第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關系，歸納出有關垂直的性質定理和判定定理，并加以證明.2.能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題.1.已知直線l1⊥平面α，直線l2?平面α，則l1與l2的位置關系一定成立的是（）A.相交 B.垂直C.異面 D.平行解析：B根據(jù)線面垂直的性質，則l1⊥l2，故選B.2.如圖，正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面解析：A四面體S-EFG如圖所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得SG⊥△EFG所在的平面.故選A.3.已知AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD⊥圓柱的底面，則必有（）A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD解析：B因為AB是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC，又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥BC，因為AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.由于BC?平面BCD.所以平面BCD⊥平面ACD.4.已知過平面α外一動點A的斜線l與平面α所成角為π6，并且斜線l交平面α于定點B，若動點A與平面α的距離為1，則斜線段AB在平面α上的射影所形成的圖形面積是（A.3π B.2πC.π D.π解析：A如圖，過點A作平面α的垂線，垂足為C，連接BC，所以線段BC為線段AB在平面α上的射影，∠ABC為斜線l與平面α所成的角，則∠ABC＝π6，又AC＝1，所以BC＝3，故射影形成的圖形為半徑為3的圓面，其面積為3π.故選5.正六棱柱相鄰兩個側面所成的二面角的大小為.答案：2解析：如圖，由正六棱柱的幾何特征可知BB'⊥AB，BB'⊥BC，則∠ABC為正六棱柱相鄰兩個側面所成的二面角的平面角，∴∠ABC＝（6－21.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.2.垂直于同一條直線的兩個平面平行.3.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.4.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.5.三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內的射影為CO，l?α，l⊥CO，則l⊥PC.6.三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO.1.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是（）A.α⊥β且m?α B.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β解析：C由結論1可知C正確.2.（多選）下列命題為真命題的是（）A.若兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合B.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直C.垂直于同一條直線的兩個平面相互平行D.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面解析：BCD對于A，兩個相交平面有一條交線，交線有無數(shù)個公共點，但是這兩個平面不重合，故A錯誤；對于B，由結論3可知正確；對于C，由結論2可知正確；對于D，由結論4可知正確，故選B、C、D.3.（多選）（2021·新高考Ⅱ卷10題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點.則滿足MN⊥OP的是（）解析：BC由結論5易知B、C正確.線面垂直的判定與性質【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.證明：（1）在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.解題技法1.證明直線和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直線垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）；（3）面面平行的性質（a⊥α，α∥β?a⊥β）；（4）面面垂直的性質（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α）.2.證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思路.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.證明：如圖所示，連接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D，①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，②由①②可知EF∥BD1.平面與平面垂直的判定與性質【例2】（2023·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；（2）設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.解：（1）證明：因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC.因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因為AC∩A1C＝C，AC，A1C?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因為BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.（2）如圖，取棱AA1的中點D，連接BD，CD.因為AB＝A1B，所以AA1⊥BD.因為BC⊥平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.因為BC∩BD＝B，BC，BD?平面BCD，所以AA1⊥平面BCD.因為CD?平面BCD，所以AA1⊥CD.因為AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.又因為CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1?平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.因為AA1＝2，所以CD＝1.易知AA1∥平面BB1C1C，所以四棱錐A1-BB1C1C的高為CD＝1.解題技法1.判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β）.2.已知平面垂直時，解題一般要用性質定理進行轉化.在一個平面內作交線的垂線，將問題轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.（2022·全國乙卷18題）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點.（1）證明：平面BED⊥平面ACD；（2）設AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求三棱錐F-ABC的體積.解：（1）證明：因為AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，又E為AC的中點，所以AC⊥BE，AC⊥DE，因為BE∩DE＝E，且BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.（2）由（1）可知BA＝BC，因為∠ACB＝60°，AB＝2，所以AC＝2，則BE＝3，DE＝1，又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，所以DE⊥EB.連接EF（圖略），易知當△AFC的面積最小時，EF取最小值，在Rt△BED中，EF的最小值為E到BD的距離，故當△AFC的面積最小時，EF＝DE·BEBD由射影定理知EF2＝DF·FB，又DF＋FB＝BD＝2，所以DF＝12，F(xiàn)B＝3法一因為DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，所以DE⊥平面ABC，則F到平面ABC的距離d＝BFBD×DE＝3故VF-ABC＝13S△ABC×d＝13×34×4×3法二由（1）知BD⊥AC，又BD⊥EF，所以BD⊥平面ACF，所以BF即為B到平面ACF的距離，故VF-ABC＝VB-AFC＝13S△AFC×BF＝13×12×AC×EF×BF平行與垂直的綜合問題考向1平行與垂直關系的證明【例3】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點.（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1.證明：（1）因為E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點，所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.（2）因為B1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C?平面AB1C，AC?平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C，又因為AB?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.解題技法1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.2.垂直與平行的綜合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用.如果有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.考向2平行、垂直關系與幾何體的度量【例4】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.（1）設G，H分別為PB，AC的中點，求證：GH∥平面PAD；（2）求證：PA⊥平面PCD；（3）求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.解：（1）證明：連接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.又由BG＝PG，故GH為△PBD的中位線，所以GH∥PD.又因為GH?平面PAD，PD?平面PAD，所以GH∥平面PAD.（2）證明：取棱PC的中點N，連接DN.依題意，得DN⊥PC.因為平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，DN?平面PCD，所以DN⊥平面PAC.又PA?平面PAC，所以DN⊥PA.又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.（3）連接AN，由（2）中DN⊥平面PAC，可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角.因為△PCD為等邊三角形，CD＝2，且N為PC的中點，所以DN＝3.又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD＝3所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為33解題技法1.平行、垂直關系應用廣泛，不僅可以判斷空間線面、面面位置關系，而且常用于求空間角和空間距離、體積.2.綜合法求直線與平面所成的角，主要是找出斜線在平面內的射影，其關鍵是作垂線，找垂足，把線面角轉化到一個三角形中求解.（2022·全國甲卷19題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.（1）證明：EF∥平面ABCD；（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.解：（1）證明：如圖，分別取AB，BC的中點M，N，連接EM，F(xiàn)N，MN，∵△EAB與△FBC均為正三角形，且邊長均為8，∴EM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，且EM＝FN.又平面EAB與平面FBC均垂直于平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，平面FBC∩平面ABCD＝BC，EM?平面EAB，F(xiàn)N?平面FBC，∴EM⊥平面ABCD，F(xiàn)N⊥平面ABCD，∴EM∥FN，∴四邊形EMNF為平行四邊形，∴EF∥MN.又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.（2）如圖，分別取AD，DC的中點P，Q，連接PM，PH，PQ，QN，QG，AC，BD.由（1）知EM⊥平面ABCD，F(xiàn)N⊥平面ABCD，同理可證得，GQ⊥平面ABCD，HP⊥平面ABCD，易得EM＝FN＝GQ＝HP＝43，EM∥FN∥GQ∥HP.易得AC⊥BD，MN∥AC，PM∥BD，∴PM⊥MN，又P