，僅將B端豎直向上緩慢移動，細(xì)繩上拉力不變

D．保持A端靜止，僅將B端水平向右緩慢移動，則細(xì)繩上拉力不變

7．如圖所示，一不可伸長的輕繩兩端固定在晾衣桿的A、B兩點。衣服通過衣架的光滑掛鉤掛在輕繩上，

同時衣服受到水平向右的恒定風(fēng)力F，平衡后將結(jié)點B緩慢上移，繩子中的拉力將（）

A．逐漸變小B．逐漸變大C．先變大后變小D．保持不變

8．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用一輕繩豎直懸吊于O點。現(xiàn)用一光滑的金屬掛鉤向右緩慢拉動輕繩至虛

線位置，在此過程中，下列說法正確的是（）

8

A．掛鉤對輕繩的作用力不斷變大B．輕繩上的張力先變大后變小

C．輕繩對掛鉤的作用力方向始終水平向左D．掛鉤對輕繩的作用力大小可能為2mg

9．如圖所示為建筑工地工人用推車運(yùn)送一節(jié)預(yù)制排污管道的簡單原理圖，到達(dá)目的地后，工人固定把手

不動，讓擋板OA繞O點旋轉(zhuǎn)至水平即可將管道卸下。管道對板OA、OB的壓力分別為F1、F2，若管道與

各接觸面之間的摩擦不計，在OA由豎直緩慢旋轉(zhuǎn)至水平的過程中，下列說法正確的是（）

A．F1先減小后增大B．F1先增大后減小

C．F2先減小后增大D．F1、F2都減小

10．如圖，兩個半徑均為r的光滑球a、b放在半徑為R（R＞2r）的半球形容器內(nèi)，均靜止時a、b與半球

的接觸點P、Q與半球球心O的連線與水平方向的夾角為α和β（α＜β）。若兩球的質(zhì)量用ma、mb，兩球?qū)?/p>

容器的壓力大小用FNa、FNb表示，則（）

masinmacos

A．B．

mbsinmbcos

FNaFcos

C．1D．Na

FNbFNbcos

11．如圖，輕桿一端通過鉸鏈與墻壁相連，另一端固定一小球A。水平面放置一上表面光滑的半球，初始

時輕桿水平?，F(xiàn)用外力將半球向右緩慢移動少許的過程中，下列關(guān)于小球A受到桿的作用力F桿和半球?qū)π?/p>

球的支持力FN的變化情況說法正確的是（）

A．F桿增大、FN增大B．F桿減小、FN增大

9

C．F桿增大、FN減小D．F桿減小、FN減小

12．如圖所示，在豎直平面內(nèi)一根不可伸長的柔軟輕繩通過光滑的輕質(zhì)滑輪懸掛一重物。輕繩一端固定在

墻壁上的A點，墻壁BC段豎直，CD段水平，不計一切摩擦，關(guān)于輕繩的拉力F的變化情況，下列說法正

確的是（）

A．繩端由B點移動至C點的過程中F先變小后變大

B．繩端由B點移動至C點的過程中F一直增大

C．繩端由B點移動至D點的過程中F一直不變

D．繩端由B點移動至D點的過程中F先不變后變大

二、多選題

13．如圖所示，小球放在光滑的墻與裝有鉸鏈的光滑薄板之間，在墻與薄板之間的夾角θ緩慢地增大到90°

的過程中（）

A．小球?qū)Φ膲毫p小

B．小球?qū)Ρ“宓膲毫υ龃?/p>

C．小球?qū)Φ膲毫ο葴p小后增大

D．小球?qū)Ρ“宓膲毫Σ豢赡苄∮谇虻闹亓?/p>

14．用繩AC和BC吊起一重物處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示。若AC能承受的最大拉力為150N，BC能承受

的最大拉力為105N。那么，下列正確的說法是（）

A．當(dāng)重物的重力為150N時，開始瞬間AC、BC都不斷，AC拉力比BC拉力大

10

B．當(dāng)重物的重力為150N時，開始瞬間AC、BC都不斷，AC拉力比BC拉力小

C．當(dāng)重物的重力為175N時，開始瞬間AC不斷，BC剛好斷

D．當(dāng)重物的重力為175N時，開始瞬間AC斷，BC也斷

15．通過架空輸電線路，各發(fā)電廠和變電站可以有效地連接起來，形成一個統(tǒng)一的電力系統(tǒng)。這種聯(lián)絡(luò)有

助于實現(xiàn)電能的互補(bǔ)和優(yōu)化配置，提高系統(tǒng)的整體效率和穩(wěn)定性。如圖為架空輸電線的示意圖，電線桿高

度相同，間距相等，相鄰的電線桿之間的輸電線長度也都相等，受重力影響，電線會自然下垂，電線切線

與電線桿之間的夾角稱之為切線角。由于熱脹冷縮，冬季兩相鄰電線桿之間的電線長度會略有縮短，則

冬季與夏季相比（）

A．切線角會減小B．中間電線桿受到一側(cè)電線的作用力增加

C．中間電線桿受到兩側(cè)電線的合力不變D．電線最低處的張力不變

16．城市中高樓林立，高層樓房裝修時需要將大塊的玻璃吊裝上樓，樓上一人拉動系在玻璃上方的繩子a，

另一人在低處控制系在玻璃下方的繩子b，兩人配合使玻璃緩慢上升，上升過程中保持繩子a與樓體間夾角

不變，低處人的位置不變，則在玻璃被吊到樓上的過程中（）

A．繩子a的拉力逐漸增大B．繩子a的拉力逐漸減小

C．繩子b的拉力逐漸增大D．繩子b的拉力逐漸減小

17．如圖所示，內(nèi)壁光滑的半球形容器開口向上固定在水平面上，小球放在容器的底部，豎直光滑擋板（厚

度不計）與其接觸，擋板的上端剛好與圓心O重合，將擋板緩慢水平向右推，在推動過程中擋板始終保持

豎直，使小球上移一段距離（未達(dá)到容器的右端點P）。下列說法正確的是（）

A．擋板對小球的彈力增大B．擋板對小球的彈力不變

11

C．小球受到的合力不變D．內(nèi)壁對小球的彈力減小

18．如圖所示，輕繩OA的一端固定在天花板上，另一端連接一輕小光滑滑輪，輕繩OA與豎直方向的夾角

為，另一輕繩繞過滑輪，一端連著一重物，某人拉著輕繩的另一端水平向右運(yùn)動，將重物緩慢吊起，繞過

滑輪的兩段輕繩的夾角為。對重物被緩慢吊起的過程，下列說法正確的是（）

A．連接重物的輕繩上的拉力變小

B．夾角與夾角的比值不變

C．連接滑輪的輕繩上的彈力不變

D．人與地面之間的摩擦力逐漸增大

19．如圖，用輕質(zhì)柔軟的細(xì)線將一質(zhì)量為m的小球懸掛于天花板上的O點，在外力F、重力G和細(xì)線拉

力F?的作用下處于平衡狀態(tài)。初始時F水平，細(xì)線與豎直方向夾角為θ，與F的夾角為α。下列說法中正確

的是（）

A．保持F水平，逐漸緩慢增大θ角，則F逐漸增大、F?逐漸減小

B．保持小球位置及θ角不變，緩慢減小α角直至α=θ，則